（复习课）2024年高中数学高二暑假讲义01 平面向量（原卷版）

第第页复习课高中数学高二暑假讲义01平面向量【例题讲解】例1.如图所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up14(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up14(→))，则实数m的值为．例2.(1)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq\o(AB,\s\up14(→))在eq\o(CD,\s\up14(→))方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，eq\o(AM,\s\up14(→))＝2eq\o(MD,\s\up14(→)).若eq\o(AC,\s\up14(→))·eq\o(BM,\s\up14(→))＝－3，则eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＝.向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积．【例3】(1)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝.(2)设a＝(2,0)，b＝(1，eq\r(,3))．①若(λa－b)⊥b，求λ的值；②若m＝λa＋μb，且|m|＝2eq\r(,3)，〈m，b〉＝eq\f(π,6)，求λ，μ的值．向量的坐标运算：若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；③λa＝(λa1，λa2)；④a·b＝a1b1＋a2b2；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)(b1≠0，b2≠0)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；⑦|a|＝eq\r(,a·a)＝eq\r(,a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))；⑧若θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(,a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))\r(,b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).【例4】(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1(2)设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4,1)．①若eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))，求D点的坐标．②设向量a＝eq\o(AB,\s\up14(→))，b＝eq\o(BC,\s\up14(→))，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．1．证明共线问题常用的方法(1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa.(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.(3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|.(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.2．证明平面向量垂直问题的常用方法a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．【例5】已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，e1与e2的夹角为eq\f(π,3).m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2.(1)求证：(2e1－e2)⊥e2；(2)若|m|＝|n|，求λ的值；(3)若m⊥n，求λ的值；(4)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求λ的值．1．解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a|＝eq\r(x2＋y2)(其中a＝(x，y))．(2)应用三角形或平行四边形法则．(3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2.2．求向量的夹角设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).课堂跟踪训练1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．02.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则eq\o(PD,\s\up14(→))·eq\o(PC,\s\up14(→))的最大值为()A.eq\f(\r(,6),2)B.eq\f(3,2)C．2D.eq\r(,2)3.已知A(－1，－1)，B(sinθ，cosθ)，C(2,5)三点共线，且θ≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)．求tanθ.4．已知c＝ma＋nb，c＝(－2eq\r(3)，2)，a⊥c，b与c的夹角为eq\f(2π,3)，b·c＝－4，|a|＝2eq\r(2)，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.平面向量检测卷一、单选题1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝（

）A．2 B．6 C．4 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．-2 C．6 D．-64．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．若平面四边形ABCD满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形二、多选题6．下列向量中与SKIPIF1<0共线的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0C．非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0D．点SKIPIF1<0，与向量SKIPIF1<0同方向的单位向量为SKIPIF1<08．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的正弦值为SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0三、填空题9．点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为______．10．已知SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0____________．11．已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是___________．12．如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的动点，则SKIPIF1<0________，则SKIPIF1<0的最大值为________．四、解答题13．已知点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点.（1）求点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐标；（2）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上一点，且满足SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的坐标.14.已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,2eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))(λ2≠λ)．(1)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))及eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))上的投影；(2)证明：A，B，C三点共线，并在eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))时，求λ的值；(3)求|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值．15．已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对应关