2023-2024学年高二数学2019选择性试题第1章直线与方程综合能力测试

第1章直线与方程综合能力测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于直线的斜率为，倾斜角范围是所以倾斜角为.故选：D2．不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线即，根据的任意性可得，解得，不论取什么实数时，直线都经过一个定点．故选：B3．已知直线过，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线斜率为，直线斜率为，因为直线过，，所以斜率为，因为，所以，所以，即直线的斜率为.故选：B.4．如图，若直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解析设直线的倾斜角分别为，则由图知，所以，即．故选：A5．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】如图所示：依题意，，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A6．已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（

）A．三条直线的倾斜角之和为B．三条直线在y轴上的截距满足C．三条直线的倾斜角满足D．三条直线在x轴上的截距之和为．【答案】C【解析】设三条直线的倾斜角，且则，所以所以，且为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于，故A不正确；对于直线，令，得纵截距，同理，所以，故B不正确；由于，且为锐角，所以，由，故，故C正确；直线在x轴上的截距分别为，截距之和为，故D不正确.故选：C.7．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】联立，得，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，直线的斜率，所以直线的方程为，整理为：.故选：A8．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，故直线的方程为，又由，，，则的重心为，设，其中，点关于直线的对称点，则有，解得，即，易得关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，故直线的方程为，由于直线过的重心，代入化简可得，解得：或舍，即，故，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知直线，其中，下列说法正确的是（

）.A．若直线与直线平行，则B．当时，直线与直线垂直C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等D．直线过定点【答案】BD【解析】对于A，直线与直线平行，则，即，解得或，A错误；对于B，当时，直线为，直线与斜率之积为，此时直线与直线垂直，B正确；对于C，当时，为，直线在x轴上截距为，在y轴上截距为1，二者不相等，C错误；对于D，即，由于，令，则，即直线过定点，D正确，故选：BD10．已知点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】由斜率公式知，，，，且四点不共线，则，A选项正确；，，B选项正确；，，C选项正确；，，，，D选项正确．故选：ABCD．11．下列结论正确的是（

）A．若直线与直线平行，则它们的距离为B．点关于直线的对称点的坐标为C．原点到直线的距离的最大值为D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为【答案】BC【解析】对于A，直线与直线平行，显然，所以，且，解得，故两条平行直线即为直线与直线，则它们之间的距离为，所以A不正确；对于B，假设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，即点关于直线的对称点的坐标为，故B正确；对于C，由，得，由，得，故直线过定点，所以原点到直线的距离的最大值为，故C正确；对于D，令，得，令，得，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D不正确.故选：BC．12．对于两点，，定义一种“距离”：，则（

）A．若点C是线段AB的中点，则B．在中，若，则C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【解析】A中，若点C是线段AB的中点，则点C坐标为，则，故A正确；B中，因为中，若，取，，则，，，故，，显然，故B不正确；对于C，设，则，因为，同理，所以，故C正确;D中，因为ABCD为正方形，设正方形边长为a，可取，则，，故D正确．故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线的斜截式方程为.【答案】【解析】由方程组，解得，即直线与的交点为，因为所求直线垂直于直线，所以其斜率为，则直线方程为，所以直线的斜截式方程为.故答案为：14．已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为．【答案】【解析】设直线l，的倾斜角分别为，，则，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线，所以，所以直线的斜率为．故答案为：.15．若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为．【答案】【解析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，设直线，则，解得，所以，根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为．故答案为：．16．设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．当直线l与x轴不垂直时，（其中叫做直线l的斜率）也是直线l的一个方向向量．如果直线l经过点，且它的一个方向向量是，则直线l上任意一点的坐标x，y满足的关系式为．【答案】【解析】由题意知，，因为方向向量是，所以即，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点；(2)经过点两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为；(4)经过点，且平行于x轴．(5)求过点，斜率是3的直线方程.(6)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程.【解析】（1）由点斜式得直线方程为，即.（2）由两点式得直线方程为，即.（3）由截距式得直线方程为，即.（4）因为平行于x轴，所以直线的斜率为0，又因为直线过点，所以直线方程为：（5）由点斜式得直线方程为，即.（6）由题意可知该直线斜率存在，又因为直线在y轴上截距为2，所以可设直线方程为，又因为该直线过点，则，解得，所以直线方程为.18．（12分）已知三个顶点是.(1)求边中线所在直线方程；(2)求边上的高线所在方程；【解析】（1）因为线段的中点，即，又，因此直线的横纵截距均为2，其方程为：，即，所以边中线所在直线方程为；（2）因为直线的斜率：，所以边上的高线的斜率：，又，所以边上的高线所在方程为：，即.19．（12分）已知直线（）交轴正半轴于，交轴正半轴于．(1)为坐标原点，求的面积最小时直线的方程；(2)设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程．【解析】（1）作图可知．因为直线的方程为，令，，所以，令，，所以，所以，所以．因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以面积最小时，直线的方程为．（2）因为直线的方程可化为，所以直线经过的定点，所以所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以的值最小时，直线的方程为．20．（12分）（1）求函数的最小值．（2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．【解析】（1）由，表示x轴上点到两点的距离之和，又关于x轴对称点为，显然，如上图，，仅当与原点重合时等号成立，所以函数最小值为.（2）若直线与和分别交于，则是的中点，故，即，可得，所以，则，故直线的方程为，即.21．（12分）在中，已知点(1)在边上是否存在一点，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由(2)求的面积.【解析】（1）,的斜率为：,,所以的斜率为：,所以的方程为：,的方程,,解,,,（2）的面积：22．（12分）如图，是一张三角形纸片，，设直线与边分别交于点，将沿直线折叠后，点落在边上的点处．

(1)若，求点到的距离；(2)设，求点到距离的最大值．【解析】（1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，显然点，直线的方程为，即，直线的斜率，而