2024年高考数学模拟试题含答案 (一)

1.集合力={0,1,2},集合3={-2,0,1},则408=()

A.{0,1}B.{-2,0}

C.{-2,1,0)D.{0,1,2}

2.若复数z满足(3-4i)z=1,则|z|=()

B.1

A.1。C-7

3.已知非零向量五加满足向=2|讣且五1(3—为，贝皈与石的夹角为()

.兀27r

A.gB.4rD.至

JT6

4.已知tan(e+9

A.1B.1C.-4

225

5.已知函数/(%)=sM2%和直线/：y=2x+a,那么“直线/与曲线y=/(%)相切''是、=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知a,6为正实数，且a+26=1,则处±1|2/+1的最小侑为()

ab

A.1+2V2B.2+2V2C.3+2V2D.4+2V2

7.已知三棱锥S—ABC如图所示，ZS、AB.AC两两垂直，且4S==4C=2鱼，点E、F分别是棱

AS、BS的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点，则空间几何体EFG-ABC的体积为()

B.2夜C13女D.

'~~6~2

8.已知数列｛以｝为有穷整数数列，具有性质Q若对任意的ne｛1,2,3,4｝,｛耿｝中存在a”ai+1,

ai+2,ai+j(i>1,j>0,i,jEN*),+df+i+ai+2+■--+ai+]=n,则称｛耿｝为4-连续可表

数列.下面数列为4-连续可表数列的是()

A.1,1,1B.1,1,2C.1,3,1D.2,3,6

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是()

A.五=以，k),石=(k,8),若可/方，贝丸=6

B.若日花=方亮且？力6，则方=3

C.若点G是AABC的重心，则石？+通+无=6

D.若向量五=(—1,1),石=(2,3),则向量方在向量五上的投影向量为彳

10.已知函数/(x)=cos?久+sizurcos久—■^的图象为C,以下说法中正确的是()

A.函数/(%)的最大值为缉1

B.图象C相邻两条对称轴的距离为£

C.图象C关于(一0)中心对称

D.要得到函数y=^s历久的图象，只需将函数/(久)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移与个

单位

11.若函数/(久)的定义域为。，若对于任意％1CD,都存在唯丁的久2CD,使得"%i)+f(%2)=1，则称

〃久)为“/型函数”，则下列说法正确的是()

A.函数/(%)=加%是"/型函数”

B.函数/(%)=s讥％是“/型函数”

C.若函数/(%)是“/型函数”，则函数也是“/型函数”

D.已知zneR,若/(%)=m+sin%,xE[―^,舒是“/型函数"，则根二^

12.已知棱长为1的正方体43。。-45传1劣中，尸为线段4C上一动点，则下列判断正确的是()

A.存在点P,使得CiP〃4当

B.三棱锥P-BCi。的外接球半径最小值为里

C.当P为&C的中点时，过尸与平面BCi。平行的平面截正方体所得的截面面积为竽

D.存在点P,使得点P到直线Big的距离为看

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.关于％的不等式a/+(“+b)%+2>0的解集为(一3,1),则a+b=.

n

14.已知数列｛册｝的前几项和，Sn=2-1,则log2a10=.

12%—11r<I

1'一，关于龙的方程尸(X)-a"(久)=0有六个不等的实根，则实数4

｛(%—2)2,X>1

的取值范围是

16.如图，已知函数〃久)=4sin(3无+R)(其中4>0,co>0,\(p\<^)的图象与x轴交于点A,B,

与y轴交于点C,BC=2BD，Z0CB=与，|。*=2,|明=等1则函数〃久)在［1,6］上的值域

为.

四'解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

17.已知S几为数列｛。九｝的前几项和，且即=1,nSn+1=(n+l)Sn+n+n,nGTV*.

(I)证明：数列｛学｝为等差数列，并求｛S"的通项公式；

1

(2)若勾—，设数列｛"｝的前几项和为〃，求Tn.

Unun+l

18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且bcosA+acosB=-2ccos力.

(1)求角4的值；

(2)已知点。为BC的中点，且4。=2,求a的最大值.

19.若二次函数f(%)满足/(久+1)+/(%)=—X2—5%—1

(1)求"久)的解析式；

(2)若函数gQ)=%仇%+/(久)，解关于％的不等式：g［x2+%)>^(2).

20.如图(1)所示，在AABC中，乙4BC=60。，过点2作力D1BC,垂足。在线段BC上，且/W=28,

CD=V5,沿40将折起(如图(2)),点E、尸分别为棱AC、的中点.

BB

图⑴图(2)

(1)证明：AD1EF；

(2)若二面角C—Q4—B所成角的正切值为2,求二面角C-OF—E所成角的余弦值.

21.已知数列｛%｝是公比大于0的等比数列，=4,=64.数列也｝满足：bn=a2n+^~N*~).

(1)求数列｛"｝的通项公式；

(2)证明：｛医―与工是等比数列；

(3)证明：ir1怦—p(2k+l)<21(keN*).

Jbk~b2k

22.已知函数/(x)=x(t—仇久)，tER

(1)讨论函数/(久)的单调区间；

(2)当t=l时，设为1，%2为两个不相等的正数，且/(%1)=/(久2)=a，证明：久1+久2>a(2-e)+

L【答案】A

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】解：因为集合4={0,1,2},集合B={-2,0,1},

则ACB={0,1}»

故答案为：{0,1}.

【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而得出集合A和集合B的交集。

2.【答案】B

【知识点】复数的模

【解析】【解答】解：因为复数Z满足(3—4i)z=l,所以Z=春1=(3_］3+；4(i3+4i)=3+4i=忌3+

4.

251

故答案为：1.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z,再利用复数求模公式得出复数z的模。

3.【答案】A

【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】解：因为五、石满足|瓦=2|ap且N1(a—b')>所以2.G—b)=0，

因为a•(a—b)=a—a-b=|a|—|a|xbxcos<a,b>—|a|—|a|x2|a|xcos<a,b>

L|2-t

=\a\(1—2cos<a,b>)，

所以M(1—2cos<a,b>)=0,

由向量a不为零向量，所以1-2cos<a,b>=0'贝Ucos(乙b>=1

因为<a,b>E［0/兀］，

则反与另的夹角为争

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的运算法则以及非零向量

的定义，最后由向量夹角的取值范围得出两向量弓与石的夹角。

4.【答案】C

【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】解：已知tan(8+/)=4tan。—

tanC+ta*_1+tan®

又因为tan(8+勺

1—tanSxtan51—tan0)

4

所以;=Atan。—则(tan®-3尸=0,所以tant=3,

i—ian(7LL

cos?。-sin%i-ta/e=1-32=__§_=_4

则cos28=cos20—sin20

22

cos0+sin0l+tan201+3210于

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合两角和的正切公式和一元二次方程求解方法，进而得出角。的正切值，再结合

二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式变形，从而得出角2。的余弦值。

5.【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】解：已知函数/'(久)=sin2x,所以f'(x)=2cos2x,

设切点为则曲线在切点处的斜率为切

P(x0,y0),f(x)k=f(x0)=2cos2x(),

因为“直线/与曲线y=/O)相切”,而直线/：y=2x+a,所以k切=2,

所以2cos2x()=2,所以2xo=2kn,keZ,则x()=kn,kGZ,

而/■(久o)=s讥2Ko=sin2k?r=3所以切点为P(kir,0),kGZ,

因为切点在直线1上，所以0=2xkn+a,贝!Ja=—2kir,kGZ,

当k=0时,a=0,

所以“直线/与曲线y=〃久)相切”是“a=0”的必要不充分条件。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出“直线/与曲线y=〃久)相切”是

“a=0”的必要不充分条件。

6.【答案】D

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】解：因为。，。为正实数，且a+2b=1,

则层+[2b2+]1I1III

a++2b+

、abab=a+2h+_+_=1+_+_.

因为:+：=（＞M（a+2b）=1+号+髀2=3+号+牌3+楞陛=3+/，

fa+2b=1fa=V2—1

当且仅当2b_a时等号成立，即虚时等号成立,

a-b3=1一丁

a—V2—17,2

则当口时，a+1+2b+1的最小值为4+鱼。

b=1—2"。b

2

所以9包+2b+1的最小值为4+V2o

ab

故答案为：D.

92

【分析】利用已知条件和“1”的巧用以及均值不等式变形求最值的方法，进而得出红十2匕+1的最小

ab

值。

7.【答案】C

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：过点G作GHIIAC,交SA于点H,如下图所示：

因为AC1AB,AC1SA,ABCAS=A,ABu平面SAB,ASu平面SAB,

所以，AC1平面SAB,

因为GH||AC,所以GH1平面SAB,且黑==

则GH=泳=孚，

因为点E、F分别是棱AS、BS的中点，贝USASEF=|sAABS=|x|x（2&=1,

则%-SEF=^SASEF,GH=gX1X=苧，C-SAB=gSAABS'AC=gX*X（2V2）3=

所以1/_T7T_8V242_1372

771vEFG-ABC=vC-SAB~vZG-SEF=-3------工=~~6~°

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合线线垂直证出线面垂直，再结合对应边成比例和中点的性质，从而由三棱锥

的体积公式和作差法得出空间几何体EFG-4BC的体积。

8.【答案】B

【知识点】数列的概念及简单表示法

【解析】【解答】解：由｛耿｝为4-连续可表数列定义，

对于A,ai+a2+a3=3,和不可能为4,所以选项A中的数列不是4-连续可表数列；

对于B,a1=Lai+a2=2/a2+a3=3a1+a2+a3=4,所以选项B中的数列是4-连续可表数列;

对于C,没有连续项的和为2,所以选项C中的数列不是4-连续可表数列；

对于D,没有连续项的和为1,所以选项D中的数列不是4-连续可表数列。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合4-连续可表数列定义，从而结合数列求和找出4-连续可表数列。

9.【答案】C,D

【知识点】命题的真假判断与应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；相等向量；平面向量的投影

向量

【解析】【解答】解：对于A,a=(^,k),b=(k,8),若五〃b，则/=义x8=36,所以k=+6,所

以A错；

对于B,五.下=b•下且万力0,则而一b)7=0，所以而一不能得出五=所以B错；

对于C,因为点G是AABC的重心结合平行四边形法则和中点的性质，则而+而+元=6，所以C

对；

对于D,因为向量五=(一1,1),3=(2,3),则向量石在向量五上的投影向量为：

a-ba—2+3a1-

同义同=飞-X&=乎，所以D对。

故答案为：CD.

【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示得出k的值，从而判断出选项A；利用两向量垂直数量

积为0的等价关系，不一定得出五从而判断出选项B；利用三角形的重心的性质和平行四边形法

则，进而判断出选项C；利用数量积求投影向量的方法，进而判断出选项D。

10.【答案】B,C,D

【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（3X+巾）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与

最值；图形的对称性

【解析】【解答】解：因为函数£（久）=cos2%+sinxcosx—^=1+芋2%+京后2久一^=5sin（2x+勺，

对于A,函数/（久）=¥.（2%+勺的最大值为主所以A错；

对于B,函数/（久）=?sin（2x+》的最小正周期为丁=会=冬=ir，所以函数f（x）的图象C相邻两条对

称轴的距离为：=缶所以B对；

对于C,因为/（—力=¥sin[2x（Y）+*]=孝sin0=0,所以函数f（x）的图象C关于（弋，0）中心对

称，所以C对；

对于D,将函数〃久）=¥sin（2x+》的图象横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得出函数、=

孝sin（x+$，再将y=¥sin（久+力向右平移今个单位得到y=¥sin久，所以D对。

故答案为：BCD.

【分析】利用二倍角正弦公式和二倍角余弦公式以及辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型

函数的图象求最值的方法、正弦型函数的最小正周期与相邻对称轴的关系、正弦型函数的图象的对称

性、正弦型函数的图象变换，从而找出说法正确的选项。

1L【答案】A,C,D

【知识点】函数的概念及其构成要素

【解析】【解答】解：由“/型函数''的定义，

对于A,由f（%i）+f（工2）=1，又因为函数/（%）=）％,

Q

e

所以/■（久1）+/■（久2）=ln%i+lnx2=Imq久2=1，所以打久2=＞则久2=所以A对；

对于B,取xi=*,由/'（久1）+f（冷）=1和函数为/■（久）=sinx,可得=0，所以％2=卜兀，kEZ,

与题意存在唯7的到e。，使得/（久1）+"久2）=1矛盾，所以B错；

对于C,因为函数〃%）是“/型函数”，贝行（久1）+〃%2）=1，所以1一/（%1）+1-/（%2）=1，

所以对于任意为1e。，鄢住在唯一的久2eD,使得1—〃尤1）+1-/（%2）=1,则称1-/（%）为“/型函

数”，所以C对；

对于D,对于任意久1eD,.鄢住有唯一的肛CD,使得m+sin%I+m+s讥物=L

所以sin%2=1—2m—sinx1,

因为％1E[—左,舒，所以sin/e[-1,1],所以SE;Q=1一2租—s讥％iW[—2m,2—2m]，

因为y=sinx在[—身上单调递增，所以仁2鸟？所以m=J,所以D对.

乙乙IN—zrns1z

故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合“/型函数”的定义，再结合对数的运算法则、终边相同的角的三角函数值相

同、正弦函数的单调性，进而找出说法正确的选项。

12.【答案】B,C,D

【知识点】两条直线平行的判定；平面内点到直线的距离公式；棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征

【解析】n【解答】解：由题意，以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系A-xyz,连接ARrAR,B】A,如下图所示：

对于A,因为在棱长为1的正方体2BCD-41B1G4中，尸为线段4C上一动点,

所以A(0,0,0),BML0,1),AMO,0,1),C(L1,0),5(1,1,1),

所以ABi=(l,0,1),A1C=(L1,—1),A©=(L1,0),

设平面AiCCi的法向量为£=(x,y,z).

，TT

n-AC=x+y-z=0rx=-y匚匕…-

所以《一X一，所以｛_口,所以几=（—y，y，0），

、九・Ai（：i=x+y=0z-u'

令y=L则1=（-1,1,0）,

因为=-1H0，所以A,与蔡不垂直，所以ABi与平面AiCCi不平行，所以不存在点尸，使得

CiP〃ABI,所以A错;、

对于B,由BC=CD=BD=2,可得ABCi。为正三角形,

设三角形ABCi。外接球半径为R,则球心到平面BCi。的距离为h,

则R=、r2—h2,当h=0时，则R=i•为最小，而r=：x*^=堂，

所以三棱锥P-BQ。的外接球半径最小值为尊，所以B对；

对于C,取AB,gDi，AD的中点分别为M,Q,N,连接NM,MQ,NQ,

当P为41C的中点时，也是QM的中点，

则过P与平面BQ。平行的平面截正方体所得的截面面积为正六边形，边长为NM=V2AM=掾，

所以截面面积为：6xgx孝X孝Xsin60。)=呼，所以C对；

.—>、—>—>

对于D，c/i=(L0，0),设力iP=/L4iC=4(—LL-1)=(一九九-A),(0<A<1),

则=241P—=(—A/A/—A)—(0,L0)=(-4,A—L—4),(044<1)，

—>

->—>CB

所以点P到直线Big的距离为：d=BJ2—(BiP•pVi，=A/2M—24+1,

J卜回

因为点P到直线BiM的距禺为所以d=V222—22+1=京，

55

所以2入2—2入+2=0,则入=亨[0,1]>所以存在点P，使得点P到直线B©的距离为土所以D

对。

故答案为：BCD.

【分析】利用已知条件结合建系的方法得出点到坐标，进而得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解

方法得出平面的法向量，再结合平面的法向量和线面平行的判定定理，进而判断出线线平行，从而判断

出选项A；利用三棱锥与外接球的位置关系，再结合勾股定理和几何法，进而得出三棱锥P-BQD的外

接球半径最小值，从而判断出选项B；利用中点的性质结合中位线的性质和面面平行的判定定理，

再利用正六边形的面积公式得出截面面积，从而判断出选项C,利用空间向量数量积和勾股定理得出点

P到直线/Ci的距离，再结合一元二次方程求解方法得出满足要求的点P,从而判断出选项D。

13.【答案】—g

【知识点】一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：因为关于x的不等式a/+g+b)x+2>0的解集为(-3,1),

所以a<0,

2

a--

((-3)+1=——；-3

所以

由韦达定理得出'2

b-?两足a<0,

(J3)xl=5--3

4

贝a+---

3

4

-

故答案为:3

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法判断出a的正负，再结合韦达定理得出a,b的值，

从而得出a+b的值。

14.【答案】9

【知识点】对数的性质与运算法则；数列的求和

n

【解析】【解答】解：已知数列｛册｝的前n项和,Sn=2-1,

所以ciio=S]_o—S9=21°—1—(2。-1)=2。(2—1)=2。，

29

则logzGtio=log2=9

故答案为：9.

【分析】利用已知条件结合a”S”的关系式和Sn=2n-1,进而得出数列第10项的值，再结合对数的运

算法则，进而得出log2的0的值。

15•【答案】(0,1)

【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】解：因为函数/(£)=[*"—1]'X-\所以其大致图象为：

1(久一2)2,%>1

V

因为关于X的方程尸(久)-a-/(%)=0有六个不等的实根，贝Ijf(x)=0和f(x)=a共有6个根,

又因为f(x)=0有2个根，所以f(x)=2有4个根，

由图可知，实数a的取值范围为(0,I)-

故答案为：(0,1).

【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合方程的根与两函数的交点的

横坐标的等价关系，进而得出实数a的取值范围。

16.【答案】［.,学］

【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值

【解析】【解答】解：由题意可知，|OB|=遮|0(2|,

所以百|Asin(p|=2+sin(2co+隼)=0,

所以A(2,0),B(2+已，0),C(0,Asincp),

因为阮=2而，所以D(1+玄，空罗5，

因为恒叫=零，所以(I+4)2+也出£=孕，

3'2“43

将|Asin(p|=春(2+勺代入上式可得：⑨一2X班一24=0,3>0,解得摄=6,

所以3=I，可得正弦型函数f(x)的最小正周期为T=型=12,

所以sin(w+甲)=0,|(p|<解得隼=一可，

因为百底皿一副=2+6,A>0,所以A=学，

所以函数/(x)=^sin(^x—j),

K8

因为［］所以"一界(一,,给,所以/(%)163S尔bX7T--

xeL6,P33

所以函数/⑺在［1,6］上的值域为［泻，第

故答案为：阴

【分析】利用已知条件结合直角三角形边角关系，正弦型函数的最小正周期公式、向量共线的坐标表

示、两点距离公式、代入法得出函数的解析式，再结合x的取值范围和换元法以及正弦型函数的图象求

最值的方法，进而得出函数在给定区间的值域。

2

17•【答案】(1)解：对任意的TieN*,nSn+1=(n+l)Sn+n+n,

71

则Sn+i_Sn=s几+i-(几+l)Sn=九2十九=

"n+1n—n(n+l)—n(n+l)—'

所以，数列碎｝为等差数列，且其首项为第=1,公差为1,

所以，普=1+九一1=几，故5"=?12.

22

(2)解：当71>2时,an=Sn—S几_i=n—(n—l)=2n—1,

%=1也满足a几=2n—1,故对任意的九ETV*,an=2n—1.

11iii

-

所以，bn_—(2n—l)(2n+l)-2(2九一12zi+P'

故〃=A】_$+另_3+…+；(益I-京I)=我1_/：)=肃？

【知识点】等差关系的确定；数列的求和；数列的通项公式

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等差数列的定义，从而证出数列｛强｝为等差数列，再利用等差数

列的通项公式得出数列｛S"的通项公式。

(2)由(1)得出的数列｛S"的通项公式结合an，Sn的关系式和分类讨论的方法，从而得出数列国"的通

项公式，再结合与=就0,进而得出数列｛g｝的通项公式，再利用裂项相消的方法得出数列｛%｝的前

71项和了几。

18.【答案】(1)解：因为4、ce(0,兀)，贝l」sinC>0,

由正弦定理可得—2cos力sin。=sinBcosA+sin^cosF=sin(4+5)=sinC,

所以，cosA=故2=咨.

(2)解：因为。为BC□中点，则而=荏+丽=荏+3旅=通+3(而一荏)=g(荏+而)，

所以，2而=AB+AC，

所以，4AD2=AC2+AB2+2AC-AB=b2+c2+2bccos学—b2+c2—be—16,

由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccos冬=b2+c2+be,

所以，M+c2=哼巨，2bc=a2-16,

由基本不等式可得反+c222bc，即穿西2a2—16,解得0<aW4K，

当且仅当”时，即当b=c=4时，等号成立，

故a的最大值为48.

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦

定理

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合三角形中角的取值范围得出角C的正弦值的正负，再利用正弦定

理和两角和的正弦公式以及三角形内角和为180。的性质，进而得出角A的余弦值，从而得出角A的值。

(2)利用已知条件结合中点的性质和平面向量基本定理以及余弦定理，再结合均值不等式求最值的方

法，进而得出a的最大值。

19.【答案】(1)解：设f(%)=+c(q工0),

则/(%+1)+/(x)=a(%+l)2+b(x+1)+c+ax2+bx+c

=2ax2+(2a+2b)%+a+b+2c=—x2—5%一5，

(2a=-1=1

所以，2a+2b=-5^解得b=J,故—2x.

(a+"2c=-2Vc=o-

(2)解：函数g(x)=xhix+/(工)=xlnx—寺/—2%的定义域为(0,+oo),

且g'(%)=In久+1—x—2=Inx—x—1,

令h(久)=hu:-久一1,其中x>0,贝%(%)=；—1=与

由八'(K)>0可得0<久<1,由，(K)<0可得久>1,

所以，函数仅久)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+00),

故对任意的%>0,g'(X)=h(x)<h(l)=0,

所以，函数g(%)在(0,+8)上为减函数，

由g(一+%)>g(2)可得0</+久w2,解得一2<x<-1或0<xW1,

因此,不等式g(/+%)2g(2)的解集为[-2,-1)U(0,1].

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大(小)值

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合待定系数法，从而建立关于a,b,c的方程组，进而解方程组得

出a,b,c的值，从而得出二次函数f(x)的解析式。

(2)利用(1)求出的函数f(x)的解析式结合已知条件得出函数g(x)的解析式，由构造法，令八(久)=

lnx-x-1,其中久>0,再结合求导的方法判断函数h(x)的单调性，进而得出函数h(x)的最值，从而判

断出函数g(x)的单调性，再利用函数g(x)的单调性和一元二次不等式求解方法，进而得出关于X的不等式

g(_x2+x)>g(2)的解集。

20.【答案】(1)证明：翻折前，AD1BC,则AD1CD,AD1BD,

翻折后，则有4。1CD,AD1BD,

因为=BD、CDu平面BCD,所以，AD1平面BCD,

因为BCu平面BCD,所以，AD1BC,

在四棱锥/—BCD中，因为点E、F分别为棱AC、AB的中点，贝ljE/7/BC,

因此:，AD1EF.

(2)解：因为4。IC。，AD1BD,则二面角C一-B的平面角为NBOC,即tan/BDC=2,

因]AD1平面BCD,以点O为坐标原点，DB、DA所在直线分别为久、y轴，

平面BCD内过点。且垂直于BO的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为N4BO=60。，AD1BD,AD=2陋,则BD=^^=^=2,

tan6073

又因为CO=V5,则4(0,2A/3,0)、B(2,0,0)、C(l,0,2)、0(0,0,0)、

E8,V3,1)、F(l,V3,0),

设平面CDF的法向量为访=(%i，y,zD，DC=(1,0,2),DF=(1,V3,0),

m-DC—Xi+2zi=0■「口一l「

贝必——5取％1=2b，可得沅=(2K，-2,-V3),

(m-DF=%i+V3y]=0

设平面DEF的法向量为运=(久2，y2，Z2),£T=0,-1),

।n-OF=x2+V3y2=0

贝1J”_一>i，取％2=26，可得元=(2遮，一2,遮)，

n-EF=尹2—z=0

<N2

，一一、m-n12+4-313

所以，cos(m,")=而丽=百广=眄，

由图可知，二面角C-DF—E的平面角为锐角，故二面角C—OF—E的余弦值为II

【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合翻折的方法，再结合线线垂直证出线面垂直，再由线面垂直的定

义证出线线垂直，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，从而判断出线线平行，进而证出AD1

EFo

(2)利用已知条件结合二面角的作法和正切函数的定义，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐

标，进而得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法，由数量积为。两向量垂直的等价关系，进而

得出平面CDF的法向量和平面OEF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角C-DF-E的平面

角为锐角，从而得出二面角C—DF—E的余弦值。

21.【答案】⑴解:设等比数列｛an｝的公比为q,则Q3=a「q2=4q2=64,

则q=4,所以册=4•4n-1=4%

又"=。2九+义=42n+

(2)解：所以底-—271=(4?71+专)—(44n+^7)=2-4n,

所以陈―久.。0,且电詈母=*=4，

b”一br一

所以数列｛居-是首项为8,公比为4的等比数列；

小、铲出口而至6n(2n—1)(271+1)一(271—1)(271+1)一板2—14源

(3)斛：由意忌知,—^2——--斤一一声<逐而，

mi、1l(2n—-ll))((22nn+l)/4n22n1n

所以点九<

b

n-b2n