2.3.1待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式（2015•夏津县校级自主招生）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y=a（x﹣1）2+3，然后把（0，0）代入可求出a的值．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，设二次函数y=a（x﹣1）2+3，把（0，0）代入得0=a+3解得a=﹣3．故二次函数的解析式为y=﹣3（x﹣1）2+3．故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．（2015秋•绍兴校级期中）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2．故选D．【点评】本题考查抛物线的形状与a的关系，比较简单．（2015秋•青海校级期中）已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4 B．8 C．﹣4 D．16【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．【解答】解：根据题意，得=0，解得c=16．故选D．【点评】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．（2015秋•海安县校级期中）一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】直接利用顶点式写出抛物线解析式．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2+3．故选B．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2015秋•会昌县期中）二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4 B．y=x2+2x+4 C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+3【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据二次函数的性质，观察函数图象，利用开口方向可淘汰B，利用对称性可淘汰C，利用抛物线与y轴的交点坐标可淘汰D，从而得到A为正确选项．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以B选项错误；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＞0，所以C选项错误；∵抛物线与y轴的交点为（0，4），∴c=4，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2015秋•东莞校级期中）若抛物线经过（0，1）、（﹣1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=﹣x2+1 D．y=﹣x2﹣1【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x﹣1），然后把（0，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣1），把（0，1）代入得a×1×（﹣1）=1，解的a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣1），即y=﹣x2+1．故选C．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2015秋•德州校级期中）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y=x2﹣2x+2 B．y=x2﹣2x﹣2 C．y=﹣x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x+1【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，得出顶点坐标，比较得出答案即可．【解答】解：A、y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，顶点坐标为（1，1），不合题意；B、y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，顶点坐标为（1，﹣3），符合题意；C、y=﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），不合题意；D、y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，顶点坐标为（1，0），不合题意．故选：B．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，利用配方法化为顶点式，求得顶点坐标是解决问题的关键．（2015秋•龙岩校级月考）一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．【解答】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），∴设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+4，把（0，﹣4）代入得a=﹣2，∴这个二次函数的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+4．故选B．【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y=a（x﹣h）2+k或y=a（x+m）2+k（2015秋•赵县校级月考）芳芳在平面直角坐标系画了一个二次函数的图象，并将该图象的特点写在如图所示的卡片上，则该二次函数的解析式为（）①开口向下；②顶点是原点；③过点（6，﹣6）．A．y=﹣ B．y= C．y=﹣6x2 D．y=6x2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=ax2，然后把（6，﹣6）代入求出a即可．【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2，把（6，﹣6）代入得36a=﹣6，解得a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣x2．故选A．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2015秋•西华县校级月考）已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（）A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x﹣1 C．y=3x2﹣6x+1 D．y=﹣3x2﹣6x+1【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，把（1，10）代入解析式得10=4a﹣2，解得a=3，则抛物线的解析式为：y=3（x+1）2﹣2=3x2+6x+1．故选A．【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．（2014•淄博）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．【解答】解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选：A．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．（2014•长沙县校级模拟）如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．【解答】解：根据题意=±3，解得c=8或14．故选C．【点评】本题考查了求顶点的纵坐标公式，比较简单．（2014秋•广东校级月考）已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．【解答】解：根据题意，所以c=1．故选C．【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．（2014秋•岳池县期末）顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A．y=（x+6）2 B．y=（x﹣6）2 C．y=﹣（x+6）2 D．y=﹣（x﹣6）2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据题意，可根据二次函数解析式的“顶点式”求解；【解答】解：∵一个二次函数的图象开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同，故设该二次函数的解析为y=﹣（x﹣h）2+k，∴该函数的顶点坐标为：（h，k），又∵该二次函数的顶点为（6，0），∴h=6，k=0，∴该二次函数的解析为y=﹣（x﹣6）2．故选D．【点评】主要考查了用待定系数法去二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式和顶点公式的运用和最值与函数之间的关系．当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0）．（2014秋•招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解答】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣1，﹣5），（0，﹣4），（1，1）分别代入，得：，解得．故所求的函数的解析式为y=2x2+3x﹣4．故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．（2014秋•旬阳县期中）若y﹣4与x2成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（）A．y=x2+4 B．y=﹣x2+4 C．y=﹣x2+4 D．y=x2+4【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据正比例函数的定义可设y﹣4=kx2，然后把x=2，y=6代入可计算出k的值，则可得到y与x的函数关系式．【解答】解：根据题意得y﹣4=kx2，当x=2，y=6，则4k=6﹣4，解得k=，所以y﹣4=x2，即y与x的函数关系式为y=x2+4．故选D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了正比例函数的定义．（2014秋•乳山市期中）顶点是（﹣2，1），开口方向，形状与抛物线y=x2相同的抛物线是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=﹣（x+2）2+1【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由所求抛物线与已知抛物线开口方向，形状相同，得到a的值相等，再由顶点坐标确定出解析式即可．【解答】解：根据题意得：抛物线解析式为y=（x+2）2+1，故选A【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．（2014秋•永川区校级月考）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1 B．y=﹣（x﹣2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x﹣2）2﹣1【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．【解答】解：设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入得a=1，所以y=（x﹣2）2﹣1．故选C．【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y=a（x﹣h）2+k．（2013•重庆模拟）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+C的最大值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；函数思想．【分析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，再根据抛物线的性质即可进行判断．【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称形，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错．故选D．【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．（2013•荆门模拟）如图，已知点A（8，0），sin∠ABO=，抛物线经过点O、A，且顶点在△AOB的外接圆上，则此抛物线的解析式为（）A．y=﹣ B．y=﹣C．y=或y=﹣ D．y=﹣或y=【考点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；解直角三角形．【分析】根据圆周角定理以及勾股定理和垂径定理得出E，F点着的坐标，进而利用顶点式求出抛物线解析式即可．【解答】解：如图所示：连接AC，过圆心O′作EF⊥OA，∵∠AOC=90°，∠ABO=∠OCA，∴=，∵点A（8，0），∴AC=10，根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，∴MO′=3，∴MF=2，∴F点坐标为：（4，﹣2），设过O，A，F的抛物线解析式为：y=a（x﹣4）2﹣2，将A代入（8，0）得：0=a（8﹣4）2﹣2，解得：a=，∴此时抛物线解析式为：y=（x﹣4）2﹣2=x2﹣x，根据题意得出：AM=OM=4，AO′=5，∴MO′=3，∴ME=8，∴E点坐标为：（4，8），设过O，A，E的抛物线解析式为：y=a（x﹣4）2+8，将A代入（8，0）得：0=a（8﹣4）2+8，解得：a=﹣，∴此时抛物线解析式为：y=﹣（x﹣4）2+8=﹣x2+4x，故选：D．【点评】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，根据已知得出E，F点坐标是解题关键．（2013秋•鹿城区校级期末）一个二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣1），与y轴的交点（0，﹣4），这个二次函数的解析式是（）A．y=x2﹣2x+4 B．y=﹣x2﹣2x﹣4 C．y=﹣（x+3）2﹣1 D．y=﹣x2+6x﹣12【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到抛物线解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．故选B．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2013秋•江北区期末）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可交点式y=a（x﹣2）（x+1），再由OC=2得到C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分别代入y=a（x﹣2）（x+1）可求出对应的a的值，从而可得抛物线解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x+1），∵OC=2，∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y=a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1=2，解得a=﹣1，此时抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）（x+1），即y=﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y=a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1=﹣2，解得a=1，此时抛物线解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2．即抛物线解析式为y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．故选D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2012秋•岱岳区校级期末）过点（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，） C．（﹣1，5） D．（2，）【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】利用待定系数法求解．【解答】解：设抛物线为y=ax2+bx+c，把（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）代入得，解得，∵﹣=2，=﹣．∴顶点坐标是（2，）．故选D．【点评】会利用待定系数法求方程，熟练运用顶点公式和解三元一次方程组．（2012秋•济宁期末）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（﹣1，3），且过点（0，5），那么二次函数y=ax2+bx+c的解析式为（）A．y=﹣2x2+4x+5 B．y=2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x﹣1 D．y=2x2+4x+3【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的顶点坐标得到根据题意得，然后解方程组即可．【解答】解：根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=2x2+4x+5．故选B．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可确定其解析式．也考查了二次函数的图象与性质．（2012秋•镇赉县校级月考）函数y=ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．3【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】此题考查了待定系数法，把点代入即可求得．【解答】解：把点（a，8）代入y=ax2，得a3=8，∴a=2．故选C．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了立方根的求法，难度不大．（2011•泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2y﹣27﹣13﹣3353A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由表可知，抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x=1代入即可求得y的值．【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，∵当x=﹣4或﹣2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=﹣3，k=5，∴y=a（x+3）2+5，把（﹣2，3）代入得，a=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣2（x+3）2+5，当x=1时，y=﹣27．故选D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），是本题的关键．（2011•渠县校级模拟）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+6【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=﹣2x2相同，a=﹣2．y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），利用交点式求表达式即可．【解答】解：根据题意a=﹣2，所以设y=﹣2（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式y=﹣2（x+1）（x﹣3），即是y=﹣2x2+4x+6．故选D．【点评】本题考查了抛物线的形状系数的关系，本题用交点式比较容易解．（2011秋•济宁期中）如果抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，那么此抛物线经过（）A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，然后根据解析式求得该抛物线与y轴的交点坐标、顶点坐标，从而推知该抛物线所经过的象限．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，∴，解得，；∴该抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣4x﹣2=﹣（x+2）2﹣2，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，2），与y轴的交点是（0，﹣2），∴该抛物线经过第二、三、四象限．故选D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．对于二次函数性质的掌握，不可死记硬背，要结合图象理解和掌握二次函数的几个特征：如开口方向，顶点坐标（或位置）、对称轴、函数的增减性、最值、与轴的交点等．（2010•石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．（2010•宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A．y=（x﹣2）2+4 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+1【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．【专题】计算题；数形结合；函数思想．【分析】根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的．【解答】解：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2+4，即y=（x﹣2）2+2．故选C．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．（2010秋•招远市期末）如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（）A．y=x2+2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2+2x﹣3【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由抛物线与x轴的两交点坐标的横坐标，设出抛物线的两根形式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），然后再把抛物线与y轴的交点坐标代入所设的解析式中，确定出a的值，进而得到抛物线的解析式，化为一般式即可．【解答】解：由抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），又抛物线与y轴交于（0，﹣3），把x=0，y=﹣3代入y=a（x+1）（x﹣3）得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），即﹣3a=﹣3，解得：a=1，则抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．故选B．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求函数解析式的步骤一般为：设，代，求，答，此题的关键是设出抛物线的两根式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），抛物线与x轴交点的横坐标即为两根式中的x1与x2．同时注意最后结果应化为一般式．（2010秋•宿松县月考）某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（）A．y=x2+4 B．y=﹣10（x+）2+4 C．y=4（x﹣）2+ D．y=﹣10（x﹣）2+4【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的应用．【专题】数形结合．【分析】根据题意可得出此二次函数的顶点坐标为（，4），再由开口向下可得二次项的系数为负数，由此结合选项即可得出答案．【解答】解：根据图象知，抛物线开口向下，顶点（，4），A、是一个开口向上的函数，故本选项错误；B、函数的顶点坐标为（﹣，4），故本选项错误；C、函数的顶点坐标为（，），故本选项错误；D、符合题意．故选D．【点评】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，属于基础题，关键掌握二次函数运用二次函数图象上的点满足二次函数解析式，也要会判断一个二次函数的顶点坐标．（2008•庆阳）若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x﹣101ax21ax2+bx+c83A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】由图表可以得到：当x=﹣1时，y=ax2+bx+c=8；当x=0时，y=ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1．根据以上条件代入得到：a﹣b+c=8，c=3，a=1，就可以求出函数的解析式．【解答】解：将x=1，ax2=1代入y=ax2得a=1．将（﹣1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：，解得；∴函数解析式是：y=x2﹣4x+3．故选A．【点评】本题是一个图表信息题，根据图表得到有关信息，进而考查二次函数关系式的求法即待定系数法．（2008•济宁）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+3【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【解答】解：根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为﹣3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（﹣1，0），（0，﹣3），（3，0），所以，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3．故选B．【点评】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．（2007•哈尔滨模拟）若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．无法确定【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】将原点坐标代入二次函数y=（m+1）x2+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值，注意二次函数的二次项系数不为零．【解答】解：根据题意得m2﹣2m﹣3=0，所以m=﹣1或m=3，又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，所以m=3．故选C．【点评】此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，注意理解题意．（2006•韶关）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8故选D．【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．（2001•杭州）若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A．y=﹣x2+2x﹣5 B．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）C．y=﹣2x2﹣4x﹣5 D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】常规题型．【分析】先由顶点公式（﹣，）求出抛物线y=2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．再分别确定选项中的顶点坐标和开口方向即可求解．【解答】解：抛物线y=2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），故选项错误；B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），故选项错误；C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），故选项错误；D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），故选项正确．故选D．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式的知识，熟练掌握二次函数的顶点和开口方向的确定方法，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点公式为（﹣，）．（2001•河北）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（）A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2﹣3x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得；所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．故本题选D．【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式．一般步骤是先设y=ax2+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式．（2013•重庆模拟）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+C的最大值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；函数思想．【分析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，再根据抛物线的性质即可进行判断．【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称形，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错．故选D．【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．（2011•渠县校级模拟）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+6【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=﹣2x2相同，a=﹣2．y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），利用交点式求表达式即可．【解答】解：根据题意a=﹣2，所以设y=﹣2（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式y=﹣2（x+1）（x﹣3），即是y=﹣2x2+4x+6．故选D．【点评】本题考查了抛物线的形状系数的关系，本题用交点式比较容易解．（2009•黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．【点评】本题考查抛物线与系数的关系与及顶点横坐标的计算公式，是开放性题目．一般式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）．（2008•庆阳）若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x﹣101ax21ax2+bx+c83A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】由图表可以得到：当x=﹣1时，y=ax2+bx+c=8；当x=0时，y=ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1．根据以上条件代入得到：a﹣b+c=8，c=3，a=1，就可以求出函数的解析式．【解答】解：将x=1，ax2=1代入y=ax2得a=1．将（﹣1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：，解得；∴函数解析式是：y=x2﹣4x+3．故选A．【点评】本题是一个图表信息题，根据图表得到有关信息，进而考查二次函数关系式的求法即待定系数法．（2012•黔南州）如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为l=﹣2m2+8m+12．【考点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+CD），建立函数关系式．【解答】解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得AD=﹣m2+6m把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得﹣m2+6m=﹣x2+6x解得x1=m，x2=6﹣m∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）即l=﹣2m2+8m+12．【点评】求函数解析式的过程就是一个列代数式的过程，求线段的长度的问题一般要转化为求点的坐标的问题．（2012•鼓楼区校级模拟）表1给出了直线上部分点（x，y）的坐标值，表2给出了抛物线上部分点（x，y）的坐标值．那么直线和抛物线交点坐标为（1，0）（﹣2，3）．表1x﹣1012y210﹣1表2x﹣1012y0﹣103【考点】待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据表1，设直线解析式为y=kx+b，任取两组