2.4.1解一元二次方程-因式分解法

第1页（共23页）解一元二次方程—因式分解法1．（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．2．（2015•重庆）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．3．（2015•济宁）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（）A．13 B．15 C．18 D．13或18【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣13x+36=0得，x=9或4，即第三边长为9或4．边长为9，3，6不能构成三角形；而4，3，6能构成三角形，所以三角形的周长为3+4+6=13，故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．4．（2015•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．【解答】解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x﹣2=0，x﹣5=0，x1=2，x2=5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．5．（2015•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．6．（2015•山西）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（）A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】上述解题过程利用了转化的数学思想．【解答】解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法；零指数幂．【分析】首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，∴x2﹣x﹣1=1，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选：C．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意x+1≠0是解题关键．8．（2015•雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0解得x1=3，x2=1；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选：B．【点评】此题考查用因式分解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．9．（2015•东光县校级二模）使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣6【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的值为零的条件．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：∵=0∴x2﹣5x﹣6=0即（x﹣6）（x+1）=0∴x=6或﹣1又x+1≠0∴x=6故选A．【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．10．（2015秋•博白县期末）一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x﹣6）（x+1）=0，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．【解答】解：x2﹣5x﹣6=0（x﹣6）（x+1）=0x1=﹣1，x2=6故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．11．（2015•伊宁市校级一模）一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x=0或x=1．故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2015•新乡二模）一元二次方程x2=2x的解是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=﹣2，x2=0 D．x1=2，x2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先移项，将方程右边2x移到左边，再提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，（提取公因式x），∴x1=0，x2=2，故选D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．13．（2015•东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．0 B．2 C．0，﹣2 D．0，2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．【解答】解：原方程化为：x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．14．（2015•成都校级模拟）一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】移项得x（x﹣3）+（x﹣3）=0，分解因式得到（x﹣3）（x+1）=0，一元二次方程转化为两个一元一次方程x﹣3=0或x+1=0，然后解这两个一元一次方程即可．【解答】解：∵x（x﹣3）=3﹣x，∴x（x﹣3）+（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x﹣3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=﹣1．故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一方程得到原方程的解．15．（2015•杭州模拟）方程x﹣2=x（x﹣2）的解为（）A．x=0 B．x1=0，x2=2 C．x=2 D．x1=1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】本题应对方程进行移项，提取公因式x﹣2，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．【解答】解：原方程变形为：x﹣2﹣x（x﹣2）=0（x﹣2）（1﹣x）=0x﹣2=0或1﹣x=0x1=2，x2=1故本题选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．16．（2015•乐平市一模）已知一元二次方程x2﹣x=0，它的解是（）A．0 B．1 C．0，﹣1 D．0，1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】分解因式得到x（x﹣1）=0，推出方程x﹣1=0，x=0，求出方程的解即可．【解答】解：分解因式得：x（x﹣1）=0，∴x=0，x﹣1=0，∴x1=0，x2=1，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．17．（2015•大庆模拟）对于方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣2，下面给出的说法不正确的是（）A．与方程x2+4=4x的解相同B．两边都除以x﹣2，得x﹣1=1，可以解得x=2C．方程有两个相等的实数根D．移项分解因式（x﹣2）2=0，可以解得x1=x2=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．【专题】计算题．【分析】方程利用因式分解法求出解，即可做出判断．【解答】解：方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣2，移项得：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣2）=0，解得：x1=x2=2；A、与方程x2+4=4x的解相同，正确；B、当x﹣2≠0时，两边除以x﹣2，得x﹣1=1，即x=2；当x﹣2=0时，方程成立，错误；C、方程有两个相等的实数根，正确；D、移项分解因式（x﹣2）2=0，可以解得x1=x2=2，正确；故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及根的判别式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（2015•英德市一模）如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】首先求出方程x2﹣10x+21=0的两根，然后确定等腰三角形的腰长和底，进而求出它的周长．【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，∴方程x2﹣10x+21=0的两个根分别是x1=3，x2=7，∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，∴等腰三角形的周长为：7+7+3=17．故选：A．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，此题难度一般．19．（2015•河南模拟）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解为（）A．x=2 B．x1=2，x2=1 C．x=﹣1 D．x1=2，x2=﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，可得x﹣2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（2015•泗洪县校级模拟）已知锐角A满足关系式：（2sinA+1）（3sinA﹣1）=0，则sinA=（）A．﹣或 B．﹣ C． D．30°【考点】解一元二次方程-因式分解法；锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法得到2sinA+1=0或3sinA﹣1=0，解得sinA=﹣或sinA=，然后根据锐角三角函数的定义得到sinA=．【解答】解：∵（2sinA+1）（3sinA﹣1）=0，∴2sinA+1=0或3sinA﹣1=0，解得sinA=﹣或sinA=，而0＜sinA＜1（A为锐角），∴sinA=．故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了锐角三角函数的定义．21．（2015•石家庄校级模拟）对于任意实数a、b，定义f（a，b）=a2+5a﹣b，如：f（2，3）=22+5×2﹣3，若f（x，2）=4，则实数x的值是（）A．1或﹣6 B．﹣1或6 C．﹣5或1 D．5或﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】根据新定义得到x2+5x﹣2=4，整理得x2+5x﹣6=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：根据题意得x2+5x﹣2=4，整理得x2+5x﹣6=0，（x+6）（x﹣1）=0，x+6=0或x﹣1=0，所以x1=﹣6，x2=1．故选A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．22．（2015•高密市三模）一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和13【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】求出一元二次方程的解，与三角形的另外两边比较，找到第三条边，求出三角形的周长．【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣4）=0，∴x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不能构成三角形；当x=4时，4+3＞6，则三角形的周长是3+4+6=13，故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟悉一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键．23．（2015•峨眉山市一模）已知方程a2x2﹣（4a2﹣5a）x+3a2﹣9a+6=0（a为非负整数）至少有一个整数根，则满足条件的a的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元一次方程的解．【专题】计算题．【分析】先利用因式分解法解方程得到以x1=，x2=，变形得x1=1﹣，x2=3﹣，然后根据整数的整除性确定a的值．【解答】解：[ax﹣（a﹣2）][ax﹣3（a﹣1）]=0，ax﹣（a﹣2）=0或ax﹣3（a﹣1）=0，所以x1=，x2=，即x1=1﹣，x2=3﹣，因为a为非负整数，而方程至少有一个整数根，所以a=1，2，3．故选A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．24．（2015•张家口一模）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果．【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b=a2﹣3a+b，∴x★2=x2﹣3x+2，即：x2﹣3x+2=6，∴x2﹣3x﹣4=0，（x﹣4）（x+1）=0，x﹣4=0或x+1=0，∴x1=4，x2=﹣1．故选：C．【点评】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题．25．（2015•河北模拟）我们定义一种新的运算“#”，规定a#b=a2﹣3b，等式的右面是正常的加、减、乘、除、乘方，例如：1#2=12﹣3×2=﹣5．下列结论：①3#（﹣4）=﹣3；②若（﹣4）#x=31，则x的值为﹣5；③m#16=1#3m﹣9，则m=﹣1或m=10；④7#（﹣8）=（﹣8）#7﹣30，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】解一元二次方程-因式分解法；有理数的混合运算；解一元一次方程．【专题】新定义．【分析】原式各项利用新定义计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：根据题意得：①3#（﹣4）=9+12=21，错误；②若（﹣4）#x=16﹣3x=31，则x的值为﹣5，正确；③m#16=1#3m﹣9，即m2﹣48=1﹣9m﹣9，即m=，错误；④7#（﹣8）=49+24=73；（﹣8）#7﹣30=64﹣21﹣30=13，不相等，其中正确的有1个，故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．26．（2015•南长区一模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a2﹣3a+b，如3⊕5=32﹣3×3+5，若x⊕1=11，则实数x的值（）A．2或﹣5 B．﹣2或5 C．2或5 D．﹣2或﹣5【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】首先根据新定义a⊕b=a2﹣3a+b把x⊕1=11转化为x2﹣3x+1=11，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a⊕b=a2﹣3a+b，如3⊕5=32﹣3×3+5，∴x⊕1=x2﹣3x+1，∵x⊕1=11，∴x2﹣3x+1=11，∴x1=﹣2，x2=5．故选：B．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a⊕b=a2﹣3a+b，此题难度不大．27．（2015•青羊区模拟）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣17x+66=0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（）A．22 B．23 C．35 D．36【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=11，即三角形两边为6和11，再利用三角形三边的关系得到第三边的范围，从而可得三角形周长的范围，于是可对四个选项进行判断．【解答】解：x2﹣17x+66=0（x﹣6）（x﹣11）=0，x﹣6=0或x﹣11=0，所以x1=6，x2=11，即三角形两边为6和11，所以三角形第三边x的范围为5＜x＜17，所以这个三角形的周长l的范围为22＜l＜34．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．28．（2015秋•达州期末）以3、4为两边的三角形的第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（）A．15或12 B．12 C．15 D．以上都不对【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】首先根据因式分解法解出方程的解，再根据三角形的三边关系可确定X的值，然后再求周长即可．【解答】解：x2﹣13x+40=0，（x﹣5）（x﹣8）=0，则x﹣5=0，x﹣8=0，解得：x1=5，x2=8，设三角形的第三边长为x，由题意得：4﹣3＜x＜4+3，解得1＜x＜7，∴x=5，三角形周长为3+4+5=12，故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及因式分解法解一元二次方程，关键是正确求出x的值．29．（2015秋•兰州校级期中）下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A．若x2=4，则x=2B．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1C．若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8D．若分式值为零，则x=1，2【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的值为零的条件；一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据题意，逐项进行解答即可，A项，4的平方根为±2，故x=±2，B项通过整理，解一元二次方程得，x的值不只为1，还有，C项根据题意，把k的值代入到方程，通过解方程得，x=2或x=﹣4，D项通过解分式方程，得1不是原方程的解．【解答】解：A、通过解方程得，x=±2，故本选项错误；B、通过解方程得，x=1或x=，故本选项错误；C、首先把k的值代入到原方程，然后解方程得，x=2或x=﹣4，故本选项正确；D、通过化解，解分式方程可知x=1不是原方程得解，故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查解分式方程、分式的性质、解一元二次方程，关键在于逐项进行求解，即可推出结论．30．（2015秋•承德县期末）已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（）A．y＜8 B．3＜y＜5 C．2＜y＜8 D．无法确定【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】求出方程的两根确定出三角形两条边，即可求出第三边的范围．【解答】解：方程x2﹣8x+15=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）=0，可得x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x1=3，x2=5，∴第三边的范围为5﹣3＜y＜5+3，即2＜y＜8．故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．1．（2015秋•高密市期末）若方程（x﹣2）（3x+1）=0，则3x+1的值为（）A．7 B．2 C．0 D．7或0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入3x+1中，即可求出值．【解答】解：方程（x﹣2）（3x+1）=0，可得x﹣2=0或3x+1=0，解得：x1=2，x2=﹣，当x=2时，3x+1=3×2+1=7；当x=﹣时，3x+1=3×（﹣）+1=0．故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．2．（2015秋•苍溪县期末）一元二次方程x2+2x=0的根是（）A．x=0或x=﹣2 B．x=0或x=2 C．x=0 D．x=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先提取公因式x可得x（x+2）=0，然后解一元一次方程x=0或x+2=0，据此选择正确选项．【解答】解：∵x2+2x=0，∴x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，∴x1=0或x2=﹣2，故选A．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，此题难度不大．3．（2015秋•西宁期末）方程x2=x的解是（）A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=1，x2=0 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=3，x2=﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x2﹣x=0，分解因式得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=1，x2=0．故选B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解方程3（4x+3）2=2（4x+3）的最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到3（4x+3）2﹣2（4x+3）=0，然后利用因式分解法得到4x+3=0或12x+9﹣2=0，再解一次方程求解．【解答】解：3（4x+3）2﹣2（4x+3）=0，（4x+3）（12x+9﹣2）=0，4x+3=0或12x+9﹣2=0．故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．5．已知三角形的两边长分别为5和6，第三边的长是方程x2﹣15x+44=0的根，则该三角形的周长为（）A．15 B．22 C．15或22 D．14【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】求出方程的解，再看看是否符合三角形三边关系定理，最后求出即可．【解答】解：x2﹣15x+44=0，（x﹣4）（x﹣11）=0，x﹣4=0，x﹣11=0，x1=4，x2=11，当三角形三边是5，6，4时，符合三角形三边关系定理，即此时三角形的周长是5+6+4=15，当三角形三边是5，6，11时，∵5+6=11，∴不符合三角形三边关系定理，即此时不行，故选A．【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理的应用，关键是确定出三角形的第三边．6．方程x2﹣x﹣6=0的根是（）A．x=﹣6或=1 B．x=﹣3或=2 C．x=﹣2或=3 D．x=﹣6或x=﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程分解因式得：（x﹣3）（x+2）=0，可得x﹣3=0或x+2=0，解得：x=3或﹣2，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（）A．（x+1）（x﹣3）=2 B．2（x﹣2）2=x2﹣4 C．x2+3x﹣1=0 D．5（2﹣x）2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先观察每个方程的特点，根据方程的特点逐个判断即可．【解答】解：A、不适合用分解因式解方程，故本选项错误；B、最适合用分解因式解方程，故本选项正确；C、不适合用分解因式解方程，故本选项错误；D、不适合用分解因式解方程，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．8．若代数式x2﹣6x+5的值等于12，那么x的值为（）A．1或5 B．7或﹣1 C．﹣1或﹣5 D．﹣7或1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先根据题意可得方程x2﹣6x+5=12，然后利用因式分解法可得：（x﹣7）（x+1）=0，继而可求得答案．【解答】解：根据题意得：x2﹣6x+5=12，∴x2﹣6x﹣7=0，∴（x﹣7）（x+1）=0，∴x﹣7=0或x+1=0，解得：x1=7，x2=﹣1．故选B．【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．9．设a、b为方程（x﹣1）（x﹣3）=143的两根，a＞b，则a+2b的值为（）A．﹣18 B．﹣6 C．6 D．18【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】将方程整理为一般形式，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，进而确定出a与b的值，代入a+2b中即可求出值．【解答】解：方程（x﹣1）（x﹣3）=143，整理得：x2﹣4x﹣140=0，即（x﹣14）（x+10）=0，可得：x﹣14=0或x+10=0，解得：x1=14，x2=﹣10，∵a、b为方程（x﹣1）（x﹣3）=143的两根，a＞b，∴a=14，b=﹣10，则a+2b=14﹣20=﹣6．故选B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．10．方程x2﹣7|x|+12=0的根的情况是（）A．有且仅有两个不同的实根 B．最多有两个不同的实根C．有且仅有四个不同的实根 D．不可能有四个实根【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．【专题】计算题；方程思想．【分析】把这个方程看成是关于|x|的一元二次方程，然后将左边进行因式分解，求出方程的根．【解答】解：原方程可化为|x|2﹣7|x|+12=0．推出（|x|﹣4）（|x|﹣3）=0．从而|x|=4或|x|=3解得x=±3，x=±4，故选C．【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，由于题目中带有绝对值符号，所以转化成关于|x|的一元二次方程求解，得到方程有4个根．11．方程的解的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】根据已知条件分析：当|x|≥1时，当|x|＜1时，分别去绝对值，运用因式分解法解一元二次方程，求出x即可．【解答】解：当|x|≥1时，方程为，即，解得，，均满足|x|≥1．当|x|＜1时，方程为，即，解得，满足|x|＜1．综上，原方程有3个解．故选：C．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程与绝对值的性质，分析|x|的取值范围是解决问题的关键．12．如图，数轴上的四个点A、B、C、D分别代表整数a、b、c、d．若，则d的值是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．4【考点】解一元二次方程-因式分解法；实数与数轴．【专题】计算题．【分析】根据题意可得=，则得出点D表示原点，则d=0．【解答】解：∵，∴两式相减得，﹣=0，∴=，∴点D是线段AC的中点，∴d=0．故选B．【点评】本题考查了实数与数轴，以及一元二次方程的解法．13．若三角形三边的长均能使代数式（x﹣6）（x﹣3）的值为零，则此三角形的周长是（）A．9或18 B．12或15 C．9或15或18 D．9或12或15【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】令已知的代数式为0列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，然后分两种情况考虑：当三角形为等腰三角形时，6只能为腰长，求出此时周长；当三角形为等边三角形时，边长可以为3或6，分别求出三角形周长，综上，得到所有满足题意的三角形周长．【解答】解：令（x﹣6）（x﹣3）=0，可化为：x﹣6=0或x﹣3=0，解得：x1=6，x2=3，（i）当三角形为等腰三角形时，三边分别为3，3，6时，不能构成三角形，舍去；三边分别为6，6，3时，三角形的周长为6+6+3=15；（ii）当三角形为等边三角形时，边长为3或6，此时三角形周长为9或18，综上，三角形的周长为9或15或18．故选C【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的三边关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．14．已知方程x2﹣x﹣1994=19942，那么它的两根是（）A．1994，1995 B．﹣1994，1995 C．1994，﹣1995 D．﹣1994，﹣1995【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】首先将原方程x2﹣x﹣1994=19942转化为x2﹣x﹣1994×1995=0，再利用十字相乘法分解因式．即可求得方程的两根．【解答】解：∵x2﹣x﹣1994=19942⇒x2﹣x﹣1994（1+1994）=0⇒（x+1994）（x﹣1995）=0∴方程的两根为1995，﹣1994，故选B．【点评】本题考查解一元二次的因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．二．填空题（共16小题）15．（2015•盐城一模）方程x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为x1=2，x2=1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项，然后提取公因式（x﹣1），最后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x（x﹣1）=2（x﹣1），∴x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，∴x1=2，x2=1．故答案为：x1=2，x2=1．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．16．（2015•成都模拟）一元二次方程x2﹣x﹣12=0的根是x1=4，x2=﹣3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程分解得：（x﹣4）（x+3）=0，可得x﹣4=0或x+3=0，解得：x1=4，x2=﹣3．故答案为：x1=4，x2=﹣3【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．（2015•成都校级模拟）一元二次方程3x2﹣x=0的解是x1=0，x2=．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：3x2﹣x=0，x（3x﹣1）=0，x=0，3x﹣1=0，x1=0，x2=，故答案为：x1=0，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，难度适中．18．（2015秋•太仓市期末）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为15．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题；因式分解．【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．【解答】解：x2﹣9x+18=0，（x﹣3）（x﹣6）=0，所以x1=3，x2=6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6=15．故答案为15．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19．（2015秋•南江县期末）关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为x1=4，x2=﹣1．【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据已知得出k2+1=2，k﹣1≠0，求出k，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴k2+1=2，k﹣1≠0，解得：k=﹣1，∴方程为：﹣2x2+6x+8=0，即x2﹣3x﹣4=0，（x﹣4）（x+1）=0，∴x﹣4=0，x+1=0，解得：x1=4，x2=﹣1，故答案为：x1=4，x2=﹣1．【点评】本题主要考查对解一元二次方程，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，能求出k的值是解此题的关键．20．（2015•罗平县二模）已知三角形的两边长是4和6，第三边是一元二次方程x2﹣5x+6=0的根，则这个三角形的周长是13．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先求出方程的解，然后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的周长．【解答】解：x2﹣5x+6=0，（x﹣2）（x﹣3）=0，x﹣2=0，x﹣3=0，x1=2，x2=3，①三角形的三边是2，4，6，∵2+4=6，∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；②三角形的三边是3，4，6，此时符合三角形三边关系定理，∴三角形的周长是3+4+6=13，故答案为：13．【点评】本体考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，关键是求出第三边的长度．21．（2015•杭州模拟）三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则三角形的周长为15．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】首先利用因式分解法计算出x的值，再根据三角形的三边关系确定出x的值，然后再计算出周长即可．【解答】解：x2﹣10x+21=0，（x﹣3）（x﹣7）=0，则x﹣3=0，x﹣7=0，解得：x=3或7，当x=3时，2+3=5＜6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8＞7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案为：15．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，关键是正确计算出x的值．22．（2015•开江县一模）若对于实数a，b，规定a*b=，例如：2*3，因2＜3，所以2*3=2×3﹣22=2．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x1*x2=12或﹣4．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】首先解出方程x2﹣2x﹣3=0的两根，然后根据新定义解答即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x=3或﹣1，当x1=3，x2=﹣1时，x1*x2=x12﹣x1x2=9+3=12，当x1=﹣1，x2=3时，x1*x2=x1x2﹣x12=﹣3﹣1=﹣4，故答案为12或﹣4．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握题干新定义以及因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．23．（2015•河北区一模）已知一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为12．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可．【解答】解：方程x2﹣7x+10=0，分解得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x=2或x=5，若2为底边，5为腰，此时△ABC周长为2+5+5=12；若2为腰，5为底，2+2＜5，不能构成三角形，舍去，则△ABC周长为12．故答案为：12【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌