浙江省9+1联盟2024年高三年级下册3月高考模拟数学试卷（含答案与解析）

2023〜2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟3月高考模拟卷

数学

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答

题纸规定的位置上；

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷

上的作答一律无效；

4.选择题一律使用2B铅笔填涂答案，非选择题一律用0.5毫米黑色字迹中性笔写在答题纸上

相应区域内；

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.已知全集。={123,4,5}，,1（^）={1,2},（^）,W={4}，M"W）={3},则）

A.0B.{4}C.{5}D.{1,2}

_20

2.若复数z的实部大于0,且z（z+l）=—,则2=（）

''3+i

A.l-2iB.-l-2iC.-l+2iD.l+2i

3.已知向量A,e2是平面上两个不共线单位向量，且A3=ei+2e2,5C=—3ei+2e2,D4=3ei—6e2，

则（）

A.A、B、。三点共线B.A、B、。三点共线

C.4C、。三点共线D.B、G。三点共线

4.已知数列{4}满足：。1=%=40,且数列卜吊aJ为等差数列，则600=（）

A.10B.40C.100D.103

5.如图，已知长方体ABC。-A4G0体积为V,E是棱的中点，平面A4E将长方体分割成两部

分，则体积较小的一部分的体积为（）

a

6.已知椭圆石：=+与=1（。〉6〉0）,直线/：y=x——）与E交于A3两点,且

ab

04+05=（24-;1）（彳工0）.则椭圆E的离心率是（）

A.yB.—C.逅D.立

2232

7.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混

双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）

A.2025种B.4050种C.8100种D.16200种

8.设函数［（x）=sin%+J§cosx+1.若实数使得4（x）+妙（x—。）=1对任意xeR恒成立，则

a—bcos（p=（）

A.—1B.0C.1D.+1

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.为了得到函数y=2cos2x的图象，只要把函数y=2sin［2x-《］图象上所有的点（）

jr7T

A向左平移一个单位长度B.向右平移一个单位长度

33

2兀2兀

C.向左平移二个单位长度D.向右平移丁个单位长度

10.高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全

部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得。分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项

正确的概率是记x为小明随机选择1个选项的得分，记y为小明随机选择2个选项的得分.则

A.P（X=O）＞P（Y=O）B.P（X=2）＞P（Y=2）

CE（X）＞E（y）D.D（X）＞D（Y）

11.对于/(%)满足/(x)+/(l—x)=l"(x)=2C,且对于0<%<1,恒有

/(%)</(9)•则()

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

12.已知（ax-l）2（2x-l）3=。0+%%+＜72/.若/+6+%+。3+。4+。5=。，则

13.应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很

短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截

口示意图）所示.其中，一个反射镜尸。。弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜"RN弧所在的曲线为双

曲线一个分支.已知耳，耳是双曲线的两个焦点，其中B同时又是抛物线的焦点，且，

/叫耳=45。011/人%鸟=，4叫心的面积为：10,。阊=8,则抛物线方程为.

14.函数/（%）=—_吧＞0）最小值是

四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤.）

15.如图，已知正三棱柱ABC—456，他=应44，。,后分别为棱4耳，展的中点.

(1)求证：48,平面AG。；

(2)求二面角A-C]D-E的正弦值.

16.今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈.节目的第二部分是互动

环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮.节目

主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜.如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半

放在桌上(牌背向上)，排成一列.

(1)将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数

字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；

(2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个

数记为X,求X的分布列及数学期望.

2222

17.如图，由部分椭圆一+£=l(a〉6〉0,y40)和部分双曲线三―£=1(^20),组成的曲线。称为

“盆开线”.曲线C与x轴有4(2,0)、5(—2,0)两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为4.

(1)设过点。,0)的直线/与C相切于点求点M的坐标及直线/的方程;

(2)过A的直线机与C相交于点P、4Q三点，求证：ZPBA=ZQBA.

18.已知函数/(%)=三+依2+for+c.

(1)如果1和-1是/(%)的两个极值点，且/(%)的极大值为3,求/(%)的极小值；

(2)当人=0时，讨论了(另的单调性；

(3)当c=0时，且函数〃尤)在区间［-2,2］上最大值为2,最小值为—2.求/⑶的值.

k

19.已知实数q#0,定义数列{%}如下:如果巩=%+2%+22々+-+2xk,xiG{0,1},Z=0,l,2,--.,A;,

2k

则an=x0+&q+x2q++xkq.

(1)求%和%(用)表示);

n

(2)令勿=，证明：£b［=aTx；

i=l

(3)若l<q<2,证明：对于任意正整数叫存在正整数机，使得<册<4+1.

参考答案

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.)

1.已知全集。={123,4,5}，,1(枫)={1，2}，(』}W={4}，M"W)={3},则〃cN=()

A.0B.{4}C.{5}D.{1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】根据Venn图，即可求解.

【详解】如图，画出Venn图，并将条件中的集合标在图中，

如图，集合McN={l,2,5}c{4,5}={5}.

故选：C

-20

2.若复数z的实部大于0,且z(z+l)=—，则z=()

'73+1

A.l-2iB.-l-2iC.-l+2iD.l+2i

【答案】D

【解析】

【分析】设z=a+历,a>0力wR,再根据复数的乘法和除法运算结合复数相等的定义求出a,b即可得解.

【详解】设2=。+历,a>0,6eR,

20

代入z(z+1)=3+.，得/+加+a-bi=6—2i，

解得：a=l,b=2,

所以z=l+2i.

故选：D.

3.已知向量ei,e2是平面上两个不共线的单位向量，且A3=臼+2e^,BC=—3ei+2e2,DA=3ei-6e2，

则()

A.A、B、。三点共线B.A、B、。三点共线

C.4C、。三点共线D.B、a。三点共线

【答案】C

【解析】

【分析】由平面向量共线定理求解即可.

【详解】对于A,因为A5=ei+2e2,5C=—3q+2e2,若AB、C三点共线，

1=—32

设AB=ZBC，则.。，无解，所以4B、C三点不共线，故A错误；

对于B,若A、B、D三点共线，

1=3〃

设=贝I]°,,无解，所以AB、。三点不共线，故B错误；

[2=-6〃

2

对于C,因为AC=AB+BC=(g+2«)+(―3«+2G2)——2g+4q——A.D,

因为ACAD有公共点A,所以A、C.。三点共线，故C正确.

对于D,因为DB=DA+AB=(3,—64)+(6+2^2)=4,—4弓，

BC——3号+,设DB=kBC,

4=-3k

则｛）…，无解，所以&G。三点不共线，故D错误；

-4=2k

故选：C.

4.已知数列｛4｝满足：6=。9=40,且数列｛Maj为等差数列，则600=（）

A.10B.40C.100D.103

【答案】D

【解析】

【分析】设数列｛、历4｝的公差为d,借助等差数列的性质可计算出d,即可得IOq。。，即可得解.

【详解】设数列【、加的公差为d,则4=也二^=四=10,

I>9-18

00％00

故10tzi=4+99d=1030,所以=103.

故选：D.

5.如图，已知长方体ABC。-A4GA的体积为V,E是棱GA的中点，平面A与E将长方体分割成两部

分，则体积较小的一部分的体积为（）

B

持D.-V

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，先求平面AgE与。2交点厂的位置，再设长方体的长、宽、高分别为久b、c,最后

利用三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】取。2的中点厂，连接所，易知EFIIDCJIAB、,所以平面与。2交点为R.

设长方体的长、宽、高分别为。、b、c,

平面AB.EF将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为

_1,1111C1K_7Z,_7T7

VpARA+VpARFn——b—ci-c~\—x—c—uH—a\-b=—abc=­v.

f用46-AMER323222J2424

故选：A.

22

6.已知椭圆石：二+三=1(。〉6〉0),直线/：y=x—J/一、与E交于A3两点,且

ab

04+03=(24—2)(2HO).则椭圆£的离心率是()

A.yB.—C.逅D.B

2232

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知A5中点M是直线/与直线丁=-的交点，所以求得gc],联立椭圆与直

2a2c4

线/的方程可得玉+%2=^g=gc，解方程即可求出答案.

【详解】设立(%,%),3(%2,%),记c=J〃2_少2,

设AB中点M，所以。4+05=2OM，

由题意可知，AB中点M是直线/与直线y=-(%的交点,

y=x-yja2-b2=x-c

联立《1，解得M

y=——x

2

2

x21

b1~=1,得

另一方面，联立A—2a2cx+a2c2—a2b2=0.

y=x-c

2a2c4

易知A>0,由韦达定理得苞+々=，解得々2=2从，

所以"=2（/-°2）,故离心率6=工=也.

a2

/

_/

故选：B.

7.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加二场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混

双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）

A.2025种B.4050种C.8100种D.16200种

【答案】B

【解析】

［分析］首先考虑两对混双的组合,再考虑余下4名男选手和4名女选手组成两对男双组合,两对女双组合，

按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】先考虑两对混双的组合有2C3或种不同的方法，

余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合,

故共有2C〉C；x3x3=4050.

故选：B

8.设函数/(x)=sin%+J§cosx+1.若实数凡。,。使得4(x)+幼(x—。)=1对任意xeR恒成立，则

a—bcoscp=()

A.—1B.0C.1D.+1

【答案】c

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数/*),再利用差角的正弦公式变形等式，借助恒成立建立关系，并分析计

算即得.

JT

【详解】函数/(x)=2sin(x+§)+l,

兀71

依题意，2〃sin(尤+—)+2/?sin(x+--^)+^+/?=1对任意的xeR恒成立，

即2asin(九+三)+2/?sin(x+j)coscp-2/?cos(x+y)sin0+々+人一1=0对xeR恒成立，

兀兀_

因此2(〃+bcos°)sin(犬+—)-2Z?sin^os(x+耳)+。+人一1=0对不£区恒成立，

a+bcos0=0

于是＜bsin"=0,显然力。0,否则〃=0且〃=1,矛盾，

a+b-\=0

则sin"=。，显然cos^wl,否则〃+6=0且Q+Z?=1,矛盾,

从而cos"二—l,解得。=/?=；,c=(2左+1)兀，

所以a-Z?coso=l.

故选：C

【点睛】关键点睛：把给定的等式利用差角的正弦公式按角尤+1展开，借助恒等式建立方程组是解决本问

题的关键.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

为了得到函数的图象，只要把函数《图象上所有的点(

9.y=2cos2xy=2sin2x—)

7TJ?

A.向左平移；个单位长度B.向右平移彳个单位长度

33

C向左平移上个单位长度D.向右平移」个单位长度

33

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论.

【详解】把函数＞=2sin-看］图象上所有的点向左平移g个单位长度，

可得函数y=2sin（2x+g—《］=2sin^2x+^j=2cos2x的图象，A正确；

把函数y=2sin［2x-t］图象上所有的点向右平移g个单位长度，

（2兀Jt।（7171）I71।

可得函数y—2sinl2x--——I=2sinl2x————\=—2cosI2%—§J的图象，B错误；

把函数y=2sin12x-图象上所有的点向左平移g个单位长度，

可得函数y=2sin^2x+———=2sin——+—_2cos的图象，c错误；

把函数y=2sin|^2x-^图象上所有的点向右平移g个单位长度，

（4兀兀\（3兀\

可得函数y=2sinI2x————I=2sinI2x——1=2cos2x的图象，D正确；

故选：AD.

10.高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全

部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得。分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项

正确的概率是记X为小明随机选择1个选项的得分，记y为小明随机选择2个选项的得分.则

A.P（X=0）＞P（y=0）B,P（X=2）＞P（y=2）

C.E（X）＞E（y）D.D（X）＞D（y）

【答案】BC

【解析】

【分析】先求出x,y的分布列，可判断A,B；再由数学期望和方差公式求出石（x）,石（F）,

r>(x),z)(y)可判断c,D.

【详解】X为小明随机选择1个选项的得分，所以X=0,2,

P(X=0)=-x-+-x-=-,P(X=2)=-x-+-x-=-

'7224281722428

则X的分布列为：

2

由此可得E（X）=2＞＜3=*D（X）=（o-j5d+2二534

4841816

y为小明随机选择2个选项的得分，所以y=o,2,6,

p(y=0)=-x-+-x-=-,p(y=2)=-x-=-,

',62223、7224

p(y=6)=X4,

_______________x—=1,

''412

D(y)=(0-l)2x-+(2-l)2x-+(6-l)2x—=-+-+—=3.

v734123412

所以p(x=o)<p(y=o),p(x=2)>p(y=2),E(X)>E")，D(X)<D(K).

故选：BC.

X

11.对于xe[0,l],〃尤)满足/(x)+〃l—x)=l,/(x)=2/，且对于0＜石＜々＜1,恒有

/(^)</(%2).则()

11

A.T2=2/D.—<f<——

10018032160-16

【答案】ABD

【解析】

【分析】赋值法求得/(O)=O,/(l)=l,/f|U/

IP由/(x)+/(l—x)=l,求的值

x

判断选项A由小)=2/求得

1_L4±4

II58A16224332'-口口

0<%<%<1恒有/(玉)W/(%2)，对BCD中的函数值进行判断.

【详解】令x=0代入/(6+/(1_力=1及/(X)=2/1£|,得/(0)+/⑴=1,/(0)=2/(0),所以

/(0)=0,/(1)=1,

1100

+/1一面5-，A选项正确;

100!=0100乙i=0_100

令=1代入y(x)+/(l-x)=l,得f|；令x=l代入/(x)=2/x

XI由，得

I口⑴

1111

I22II2I2i

1111111

12A2161622243232

对于0<苞<%<1.恒有/(%)《/(%)，

55II=2/1,B选项正确;

1

5—,C选项错误;

516

D选项正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛:

抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结

论，常用的方法有:

(1)令》=・，—2,—1,0」,2,•等特殊值求抽象函数的函数值；

1

(2)令工=%1，丁=々或丁=一，且石<々，判断抽象函数的单调性；

Xl

(3)令丁=一刀,判断抽象函数的奇偶性；

⑷换x为X+T,确定抽象函数的周期；

XY1

(5)用犬=不+大，或一换为x等来解答抽象函数的其它一些问题.

22x

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上)

12.已知(ax-l)2(2x-l)3=4+.若/+6+%+。3+。4+%=。，则

【答案】38

【解析】

【分析】借助赋值法可得。，结合二项式定理计算即可得解.

【详解】令为=1,则有(<7—1)2=%+q++%+。4+。5=0，即。=1,

即有(X—1)2(2%—1)3,则/=仁2谶-1+(—C；)-22.C；-(—1)+1"=38.

故答案为：38.

13.应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很

短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图(中心截

口示意图)所示.其中，一个反射镜尸。笈弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双

曲线一个分支.已知耳，鸟是双曲线的两个焦点，其中B同时又是抛物线的焦点，且，

ZNF2F}=45°,tanNNK6=^,ANF1F2的面积为10,\OtF2\=8,则抛物线方程为.

【答案】/=32（x+3）

【解析】

【分析】设F[（-c,O）,K（c,O）,N（%y0）（x0>0,%>。），由NN8片=45。,tanNN4月=；,S△叫&=10,

解出。得a点坐标，结合|a玛|=8得抛物线方程.

【详解】以耳区的中点。为原点，耳鸟为x轴，建立平面直角坐标系，

不妨设E（-C,0）,耳（G0）,N（如%）（%>0,%>0）.

1=-32

由tanNNK&=[,NN鸟片=45。，则有仔+c4,解得/=/,%=不,

七一一

12

又SgL：片闾%=铲2=10,解得。=5,

|a鸟1=8,则有/（-3,0）,

故抛物线方程为y2=32（x+3）.

故答案为：丁=32（%+3）

龙3已3%—3]「尤—1

14.函数/(x)=——理>0）的最小值是

x

【答案】3

【解析】

【分析】求函数/（%）的导函数/'（龙）,再利用导数研究r（%）的零点及零点两侧函数值的正负，由此确定

函数/（%）的单调性，再求其最值可得.

3x4e3x+2x3e3v+31n%-2

【详解】r（x）=

x1

令g(x)=3x4e3A+2x3e3"+3hiv-2,

则g，(%)=9x4e3x+18x3e3x+6x2e3x+

X

当x>0时，g'(X)>0,

所以g(x)在(0,+CO)上单调递增，g(x)=3x4e3"+2^3e3x+31nx-2=3%e3x+3ta+2e3-r+31ar+31nx-2,

设/z(x)=31nx+3x,

因为〃(%)=31nx+3%在(0,+8)上单调递增，

因为/i(l)=3>0,/i(e3)=-9+3e3<0

存在尤0,使31叫+3/=0,

Jlg(x0)=3x0+2+31nx0—2=31nx0+3x0=0,

故当xe(O,/)时，g(x)<0,即/'(x)<0,所以〃龙)在区间(0,%)单调递减，

当xe(%o，+co)时，g(%)>0,即制x)>0,所以/(九)在区间(％,+oo)单调增，

所以［八)］广小)「。”一3*-1二如叫—3两—「眄=§.

i""无0%0尤0

故答案为：3.

【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识

点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相

联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极

值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

四、解答题(本大题共5小题，共计77分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤.)

15.如图，已知正三棱柱ABC—分别为棱的中点.

A

（1）求证：45,平面AG。；

（2）求二面角A-C。-E的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

3

【解析】

【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；

【小问1详解】

取A5中点P，由正三棱柱性质得，4B，DG，EE互相垂直，以。为原点，分别以。片,。£,。少所在

直线为了轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设A4=2,则44=2夜，

则A（-V2,0,0）,A（-V2,0,2）,B（72,0,2）,Q（0,后,0）,E1中，乎,2.

（22J

证明：43=（20,0,2）,加=卜后,0,2）,℃=（0，痴，0），。£=[中,乎,2],

（22J

由4§.。4=（2点,0,2）｛—0,0,2）=—4+0+4=0,得4台,AD,

由=（272,0,2）-（0,76,0）=0+0+0=0,得AB'DG，

因为AD,u平面AG。，A。DQ=D,所以平面ACQ.

【小问2详解】

由（1）可知AB=（2后,0,2）为平面AC1。的一个法向量，设"=（羽％z）平面GDE的法向量,

n-DE=0(x,y,z)[#,乎,2=0"x+2&z=0

n-DC.=0,x/1~\y=0

[(x,y,z).(0,«,0)=0.

令z=1，得面CQE的一个法向量为n=(-272,0,1),

设二面角A-C.D-E的值为0,

则,058|=怛［=£,所以，二面角A—G。—E的正弦值为逅.

河网33

16.今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈.节目的第二部分是互动

环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮.节目

主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜.如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半

放在桌上（牌背向上），排成一列.

（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数

字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；

（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个

数记为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】（1）1

（2）分布列见解析，数学期望为1

【解析】

【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；

（2）先确定随机变量X的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，

再利用期望公式求其期望.

【小问1详解】

设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为A,

由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张

的方法数为C；C〉

翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为C；C；C；,

2

则P（A）=

C消3

2

所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为m.

【小问2详解】

由已知随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4,

P(x=0)=签=|,P(X=1)=竽1

①-^*-43

17.如图，由部分椭圆\+£=1（4〉6〉0,3；40）和部分双曲线鼻—5=1（丁20）,组成的曲线。称为

“盆开线”.曲线C与X轴有4（2,0）、5（—2,0）两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为孝

(1)设过点。,0)的直线/与。相切于点求点M的坐标及直线/的方程；

(2)过A的直线机与。相交于点尸、4Q三点，求证：ZPBA=ZQBA.

【答案】(1)M(4,3),x-y-1=0

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据离心率乘积以及4(2,0),3(-2,0),可求得a力，可得椭圆方程和双曲线方程，设切点为

/(%，%)，可得切线方程，由过点。,0)，即可求解M和直线方程；

(2)设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合的BP,/。斜率之和为零，即可求

证.

【小问1详解】

由题设可得叵正x叵王=立，a=2,6=百，

aa4

2222

故椭圆方程为：^-+^-=i(y<o),双曲线方程为\=i(y»o)・

22

由图可知，切点/在双曲线'—十=1(丁20)上.

设/(%,%),则左=£,则切线/的方程为：?―学=1,

因为直线/过点(1,0),所以，%=4,

22

将=4代入——=1(y20),得%=3,

所以，M(4,3),直线/的方程为：x-y-l=0.

【小问2详解】

由题意可得P。的斜率存在且不为零，故设方程为：y=k(x-^,

Yy2

彳―5=1（，»°）整理得：（3-4yl2）x2+16k2x-16k2-12=0,

联立《

y=k^x-2）

A=256左4—4（3—4左2）（—16左2-12）>0

0n,石口，也

，即上片、—且左片―二,

3—4心022

解得：彳=2或工=丝土自，即。’8左2+612k、

4左2—3、4年2—3,4左2—3,,

%22

彳+至=1"<0）整理得：（3+4r）尤2一16k2%+16左2—12=0,

联立《

y=左（工_2）

8k2-6/弘2—612k、

解得：彳=2或%=即P

4k-+3邓2+3'4左2+3,

12k12k

所以左BP+^BQ=87吃6+3+4k2-3_n

弘2+6c，

4r+3+2

4左2一3

所以原P=~kBQ,所以ZPBA=ZQBA.

18.已知函数+依2+bx+c.

(1)如果1和-1是/(九)的两个极值点，且了(%)的极大值为3,求/(%)的极小值；

(2)当b=0时，讨论/(九)的单调性；

(3)当c=0时，且函数八%)在区间［-2,2］上最大值为2,最小值为—2.求/⑶的值.

【答案】(1)-1

(2)答案见解析(3)18

【解析】

【分析】(1)求出函数的导函数，依题意可得1和T是方程3/+2℃+b=0的两根，利用韦达定理求出a、

b的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出。的值，最后求出极小值；

(2)求出函数的导函数，再分。>0、。=0、a<0三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

⑶依题意—2W/(2)W2,—2W/(—2)W2即可求出。、匕的范围，再求出导函数，结合特殊值可得

/'(x)=0有两个实数根/龙②，且-2<石<0<%<2,即可得到/是八％)的极大值点，巧是〃龙)的极

小值点，则/(%)W2,/(x,)>-2,结合韦达定理得到.4a'T2j£_,42,再由

3<93J

~12b\—>2,即可求出。、力的值，从而得解.

3(93)

【小问1详解】

因为/(X)=三+双2+区+c,所以/'(%)=3f+2av+〃，

因为1和-1是/(%)的两个极值点，所以1和-1是方程3d+2G：+Z?=0的两根，

112〃

-1+1=----3-(<2=f0A/、a

故｛,,解得<C，即/(X)=%3-3X+C,

、、bb=-3

-1x1=—।

[3

所以r(x)=3*_3=3(x+l)(x_l),

因xe(-w,-l).(l,oo)时，/^x)>0,当XG(-L,1)时,/(x)<0,

所以/(%)在区间(一—T),(1,8)上单调增,在区间(—1,1)上单调减，

所以/(%)极大值=/(—1)=—l+3+c=3,解得c=l,

所以“1)极小值=/⑴=l—3+l=—L

【小问2详解】

当Z?=0时/(力=三+依2+。定义域为R,

r\

X/f(x)=3x*12+32ax，令/''(*)=0，解得尤=。或x=—~,

若a<0,则当xe(—8,0)u(—?,+8卜寸，当xe[0,一彳]时，/(%)<0.

故”可在区间(F,0),单调递增，在,,一言)上单调递减；

若a=0,则/'(无)20恒成立，所以"％)在区间(fo,"o)单调递增;

§,o4寸，r(x)<°.

若a>0,则当u(0,+oo)时，>0；当xe

故/(%)在区间卜s,一7,(0,+⑹单调递增，在一5,0上单调递减.

综上可得：当。<0时八X)在区间(7,0),［-可,+刃单调递增，在［0,一3-J上单调递减;

当a=0时/(%)在区间(F,-H»)单调递增；

当a>0时”可在区间，叫―g)0,+8)单调递增，在［一彳,。］上单调递减.

【小问3详解】

当c=0时，/(x)=x3+ax2+bx,

由题意得：—2</(2)=8+4a+20<2,即—5<2a+》<—3,①

-2</(-2)=-8+4a-2Zj<2,即3<2a-6<5,②

由①、②可知，—<a<一,—5WZ?W—3.③

44

因f\x)=3x2+2ax+b,尸(-2)=12-4a+》212-1-5=6>0,

f\0)=b<0,/,(2)=12+4a+Z?