2024年中考数学总复习真题分类汇编：全等三角形2

4.3全等三角形

一、全等三角形的判定与性质

1.（2014安徽中考第14题）如图，在平行四边A2CD中，AD=2AB,P是的中点，作CE_LA3,垂足E

在线段A8上，连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）

S口BEC=2S口CEF；(4)ZDFE=3ZAEF

_________.D

2.（2019安徽中考第20题）如图，点E在口ABCD内部,.AF〃BE,DF//CE,

BC

（1）求证：△BCE^AADF；

（2）设口ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的勺值

3.（2020安徽中考第20题）如图，A3是半圆。的直径,.是半圆。上不同于A,8的两点4。=3cAe

与相交于点是半圆。所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E,

（1）求证：；

⑵若=求AC平分—

G

A0B

4.（2021安徽中考第23题）如图1,在四边形ABCD中，/ABC=/3CD,点E在边3C上，且AE〃CD,

DEIIAB,作CF//AD交线段AE于点凡连接8孔

(1)求证：AABF部△EAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长;

(3)如图3,若3P的延长线经过A。的中点求不二的值.

5.(2018安徽中考第23题)如图1,RtAABC中，NACB=90。，点D为边AC上一点，DELAB于点E,

点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F

(1)求证：CM=EM；

(2)若NBAC=50。，求/EMF的大小；

(3)如图2,^ADAE^ACEM,点N为CM的中点，求证：AN〃EM

6.(2014安徽中考第23题)如图1,正六边形ABC。所的边长为。，尸是BC边上一动点，过尸作

交A尸于作PN//CD交DE千N.

(1)®ZMPN=；

②求证：PM+PN=3a；

(2)如图2,点。是AD的中点，连接。M、ON,求证：OM=ON；

(3)如图3,点。是的中点，OG平分NMON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由.

S3

参考答案与解析

一、全等三角形的判定与性质

1.(2014安徽中考第14题)如图，在平行四边A2CD中，AD=2AB,P是的中点，作CE_LA3,垂足E

在线段A8上，连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)

1

(1)ZDCF=^ZBCD,(2)EF=CF；(3)S口BEC=2S口CEF；(4)ZDFE=3ZAEF

【详解】解：①是AD的中点,...A4如

在口ABCD中，AD=2AB,：.AF=FD=CD,：.ZDFC=ZDCF

\'AD\\BC,：.ZDFC=ZFCB,：,ZDCF=ZBCF,：.NDCF=：NBCD,故止匕选项正确

延长EF,交C。延长线于M

四边形ABC。是平行四边形,...AB||CD,；.ZA=ZMDF

:尸为AD中点，二AF=ED

Z-A—Z-FDM

在△AE/和△。尸M中,{AF=DF,：.AAEF^ADMF(ASA)

/-AFE=乙DFM

：.FE=MF,ZAEF=ZM.

'：CELAB,：.ZAEC=90°,ZAEC=ZECD=90°

•:FM=EF,：.FC=FM,故②正确

③*.*EF=FM,SAEFC-SACFM

9

：MOBE,・・・SZ5ECV2S』EFC,故S“BEC=2SACEF错误

@^ZFEC=x,贝IJN/CEF;

・•・ZDCF=ZDFC=90°-x,：.ZEFC=180°-2x,：.ZEFD=900-x+180°-2x=270°-3x

ZAEF=90°-xf：.ZDFE=3NAEF,故止匕选项正确.

2.（2019安徽中考第20题）如图，点E在口ABCD内部，AF/7BE,DF〃CE,

(1)求证：△BCE04ADF；

(2)设。ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求q的值

【答案】(1)证明略；(2)2

【详解】(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形，

/.AD||BC,•••4BAD+4ABC=180°,

又丫AF//BE,：./.BAF+/.ABE=180°,

・♦・乙BAD+乙ABE+(EBC=乙FAD+乙BAD+Z-ABE,・•・乙EBC=Z.FAD,

同理可得：乙ECB=/.FDA,

Z-EBC=乙FAD

在△BCE和△ZDF中，［BC=AD，:,ABCE三XADF

/ECB=乙FDA

(2)解：连接EF,

•••△BCE=△ADF,・•.BE=AF,CE=DF,

又•・,AFIIBE,DF||CE,：.四边形ABEF,四边形CDFE为平行四边形，

,•=S—FE，S^cDE=S^FED，

,・T=S四边形AEDF=SMFE+S^FED=^LABE+S^CDE，

设点E到AB的距离为hi，到CD的距离为h2,线段AB到CD的距离为h,

贝ljh=hi+h?,

：.T=YAB-hr+--CD-h2=yAB■h2)=--AB-h=^S,即沁.

3.（2020安徽中考第20题）如图，A3是半圆。的直径，C。是半圆。上不同于A,8的两点AO=BC,AC

与3。相交于点F,BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E,

(1)求证：ACBA^ADAB；

⑵若BE=求AC平分ND4B.

【详解】(1)证明：•••4。=BC,AD=^C,Z.ABD=^BAC,

•••48为直径，LADB=A.BCA=90°,

•••AB=BA,CBASADAB.

⑵证明：•••BE=BF,UCB=90°,•••乙FBC=乙EBC,

■■4ADB=乙4cB=90°,Z.DFA=Z.CFB,：.^.DAF=乙FBC=Z.EBC,

•••BE为半圆。的切线，•••4ABE=90°,AABC+乙EBC=90°,

乙ACB=90°,/.CAB+/.ABC=90°,

•­•ACAB=ZFSC,^DAF=“AB,；.AC平分

4.(2021安徽中考第23题)如图1,在四边形ABC。中，ZABC=/BCD,点、E在边BC上,且A£//CD,

DE//AB,作CF//AD交线段AE于点凡连接8R

(1)求证：AABF^AEAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长；

(3)如图3,若BF的延长线经过A。的中点M,求芸RF的值.

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1+V2

【详解】(1)证明：VAE//CD,^AEB=ADCE；

DEI]AB,••・Z-ABE=乙DEC,Z1=Z.2,

Z-ABC=乙BCD,•••乙ABE=Z.AEB,Z-DCE=乙DEC,

•••AB=AE,DE=DC,

vAF//CD,/D//CF,・•・四边形A尸CD是平行四边形

・•.AF=CD,；.AF=DE

(AB=EA

在aEZ。中,zl=Z2,

AF=ED

・•.△ABF=△EAD(SAS)

(2)•・•△ABF=△EAD,・••BF=AD,

在口/FCO中，AD=CF,,•・BF=CF,或乙FBC=(FCB,

又「Z.FCB=z2,z2=zl,・.•Z.FBC=zl,

(Z-EBF=Z1

在AES尸与△及4B中,^BEF=乙AEB

•••△EBFiEAB,,g=g；

AB=9,・♦・AE=9；♦・•CD=5,AF=5,.*.EF=4,

.•丹=白，BE=6或一6(舍)；

9EB

(3)延长曲公ED交于点G.

•••△ABE与ADCE均为等腰三角形，乙ABC=4DCE,：.AABEs^DCE,

.AB_AE_BE

••DC-DE~CE'

设CE=1,BE=x,DC=DE=a,

则48=AE=ax,AF=CD=a,：,EF=a(%—1),

vAB//DG,Z.3=4G；

Z3=ZG

在△M48与AMOG中，|z4=Z5,

=MD

・•.△MAB=△MDG(44S),・・.DG=AB=ax,

・•・EG=a(%+1)；

vAB//EG..•・△FAB八FEG,

FA_AB.a_ax

•'FE-EG'"a(x-l)-Q(%+1)'

・,・%(%—1)=X+1,AX2—2%—1=0,；・(%—l)2=2,・••％=1±V2,

・,・久i=1—V2(舍)，不=1+V2,

糕=1+叵

cC

5.(2018安徽中考第23题)如图1,Rt^ABC中，/ACB=90。，点D为边AC上一点，DELAB于点E,

点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F

(1)求证：CM=EM；

(2)若/BAC=50。，求NEMF的大小；

(3)如图2,若△DAE^^CEM,点N为CM的中点，求证：AN//EM

C

D

D

///7

AEFBAEFB

【详解】(1);M为BD中点，RtzxDCB中，MC=1BD,Rt^DEB中，EM=|BD,AMC=ME；

(2)VZBAC=50°,ZACB=90°,AZABC=90°-50°=40°,

〈CM=MB,・・・NMCB=NCBM,ZCMD=ZMCB+ZCBM=2ZCBM,

同理，ZDME=2ZEBM,

・•・ZCME=2ZCBA=80°,ZEMF=180o-80°=100°；

(3)VADAE^ACEM,CM=EM,

AAE=EM,DE二CM,ZCME=ZDEA=90°,ZECM=ZADE,

VCM=EM,AAE=ED,ZDAE=ZADE=45°,AZABC=45°,ZECM=45°,

又〈CM二ME^BD=DM,ADE=EM=DM,

:•△DEM是等边三角形，・・・NEDM=60。，AZMBE=30o,

VCM=BM,AZBCM=ZCBM,

VZMCB+ZACE=45°,ZCBM+ZMBE=45°,ZACE=ZMBE=30°,

JZACM=ZACE+ZECM=75°,

连接AM,VAE=EM=MB,AZMEB=ZEBM=30°,ZAME=|ZMEB=15°,

VZCME=90°,AZCMA=90°-15°=75°=ZACM,「.AOAM,

TN为CM中点，AAN±CM,

VCMXEM,・・・AN〃CM.

AEFB

6.(2014安徽中考第23题)如图1,正六边形ABCDE尸的边长为a,P是8C边上一动点，过尸作PM〃人3

交AF于作PN//CD交DE千N.

(1)@ZMPN=；

②求证：PM+PN=3a；

(2)如图2,点。是4。的中点，连接。M、ON,求证：OM=ON；

(3)如图3,点。是AO的中点，OG平分/MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【详解】解：（1）①：六边形ABCDEb是正六边形，

ZA=NB=ZC=ZD=ZE=ZF=120°

5^：.PM//AB,PN//CD,

：.ZBPM=6Q°,NNPC=6Q°,

；./MPN=180°-ZBPM-Z7VPC=18O°-60°-60°=60°,

故答案为：60°.

②如图1,作AG_LMP交MP于点G,BH工MP于点,H,CLLPN于点L,DK_LPN于点、K,

MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN

•.•正六边形A8COEF中，PM//AB,PN//CD,

：.ZAMG=ZBPH=ZCPL=ZDNK=60°,

：.GM=^AM,HP=^BP,PL=^PC,NK=^ND,

'：AM^BP,PC=DN,

：.MG+HP+PL+KN=a,GH