2023-2024学年广东汕头高三年级下册一模考试数学试题含解析

2023-2024学年广东汕头高三下学期一模考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x-y+3>0

1.已知实数满足约束条件x+2y20，则Z=3x+y的最小值为()

x<2

A.-5B.2C.7D.11

2.函数/(x)=ax-2与g(x)=e'的图象上存在关于直线V=x对称的点，则。的取值范围是()

A.1一°°，(B.]一00，|'C.(-co,e]D.(-oo,e2J

3.在等腰直角三角形ABC中，ZC=-,CA=2^2,。为AB的中点，将它沿。翻折，使点A与点3间的距离

2

为26，此时四面体ABC。的外接球的表面积为().

A.5万B.2。,7rc.12万D.20%

3

4.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑=3,%+%=12,则公比4=()

A.+4B.4C.±2D.2

5.在ABC中，内角4,8,C所对的边分别为a,c,且acosB+>sinA=c.若a=2,ABC的面积为3(0-1),

贝!l〃+c=()

A.5B.2A/2C.4D.16

6.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登

山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村

汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是()

A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路

C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路

7.在A6c中，角A,5c的对边分别为a,4c,若c-acosB=(2a—b)cosA,贝！JABC的形状为()

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰或直角三角形D.钝角三角形

一,x<0

8.已知函数/(%)=：，若函数网龙)=/(x)-履在R上有3个零点，则实数人的取值范围为()

Inx八

---,%>0

、x

A・(0,—)B.(0,—)C.(—00,——)D.(―)

e2e2e2ee

9.将函数/(x)=J^sin2x-2cos2%图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移巳个单位长

8

度，则所得函数图象的一个对称中心为()

10.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是()

自0

1

11.已知耳，工分别为双曲线C:?-1=1(。〉0］〉0)的左、右焦点，过耳的直线/与双曲线C的左、右两支分别

交于A,3两点,若.*。,陶g则双曲线C的离心率为()

A.V13B.4C.2D.6

12.设｛4｝是等差数列,且公差不为零，其前“项和为S”.则5,+1>5,”是“｛4｝为递增数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个村子里一共有〃个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告

诉了第三个人，如此等等.在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余〃-1个村民中随机挑选的，当谣言传播

左伏・.2）次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是.

14.函数/（%）二­z—的图象在％=；处的切线方程为.

x2

15.在12x2-工）的二项展开式中，x的系数为.（用数值作答）

16.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,

若甲组5名同学成绩的平均数为81,乙组5名同学成绩的中位数为73,则x-y的值为.

甲乙

67

7270y

6x85

09

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，已知E,R分别是正方形边BC,CD的中点，EF与AC交于点O,PA,NC都垂直

于平面ABC。，且A4=AB=4，NC=2,M是线段K4上一动点.

（1）当平面E7W,求的值；

（2）当〃是Q4中点时，求四面体E7W的体积.

x=y/3+t

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为|广（f为参数），以坐标原点为极点，x轴正半

y=一13t

轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为Q=4COS，.

（1）求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

11

（2）设点加（0,3）,直线/与曲线C交于不同的两点A、B,求+六百的值.

|MA||MB|

19.（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为

此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用》（百万元）和销量，（万盒）的统计

数据如下：

研发费用X（百万元）2361013151821

销量y（万盒）1122.53.53.54.56

（1）求y与x的相关系数厂精确到0.01,并判断y与X的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：N20.75时,

可用线性回归方程模型拟合）;

（2）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A,A3,并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行

143

第二次检测.第一次检测时，三类剂型A,4，4合格的概率分别为5,y第二次检测时，三类剂型4,4，

41?

4合格的概率分别为歹，y.--两次检测过程相互独立，设经过两次检测后A,4,4三类剂型合格的种类数为

X,求X的数学期望.

/___

i=l

附：（1）相关系数厂

士才―羲

3=1

i=l7

888______________

347

⑵Z%%=，=1308,Z才=93,^178542.25.

j=lz=lZ=1

20.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和为S〃，且满足,—1,4〉0（〃22）,S'="小—9〃T,“eN*,各项均为正

6

数的等比数列也｝满足4=。2，4=4

（1）求数列｛%｝,他,｝的通项公式；

（2）若c“=ga”也,求数列｛c„｝的前〃项和T,

21.（12分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X的分

布列为：

X234

P0.4ab

其中0<。<1,0<b<l

（I）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率;

(II)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，则商场获得

利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为Y(单位：元)

(i)求F的分布列；

(ii)若p(yw3oo)2o.8,求y的数学期望£(y)的最大值.

22.(10分)如图，在直三棱柱ABC—AqG中，AB=AC=JL3。=44=2,。为的中点，点〃在线

段A4上，且0M平面

(1)求证：AM=；

(2)求平面MOg与平面。片4所成二面角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.

【详解】

\r-y+3>0

由约束条件x+2y>Q,画出可行域ABC如图

x<2

2=3工+丫变为丁=-3%+2为斜率为-3的一簇平行线，z为在y轴的截距，

z最小的时候为过C点的时候，

x-y+3=0x=-2,、

解:c得I所以c(-2,1),

[x+2y=0[y=l'7

此时z=3x+y=3x(-2)+1=—5

故选A项

【点睛】

本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.

2、C

【解析】

2-1-1nx

由题可知，曲线/(X)=◎—2与y=lnx有公共点，即方程ox—2=lnx有解，可得a=——有解，令

X

则=-1；”,对X分类讨论，得出X=J时，//⑺取得极大值=也即为最大值,

进而得出结论.

【详解】

解：由题可知，曲线/(%)=◎—2与y=lnx有公共点，即方程依—2=lnx有解,

即。=-------有解，令/z(x)=-------，贝!J/i(x)=----——,

xX"

则当0<x<，时，〃(九)>0；当X>*1■时，〃(x)<0,

故％=，时，人⑺取得极大值，U=e,也即为最大值，

当x趋近于。时，/i(%)趋近于-8,所以aKe满足条件.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力,

属于难题.

3、D

【解析】

如图，将四面体ABCD放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上

下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.

【详解】

△ABC中，易知AB=4,CD=AD=BD=2

翻折后48=26，

2?+2?—(2扃1

cosZADB=--------————，

2x2x22

:.ZADB=120,

设AADB外接圆的半径为r,

2G=2r=4，:.r=2,

sin120

如图：易得CD,平面4犯，将四面体ABC。放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体

外接球的半径为R,

=r2+l2=22+12=5，

四面体ABCD的外接球的表面积为S=4兀R2=20%.

故选：D

【点睛】

本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径

时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体,

比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.

4、D

【解析】

由$2=3得4+4=3,又％+。4=(4+4)/=12，两式相除即可解出4.

【详解】

解：由$2=3得q+g=3,

又。3+%=(%+ajq2=12,

/.q2=4,：.q^-2,或q=2,

又正项等比数列｛4｝得q>0,

/.q=2,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题.

5、C

【解析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得A=£，再根据面积公式可求得儿=6(2-J5)，再代入余弦定理求解即可.

【详解】

.ABC中,acos3+ZjsinA=c,由正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

51115511174=(\)5745山5,又51116。0,，sinA=cosA,.*.tanA=l,又Aw(0,»),

A=—SARC=—Z?csinA—^^-bc—3(A/2—1),

4ABC24

be-6(2-A/2)J；a=2,，由余弦定理可得。？=(ZJ+C)?-2bc-2bccosA,

：.(Z?+c)2=4+(2+J2)bc=4+(2+衣x6(2-0)=16,可得Z?+c=4.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.

6、D

【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线，由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的，再分情况讨论即可.

【详解】

若甲走的红门盘道徒步线路，则乙，丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半，则乙丙的另外两句话“丙走红

门盘道徒步线路”，“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路,，错误，“甲走天烛峰登山线路,，正确.乙的话中

“甲走桃花峪登山线路”错误，“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述,甲走天烛峰登山线路，乙走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路

故选：D

【点睛】

本题主要考查了判断与推理的问题，重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论，属于基础题型.

7、C

【解析】

利用正弦定理将边化角，再由sin(A+3)=sinC,化简可得sinBcosA=sinAcosA,最后分类讨论可得；

【详解】

解：因为c—acos_B=(2a—Z?)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+5)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcosB=2sinAcosA—sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

jr

当854=0时4=—,AABC为直角三角形；

2

当以九4/0时$也4=$也3即4=5,AABC为等腰三角形；

AABC的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

8、B

【解析】

根据分段函数，分当％<(),%〉。，将问题转化为左=丛。的零点问题，用数形结合的方法研究.

X

【详解】

当x＜0时，=/W=_L,令g(x)=」,g(x)=—三＞0,g(x)在xe(-oo,0)是增函数，上＞0时，左=Z(^1

xxxxx

有一个零点，

当尤＞。时，左=3=当，令2)=*,垢)=匕P

XXXX

当X£(O,G)时，"(x)＞0,・・・饵元)在(0,五)上单调递增，

当X£(&\+8)时，/z'(X)V0,「•人(%)在(j7,+oo)上单调递减,

所以当x=&时，々(X)取得最大值工，

2e

因为/(%)=/(%)-质在R上有3个零点，

所以当了＞。时，左有2个零点，

x

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

9、D

【解析】

先化简函数解析式，再根据函数y=Asin（cox+（p）的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y=2sin（gx-,

再由正弦函数的对称性得解.

【详解】

y=gsin2x-2cos21

=V3sin2x-(l+cos

「•将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

y=2sin—x-----1,

U6

TT

再向右平移三个单位长度,所得函数的解析式为

8

y=2sin-X----1

-X--=k7l=^X=-k7V+—,keZ

3428

k=0可得函数图象的一个对称中心为故选D.

【点睛】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等,

其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与

落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数

解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）

函数的性质求解.

10、C

【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.

【详解】

根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：

由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-A4G2中截去四棱锥用-ABC。所形成的几何体，

12

该几何体的体积为V=13—Xl2xl=-.

33

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.

11、A

【解析】

由已知得A3,3工，忸闾=4%,由已知比值得闾=5x,|A同=3x,再利用双曲线的定义可用。表示出|入耳|,

|隹|,用勾股定理得出区。的等式，从而得离心率.

【详解】

R|_4

=90。.又二可令忸闾=4%,则闾=5X,|AB|=3x.设

ABBF2=0,ABwO,BF2^Q,:.ZABF2M片「5

|AFj|=t,得=忸耳卜忸闾=2a,即5x-f=（3x+/）-4x=2a,解得/=3a,x=a,

|町|=4a,忸耳|=|AB|+|A娟=6a,

由忸片「+|%「=闺用2得（6。）2+（4。）2=（20）2,。2=13。2,c=®，，该双曲线的离心率《=（=旧.

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为。得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点A3到

焦点的距离都用。表示出来，从而再由勾股定理建立区。的关系.

12、A

【解析】

根据等差数列的前几项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

｛q｝是等差数列，且公差d不为零，其前〃项和为S，

充分性：-sn+l>Sn,则。“+1>0对任意的“eN*恒成立，则。2>0，

drO,若d<0,则数列｛。“｝为单调递减数列，则必存在左eN*，使得当心左时，4+1<0,则S“+i<S“，不合

乎题意；

若d>0,由外〉0且数列｛4｝为单调递增数列，则对任意的“eN*，4+1>0,合乎题意.

所以，“XfneN：S“+i>S〃”="｛4｝为递增数列”；

必要性：设%=〃-10,当时，-9<0,此时，5用<5“，但数列｛4｝是递增数列.

所以，“VneN*，S"+i>S""9"｛%｝为递增数列”.

因此，“V”eN*，Sn+l>”是“｛an｝为递增数列”的充分而不必要条件.

故选:A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前〃项和公式是解决本题的关键，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.

【详解】

第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；

从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是工

n-1

没有被选中的概率是1-——

n-1

k-1k-\

女-1次传播是相互独立的，故为11--—n-2

(n-1n-1

k-1

n-2

故答案为:

n-1

【点睛】

本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.

14、40x+/y-32e=0

【解析】

2+In2Yp

利用导数的几何意义，对/(%)=—,—求导后在计算在X=5处导函数的值，再利用点斜式列出方程化简即可.

x2

【详解】

12

(2+ln2x)-2x_—2x(2+ln2x)，则切线的斜率为f40

于'3=/.

X4X4

e12e1240

又/，所以函数Ax)的图象在处的切线方程为即40x+e3y—32e=0.

e2''

故答案为：40x+e3y—32e=0

【点睛】

本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题，需要注意求导法则与计算，属于基础题.

15、-40

【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项(+1=C；25f(-l)r/Tr,再令10_3片1,得片3即可得出X项的系数

【详解】

2r3r

的二项展开式的通项公式为Tr+1=C；(2x广’.C；25f(-l)?°-

令10—3〃=1/=3,

所以的二项展开式中X项的系数为以22.(—1)3=—40.

故答案为：-40.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.

16、-3

【解析】

根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值.

【详解】

根据茎叶图中的数据，得：

甲班5名同学成绩的平均数为g义(72+77+80+x+86+90)=81,

解得%=0；

又乙班5名同学的中位数为73,则y=3；

x—y=0—3=—3.

故答案为：-3.

【点睛】

本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)AM:MP=3.(2)—

3

【解析】

(1)利用线面垂直的性质得出MO,ON,进而得出AOCN,利用相似三角形的性质，得出AM，从而

得出的值；

(2)利用线面垂直的判定定理得出即，平面ACN,进而得出四面体瓦N的体积V=；♦跖。△“四，计算出

EF,SMON，即可得出四面体〃—E7W的体积.

【详解】

(1)因为MO,平面EBV,ONu平面EFN,所以

又因为R4,NC都垂直于平面ABC。，所以-AOGV

又E,尸分别是正方形ABC。边BC,CD的中点，且R1=AB=4，NC=2

AMAOAM372。

所以----=——=>「=-=-----=>AM=3

OCNCV22

:.AM:MP=3.

(2)因为E,R分别是正方形ABC。边BC,CD的中点，所以所LAC

又因为24,NC都垂直于平面ABC。，EFu平面ABC。，所以EFLQV

因为ACcNC=C,AC,NCu平面ACN,所以EF，平面ACN

所以，四面体M-EEV的体积丫=?£？5谶0.

EF-2A/2,S.ON=2*4A/^x2=4A/2

所以V=g.

本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.

18、(1)y/3x+y-3=0,(x-2)2+y2=4(2)2+^

【解析】

(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数r即可得到直线/的

直角坐标方程；

(2)由于M(0,3)在直线I上，写出直线I的标准参数方程参数方程，代入曲线C的方程利用参数的几何意义即可得出

1111|%+力,，一

-----1-----=i―r+1―r——jr~求解即可.

\MA\\MB\用LIhl

【详解】

(1)直线/的普通方程为y=-瓜+3,即氐+y-3=0,

根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，x=pcos0,夕2=12+丁2,

而夕=4cos。，则夕2=4pcos6,

即（%_2）2+,2=4,

故直线1的普通方程为氐+y-3=0,

曲线C的直角坐标方程(x—2『+y2=4

(2)点M(0,3)在直线/上，且直线/的倾斜角为120。,

1

X=­t

2l(t为参数),

可设直线的参数方程为：

2

代入到曲线C的方程得

2+(2+36)/+9=0,4+^=-(2+3回，格=9,

1111_|/,+?2|_2+373

由参数的几何意义知______|------^3____|----_______

\MA\\MB\~\t\\t2\~四9

【点睛】

熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键，难度一般.

19、(1)0.98;可用线性回归模型拟合.(2)|

【解析】

(1)根据题目提供的数据求出；代入相关系数公式求出乙根据厂的大小来确定结果;

(2)求出药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后A,A2,4三类剂型

合格的种类数为x,x服从二项分布Xen，!L利用二项分布的期望公式求解即可.

【详解】

2+3+6+10+21+13+15+18-

解：(1)由题意可知x=------------------------=11,

8

1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+4.5

y=------------------------------二3，

8

347-8x11x383八八。

由公式r=-=——标0.98,

7340x212V1785

““0.98>0.75,二y与x的关系可用线性回归模型拟合;

(2)药品4的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为

c142c412n322

A-2X5-5'-5X2-5*4-5X3-5

由题意，x,

:.E（X｝=3x-=-.

V'55

【点睛】

本题考查相关系数「的求解，考查二项分布的期望，是中档题.

20、（1）=3/2-4；bn=2"（2）7；=（3〃-712"+7

【解析】

（1）由S“=W二也匚化为。"/=6r+9”+1,利用数列的通项公式和前“项和的关系，得到｛4｝是首项为1,

6

公差为3的等差数列求解.

（2）由（1）得到C“=（3〃—4）-2"T,再利用错位相减法求解.

【详解】

（1）,S"fl=/0+1*可"以T'化为a，，"/=6S"+9/7+1,

O

.•.%2=6S”T+9（"—1）+1,

♦412-%2=6%+9（122）,

=（。"+3）>

又Q〃》2时，an>0

二%+1=%+3（〃之2）

•••数列｛4｝从«2开始成等差数列，

q=-1,代入S”=4+；-9"-l

6

得％—2,.,.a2—ai=3

..・｛。,,｝是首项为1,公差为3的等差数列，

an=3n-4,

b{=a2=2也=%=8，b〃=2〃.

（2）由⑴得C“=（3〃—4）.2"T,

1-1

Tn=-1-2°+2-2+?••+（3w-4）-2",

27；与—1032"+?+（n-）-”,

二两式相减得

=-1+3（2*+22+?--+2"-1）-（37?-4）-2",

=-l+6（2"-]-l）-（3n-4）-2,!,

.・.7；=（3”—7）・2”+7.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前"项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21、（I）0.288（II）（i）见解析（ii）数学期望£（丫）的最大值为280

【解析】

（I）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为"，由独立重复事件的特点得出〃5（3,0.4）,

利用二项分布的概率公式，即可求出结果；

（II）（i）依题意，y的取值为200,250,300,350,400,根据离散型分布求出概率和V的分布列；（ii）由题意

知Q4+a+A=l,P（r<300）=0.16+0.48+«2>0.8,解得。<0.6,根据Y的分布列，得出V的数学期望£（丫）,

结合aw[0.