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文档简介

第二节偏导数一、偏导数的定义及计算法二、高阶偏导数以前：一元函数

y=f(x)在点x0处的导数

一、偏导数的定义及计算法现在：中的y固定于得一元函数y0处,这个一元函数在将x0

处的导数，称为二元

在点

处对的偏导数

1．函数在点(x0,y0)处的偏导数（一）偏导数的定义定义1.,点存在,则称此极限为如果对z=f(x,y)在点(x0,y0)对

x

的偏导数，记为如果存在,机动目录上页下页返回结束则称此极限为z=f(x,y)在点(x0,y0)对

y

的偏导数,记作或同样地注定义2函数对x的偏导(函)数，或记作其中2．函数的偏导数函数对y的偏导(函)数，或记作其中（二）偏导数的计算法1．偏导函数的计算法（以前的公式与方法）对z=f(x,y)求只要把y看作常量，z对x求导.求只要把x看作常量，z对y求导.2．点处偏导数的计算法方法一（一般方法）：先求偏导函数，再将点的坐标代入．先化成一元函数，再求导数值．方法二：。方法三（用于求分段函数在分段点处的偏导数）：直接按偏导数的定义求。解例1

设 ，求解例2设

求解例3

设其中可导，求例4.设求解解例5

设，求例6解设求对称地（三）偏导数存在与连续的关系偏导数存在连续例如：在点处偏导数存在，但不连续．（见本节例6及上节例4）又如,但fx(0,0)及fy(0,0)不存在.在(0,0)处连续,（四）偏导数的几何意义在几何上表示曲面与平面的交线在点处的切线Tx

对x轴的斜率．同理表示切线Ty对y轴的斜率.二、高阶偏导数1.高阶偏导数的定义不记定义函数z=f(x,y)的一阶偏导数的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.n-1阶偏导数的偏导数，……称为函数z=f(x,y)

的n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。2.二阶偏导数的记号对于z=f(x,y)记作：记作：记作：记作：纯偏导混合偏导说明1

z=f(x,y)的三阶偏导数说明2二元以上多元函数的高阶偏导数也有类似的记号及意义.3.

求高阶偏导数举例解例7

设求发现这是否为一般规律？否！定理的混合偏导数及在点(x,y)处连续，如果z=f(x,y)那末注1若式(*)成立,就说混合偏导数与求偏导次序无关。注2式(*)并不总成立.解例8

设求习题P62~631,2(1)(2)(3),4,7(2)(3),8.内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续在混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺

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