甘肃省庆阳市2024年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

甘肃省庆阳市2024年高三第五次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知平面向量a,6,c,满足|=21a+6|=l,c=〃万且彳+2〃=1,若对每一个确定的向量记|c|的最

小值为机，则当。变化时，机的最大值为()

111

A.一B.-C.-D.1

432

22

2.设椭圆E：1+2=1(。〉人〉0)的右顶点为4,右焦点为尸，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线5尸交

直线AC于M,且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是()

3.设y=/(x)是定义域为R的偶函数，且在［0,+8)单调递增，«=log020.3^^log20.3,贝！］()

A.f(a+b)>于(ab)>/(0)B.f(a+b)>/(0)>于(ab)

C.f(ab)>于(a+b)>f⑼D.于(ab)》于⑼〉于(a+b)

x+y<2

4.已知变量X,y满足不等式组(x-yWl,则2尤—y的最小值为()

x>0

A.-4B.-2C.0D.4

5.已知AABC中，角A、3所对的边分别是。，b,则“a>b”是“A>5”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件

6.已知函数/(x)=lnx,g(x)=(2m+3)x+n,若对任意的xe(0,”)总有/(x)Wg(x)恒成立，记(2/篦+3)〃

的最小值为/(加,〃)，则/(加,")最大值为()

111

A.1B.-仁7D-7T

7.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={2,4},8={3,4},贝!］（松）（*）=（）

A.{3,5,6}B.{1,5,6}C.[2,3,4}D.{1,2,3,5,6)

8.已知椭圆C的中心为原点。，/(-26,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足10Pl=|。尸|且|。/|=4,则椭圆

C的方程为()

.x2y2„x2y2„x2y2_%2y2_

A•-----1-----1B•------1-----1C•1-1D•-----1-1

255361630104525

9.已知数列{%}的前〃项和为S“，且(S“+1)(S"+2+1)=(S〃M+1)2(〃CN*),6=1,g=2,贝！JS“=()

A.二----B.2C.2n-1D.2+1

x(x+2),-2<x<0

10.已知函数/(%)满足：当工«—2,2)时，/(%)=且对任意xeR,都有/(x+4)=/(x),

log2x,0<x<2

则“2019)=()

A.0B.1C.-1D.log23

2

11.已知复数Z=；—,其中i为虚数单位，则目=()

1+11

A.非B.73C.2D.72

12.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、

远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也

不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句

都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是()

A.甲B.乙C.丙D.T

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，椭圆「:=1(。〉6〉0)的离心率为e,尸是「的右焦点，点尸是「上第一角限内任意一点,

/投

UUL1UUUJLUUUUULU

C>2=2C>P(2>0),FQOP=0,若4<e,贝！|e的取值范围是

14.正四面体A-6CD的各个点在平面"同侧，各点到平面"的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为

2x-y>0

15.已知不等式组x-2yWO所表示的平面区域为Q,则区域Q的外接圆的面积为.

x<2

16.命题“对任意x>l,f>i”的否定是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=cos。,

17.（12分）在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为..为参数），以坐标原点为极点，x轴的

y=3sin（z

正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕sin。+夕cos8=6.

（1）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

7T

（2）若射线优的极坐标方程为6=§（夕20）.设机与c相交于点加与/相交于点N,求IMNI.

18.（12分）已知函数/（力=2凶+卜—4|,设〃尤）的最小值为制

（1）求机的值；

12

（2）是否存在实数a,b9使得〃+26=2,-+-=m2并说明理由.

ab

19.（12分）已知等差数列｛4｝满足q=1,公差d>0,等比数列也｝满足伪=卬，4=g，&=%.

（1）求数列｛4｝，｛%｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝满足广+T~+~r+'"+T~^4+1，求｛c„｝的前〃项和S”.

20.（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆

管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Lem的清洁棒在弯头内恰好处于A5位置（图中给出的数据是

圆管内壁直径大小，.

（1）请用角。表示清洁棒的长L；

（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.

JT\

21.(12分)如图，在正四棱锥尸—ABC。中，AB=2,NAPC=—,〃为QB上的四等分点，即BP.

34

(1)证明：平面AMC_L平面尸5C；

(2)求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值.

22.(10分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方

能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们

出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层

抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联

表：

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

(1)能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？

(2)用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

n(ad-be)"

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令。7>=4,。3=人0。=°.£为03中点.由a+b=1即可求得p点的轨迹方程.将

c=Aa+jub变形，结合X+2〃=1及平面向量基本定理可知P,C,E三点共线.由圆切线的性质可知|c|的最小值m即

为。到直线的距离最小值，且当PE与圆M相切时，机有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得

直线方程，进而求得原点到直线的距离,即为根的最大值.

【详解】

根据题意,|切=2,设OP=a=(x,y),OB=b=(2,0),OC=c,E(l,0)

则OE=2

2

由卜+4=1代入可得J(x+2『+y2=1

即P点的轨迹方程为(％+2)2+/=1

(讨

又因为。=2。+〃3,变形可得。=几。+2〃-，即。。=%。。+2〃。6,且2+2〃=1

所以由平面向量基本定理可知RC石三点共线,如下图所示：

所以IcI的最小值m即为。到直线PE的距离最小值

根据圆的切线性质可知，当PE与圆M相切时,小有最大值

设切线QE的方程为丁=左(％—1),化简可得依-y-k=0

|-2女一用

由切线性质及点〃到直线距离公式可得=1,化简可得8左2=1

\lk2+l

即Y

所以切线方程为也x-y-YZ=O或走x+y-受=0

4-44-4

_V2

41

所以当。变化时，。到直线PE的最大值为加=I,、2=鼻

即机的最大值为g

故选:B

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用，圆的轨迹方程问题，圆的切线性质及点到直线距离公式的

应用，综合性强，属于难题.

2、C

【解析】

\OF\1c1

连接OM,为AABC的中位线，从而△OKI/AAFB,且上=彳，进而——=-,由此能求出椭圆的离心

\FA\2a-c2

率.

【详解】

如图，连接

椭圆E：l（a〉6〉0）的右顶点为A,右焦点为尸,

a2b2

B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设5在第二象限,

直线3F交直线AC于M,且“为AC的中点

为AABC的中位线,

\OF\1

•••AOFMAAFB,且1=大

附2

1

——，

a-c2

cI

解得椭圆£的离心率e=一二—

a3

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

3、C

【解析】

根据偶函数的性质，比较|。+4，|必|即可.

【详解】

lgO-31lg0.3

解：\a+b\=|log020.3+log20.3|=

lg0.2lg2

lg0.3xlg|lg0.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

附=|log°.20.3xlog20.3|=嬴X餐

_-lg0.3x1g0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

_-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg^

Ig5xlg2

显然坨"!＜坨个，所以|。+可＜|明

y=/(x)是定义域为R的偶函数，且在［0,+8)单调递增,

所以/(")〉/(a+b)>/(0)

故选：C

【点睛】

本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.

4、B

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.

【详解】

x+y<2

解：由变量X,y满足不等式组卜-,画出相应图形如下:

x>0

可知点A(u),3(0,2),

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.

5、D

【解析】

由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】

AABC中，角A、3所对的边分别是。、b,由大边对大角定理知“a>6"n“A>5”，

uA>a>b".

因此，“a>6”是“A>5”的充分必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题.

6、C

【解析】

对任意的xe(O,+8)总有/(x)Wg(x)恒成立，因为lnx<(2m+3)x+〃，对xW(0,~HX>)恒成立，可得2m+3>0,

令y=lnx—(2相+3)光—“，可得了=工―(2加+3),结合已知，即可求得答案.

X

【详解】

对任意的xw(。,-HX))总有/(x)<g(x)恒成立

/.lnx<(2m+3)x+n,对X£(0,+8)恒成立，

1.2m+3>0

令y=In%一(2m+3)x-n,

可得y=l-(2m+3)

X

i

令y=o,得％=

2m+3

1

当九,y<o

2m+3

1

当0<九</>0

2m+3

11

%=------，%ax=ltn-------l-n<o2m+3>e^~n

2m+3max2m+3

n

故(2加+3)〃2

令多=0,得〃=1

，当〃>1时，f'(m,n)<0

当”1,f\m,n)>0

，当〃=1时，=~

e

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考

查了分析能力和计算能力，属于难题.

7、B

【解析】

按补集、交集定义，即可求解.

【详解】

”={1,3,5,6},gB={l,2,5,6）,

所以（心）（*）={1,5,6）.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

8、B

【解析】

由题意可得c=26,设右焦点为F。由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFFr=ZFPO,ZOFrP=ZOPFr,

所以/PFF4NOF，P=NFPO+NOPF，，

由NPFF，+NOFT+NFPO+NOPF，=180。知，

ZFPO+ZOPFf=90o,即PF±PFf.

在RtAPFF，中，由勾股定理，得|PF，|=J"?_PF2=J（4⑸—4?=8,

由椭圆定义，得|PF|+|PF[=2a=4+8=12,从而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-C2=36-（2j^）'=16,

22

所以椭圆的方程为乙+2-=1.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

9、C

【解析】

根据已知条件判断出数列{S,,+1}是等比数列，求得其通项公式，由此求得s“.

【详解】

由于（S〃+1）（S〃+2+1）=（S〃+I+1）25WN*）,所以数列{s“+l}是等比数列，其首项为S]+1=%+1=2,第二项为

4

5+1=4+。2+1=4,所以公比为]=2.所以S.+1=2",所以S，=2"—l.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

10、C

【解析】

由题意可知7(2019)=/(-1),代入函数表达式即可得解.

【详解】

由〃x+4)=/(x)可知函数/⑴是周期为4的函数，

/(2019)=7(-1+4x505)=/(-l)=-lx(-l+2)=-l.

故选：C.

【点睛】

本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.

11、D

【解析】

把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.

【详解】

则|z|=V1+1=V2.

故选：D.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

12、D

【解析】

根据演绎推理进行判断.

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.

故选：D.

【点睛】

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由于点P在椭圆上运动时，O尸与％轴的正方向的夹角在变，所以先设//OQ=，，又由尸Q-OP=0,可知

2ccossin

2（CCOS6＞,ccossin,从而可得P—；,而点尸在椭圆上，所以将点尸的坐标代入椭圆方程

IX4,

中化简可得结果.

【详解】

设|OF|=c,P（九,y）,Z.FOQ=0,贝!|Q（ccos2accosOsinO）,

由法（彳＞0）,得尸［十,经竽竺］,代入椭圆方程，

得c2c啜+C%os?sin2=42＜且，化简得晨〉cos2°”＜。＜9。。）恒成立,

a-b-a2a2l+cos?。'）

h21（J2

由此得勺2上，即a222c2，故ee0,-^—.

a2I2_

故答案为：o,——

I2J

【点睛】

此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题.

14、M

【解析】

不妨设点A,D,C,8到面的距离分别为1,2,3,4,平面〃向下平移两个单位，与正四面体相交，过点。，与A比

AC分别相交于点E,F,根据题意F为中点，E为的三等分点（靠近点A）,设棱长为a,求得

V=」x3/x逅。=也/,再用余弦定理求得：EF,DEDF,cosZEDF,从而求得

D-AEF324372

2

SmF=-xDExDFxsinZEDF=-x—ax—ax^==—a,再根据顶点A到面ED尸的距离为1,得到

2232Ml2

V=!XSEDFX1=LX1*1=好/，然后利用等体积法VD_AEF=VA_DEF求解，

A-EDF3'31236

【详解】

不妨设点A,D,C,3到面的距离分别为1,2,3,4,

平面"向下平移两个单位，与正四面体相交，过点。，与AB,AC分别相交于点E,F,如图所示:

由题意得：尸为中点，E为45的三等分点（靠近点A）,

设棱长为a，S—x—x—xsin60,

22324

所以%.AEF=5XGx-

D-AEF324372

11117117

由余弦定理得：EF?=—a?—a?—2x—ax—cixcos60=—/,DE?=——2XQX—o,xcos60=—a?,

492336939

DF?=-a2+a2-2xax-axcos60=-a2,cosZEDF=+DF£F=-1=

4242DEDFV21

所以sin/ED/=e，所以S⑺尸=-xDExDFxsinZ£DF=-x—«x—t?x^=—«2,

V21223272112

又顶点A到面EDF的距离为1,

2

所以匕EDF=工XSedfx1=：—xa?x1=-^-a

A—tLLfrctLLfrrrcc/

331236

因为^D-AEF=%-DEF;

所吟寻,

解得a=

故答案为：回

【点睛】

本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于

难题，

25

15、—71

4

【解析】

先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.

【详解】

由题意作出区域Q,如图中阴影部分所示，

3

j,又MN=3,设_。闻乂的外接圆的半径为R,则由正弦定理

2

得“N=2R'即R=2’故所求外接圆的面积为乃

【点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何

意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，

最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

16、存在%>1,使得a;。？<1

【解析】

试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意尤>1,/>1”的否定是“存在%>1,使得

考点：命题的否定.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)曲线C的普通方程为好+—=1；直线/的直角坐标方程为x+y-6=0(2)|M2V|=5A/3-6

【解析】

尤=OCOS0

(1)利用消去参数a,将曲线C的参数方程化成普通方程，利用互化公式.八，

y=/7sin〃

将直线I的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)根据(1)求出曲线C的极坐标方程，分别联立射线m与曲线C以及射线m与直线I的极坐标方程，求出q和22，

即可求出|AW|.

【详解】

x=cosa,,v2

解：(1)因为0.为参数)，所以消去参数夕，得/+乙=1,

y=3siniz9

2

所以曲线C的普通方程为必+乙=1.

9

x=pcos仇

因为,八所以直线/的直角坐标方程为1+y-6=。.

y=Psin/

(2)曲线C的极坐标方程为22cos26+心产=1.

设的极径分别为必和夕2，

-2,2zj_

将。=§(t20)代入夕2cos2)+夕S；°=1,解得月=6，

将6=三(夕20)代入夕sin。"夕cos6=6,解得Q2=66一6.

故|M7V|=|夕1—词=56—6.

【点睛】

x=pcosO

本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式,八将极坐标方程化为直角坐标方程，还考

y=夕sin〃

查极径的运用和两点间距离，属于中档题.

18、(1)4(2)不存在；详见解析

【解析】

(1)将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得利

(2)由(a+2Z?),利用基本不等式即可求出.

【详解】

4-3x,x<0

(1)/(x)=2|x|+|x-4|=<x+4,0<x<4

3x-4,x>4

.\m=/(0)=4；

(2)(。+

若〃，Z?同号，8=5+2（—■F—j>9,不成立；

\abJ

或a,b异号,8=5+2|-+y|<5,不成立；

\ab）

12

故不存在实数a,b,使得〃+26=2,-+-=m.

ab

【点睛】

本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.

19、⑴4=2〃—1,a=3"\（2）S“=3'

【解析】

⑴由4=1,公差d〉0,有1,1+d,l+4d成等比数列，所以（l+d）2=lx（l+4d）,解得d=2.进而求出数列｛4｝,

｛2｝的通项公式;

（）当〃时，由。所以当九.时,幺+W..+土=。幺+上+&+...+

2=1a=2,9=3,2‘〃+1，Sd_=an，

伪优久K伪b24b-i

可得C“=2-3”T,进而求出前〃项和S“.

【详解】

解：（1）由题意知，4=1,公差d>0,有1,1+d,l+4d成等比数歹U,

所以（l+d）2=lx（l+4d）,解得d=2.

所以数列｛4｝的通项公式4=2〃-1.

数列也｝的公比4=3,其通项公式勾=3"，

(2)当〃=1时，由/=%，所以G=3.

+...+S±a

当〃>2时，田由4—瓦-H-b-H---1—b—=a1=n

3n伪瓦4b“_i

a

两式相减得-T=4+1-n,

b“

所以C.=2-3"T.

3,n=1

所以｛%｝的前〃项和S.=3+2x3+2x32+2x3^+…+2X3"T

3x(l-3,i-1)

=3+23",n>2.

1-3

又〃=1时，，=q=3l也符合上式，故S“=3".

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思

想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题.

278

20、(1)---------1------------;(2)13A/13CZ?7-

sin0cos6

【解析】

97Q

(1)过A作PC的垂线，垂足为C,易得AP='BP=4,进一步可得L；

sin6cos6

278

(2)利用导数求46)=----------F，公0微得最大值即可.

sin。cos6

【详解】

(1)如图，过A作PC的垂线,垂足为C,在直角△APC中，ZAPC=0,

一27Q

AC=Tlcm，所以AP=——cm,同理BP=----cm,

sin。cos。

£*+80卷.

sin0cos0

B

⑵设工⑹=+焉

27cos38sin8sin3^-27cos30

贝!1工（。）=—------1----。=------------

sin20cos20sin2<9cos20

，973

令工（8）=0,贝!Itai?8=—,即tan夕=一.

82

设为€（0总，且tan4=|,贝！）

3

当同0,3时，tane</（e）<o,所以单调递减;

当6e[eo，^）时，tan9〉m，£（e）〉0,所以〃，）单调递增,

所以当。=4时，〃，）取得极小值,

所以乙2）疝

33

2

因为tan4=—,所以sinq=—cosOQ,又sir?综+cos4=1,

所以cos2q=[,