2024高考数学一轮复习讲义+练习：指数函数（解析版）

专题16指数函数

题型一指数函数的图像及应用

1.在同一直角坐标系中，函数==在［0,内)上的图象可能是().

【解析】〃x)=x"为暴函数，g(x)=「=(5x为指数函数

A.g(x)=「=(：『过定点(0,1),可知..a>l,/(*)=£的图象符合，故可能.

B.g(x)=aT=(：)x过定点(0,1),可知.">1,〃x)=x"的图象不符合，故不可能.

C.g(x)=「=(：厂过定点(01)，可知:>1,=x"的图象不符合，故不可能.

D.图象中无哥函数图象，故不可能.

故选：A

2.如图是指数函数①产优；②y二L；③产小④产砂的图象，则。，b,c,d与1的大小关系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

【答案】B

【解析】根据函数图象可知函数①产优；②产L为减函数，且无=1时，®y=bl<®y=al,

所以Z?VQ<1,

根据函数图象可知函数③产嗨④产d%为增函数，且％=1时，③尸④产",

所以c>d>1

故选：B

3.当，>0且awl时，函数〃%)=。川—1的图象一定过点

A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0)

【答案】C

【解析】函数/(%)="+-1,当x=T时,/(-D=0

故函数图像过点(-1,0)

故选C

4.已知事函数g(x)=(2a-l)x"+2的图象过函数〃x)=3?城的图象所经过的定点，贝防的值等于

A.-2B.1C.2D.4

【答案】A

【解析】函数g(x)=(2〃—1)产2为幕函数，则：2。-1=0,，。=；,

函数的解析式为：g(x)=/，募函数过定点(1,1)，

函数f(x)=32A&中，当2x+b=o时,函数过定点

b

据此可得：-|=l,；^=-2.

本题选择A选项.

5.函数尸2*与》=(；)*关于对称

A.无轴B.y轴

C.y=xD.

【答案】B

【解析】函数产(；)x=2r,与函数y=2*的图象关于y轴对称，故选B.

6.函数丫=彳+4与＞=优，其中。＞0,且"1,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是()

【答案】D

【解析】。＞0,贝i]y=x+。单调递增，故排除AC；

对于BD,y=优单调递减，贝丫=彳+。与y轴交于0和1之间，故排除B.

故选：D.

7.如图所示，面积为8的平行四边形OA8C的对角线ACLCO,AC与80交于点E.若指数函数y=优(〃＞0且。力1)的

图象经过点E,8,则a等于（）

【答案】A

Q48

【解析】设点则由已知可得A（一,㈤,£1（—,脸8（一,2加）,

mmm

-_4

m-am（1）

又因为点E,8在指数函数的图象上，所以

2m=am（2）

⑴式两边平方得病.小，0）

（2X3）联立,得苏—2帆=0,

所以m=0（舍去）或%=2,所以〃=0.

故选：A.

8.若关于元的不等式4优tv3x-4（a〉0,且awl）对于任意的%>2恒成立，贝山的取值范围为

【答案】（0,；

【解析】不等式4al<3彳-4等价于a-

4

3

令.令尤）=ax~l,g（x）=1尤-1,

当。>1时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，

如图1所示，由图知不满足条件；

当0<a<l时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像,

即43a1*故“的取值范围是(0,不1

故答案为：(0,g.

9.已知函数/(尤)=2，.

(1)试求函数方(%)=/(%)+4(2x),%w(fo,0]的最大值；

(2)若存在%£(-8,0),使时⑺-/(2到>1成立，试求。的取值范围;

(3)当〃>0,且1且0,15]时，不等式/(%+l)W/[(2x+a)2]恒成立，求〃的取值范围.

'1I

〃+La>—

2

【答案】(I)FMmax=\]J⑵"。，或a>2；(3)a>l.

----,a<——

I4〃2

【解析】解：(I)XC(T,0],尸(x)=/(x)+4(2x)=2"+a-4",令2，=人(0<f<l),

即有F(x)=at2+t,

当。=0时，F(x)有最大值为I；

当awO时，对称轴为/=-3，讨论对称轴和区间的关系,

2a

若一?>l,即—g<a<0,F(x)01ax=尸⑴=a+l；

^0<--<1,gp(7<--

2a2

若-<0,即a>0,F(x)max=/⑴=a+1.

2a

'1I

a+La>—

2

综上可得，1

,QW

、4〃------2

(2)令2"=%,则存在％£(。」)使得，之-闻>1,

所以存在力£(。,1)使得或»—成<7.

即存在fe(O,l)使得或。“+；),"加，.-.a<0,或a>2；

(3)由/(%+l)W/[(2%+a)2]得％+l<(2x+a)2恒成立

因为。>0,且xe[0,15],所以问题即为«7T42x+a恒成立，aN(-2x+Jx+1)”.

设m(x)=—2x+Jx+1令y/x+1=t,贝h=t2—l,t[1,4],

,1,17

m(t)=-2(产-1)+r=-2(f--)2+y

所以，当t=l时，相。),皿工=1,.•.azl.

题型二指数函数的定义域与值域

1.函数y=的值域是()

D—Z,A>1

A.B.(-2,-HX.)

C.D.(-2,-1]

【答案】D

【解析】当XVI时，函数y=3，--2单调递增,因为无一1V0,则0<3%1,

所以，-此时，函数y=31-2的值域为

当尤>1时，函数y=3j-2=（g1-2单调递减，因为彳一1>0,则0<[g]<1.

所以，一2<9]'-2<-1,此时，函数〉=3--2的值域为（―2,-1）.

f3"_1_9r<1

综上所述，函数y=:，的值域是

故选：D.

2.已知/（力=3〜（2<x<4,6为常数）的图象经过点（2,1）,则的值域为（）

A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[l,+oo）

【答案】C

【解析】因为函数〃力=3^的图象经过点（2,1）,则/⑵=32--,所以，b=2,则〃x）=3A2,

因为函数/(x)=3A2在[2,4]上为增函数,

当24x44时,/(2)</(x)</(4),gpi</(x)<9.

故选：C.

3.已知〃x)=x1%+"

（1）求函数〃x）的定义域；

（2）判断〃力的奇偶性,并说明理由；

（3）证明f（x）>0.

【答案】（1）（-8,0）U（0,内）；（2）/（X）为偶函数，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）由2。1/0,得2*21，即无力0.

.・・函数”必=«m\+£|的定义域是｛小片0｝；

[1x（2r+l）

(2)函数y=的定义域关于原点对称，〃尤)=xx+

2-l22（2'-1）,

〃-x）=x

22（2--1）-2（1-2'）2（2X-1）=/（）>

八+；)为偶函数;

所以,函数〃x)=x-

Z—1Z)

^M>0.

（3）当x>0时，2工一1>0,2r+l>0,则/（无）

2（2%-1），

由于函数y=/(x)为偶函数,当x<0时,-x>0,则于(x)=/(—x)>0.

综上所述，/(x)>0.

—lx—3

4.求函数y=I的定义域、值域:

【答案】答案见详解

【解析】函数定义域为R

Vx2-2x-3=（x-1）2-4>-4

—2.X—3-4

I<I=16

I2

X2-2X-3

又：II>0

为22*3

二函数y的值域为（0,16]

综上，知：函数定义域、值域分别为R、(0,16]

5.设函数f（x）=a-2,2T（aeR）

3

(1)若函数y=/(x)的图象关于原点对称，函数g(x)=/(x)+],求满足g(x°)=0的％的值;

(2)若函数/z(x)=/(尤)+4，+2T在xe[0,l]的最大值为乜,求实数。的值.

【答案】(1)-1；(2)-3.

【解析】(1)•••〃*)的图象关于原点对称,

/（-x）+f（x）=0,

/.a-2-x-2T+a-2'-2*=0,即（a-1）•（2-x+2工）=0,所以“=1；

3

令8（%）=2'_2一+5=0,

则2.（2厅+3.（2*）-2=0,

（2v+2）-（2-2'-l）=0,

又2工>0,Ax=-l,

所以满足g5)=0的%的值为无。=-1.

（2）h（x）=a-2x-2-x+4x+2-x,xe[0,l],

令2'=%w[l,2],

2

h(x)=H(t)=t+at9tG[1,2]，

对称轴

①当1一@工』，即〃之一3时,

22

^max«=W)=4+2t7=-2,

a=—3；

②当—二即a<—3时，

22

凡皿。)=»⑴=1+4=-2，

**.a=—3(舍)；

综上：实数a的值为-3.

题型三指数函数的单调性

1.若函数〃x)=[C:""二''"7单调递增，则实数。的取值范围是()

[a,x>7

A.g"B.*3)C.(1,3)D.(2,3)

【答案】B

1(3—a)x-3,x,7

【解析】解：函数/(、)=>6r单调递增，

[a,x>7

3—Q>0

9

<a>1解得一Wa<3

4

(3-a)x7-3Wa

所以实数。的取值范围是*3；

故选：B.

2.对于函数的定义域中任意的小马(芯片马)，有如下结论:当〃力=2,时，上述结论正确的是()

A.f(xl+x2)=f(xi)-f(x2)B./(^-x2)=/(x1)+/(x2)

CZWzZW>0D.户+.</(x)+Q

jq-x2\2)2

【答案】ACD

[解析]对于A,/(玉+%)=2»*,/(占>/(赴)=2*2*=2'+次，f(xl+x2)=f(xl)-f(x2),正确;

对于B,〃不动=2"「也，)+/伍)=2』+2*,〃玉.无2户〃勺)+〃%)，错误;

对于C,/(x)=2工在定义域中单调递增，>o,正确;

X|则f1%+%]<小|)+〃%)

对于D,f1百Jj=2^r=也巾<1(2+2*。)=/(/)+.」2)又龙产马，正确;

故选：ACD

3.已知函数〃力=娱"是定义在R上的奇函数.

(1)求〃的值；

(2)判断并证明函数/(X)的单调性，并利用结论解不等式：/(X2-2X)+/(3X-2)<0；

「"k~

(3)是否存在实数左，使得函数/(x)在区间上九,九］上的取值范围是—?若存在，求出实数上的取值范围；若不

存在，请说明理由.

【答案】(1)«=1；(2)〃x)是R上的增函数，证明见解析；-2<x<l；(3)存在；实数人的取值范围是

(-3+272,0).

【解析】解：(1)〃龙”"^是定义在R上的奇函数,

v74X+1

..1(0)=0,从而得出。=1,

--1

4%—14T_14%_14X4X-11-4X

a=l时，/(%)+/(-%)=+--------1--------=0,

4X+14一"+14%+l4无+11+4”

4”

\1=1;

(2)“X)是R上的增函数，证明如下：

设任意再，々eR且为<工2，

222(4』-4,

4电+14X,+1(4电+1)(4为+11

玉<九2，...4画<4^2，4*+1>0，4超+1>0,

•・J(x)是在上是单调增函数.

/(x2-2x)+f(3%-2)<0,

又•「/(%)是定义在R上的奇函数且在(f，”)上单调递增,

.•./(X2-2X)</(2-3X),

.•.尤2—2x<2—3x,-2<x<1；

(3)假设存在实数上使之满足题意，

由(2)可得函数在［加，”］上单调递增,

f(m)/4"-1_k

¥+1—4m

fW=|'…£-1_k

〃

1414+14n

〃为方程亦4的两个根’即方程亦丁有两个不等的实根,

令4、=f>0,即方程/一(1+左)一左=0有两个不等的正根，

于是有4-(1+切>o且-左>0且［-(1+公/一4(-幻〉0,

解得：-3+2^2<k<0.

,存在实数鼠使得函数”X)在［桃川上的取值范围是备卷,并且实数人的取值范围是卜3+2忘,0).

4.已知函数/(尤)

(1)若a=-l,求函数的单调区间;

(2)若有最大值3,求a的值；

(3)若〃x)的值域是(。，+6),求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调增区间是(-2,”)，单调减区间是(-*-2)；(2)1；(3)0.

/、一X?—4x+3

【解析】解：⑴当a=—l时，g，

令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,

则g(%)在(-8,-2)上单调递增，在(-2,^)上单调递减,

而>=在R上单调递减，

所以/(X)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,y)上单调递增，

即函数/(X)的单调增区间是(-2,y),单调减区间是(-8,-2)；

(1、心)

⑵令〃⑴=加一4%+3,〃力=b),

由于有最大值3,所以〃(x)有最小值-1,

a>0

因此必有V3〃-41，解得4=1,

--------=—1

、a

即当f(x)有最大值3时，实数。的值为1；

(3)在(2)基础上，由指数函数的性质知，

要使y=h)的值域为(0,+8),应使/z(x)=G?-4x+3的值域为R,

因为二次函数的值域不可能为R,所以。=0.

题型四指数函数的最值问题

1.若指数函数y=a'在区间［-1,1］上的最大值和最小值的和为g,贝心的值可能是().

1

A.2B.gC.3D.

3

【答案】AB

【解析】设y(x)=，,

当。>1时，指数函数/(X)=优单调递增，所以在区间［T1］上的最大值为加二/⑴二。，最小值ymm="T)=L所以

a

a+-=f,求得a=2或者a=:(舍)；

a22

当0<a<l时，指数函数/a)=相单调递减，所以在区间1-1,1］上的最大值y1m*=/(-1)=L最小值/“=/⑴=〃，

a

所以a+』=g,求得a=2(舍)或者。=上

a22

综上所述：。=2或者。=上

故选：AB

2.已知函数〃%)=优(。>0,。幻1),且在区间［1，2］上的最大值比最小值大2.

(1)求。的值；

(2)若函数y=〃2x)+f(-2x)+2m［f(x)-/(-x)］在区间［1,内)的最小值是-2,求实数机的值.

【答案】(1)”=2；(2)m=—2.

【解析】(1)当">1时，函数/(》)="在区间口，2］上单调递增，

2

则该函数的最大值为1rax=/(2)=«,最小值为f(x)mn="1)=a,

由题意得4。-a=2,解得a=2,或a=—1(舍去)；

当0<。<1时，函数〃力="在区间［，2］上单调递减，

2

则该函数的最大值为“力1mx=/(1)=a,最小值为f=/(2)=a,

由题意得“-M=2,即〃“+2=0,该方程无实数解.

综上4=2;

(2)函数y=〃2x)+〃_2x)+2m［f(x)-/(-%)］=22v+2口+2m(T-2-),

令g(x)=2*-2T,xe［l,+oo),任取士>马21,

因g_g(%)=(2为—2f)—(2%一2f)=(2为一2石)+(2一也一2f),

国>%,所以-%>-怎,有*>2花，2f>2f，所以g(西)>g(%).

则函数y=g(x)在［l,+oo)上单调递增,故g(x"g⑴=不.

令g(x)=f,因此，d；，所以问题转化为：

函数人⑺=/+2wtf+2在|>+0Oj上有最小值-2,求实数机的值.

因力⑺=(/++2-〃/,对称轴方程为t=-m,

当-加工三时，即当相之一'时，函数丁="(。在5，+8上单调递增，

22|_2/

,3、1717754

故“⑺min='日=3〃?+7,由加+7=一2,解得"2=-%与机2-弓矛盾；

33c

当一时，即当机＜一5时，/，(/■)“而=力(一〃7)=2—根~,

由2—»?=—2,解得“2=—2或帆=2(舍去).

综上，m=-2.

3.己知函数,=4得_2何+5，xe［0,2］.

(1)求函数在［0,2］上的单增区间；

(2)求函数在［0,2］上的最大值和最小值

【答案】(1)单增区间为［12；(2)Wn=3,ya=5.

X_L1

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