2024年高考数学复习突破 不等式的证明

第4讲不等式的证明

不等式问题是导函数考试的重点，也是难点.一方面是导函数的进一步应用，利用导

函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也

可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性，所以不等式在基础阶段

起重要的衔接作用.

在后面的高级课程里面,不等式也是起着关键作用，特别是和放缩法结合来证明不

等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展

开,要好好体会关于不等式的证明，深刻理解不等式在导函数中的作用.

不等式问题的核心就是合理地构造函数，函数的构造将在后面章节讲解,这里要重

点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系，

不等式/(X)>g(x)的解是“X)在g(x)图像上方时X的取值范围.

证明无参不等式

不等式恒(能)成立问题的转换方法:若/(X)在区间。上有最值,则

(1)恒成立：VxeD,/(x)>0o/(x)^>O.VxeD,/(x)<0o/(x)^<0.

(2)能成立：eD,/(x)>0/(x)^>03xe£>,/(x)<0/(x)^<0.

【例1】已知函数〃x)=e*—证明：当x..0时，/(x)..l.

【解析】证明：函数〃x)=e、-则r(x)="—2x

令g(x)=e*-2x,贝!1gf(%)=e'-2,

令g'(x)=。得％=ln2.

当x«0』n2)时，

当xe(ln2,+oo)时，g'(x)>0,

g(X)在x=In2处取得最小值.

g(x)..g(ln2)=2-21n2>0.

・・・/(力在［0,+8)单调递增.

X..0时，

【例2】已知函数〃x)=(l+x)lnx+L求证：

x

11_2

【解析】证明：由/(x)..x得(l+x)lnx+土…x.整理得(1+九)lnx+——r..0,

1—Y

化简得lnx+——..0.

x

令g(x)=lnx+4_l,

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当％>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

・"(%焉=8。)=0，即8(尤)-0恒成立・

x恒成立.

【例3】函数/(%)=%—f+3hix.证明：/(%),,2%—2对任意正实数x恒成立.

【解析】证明：由/(x)=x-%2+31n42%-2(x>0)得

2-X-X2+31m;,0对任意正实数x恒成立.

设g(x)=2-x-%2+31nx,

则g，(x)=_]_2x+3=_(l)(2x+3).

XX

当0cx<1时，g'(x)>0；当x>l时，g'(左)<0.

g(%)在(0,1)上单调递增,在(1,4-60)上单调递减.

.•.30时，g(x)在x=l处有最大值g⑴=0.

：.g(x)„0对任意正实数X恒成立，即2-X-V+31阴,0对任意正实数X恒成立,

即/(X),,2x—2,原命题得证.

不等式恒成立求参数取值范围参变分离

参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：

第一步：参变分离.若/(羽a)..O(xe。)能参变分离，则将问题转化为：a>/(x)[或

。</(尤)]恒成立.

第二步:转换为最值./(x)^.a</(x)<=>a</(x)^.

第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.

[例1]已知函数/(x)=e*—内若7%€[0,1],/(力..0恒成立,求。的取值范围.

【解析】Vxe[0,1]J(x)..0恒成立,即e*—办.0在xe[0,1]上恒成立.

(1)当％=0时，L.0恒成立.

e

(2)当xwO时，见一.

X

x

设g(x)=—e,xe(o,l].

...g'(x)=e1),,0恒成立.

.•.g(x)在(0,1]上单调递减.

:4e.

综上所述，e.

【例2】已知函数/(x)=Q—e'x〉O时，/(九)<1,求a的取值范围.

X

-4-

【解析】由已知可得a<q三Y在(0,+8)上恒成立，

人,、xe"+xe”、(疣，+^+1/工一(叔+小，ex-x+l

令g(H=F^，则g(H=^---------―-------=—

e(e*)e

令/z(x)=e*—x+1,

贝i」〃(x)=e%-1>0,

A(x)>7z(0)=2.

二.g(x)在(0,+8)上单调递增.

・,.g(x)>g(0)=0.；40.

［例3］已知函数/(%)=lnx-x2-ax,若/(X),,0恒成立,求a的取值范围.

【解析】由已知得Inx-x?-伊,0(x〉0),

则当x>0时，a.上空—x恒成立.

X

令/z(x)=-x(x>0),

X

mi7,/\1—X2—lux

贝|J〃(X)=------——.

令上(%)=1-12-lnx(x>0),

则当x>0时，左)=一2%一!<0,

女⑺在(0,+8)上为减函数.

又上'(1)=0,

二在(0,1)上,“(%)>0.在(1,+00)上,“(%)<0.

.1./?(%)在(0,1)上为增函数.在(1,+00)上为减函数.

••/(X)max=网1)=-1,

［例4］已知函数〃x）=e工-如2-2x（e为自然对数的底数），若xe［0,+co）时,

p

/(x)>耳一1恒成立,求优的取值范围.

【解析】/(x)〉］—1恒成立,即e-2x—：+1>g2恒成立.

(1)当％=0时,对于任意的meR,2——>0恒成立.

2

e'—2x——+1

(2)当x〉0时，m<-----旦——恒成立.

ex-2x--+l

令g⑴=---------/—,贝Ug，(%)=

X

“、1(X-2\Q+2x+e-2

整理得g'(x):——1一5--------,

令"x)=(x-2)e、+2x+e-2,注意至1]

/z(l)=0,/z,(x)=(x-l)eJC+2.

再令0(x)=(xT)e*+2

贝ij0'(x)=xe*>0,

在(0,+8)单调递增,(p(x)>,(0)=1>0,即”(%)>0.

.•./?(%)在(0,+8)单调递增.

又人((=0,故知在(0,1)上,人(%)<。-

在(1,+8)上，A(x)>0.

从而g(力在(0,1)上单调递减,在(1,+“)上单调递增.

e-2--+l

gd=g⑴=------p-=|-1

TH<-----1.

2

不等式恒成立求参数取值范围一一分类讨论

分类讨论法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：

第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).

第二步:把不等式恒成立转化为最值问题.

/(羽a)鹿)0/(国小0,

/(小例=/(乂。)30

第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数最值.

【例①】已知函数〃力=上手(aeR),已知〃力,,1对任意xeR恒成立，求。的

e

值.

【解析】依题意，对任意xeR恒成立，

(1+=)'e，—(1+村(e1-ax+a-1

“上--------(4------------

(①)当。=0时，r(x)=—5，由于♦>(),则r(x)<0恒成立,

."⑺在R内单调递减.

〃。)=1，

.•.当x<0时，/(力>1,不符合题意.

(2)当a/0时，令/'(X)=0,得x=l—工.

①当a<0时，x=l-1>0,/(0)=1,那么xj'(x)"(x)的变化情况如下表所示:

X1-1ji-L+s]

al〃J

—0+

/(%)单调递减极小值单调递增

结合/(x)的单调性知：当x<0时，/(x)>1,不符合题意.

②当a>0时，x,f(%),/(%)的变化情况如下表所示：

X1--

力a

/'(X)+0—

单调递增极大值单调递减

i.当0<。<1时，%=1--<0,

a

/(。)=1，

二结合/(%)的单调性知当xe1—时，不符合题意.

ii.当a>l时，x=l—工>0,/(0)=1,

二结合/(%)的单调性知当xeJ时，不符合题意.

iii.当a=l时，1一：=0.由/(力的单调性可知，/(x)111ax=/(0)=1,.・•符合题意.

综上，a=l.

【例2】已知函数=e，(e"-a)-/%.

⑴讨论了(%)的单调性.

⑵若/(力..0,求Q的取值范围.

【解析】⑴函数f(x)的定义域为

(一。,+8),(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+G(e尤-a),

①若〃=。，贝ij/(x)=e2,,在(―”,+“)单调递增.

②若〃>0,则由/'(X)=0得x=lna.

当x£(-8,lna)时，r(x)v0.当九£(Ina,+8)时,/'(x)>0.

/(X)在(-匕Ina)单调递减,在(lna,+8)单调递增.

a

③若〃<0,则由/'(%)=0得I=111

当时，/'(x)v0.

时，r(x)>o.

单调递减，在「n(—■!),+”

/(%)在单调递增.

⑵①若a=0,则/(x)=e2、，.・./(%)..0.

②若〃>0,则由⑴题得,当x=lna时，/(%)取得最小值,最小值为/(lna)=—Q2xln〃.

从而当且仅当一/lna.0,即0<q,1时，

③若a<0,则由⑴题得，当x=ln-|时，〃龙)取得最小值，最小值为

从而当且仅当a?义..0,即

3

0>a..-2e7时，f⑴..0.

3

综上，。的取值范围为-2e4,l

［例3］已知函数/(x)=—x(l-^x)-lnx(tzeR),当时，/(x)>

-依-匕nx恒成立,求实数Q的取值范围.

2

【解析】即为一2or-lnx<2/(x).

令/z(x)=-2以-lnx-2/(x)=改之一(2a+l)x+lnx.

根据题意：当无£(1,+8)时，/z(x)<0恒成立，/z'(x)=2ax-(2a+i)+—=

x

x

⑴若0<a<，时，

2

由X丸'(X)〉O恒成立，

.・.//(%)在上是增函数，

且/z(x)e，不符题意.

⑵若a.l时，

2

由xe(1,+“),"(x)>0恒成立，

在(1,+00)上是增函数，

且可力武力⑴什“卜不符题意.

(3)当④0时，

由XG(1,+8)时，恒有丸'(%)<0,

/z(x)在(1,+00)上是减函数.

/z(l)„0,即a-(2a+l)„0,

解得a..-1,故-援打0.

综上，a的取值范围是[-1,0].

【例4】已知函数/（x）=x」-alnx（acR）.

⑴讨论〃龙）的单调性.

⑵当X..1时，/（尤）..0,求a的取值范围.

【解析】（1）由题意得r（x）=i+4--=r~^+1（x>o）.

x~XX"

①若a,,0,/,（x）>0,/（%）在（0,+oo）上单调递增.

②若a>0,令g（x）=£-ar+1,

i.当△=/一4,,0时，即0<④2时，g（三）>0.

即/（%）在（0,+“）上单调递增.

ii.当△=〃2一4>0时，即〃>2时，

g（x）=f—◎+1=0的两根为-4,且两根均为正.

xe时，/'(x)>0J(x)在g,a*4上单调递增.

a—Jq4a+-4

时,r（x）<o,/（］）在

调递减.

xea+J；―，,+一时，/（%）在a+~4,+x>上单调递增.

\7\7

综上所述，当4,2时，外力在（0,+“）上单调递增.当a>2时，外力的单调增区间为

a-y/a2-4

，2

单调减区间为

22

⑵由⑴题可知当④2时，/（%）在［1,+。）上单调递增,

.•./(X).j(l)=O符合题意.

当a〉2时，g⑴=2"<0,则"？4<](弋2—4,

...当]<x<a+J[4时,/，(刈<0,即/(%)在单调递减.

.•./(£)<"1)=0不符合题意.

综上所述，。的取值范围是2].

不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一参变分离

参变分离法解不等式能成立求参数取值范围的步骤：

第一步：参变分离.存在x使得/(%,a)...0(%GD)能成立,则参变分离,将问题转化为:

。>/(尤)[或。</(切恒成立.

第二步：转换为最值.a>f(x)<^a>f{x)^.a<f(x)^a<f{x)^.

第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.

71「1

【例1】设函数/(x)=——%+一+ln%,若存在/e—,1,使得不等式/小)-。,,0成

33%_4_

立，求。的取值范围.

【解析】在1,1上存在X。使得不等式/(七)一。,,0成立,只需。../(B„1„1,

2112%2—3x+1

由;■'(%)=-十一二

3-3?23?

X3x

.•.当时，广(X)<OJ(X)是减函数.当时，r(x)>oj(x)是增函

数.

；・/))是“X)在pl上的最小值.

=lln-=--ln2,.-.c...--ln2

而/+

3233

，c的取值范围为i-ln2,+ooj.

［例2］设函数〃x)=(x-2)lnx-ax+l,若存在正数%,使得/(%),,I-IIUQ成立,求实

数。的取值范围.

【解析】存在正数％,使得了(%),,1-叫成立，

即(x0-l)lnx0„ax0,即存在x0e(0,+s)使得a...―—.

九0

人/、(x-l)lnx/、

令g(x)="^----------,xe(0,+oo),

nx

贝Ug，(x)=1+：_1,令/z(x)=lnx+x-1,xe(0,+<x)),hr(<x)=—+1>0,

JCX

则h(x)在(0,+8)上单调递增,且/i(l)=0.

当xe(0,l)时，〃(x)<0,即g'(x)<0.

当xe(l,+oo)时，〃(尤)>0,即g'(x)>0

g(X)在(0,1)上单调递减.在(1,+。)上单调递增，

则g(x)1n=g6=。，故。-。，即实数a的取值范围为［0,+").

不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一分类讨论

分论讨论法求不等式能成立的参数取值范围的步聚：

第一步：合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).

第二步:把不等式能否成立转化为最值问题.

1mx0,

/(羽a)釉n/(x,a)1rfti0.

第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数的最值.

【例1】已知函数/(x)=，+alnx(aN0,aeR),若在区间(0,e］上至少存在一点飞,使

得/(尤°)<0成立,求实数。的取值范围.

【解析】r（%）=-4+-=^.

XXX

且"0,令r（%）=o得x=L

a

若在区间（0,e］上存在一点x0，使得/（x0）<0成立，

其充要条件是/（另在区间（0,e］上的最小值小于0即可.

①当X=L<0,即a<0时，/'（%）<0对］€（0,+8）成立，

.-./（X）在区间（0,e］上单调递减.

故/（%）在区间（0,e］上的最小值为/（e）=-+alne=-+a.

ee

由—F〃<0得a<—,即〃—8,—।.

eeVej

②当x=L>0,即a>0时，

a

i.若乌，!，贝!J/'（%）„0对xe（0,e］成立.

：.f（x）在区间（0,e］上单调递减.

/./（%）在区间（0,e］上的最小值为/（e）=-+alne=-+a>0.