《高等数学下册 第3版》 课件 D12-2 一阶微分方程

第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程*三、可化为齐次方程的方程四、一阶线性微分方程五、伯努利(Bernoulli)方程

第十二章转化机动目录上页下页返回结束解分离变量方程可分离变量方程一、可分离变量的微分方程分离变量方程的解法:设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束例1.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束例3.

求下述微分方程的通解:解:

令则故有即解得(C为任意常数

)所求通解:机动目录上页下页返回结束练习:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C

为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束例4.子的含量

M

成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)

随时间t

的变化规律.解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知

t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动目录上页下页返回结束例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时机动目录上页下页返回结束例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h

随时间

t

解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积的变化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由

h

降到机动目录上页下页返回结束对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:机动目录上页下页返回结束两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度h与时间

t

有下列关系:机动目录上页下页返回结束二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)机动目录上页下页返回结束例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束可得OMA=OAM=

例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕

x

轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:机动目录上页下页返回结束利用曲线的对称性,不妨设

y>0,积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

机动目录上页下页返回结束顶到底的距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得机动目录上页下页返回结束(h,k

为待*三、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),机动目录上页下页返回结束求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:

上述方法可适用于下述更一般的方程机动目录上页下页返回结束例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:机动目录上页下页返回结束得C=1,故所求特解为思考:

若方程改为如何求解?提示:第四节目录上页下页返回结束四、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;机动目录上页下页返回结束对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程机动目录上页下页返回结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例3.有一电路如图所示,电阻

R

和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L

都是常量,机动目录上页下页返回结束∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得机动目录上页下页返回结束暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:机动目录上页下页返回结束五、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

机动目录上页下页返回结束

找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程

2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束4.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.5.伯努利方程机动目录上页下页返回结束思考与练习1.求下列方程的通解:提示:(1)

分离变量(2)

方程变形为机动目录上页下页返回结束2.判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动目录上页下页返回结束备用题1.

求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出机动目录上页下页返回结束2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有机动目录上页下页返回结束2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为机动目录上页下页返回结束(