【导学案及答案】第二课时 仰角与俯角问题导学案

1．5三角函数的应用第2课时仰角与俯角问题eq\a\vs4\al(教学目标)1．了解仰角、俯角的概念，并弄清它们的意义．2．将实际问题转化成数学问题，并由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．eq\a\vs4\al(教学重点)将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念．eq\a\vs4\al(教学难点)实际情景和平面图形之间的转化．eq\a\vs4\al(教学过程)一、创设情景明确目标(1)让学生熟练写出直角三角形中的边与角之间的关系：(①三边之间，②角之间，③锐角三角函数)(2)仰角与俯角①如图：②定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．二、自主学习指向目标阅读教材第19页中想一想的内容，完成《名师学案》中“课前预习”部分．三、合作探究达成目标eq\a\vs4\al(探究点)仰角、俯角的实际问题活动：出示幻灯动画，动画内容如下：小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)．(1)你能完成这个任务吗？(2)请与同伴交流你是怎么想的？(3)准备怎么去做？展示点评：实物图可以建立成两个直角三角形模型，已知在Rt△ACD中，AC＝CD·tan30°，同理BC＝CD·tan60°，于是AC－BC＝AB，可以得到关于CD与已知量的关系，即可求出CD的长．解答如下：解：如图，根据题意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，AB＝50m.设CD＝xm，则∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，∵tan∠ADC＝eq\f(AC,x)，tan∠BDC＝eq\f(BC,x)，∴AC＝xtan60°，BC＝xtan30°，∴xtan60°－xtan30°＝50.∴x＝eq\f(50,tan60°－tan30°)＝eq\f(50,\r(3)－\f(\r(3),3))＝25eq\r(3)≈43(m).所以，该塔约有43m高．反思小结：仰角、俯角的问题上的类型题，首先要据题意建立直角三角形模型，充分利用三角函数来解决此类实际问题．针对训练：《名师学案》中的“当堂练习”部分．四、总结梳理内化目标本节课学习了解决实际问题的重要方法：实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．并且了解了仰角，俯角的概念．五、达标测试一、选择题1．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC的顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB＝12米，则旗杆的高度为()A．6eq\r(3)米B．6米C．12eq\r(3)米D．12米2．如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，则船与观测者之间的水平距离为()A．50eq\r(3)mB．100mC．(100＋eq\r(3))mD．100eq\r(3)m3．某校数学兴趣小组用测量仪器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图35－K－3)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为()(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米4．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对“超然楼”的高度进行了测量，如图35－K－4，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°.若学生的身高忽略不计，eq\r(3)≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD约为()A．47mB．51mC．53mD．54m5．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，eq\r(2)≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米二、填空题6．如图，在高出海平面120m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为45°，那么船与观测者之间的水平距离为________m.7．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别是30°，45°.如果此时热气球C处的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，那么A，B两点的距离是________m．(结果保留根号)8．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为________m．(结果保留根号)9．某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图35－K－9，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为________m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1.48，结果保留整数)三、解答题10．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(2)≈1.41)11．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于某山顶的雕像高度．如图35－K－11，已知坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5m，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620m到达点E，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度.第2课时仰角与俯角问题达标测试答案1．C2．D3．C4．[解析]B根据题意，得∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC－∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A，∴BD＝AB＝60m，∴CD＝BD·sin60°＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3)≈51(m)．故选B.5．[解析]C设BB′交DC于点C′，则BC′＝eq\f(DC′,tan45°)，B′C′＝eq\f(DC′,tan67.5°).∵BB′＝BC′－B′C′，∴eq\f(DC′,tan45°)－eq\f(DC′,tan67.5°)＝20，解得DC′≈34.14米，DC≈34.14＋1.6≈35.7(米)．6．1207．[答案]100(eq\r(3)＋1)[解析]由题意，知∠A＝30°，∠B＝45°.AD＝eq\f(CD,tan30°)＝100eq\r(3)m，BD＝CD＝100m，故AB＝AD＋BD＝100(eq\r(3)＋1)m.8．[答案](5＋5eq\r(3))[解析]设过点C的水平线与AB交于点E，则△ACE和△BCE都是直角三角形．∵∠ACE＝45°，∠BCE＝30°，∴AE＝CE，CE＝eq\r(3)BE.易知四边形BECD为矩形，∴BE＝CD＝5m，AE＝CE＝5eq\r(3)m，∴AB＝AE＋BE＝(5＋5eq\r(3))m.9．[答案]191[解析]根据题意，得∠CAD＝45°，∠CBD＝56°，AB＝62m．在Rt△ACD中，易得AD＝CD.在Rt△BCD中，可得BD＝eq\f(CD,tan56°)，即可得AB＝AD－BD＝CD－eq\f(CD,tan56°)＝62，继而求得答案．10．解：在Rt△ABC中，∵cosα＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)．在Rt△BDF中，∵sinβ＝eq\f(DF,BD)，∴DF＝BD·sinβ＝600×eq\f(\r(2),2)＝300eq\r(2)≈300×1.41＝423(m)．又∵EF＝BC＝156m，∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．11．解：如图，过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥CD于点G.在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，∴EG＝DE·sinD＝1620×eq\f(1,2)＝810.又∵BC＝857.5，CF＝EG，