2023-2024学年高考数学圆锥曲线的方程专项练习题（含答案）

2023-2024学年高考数学圆锥曲线的方程小专题

一、单选题

1.抛物线d=4y的准线方程为（）

A.x=TB.x=lC.V=TD.>=i

22x2y2

工+匕=1+=3的（

2.椭圆259与椭圆25-左9-k

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

3.设圆锥曲线「的两个焦点分别为耳，7V若曲线「上存在点尸满足

I尸耳|：|耳丁|：|明=4：3：2,则曲线「的离心率等于（）

j_2j_122

A.2B.2c.万或2D.5或2

4.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面

积除以圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点耳、

人在X轴上，椭圆C的面积为26兀，且离心率为5,则C的标准方程为（）

222

Xy1X21

--------1-=1----1-V=1

A.43B.12

2222

土+匕=1土+匕=1

C.34D.163

5.设双曲线-一/=4的两个焦点为耳，F2J尸是双曲线上的任意一点，过耳作

/耳尸耳的角平分线的垂线，垂足为则点M到直线岳7-4=0的距离的最大值是

（）

A.3B.4C.5D.6

6.国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，张老师带领同学们一起

制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭

圆，已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长

轴长为（）cm

A.30B.10C.20D.百

v2222

——+二=1（加〉〃〉0）------=l（5,/>0）口口

7.若椭圆加〃和双曲线st有相同的焦点“和%，而。是这

两条曲线的一个交点，则「百H尸闾的值是（）

A.m-sB.2（加§）Qm2-s2D.

2222

—+—=l（m>/>0）--——=1（77>0,/>0）口口

8.若椭圆比t与双曲线”t有相同的焦点外，’2,P是

两曲线的一个交点，则△耳尸鸟的面积是（）

t

A.2B.tC.2tD.4t

二、多选题

9.已知曲线C：机x2+4=l（其中加，”为参数），下列说法正确的是（）

A.若沉=">°,则曲线C表示圆

B.若加则曲线C表示椭圆

C.若加”<0,则曲线C表示双曲线

D.若加〃=0,加+〃>0,则曲线C表示两条直线

22

------------1------------1

10.已知方程4-/t-\表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）

A.当1<，<4时，曲线C是椭圆

B.当f>4或/<1时，曲线C是双曲线

1<Z<—

C.若曲线。是焦点在x轴上的椭圆，则2

D.若曲线。是焦点在y轴上的椭圆，贝”>4

II.对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线V=l°x的有（）

A.焦点在y轴上

B.焦点在x轴上

C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2，1）

12.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系

X。'中，把到定点片月（见°）距离之积等于。2（°>°）的点的轨迹成为双纽线c,已知

点尸（%,%）是双纽线C上一点，下列说法正确的有（）.

FIFAWORLDCUP

Qdt.£ir2022

A.双纽线C关于原点。中心对称；

a,,a

B.2，。2；

C.双纽线C上满足尸耳=尸乙的点尸有两个;

D.上0的最大值为收

三、填空题

13.抛物线苫=4/的焦点坐标为,准线方程为.

22

C——~\——=1（〃>/?>0）

14.已知椭圆。b的左焦点为R。与过原点的直线相交于4,3两点，

连接4尸，8尸,若出5=8,5,则C的离心率为.

15.已知抛物线U/=4x的焦点为尸，过点尸的直线,与抛物线C相交于M2两点，若

\BF\=3\AF\,则直线I的方程为.

16.在平面直角坐标系工⑦中，已知抛物线C：，=4x的焦点为「准线为/,过点尸且斜

率大于0的直线交抛物线C于1,8两点（其中/在8的上方），过线段的中点M且与

x轴平行的直线依次交直线04,OB,1于点P,Q,N.给出下列四个命题：

②若尸，0是线段的三等分点，则直线的斜率为2及;

③若尸，0不是线段"N的三等分点，则一定有卢

④若尸，。不是线段九加的三等分点，则一定有的口＞10°1；

其中正确的是（写出所有正确命题的编号）.

答案：

1.c

【分析】根据抛物线标准方程即可求解.

【详解】由题知，抛物线方程为f=4九

则其准线方程为'=一1.

故选：C

2.D

【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.

22

工+匕=1

【详解】椭圆259的长轴长为5x2=10,短轴长为2*3=6,焦距为2年？=8,离心率为

4

5,

22

XI--1(7x9)

椭圆25-左9-k/的长轴长为2后二I,短轴长为2皿，

______________4

焦距为2kp西=8,离心率为E,

所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.

故选：D.

3.C

【分析】根据圆锥曲线的类型，结合圆锥曲线的定义和离心率的公式分类讨论进行求解即可.

【详解】设该圆锥曲线的离心率为e,

c一闺闾一3」

当该圆锥曲线为椭圆时，阀卜阀I4+22,

c_1^1_3_3

当该圆锥曲线为双曲线时，1叫一叫|4-22.

即曲线r的离心率等于5或2.

故选：c.

4.A

Ttab=2百兀

c1

\e——=一

a2

【分析】由题意得36=2也兀，然后列出方程组

,从而求解.

c1

【详解】由题意得：口处=26花,离心率：e~a~2,

nab=26兀

_c_l\a=2

<e=l=2"G

a2=b2+c2=1

从而可得方程组：〔，解得.C【

22

土+匕=1

故椭圆C的标准方程为：43,故A项正确.

故选：A.

5.B

【分析】首先根据几何关系求得点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，再根据圆心到

直线的距离加上半径为点M到直线岳-4=°的距离的最大值，最后求解即可.

【详解】由题意，延长尸鸟,耳"交于一点"，连接。"，因为片M'P”,且尸河为

/4平的平分线，

所以|呐=|叫且M点为线段片W的中点,

假设点尸在双曲线的右支上，由双曲线的定义得IW卜「q=2"4,

所以1PM-|尸阊=|取V|=4,

口口八T\OM\=-\F,N\=2

因为0,M分别为为K,片N的中点，所以I12121,

由双曲线的对称性可得点M的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为X2+V=4,

点M到直线公》一了一4=°的距离的最大值为原点到直线的距离加上半径2,

故B项正确

故选：B.

6.C

【分析】求出大椭圆的离心率，根据两椭圆离心率相同，结合小椭圆短半轴长即可求得其长

半轴长，即得答案.

,,e一2

【详解】在大椭圆中，"20,6=10,则c=万=1°G,则椭圆离心率为‘-2.

e力

,•,两椭圆扁平程度相同，.•・离心率相等，.•.在小椭圆中，,2,

结合题意知〃=5,得（优）4，，小椭圆的长轴长为20.

故选：C

7.A

【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出户用与帜工1的和与差，变形求得积.

【详解】由题意知不妨设点尸是两曲线在第一象限内的交点，可得：

'\PF\+\PF^=l4m||尸周=赤+&

［照*=2人,解得/也|=而一"，

则附卜熙1=（而+GX砺-4）=吁s,故人项正确.

故选：A.

8.B

【分析】设户用二乙归M再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得犷+"2=（2。）一,

可得△片时是直角三角形，再根据24=%可得面积.

【详解】设户胤=。，必用不妨设交点尸在第一象限，£上分别为左右焦点，

2

贝l］P+q=2而…①，p_q=26…②，m-t=n+t=c,

可得①?+②2：/+d=2（加+"）=2侬一/+〃+/）=（2c）［

...△耳典是直角三角形,

①2_②2,pq=m-n=2t5码％—2M一'

故选：B

9.ACD

【分析】利用圆、椭圆、双曲线的标准方程一一判定即可.

221/T

m=n=x+y=—J——

【详解】对于A项，由m,是以原点为圆心，Y机为半径的圆，故A正确;

对于B项，显然加=">°时，不是椭圆，故B错误；

2222

m>0,??<0=>--------j-=1加(0,〃)0=>^------=1

对于C项，若"7〃，若nm,两种情况都表示双曲

线，故C正确；

m=0/>0ny=±j一几=0,m>Onx=±J—

对于D项，若''〃，若、加，两种情况均表示两条直线,

故D正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.

【详解】对于A,当2时，2则曲线C是圆，A错误；

对于B,当"4或"1时，(4-)(-1)<0,曲线C是双曲线，B正确；

1<Z<—

对于C,若曲线C是焦点在X轴上的椭圆，则4T>"1>0,解得2,C正确；

5,

—</<4

对于D,若曲线C是焦点在了轴上的椭圆，则-1>4-/>0,解得2,D错误.

故选：BC.

11.BD

【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.

2F(-,0)

【详解】由抛物线了=l°x的焦点坐标为2,位于X轴上，所以A不满足，B满足；

对于C中，设M(L%)是抛物线/=10x上一点，尸为焦点，

\MF\—\+—\+———

则222,所以C不满足

对于D中，由于抛物线V=l°x的焦点为2，，若由原点向该直线作垂线，垂足为（2」），

，/5、

y=k（x——）

设过该焦点的直线方程为’2,则左=-2,此时该直线存在，所以D满足.

故选：BD.

12.ABD

【分析】对于A,根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将（一x，一向替换方程中的GJ）进行

判断，对于B,根据三角形的等面积法分析判断，对于C,由题意得「照"叫L从而可得

点?在了轴上，进行可判断，对于D,由向量的性质结合余弦定理分析判断.

【详解】对于A,因为定义在平面直角坐标系中，把到定点耳距离之积等

于>°）的点的轨迹称为双纽线c,

所以+a）"+y--a）~+y2=a~,

用（-x,-y）替换方程中的（x,y）,原方程不变，所以双纽线C关于原点。中心对称，所以A正

确，

对于B,设/隼风=2

S4PFF2=>/因sin«=|a2sina'心&=曰片外||%|=。|%|

Q|%|=sina

\yQ01\=-asma<--—<y0<—

A22,...2几2,故B正确；

对于C,由工知夕在片鸟的垂直平分线（方程为工=0）上

将％=0代入J（x+〃）2+32yl（x-a）2+y2=Q2得yja2+y2^a2+y2=a2

即a~+y=a-,解得y=0,

.•・这样的点只有一个，故C错误；

2222

所以西=/+冏,McosZF{PF2=a+acos/月尸居<2a

所以।尸0的最大值为0。，故D正确；

故选：ABD.

1

（0.0625,0）X=------

13.I，。716

【分析】把抛物线方程化成标准方程形式，结合焦点坐标和准线方程进行求解即可.

【详解】48,

因此该抛物线的焦点坐标为116'J,准线方程为“一一记,

京，°x=-------

故（16J.16

5

14.7

【分析】设椭圆的右焦点为尸'，由椭圆的对称性可得四边形NES尸为平行四边形，利用余

弦定理求出M司，再根据椭圆的定义分别求出.，c,结合椭圆的离心率公式即可得解.

【详解】设椭圆的右焦点为尸'，连接/PIP,

由椭圆的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，

在△48户中，

由余弦定理得恒歼=+忸歼一2|45|忸可cosNABF=100+64-128=36

所以朋2+阿「=|/时，所以/Q8F,

所以四边形/五8「为矩形，

所以2c=1"'卜网=1。,则c=5,

2a=\AF\+\AF'\=\AF\+\BF\=X^所以”7,

c_5

所以c的离心率为。一亍.

5

故答案为.5

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、c的值，根据离心率的定义求解离心率

e的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

15.P=±6（XT）

【分析】联立直线与抛物线方程得到X|+X2，±X2,再利用抛物线的定义与条件求得4%,进

而求得仁从而得解.

【详解】设凹），5。2，%）（再，々>0）,抛物线C：/=4x的焦点为尸（1,0）,

设直线/的方程设为MxT）,则左/0,

联立，可得--（2〃+4）X+%2=O,易得A>O,

2P+4,

X]+%2=5，项％2=1

则在，

由抛物线的定义，可得18尸/尸|=%+1,

[xtx2=l

由网=3|/，得卜+1=3（%+1）,解得.工2=3

2左2+4、110

---z--=X]+X,=3H--=--[―

所以上33,解得人士6,

故直线/的方程为V=±G（XT）.

故答案为.N=±G（XT）

16.①②

【分析】设直线42的方程为了=无（》一1）,联立直线与抛物线方程，利用三点共线即可判断

DC1/2PQMN

①，若P，°是线段M，N的三等分点，则\I\=-3\1\I,利用韦达定理和弦长公式即可求判断

②，运用求根公式求得。点的坐标，结合的表达式，可判断③，由图像可以判

断④.

【详解】由抛物线C：V=4x可知，焦点坐标为户(1,0),

\y=k{x-V)

设直线的方程为y=MxT),才＞0,设“(占,”),3(无2，%),联立］「=4x得,

.41x,+x.,1、2

左中一2祈+4)工+/=0,则匹+七=2+记,七马［则知=^,加9=左屈-1)=工，

,_2互=&x=2±=%

所以直线凹V的方程为,"一不，因为。，尸，力三点共线，网M,P必例2k,同理

丫*丫_必+%_必+%_3_2丫*丫_2_

所以乐-丁-万下，%+XN卞i+q即时=阿，故①正

确；