押安徽卷第15-16题（实数运算、整式分式化简求值、方程（组）综合）（解析版）-备战2024年中考数学

押安徽卷第15-16题押题方向一：实数的运算、分式化简求值、方程（组）不等式（组）3年安徽卷真题考点命题趋势2023年安徽卷第15题分式的化简求值从近年安徽中考来看，分式化简求值、实数的运算、方程(组）不等式（组）是近几年安徽的必考题，熟记分式的运算法则，扎实计算实数的运算及方程（组）不等式（组）的解法；预计2024年安徽卷还将继续重视分式化简求值、实数与整式的运算的考查。2022年安徽卷第15题实数的运算2022年安徽卷第15题不等式的解法1．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中x＝．【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简，把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．2．（2022·安徽·中考真题）计算：【解答】解：原式＝1﹣4+4＝1．3.（2021·安徽·中考真题）解不等式：x−1【解析】x−1−3>x>主要考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方、二次根式等，需要学生熟记相应的运算公式和值。整式的混合运算主要考查单项式与多项式乘法法则，熟记平方差、完全平分公式是解题的关键。3.分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入代入计算．4.方程（组）不等式（组）的解法，数显掌握一元一次方程，一元一次不等式及二元一次方程组。二元一次方程的解法是突破此题的关键，在找解集时学会用数轴和口诀找解集。1．计算：|﹣5|﹣﹣sin30°．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：|﹣5|﹣﹣sin30°＝＝．【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．计算：．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝1+4×+﹣2＝1+2+﹣2＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．3．先化简，再求值：，其中．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝+2时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．4．先化简，再求值：（2a+b）2﹣（a﹣b）（b+a），其中a＝1，b＝2．【分析】去括号，合并同类，再代入计算即可．【解答】解：原式＝（4a2+4ab+b2）﹣（a2﹣b2）＝4a2+4ab+b2﹣a2+b2＝3a2+4ab+2b2，当a＝1，b＝2时，原式＝3×1+4×1×2+2×4＝19．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．5．先化简，再求值：（2a﹣1）2+6a（a+1）﹣（3a﹣2）（3a+2），其中a2+2a﹣2024＝0．【分析】去括号，合并同类项，再利用整体代入的思想解决问题．【解答】解：原式＝4a2﹣4a+1+6a2+6a﹣（9a2﹣4）＝4a2﹣4a+1+6a2+6a﹣9a2+4＝a2+2a+5，∵a2+2a﹣2024＝0，∴a2+2a＝2024，∴上式＝2024+5＝2029．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．6．先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝4．【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式计算方法算出小括号里面的，再合并同类项，最后算除法；再代入数值求出结果即可．【解答】解：[（2a﹣b）2﹣b（b﹣4a）+a]÷（﹣a）＝（4a2﹣4ab+b2﹣b2+4ab+a）÷（﹣a）＝（4a2+a）÷（﹣a）＝﹣8a﹣2．当a＝﹣，b＝4，原式＝﹣8×（﹣）﹣2＝1﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．7．计算：．【分析】先化为最简二次根式，算负整数指数幂，分母有理化，去绝对值，再算加减．【解答】解：原式＝3﹣3+2++2﹣＝3+1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．8．解不等式组，并写出其所有整数解．【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可求出不等式组的解集，再写出其所有整数解．【解答】解：由①得：x＜2，由②得：x≥﹣，故不等式组的解集是﹣≤x＜2，它的所有整数解有x＝﹣2，﹣1，0，1．【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．9．解方程组．【分析】利用代入消元法解方程组即可．【解答】解：，由①得：x＝5y③，将③代入②得：15y+7y＝44，解得：y＝2，将y＝2代入③得：x＝10，故原方程组的解为．【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．10．解方程组：．【分析】利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：，①﹣②得：4y＝﹣4，解得：y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得：x﹣1＝﹣1，解得：x＝0，故原方程组的解为．【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．11．解方程：+＝1．【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程变形得：﹣＝1，去分母得：2x﹣3＝x﹣2，解得：x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．解方程：3x（x﹣2）＝6﹣3x．【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：3x（x﹣2）＝6﹣3x，3x（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝0，3x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x+3）＝0，x﹣2＝0或3x+3＝0，x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．13．解方程：x2﹣6x+1＝4．【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解．【解答】解：x2﹣6x＝3，配方，得x2﹣6x+9＝12，即（x﹣3）2＝12，∴，即或，解得或．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握相关运算．押题方向二：方程、不等式的应用3年安徽真题考点命题趋势2023年安徽卷第16题二元一次方程组从近年安徽中考来看，二元一次方程组，分式方程和不等式，不等式组是考查是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024年安徽卷还将继续考查方程、不等式，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年安徽卷第17题二元一次方程组组1．（2023年安徽中考）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．【分析】设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，根据销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，由题意得：，解得：，答：调整前甲地该商品的销售单价40元，乙地该商品的销售单价为50元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2.(20222安徽中考）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020xy5202021125x1.3y（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？【解答】解：（1）由表格可得，2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，故答案为：1.25x+1.3y；（2）由题意可得，，解得，∴1.25x＝400，1.3y＝260，答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．1、不等式含参问题的解题步骤：第一步：将参数当成“常数”解出不等式组；第二步：1）“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；2）“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。2、分式方程含参问题的解题步骤：第一步：参数当成“常数”解出分式方程；第二步：根据“分式方程有增根”、“分式方程有解与无解”、“分式方程的解为正或负数”、“分式方程有整数解”等类型，利用各条件自确定出参数的取值范围；注：分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。1．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？【分析】设合伙人数是x，根据“每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设合伙人数是x，根据题意得：5x+45＝7x+3，解得：x＝21．答：合伙人数是21．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题．【分析】设走路快的人要走x步才能追上对方，根据时间＝路程÷速度结合时间相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上对方，依题意，得：＝，解得：x＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3．今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元．请解答下列问题：（1）求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？（2）假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为2.6万元和1.5万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？【分析】（1）设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩，y亩，根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可；（2）根据（1）所求，列式计算即可．【解答】解：（1）设茄子和西红柿的种植面积各为x亩，y亩，由题意得，，解得，答：茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩；（2）11×2.6+4×1.5＝34.6（万元），答：种植场在这一季共获利34.6万元．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．4．某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示．文学类（本/人）科普类（本/人）九（1）班32九（2）班41共计（本）265110请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．【分析】设九（1）班有x人，九（2）班有y人，根据题意列出方程组病求解即可．【解答】解：设九（1）班有x人，九（2）班有y人，由题意得：，解得：，答：九（1）班有35人，九（2）班有40人．【点评】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．5．为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩．经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等．（1）求A型、B型充电桩的单价各是多少？（2）该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个？【分析】（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.2）万元，根据“用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（300﹣m）个，根据购买总费用不超过200万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价（x+0.2）万元．根据题意得：解得：x＝0.6经检验，x＝0.6是所列方程的解，且符合题意，∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8．答：A型充电桩的单价为0.6万元，B型充电桩的单价为0.8万元．（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（300﹣m）个，由题可得：0.6m+0.8（300﹣m）≤200，解得：m≥200，答：至少可购买A种充电桩200个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．6．“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据“购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（200﹣m）件，根据购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据题意得：，解得：．答：购进A种纪念品每件需100元，B种纪念品每件需50元；（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（200﹣m）件，根据题意得：200﹣m≤3m，解得：m≥50．设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝30m+50×0.8（200﹣m），即w＝﹣10m+8000，∵﹣10＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m≥50，且m为正整数，∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣10×50+8000＝7500，此时200﹣m＝200﹣50＝150．∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品150件时，获得的总利润最大，最大总利润为7500元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用