押安徽压轴题第23题（二次函数综合）（解析版）-备战2024年中考数学

押安徽压轴题第23题押题方向：二次函数综合3年安徽真题考点命题趋势2023年二次函数的顶点坐标，函数最值问题，面积最值问题根据最新信息和模拟试题，可以知道，二次函数依然会作为压轴题出现，起到区分不同层次考生的重要作用，预测会设置2-3小问，难度成梯度上升，让所有的考生有题可做。第一问预计根据二次函数的解析式求交点的坐标，或者根据几何关系，利用待定系数法求二次函数的解析式。后面的问题预计在以下内容中命题：二次函数最值问题（线段、面积、周长等），定值问题（线段长度、面积、斜率乘积、定直线、定点等），二次函数变换问题（平移、对称、旋转、翻折），存在性问题（等腰三角形、直角三角形、平行四边形与特殊的平行四边形、全等与相似三角形），新定义问题。2022年二次函数的实际应用2021年二次函数与坐标轴交点，待定系数法，大小比较，线段长度之比。1．（2023·安徽中考真题）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．（1）求a，b的值；（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）由题意得B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），利用待定系数法可得OA的解析式为y＝x，则D（t，t），E（t+1，t+1），（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，则M（t，0），N（t+1，3），利用S△OBD+S△ACE＝BD•OM+AN•CE即可求得答案；（ii）分两种情况：①当2＜t＜3时，②当t＞3时，分别画出图象，利用S四边形DCEB＝（BD+CE）•DH，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2，∴，解得：；（2）由（1）得：y＝﹣x2+4x，∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t，当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3，∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k，∴k＝1，∴OA的解析式为y＝x，∴D（t，t），E（t+1，t+1），（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图，则M（t，0），N（t+1，3），∴S△OBD+S△ACE＝BD•OM+AN•CE＝（﹣t2+4t﹣t）•t+（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）＝（﹣t3+3t2）+（t3﹣3t2+4）＝﹣t3+t2+t3﹣t2+2＝2；（ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图，则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1，∴S四边形DCEB＝（BD+CE）•DH，即＝（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1，解得：t＝；②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H，则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2，∴S四边形DBCE＝（BD+CE）•DH，即＝（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1，解得：t1＝+1（舍去），t2＝﹣+1（舍去）；综上所述，t的值为．2．（2022安徽中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，（﹣6）2a+8＝2，解得：a＝﹣，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+8；（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，﹣m2+8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，∴l＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，∵﹣＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝﹣m2+2m+24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，∵﹣3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，令﹣x2+8＝3，解得：x＝±，∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+9≤P1横坐标≤，方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9﹣n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P2P1＝，P2P3＝，令﹣x2+8＝，解得：x＝±，∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+≤P1横坐标≤．右侧）．3．（2021安徽中考真题）已知抛物线y=ax2（1）求a的值；（2）若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物线上，且-1＜x1＜0，1＜x（3）设直线y=m(m＞0)与抛物线y=ax2−2x+1交于A、B，与抛物线【解析】（1）由对称轴可知，，则由（1）可知二次函数为，，开口向上，对称轴，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大，所以离二次函数的对称轴越近的点，对应的越小，而题目中可知离对称轴更远，所以对应的更大，所以＞由题可知，与交于A、B两点，，则，所以AB=，与交于C、D两点，则，所以CD=，所以熟练掌握二次函数的图像及其性质；求二次函数解析式用待定系数法，注意对待定系数进行分类讨论注意理解二次函数与坐标轴的交点，对于函数与轴交点的横坐标即对应一元二次方程的解，特别注意应用因式分解解方程，纵坐标即为；在线段长度和坐标进行转化时注意符号；直线平行则斜率相等（注意不重合），直线垂直则斜率之积等于-1（解决垂直问题、直角三角形存在性问题）；直角三角形在坐标系中出现则用一线三角的全等模型和相似模型；等腰三角形的存在性问题则要分类讨论；平行四边形的存在性问题中，注意相对的顶点横坐标之和相等，纵坐标之和相等；证明定点、定直线和求解定值问题中，注意把坐标设出来，利用根与系数关系进行转化；求解三角形面积最值问题时，利用等面积法构造新的二次函数求最值，注意取值范围。1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为F（﹣1，4）交x轴于A、C两点，交y轴于点B，抛物线的对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线上点P（﹣2，3），以点P为直角顶点构造Rt△PHK，使点H在x轴上，点K在y轴上，G为HK的中点，求EG的最小值；（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）证明∠MHP＝∠PKN，得到tan∠MHP＝tan∠PKN，即，求出点H（t﹣），得到点G（t﹣，t），则GE2＝（t﹣+1）2+（t）2＝t2﹣t+，即可求解；（3）当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝MN列出方程组，即可求解；当AM、AN为对角线时，同理可解．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）设点H（x，0），点K（0，t），过点P作MN∥x轴交y轴于点N，交过点H和y轴的平行线于点M，∵∠HPK＝90°，∴∠HPM+∠NPK＝90°，∵∠PKN+∠NPK＝90°，∴∠MHP＝∠PKN，∴tan∠MHP＝tan∠PKN，即，即，则x＝t﹣，则点H（t﹣，0），∵G为HK的中点，则点G（t﹣，t），则GE2＝（t﹣+1）2+（t﹣4）2＝t2﹣t+16，∵＞0，故GE2有最小值，当t＝时，GE2的最小值为：，即GE的最小值为：；（3）存在，理由：设点M（s，t），点N（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝MN得：，解得：m＝，即点N的横坐标为﹣6；当AM、AN为对角线时，同理可得：或，解得：m＝0（舍去）或2或﹣1，即点N的横坐标为：2或﹣1，综上，点N的横坐标为：2或﹣1或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形和平行四边形的性质、解直角三角形等，分类求解是解题的关键．2．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a﹣6（a＜0且为常数），当a取不同的值时，其图象不同．（1）求二次函数的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）若抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1≠x2），当x1•x2＝6时，（i）求抛物线的解析式；（ii）若抛物线顶点为C，其对称轴与x轴交于点D，直线y＝x﹣6与x轴交于点E．点M为抛物线对称轴上一动点，过点M作MN⊥CE，垂足N在线段CE上．试问是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数的对称轴为直线x＝a，当x＝a时，y＝a2﹣2a•a+a2+a﹣6＝a﹣6，即可求解；（2）（i）当x1•x2＝6时，即a2+a﹣6＝6，即可求解；（ii）由，得到×MN×EN＝××CD×ED，即可求解．【解答】解：（1）函数的对称轴为直线x＝a，当x＝a时，y＝a2﹣2a•a+a2+a﹣6＝a﹣6，即顶点坐标为：（a，a﹣6）；（2）（i）当x1•x2＝6时，即a2+a﹣6＝6，解得：a＝3（舍去）或﹣4，即抛物线的表达式为：y＝x2+8x+6；（ii）存在，理由：如下图，由抛物线的表达式知，点C（﹣4，﹣10），设点M（﹣4，m），当x＝﹣4时，y＝x﹣6＝﹣10，即点C在直线y＝x﹣6上，由直线CN的表达式y＝x﹣6知，其和x轴的夹角为45°，∵MN⊥NC，则直线MN的表达式为：y＝﹣（x+4）+m，CN＝MN＝MC＝（m+10），联立上式和y＝x﹣6得：x﹣6＝﹣（x+4）+m，解得：x＝（m+2），则点N（，﹣6），由直线CN的表达式y＝x﹣6得，点E（6，0），由点E、N的坐标得，EN＝（10﹣m），由点C、D、E的坐标得，DE＝10，CD＝10，∵，则×MN×EN＝××CD×ED，即×（m+10）×（10﹣m）＝××10×10，解得：m＝±4，则点M的坐标为：（﹣4，±4）．【点评】本题为二次函数综合题，涉及到面积的计算、函数的图象和性质等，正确画出函数图象是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＜0）的顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标；（Ⅱ）若c＝4﹣，抛物线上的点M的横坐标为m（m＜），且MP∥AB．①求MP的长；②当AM+OP取得最小值时，求点M的坐标．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求出抛物线为y＝﹣x2﹣2x+3，即可得点P的坐标；（Ⅱ）①将抛物线y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+bx+4﹣化为顶点式y＝﹣（x﹣）2+4，可得P（，4），可得直线MP的解析式为y＝x+4﹣，联立y＝﹣（x﹣）2+4，可得M（﹣1，3），即可得求MP的长；②由MP的坐标可得，将A向右向上各平移一个单位长度，可得四边形AMPA′为平行四边形，则A′P＝AM，AM+OP＝A′P+OP，作点O关于直线y＝4的对称点O′，连接A′O′交直线y＝4于P′，则A′P+OP＝A′P′+O′P′＝A′O′，求出直线A′O′的解析式，可得P′（﹣，4），则m＝﹣1＝﹣，即可得点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将点A（﹣3，0），点B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＜0），∴，解得，∴抛物线为y＝﹣x2﹣2x+3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；（Ⅱ）①∵c＝4﹣，∴抛物线y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+bx+4﹣＝﹣（x﹣）2+4，∴P（，4），∵MP∥AB．∴设线MP的解析式为y＝x+b′，∴+b′＝4，解得b′＝+4﹣，∴直线MP的解析式为y＝x+4﹣，联立y＝﹣（x﹣）2+4并解得x1＝，x2＝﹣1，∴M（﹣1，3），∴MP＝＝；②∵M（﹣1，3），P（，4），∴将A向右向上各平移一个单位长度，可得四边形AMPA′为平行四边形，∴A′P＝AM，AM+OP＝A′P+OP，A′（﹣2，1），作点O关于直线y＝4的对称点O′（0，8），连接A′O′交直线y＝4于P′，则A′P+OP＝A′P′+O′P′＝A′O′，此时，AM+OP取得最小值，设直线A′O′的解析式为y＝px+t，∴，解得，∴直线A′O′的解析式为y＝x+8，∴P′（﹣，4），∴＝﹣，∴m＝﹣1＝﹣，∴点M的坐标为（﹣，3）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、平移的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质、轴对称的性质等相关知识是解题关键．4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．（1）求出抛物线的解析式；（2）当m＜0时，图象G的最大值与最小值的差为d，求出d与m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，点E为y轴上的一点，纵坐标为﹣2m，以EQ、PQ为邻边构造矩形PQEF，当抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）分三种情况讨论：当﹣2＜m＜0时，d＝﹣m2﹣4m+5﹣5＝﹣m2﹣4m；当﹣4≤m≤﹣2时，d＝9﹣5＝4；当m＜﹣4时，d＝9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝m2+4m+4；（3）当E点与Q点重合时，m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，由此可得当﹣1﹣＜m＜0或m＞﹣1+时，抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（﹣5，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；（2）∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴抛物线的对称轴为x＝﹣2，当﹣2＜m＜0时，d＝﹣m2﹣4m+5﹣5＝﹣m2﹣4m；当﹣4≤m≤﹣2时，d＝9﹣5＝4；当m＜﹣4时，d＝9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝m2+4m+4；（3）当E点与Q点重合时，﹣2m＝﹣m2﹣4m+5，解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，∴当﹣1﹣＜m＜0或m＞﹣1+时，抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．5．已知抛物线y＝mx2+2mx+n（m，n为常数，m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，AB＝4．（1）求3m+n的值；（2）如图，连接BD交AC于点E，求证：BE＝2DE；（3）设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作MN∥x轴，交直线AC于点N．由线段MN长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．【分析】（1）由AB＝4，则xB﹣xA＝4，得到xA＝﹣3xB＝1，即可求解；（2）证明△DFE∽△BAE，则，即可求解；（3）求出MN＝|﹣a2﹣2a﹣a|＝|a2+3a|，由题意知﹣3＜a＜1且a≠0．结合图象，即可求解．【解答】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，∵AB＝4，则xB﹣xA＝4．∴xA＝﹣3xB＝1，将（1，0）代入y＝mx2+2mx+n得：m+2m+n＝0．∴3m+n＝0；（2）证明：由（1）得n＝﹣3m，∴y＝mx2+2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m．∴C（0，﹣3m），D（﹣1，﹣4m）．过D作DF∥x轴交AC延长线于点F，设直线AC为y＝kx﹣3m，则﹣3k﹣3m＝0，即k＝﹣m，∴直线AC为y＝﹣mx﹣3m．令y＝﹣4m，则﹣mx﹣3m＝﹣4m，即x＝1，∴xy＝1，∴DF＝2．∵DF∥x轴，∴△DFE∽△BAE，则，∴BE＝2DE；（3）解：直线AC为y＝﹣mx﹣3m．设M为（a，ma2+2ma﹣3m），则N为（﹣a2﹣2a，ma2+2ma﹣3m），MN＝|﹣a2﹣2a﹣a|＝|a2+3a|．由题意知﹣3＜a＜1且a≠0．结合图象，当时，符合条件的点M有3个；当时，符合条件的点M有2个；当时，符合条件的点M有1个．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点K是抛物线对称轴直线l上一动点，点M，N在直线l左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若△KMN为等腰直角三角形，∠MKN＝90°，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究m﹣n的值是否为定值，若是，求m﹣n的值；若不是，请说明理由；（3）点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，直线PD与直线AC交于点E，当点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上时，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）设直线l与x轴交于点Q，过M作MH⊥直线l于H，过N作NG⊥直线l于G，证明△KMH≌△NKG（AAS），可得MH＝KG＝﹣﹣m，KH＝NG＝﹣﹣n，由GH＝KH+KG＝QH﹣QG可得﹣﹣m﹣﹣n＝﹣m2﹣3m+4﹣（﹣n2﹣3n+4），即可得出结论；（3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B，与y轴交于点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；（2）∵点M，N的横坐标分别为m，n，∴M（m，﹣m2﹣3m+4），N（n，﹣n2﹣3n+4），设直线l与x轴交于点Q，过M作MH⊥直线l于H，过N作NG⊥直线l于G，∴∠KHM＝∠NGK＝90°，∵△KMN为等腰直角三角形，∠MKN＝90°，∴KM＝NK，∠MKH+∠NKG＝∠KNG+∠NKG＝90°，∴∠MKH＝∠KNG，∴△KMH≌△NKG（AAS），∴MH＝KG＝﹣﹣m，KH＝NG＝﹣﹣n，∵GH＝KH+KG＝QH﹣QG，∴﹣﹣m﹣﹣n＝﹣m2﹣3m+4﹣（﹣n2﹣3n+4），﹣m﹣n﹣3＝（n﹣m）（m+n+3），n﹣m＝﹣1，∴m﹣n＝1，∴m﹣n的值是定值，m﹣n＝1；（3）当点P在第二象限时，如图，设P（p，﹣p2﹣3p+4）．则D（p，0），∵点A（﹣4，0），点C（0，4）．∴直线AC的解析式为y＝x+4，∴E（p，p+4），∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠PEE′＝∠EE′C，∵点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上，∴∠EE′C＝∠CEE′，EE′⊥CP，CE＝CE′，∴∠PEE′＝∠CEE′，∴PE＝CE＝CE′，∴﹣p2﹣3p+4﹣（p+4）＝，解得p＝﹣3或0（舍去），∴点P的坐标为（﹣3，2+3）．当点P在第三象限时，如图，同理得PE＝CE＝CE′，∴（p+4）﹣（﹣p2﹣3p+4）＝，解得p＝﹣﹣4或0（舍去），∴点P的坐标为（﹣﹣4，﹣2﹣2）．综上，点P的坐标为（﹣3，2+3）或（﹣﹣4，﹣2﹣2）．【点评】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点B（2，0），C（﹣2，0），与y轴相交于点A（0，﹣4）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线上点D，使△ABD的面积是3，请求出点D的坐标；（3）在（2）中x轴下方抛物线上点D，y轴上有一点E，连接BE，