2021-2022学年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试数学试题

20212022学年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试数学试题一、单选题1．已知点，，则直线的倾斜角为（

）A．30 B．60 C．120 D．150【答案】B【分析】求出直线的斜率即得解.【详解】解：由题得直线的斜率，设直线的倾斜角为，所以.故选：B2．已知为等差数列，+，，则=（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】由已知，为等差数列，可借助等差中项，先求解出，然后再利用等差中项的性质，即可直接求解出.【详解】因为为等差数列，+，所以，+，所以.故选：B.3．某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解.【详解】因为圆经过两点，所以圆心在中垂线上，联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，故选：D4．椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的离心率，则椭圆的长轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由离心率解出后计算【详解】由椭圆方程得，，解得故椭圆的长轴长为6故选：B5．已知直线，直线的法向量与直线的方向向量互相平行，则=（

）A．8 B．8 C．2 D．2【答案】A【分析】由题意垂直，然后求解【详解】垂直，则，得故选：A6．已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上任意一点，若，的等差中项，则此椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等差中项化简后得出，然后求椭圆的标准方程【详解】由题意，故，又，则焦点在轴上，故椭圆的标准方程为故选：D7．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（

）米.（注意：≈）【答案】A【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a），利用待定系数法求出圆的方程，将x=30代入即可求得.【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(50,0).可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得：解得：.所以所求圆的方程为.将x=30代入圆方程,得:,因为y>0,所以.故选：A.8．已知数列且，若对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知，根据给出的的通项公式，利用错位相减法求解出数列的前，写出的表达式，然后判断数列的增减性，通过对项数分奇偶进行分类讨论，分别求解出数列当n为奇数、偶数时的最小值，然后再去求解a的取值范围.【详解】因为数列且，所以，，①，②①②得：，所以，所以，，所以数列是递增数列，当为奇数时，数列的最小值为，此时，所以；当为偶数时，数列的最小值为，此时，所以；综上，实数的取值范围是.故选：C.二、多选题9．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（

）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1【答案】BCD【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；当时，直线的斜率为：.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，故选：BCD【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.10．（多选）下列命题正确的有（

）A．直线恒过定点B．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为.C．圆与圆恰有三条公切线，则D．已知点分别为圆与直线上的动点，则的最小值为3.【答案】AC【分析】对于A，将直线方程化为，令，求出定点，即可判断；对于B，将两圆的方程相减即可得出公共弦所在直线的方程，即可判断；对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切，则圆心距等于半径之和，求出，即可判断；对于D，的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，求出圆心到直线的距离，即可判断.【详解】解：对于A，直线化为：，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，两圆的方程相减得，所以直线的方程为，故B错误；对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切，圆的圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，所以圆心距，解得，故C正确；对D，已知点分别为圆与直线上的动点，则的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故D错误.故选：AC.11．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（

）A．5 B．4 C． D．【答案】BC【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.【详解】由可得，，所以，根据对称性只需考虑或，当时，将代入可得，如图：，，所以的面积为，当时，由椭圆的定义可知：，由勾股定理可得，因为，所以，解得：，此时的面积为，综上所述：的面积为或.故选：BC.12．下列结论成立的有（

）A．若两个等差数列、的前项和为且，则B．若数列的通项公式为，则该数列的前100项和C．若数列的通项公式为则数列中最大项的值为D．若数列的通项公式为，则数列的前项和为【答案】CD【分析】对于A：利用等差数列的性质，把转化为，代入求解，即可判断；对于B：利用裂项相消法直接求和，即可判断；对于C：设第k项最大，由，解不等式组求出最大项，即可判断；对于D：利用分组求和法直接求和，即可判断.【详解】对于A：因为，所以.因为、均为等差数列，所以.故A错误；对于B：因为数列的通项公式为，所以该数列的前100项和.故B错误；对于C：数列的通项公式为.设第k项最大，则：，即，解得：.所以.故C正确；对于D：数列的通项公式为，所以数列的前项和=1011.故D正确.故选：CD三、填空题13．已知方程表示圆，则的取值范围是____________.【答案】【分析】化为标准方程后计算【详解】原方程可化为由得故答案为：14．已知分别为椭圆的左右焦点，直线椭圆交于两点，则△的周长为_________.【答案】【分析】分析知，直线过椭圆的左焦点，所以△的周长为，即可求出答案.【详解】由椭圆的方程知：，而直线令，所以直线过椭圆的左焦点，由椭圆的定义知：，，则△的周长为：故答案为：.15．直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是____.【答案】【分析】由已知，分别作出直线与曲线的图像，然后观察满足两个不同公共点的情况，分别求解出对应的斜率即可完成求解.【详解】由曲线可得，其图象是以为圆心，半径为2的半圆，直线是过定点的直线，做出图像，如图所示：由图可知，，，所以直线与曲线有两个不同的公共点时，实数的取值范围是.故答案为：.四、双空题16．如图，该图形称之为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理作出的一个可以无限重复的图形.图①是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作直角三角形，再以直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图②，重复以上作图得到图③，④，…，记图①中正方形的个数为，图②中正方形的个数为，图③中正方形的个数为，图④中正方形的个数为，依此类推，第个图形中的正方形个数为，则_______;若记是数列的前项和，则________.【答案】

63

4083【分析】由已知图像，可以类比出数列的通项公式，然后利用通项公式求解出，借助等比数列的的求和公式使用分组求和的方法即可求解出.【详解】由图易知，，，，，猜想可知，，所以，是数列的前项和，由，所以.故答案为：63，4083.五、解答题17．在等差数列中，已知公差，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求的值.【答案】(1)(2)100【分析】（1）写出通项公式，利用成等比数列，以及，解出d，从而求出通项公式；（2）利用绝对值分正负，分段求和化简为，再利用等差数列的前项和公式得解.【详解】(1)由题意可得，

又因为是等差数列，所以，所以，所以转化为：，化简得：，

因为

所以解得

所以.

故=.(2)由（1）得：时，，=，时，，=，∴.故.18．已知圆，(1)直线与圆C交于两点，求的值；(2)过点的直线与圆相切，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用垂径定理求弦长；（2）分类讨论：当直线的斜率不存在时，可判断直线的方程为：符合题意；当直线的斜率存在时可设直线的方程为：，列方程求出，即可求出直线的方程.【详解】(1)圆C的方程可化为：，即圆心为，半径，依题意圆心到直线的距离，

故．(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为：符合题意；当直线的斜率存在时可设直线的方程为：

即依题意圆心到直线的距离即解得

此时直线的方程为：综上，所求的直线的方程为：或19．数列的前项和分别为，且，(1)求及数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)（或或）【分析】（1）根据等差数列的求和公式求出，再由与的关系推出为等比数列，即可求通项公式；（2）分别由裂项相消法及等比数列的求和公式求解，再根据分组求和求解即可.【详解】(1)∵∴数列是首项为1公差为1的等差数列,在数列中，当时，，解得当时，，∴，即∴数列是首项和公比都为2的等比数列，

∴(2)

∴又∵

∴（或或）.年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元.(1)求、、并判断是否为等比数列？并说明理由；(2)若第年年底企业的剩余资金超过21000万元，求的最小值.【答案】(1)6000；7500；9750；是，理由见解析(2)6【分析】（1）由题意计算可得、、，根据递推关系可构造等比数列求解；（2）由（1）求出数列的通项公式，由题意建立不等式求解即可.【详解】(1)由题意得，数列是等比数列，理由如下：依题意可得：又∵是以为首项，为公比的等比数列.(2)由（1）知，

，即，易知单调递增，又，，，，的最小值为6.21．已知圆过原点且圆心在曲线上，圆与轴、轴分别交于点（点与原点不重合）(1)求△的面积；(2)设直线与圆交于点，若，求圆的标准方程.【答案】(1)8(2)【分析】（1）设圆心，根据圆的性质可得A，B坐标，计算三角形面积即可；（2）由圆的性质可得，据此根据直线斜率之积等于求解t即可得圆的标准方程.【详解】(1)设圆心

由题意可知且原点在圆上，所以为圆的直径即圆心为线段的中点，所以，

所以.(2)因为，所以

所以解得，

经检验不合题意，所以，

所求圆的方程为.22．已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为.(1)设动点的轨迹为曲线，求曲线的标准方程；(2)曲线上有两点（不在坐标轴上，且直线与轴不垂直），试问当的面积最大时，直线与的斜率之积是否为定值？若直线与的斜率之积为定值，求出其值；若不为定值，请说明理由【答案】(1)(2)是，【分析】（1）用直接法求轨迹方程；（2）先判断出当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值.再进行证明：设直线方程为，设，