高三数学《不等式选讲》复习题及答案详解

高三数学《不等式选讲专题复习题》含答案

典型题一

【母题原题1】12018r新课标1,理23】已知r(x)=|x+1-ax-1|.

(1)当a=l时,求不等式/•(*)>]的解集；

(2)若共(0,1)时不等式/0)>)成立，求。的取值范围.

【解析】分析：(D将a=1代入函数解析式，求得fQ)=忧-设-1],利用零点分段将解析式化为

(—ZjX<-lj

f(G=21,-1<1<1,,然后利用分段国教，分情况讨论求得不等式f(%)>1的解集为蓑懊>3；

⑵根据题中所给的XEGU),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式ra)>工可以优为工£91)时

|ax-l|<l,分情况讨论即可求得给果.

'-2,x<-1,

详解：(1)当@=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即='2x,-l<x<l.

.2,x2：1.

故不等式NO>1的解集为｛巾>

(2)当X6(0,1)0寸假+1|-|ax-1|>幻成立等价于当Xe寸|欧-1|<[成立.

若比V0,则当工E(0/对g

若比>0,|也一1|<1的解集为0<工<%所以？NL故。<。三2.

综上，&的取值范围为(。，2].

点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个

区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法

将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参

数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之

后进行分类讨论，求得结果.

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【母题原题2】12017,新课标1,理23】已知函数於)=AHIX+4£(X)=IX+1I+IX-1I.

(1)当a=l时，求不等式於)出幻的解集；

⑵若不等式於a(x)的解集包含求a的取值范围.

【解析】⑴当fl=l时不等式为地口痔价于*-i+|x+l|+l*lH或①

当r<-l时，①式化为xNxWH,无解；

当-1登1时XD式化为N-x-24&而-1登1：

当A1时。式化为Rm⑼从而10区士洛

所以壮却幻的解集为卜卜W工g芍耳

G)当工日-1,1］时总X)N

所以危至第x)的解集包含［-1』等价于当丫［J1］时#:巨2一

又加电的最小值必为1-1)与用)之「

所以走13且人1汉得-1工L

所以口的取值范围为口,口.

【母题原题3】12016新课标1,理24］已知函数/)=lx+lU2r-3l.

(I)在答题卡第(24)题图中画出了的)的图像；

(II)求不等式纶)1>1的解集.

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户如)的图像如图所示.

⑼由支X)的依达式及图•像|兰芯0=1时,

可得尸1或x=3;

当#0=1时》可得工三或工二5,

故为>1的解集为住|k*3}；

财<1的解集为以k<；或%>5}.

所以区划>1的解集为以卜C9或1<%<3或%>5}.

母题揭秘：

【绝对值不等式的解法与性质】

1.\ax+b\<c,lax+ft|>c型不等式的解法

(1)若c>0,贝！lor+A|Xoox+BX或ax+b<-c>

然后根据处办的取值求解即可；

(2)若c<0,则lor+〃R的解集为0,以+例X的解集为R.

2.Ix-al+lx-^|>c,lx-«H-lr-^|<c(c>0)型不等式的解法

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零点分区间法的一般步骤为：

①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区

零点分区间法间；

③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些

不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集.

由于与Ix-al-lx-fel分别表示数轴上与x对应的点

几何法(利用

到与a,b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如

lx-al的几何意

Lr-<il+lx-^l<c(c>0)或lx-al-IxHX(c>0)的不等式，利

义)

用绝对值的几何意义求解更直观.

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的

数形结合法思想，正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关

键.

3.I/*(x)l>g(x),1/(x)l«^g(x)(g(x)>0)型不等式的解法:

①1/(x)l>g(x)寸(x)>g(x)或/(x)<-g(x);

②If(x)IQ(x)(x)<f(x)<g(x).

4：绝对值的三角不等式Ilal-lbll<la±bl<lal+lbl

①W+。闫a|+例等号成立条件当且仅当ab>0

②|同一例+b|等号成立条件当且仅当ab<0

③|a叫+此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当

且仅当(a-b)(0-c)20.

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【证明不等式的常见方法】

不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.

(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；

(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式

给出的，则考虑用反证法；(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数

学归纳法.

在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和

证明.

跟踪练习一

1.【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷(二”已知函数/3=11，关于

X的不等式f(x)<3-|2x+1的解集记为4.

(1)求/!;

(2)已知a,be4,求证:f(ab)>/(a)-/(i).

2.【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】已知函数/•(x)=|x-2|-|x+1|

⑴解不等式f3+x>0.

⑵若关于x的不等式/G)<a?-2。的解集为R,求实数”的取值范围.

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3.【河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考】已知函数

(1)当a=2时，解不等式x-；+/(孤1;

(2)设不等式的解集为仆若求实数”的取值范围•

4.【河南省南阳市第一中学2018届高三第十八次考试】已知函数

f(x)=|x-2a+1|+|r+2|>g(x)=3x+1.

(1)当a=l时,求不等式仆”g(W的解集；

(2)x6[-2,a),f(x»g(x),求a的取值范围.

典型题二

【母题原题1】•【河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛】

已知函数/(%)=2|x+a|+%--G0)0

a

(1)当a=l时，解不等式/(x)<4；

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(2)求函数g(x)=/(x)+/(-尤)的最小值。

【答案】⑴L|,1L⑵472.

【解析】试题分析：(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解

集，最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得g(x)22|2a|+点，再根据基本不等

式求最小值.

试题解析：(1)a=l，二原不等式为2卜+1|+h-1|<4，

”<T或｛一1.<1，或｛

—2x—2—x+l<42x+2—x+l<4,2%+2+x—1<4,

「.-x<-l或-1<X<1或(p，

3

二原不等式的解集为,1,1.

(2)由题意得&(6=/(4+/(-力=2(,+。|+归_闻+(卜+：卜卜_；|)

>2|2(3|+-j—7=4|«|+j—7当且仅当2回二门，即a=±^^5且一^^4x4^^时，g(x)取最

\a\网222

小值4反

【母题原题2】.【辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考】

函数/(x)=[+^/^卜士-小―加,

(I)当加=1时，求不等式/(x)2；的解集；

(II)若对任意根Jo",不等式/(Q*的解集为空集，求实数〃的取值范围.

【答案】(I)不等式解集为,2—卜(II)(72,+00).

【解析】试题分析:

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本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用。(I)根据零点分区

间法将绝对值不等式化为不等式组求解。(II)由绝对值的三角不等式可得

y(x)=而+&二荷，根据换元法可得病+5薪的最大值为"，所以实数〃的取

max

值范围为Ox+oo)O

.试题解析：

(I)当胆=1时，不等式论;即为归+1卜国之;。

(。当xM-1时，不等式化为TC-I+X之；,无解

(3)当一1<XV0时，不等式化为x+l+x'g,解得一1

(济)当X2。时，不等式化为恒成立，故工30。

综上可得不等式/(4)之:解集为｛冲c之一;)

(II)因为f(%)=|%+«7^|-|A:->/1l-mj<Jx+yfm-x+yjl-mJ=4my!\-m

(当且仅当时，等号成立)，/(Q=而+防。

max

g(m)=yfm+yjl—m90<m<l9设机=cos2。9^0<0<

g(m)=+&—m=cos9+sin。=^Tsin［。+()«戊，当0等号成立°

/.g(m)=叵。

max

二要使fG)>〃的解集为0，则”点实数〃的取值范围为5,+00)。

【母题原题3】.【2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试】

(1)如果关于x的不等式|x+l|+|x-5区根的解集不是空集，求实数加的取值范围；

(2)若°涉均为正数，求证：aabb>abb^

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—2x+4,x<—1

【解析】（1）令y=卜+1|+|%-5]={6,-l<x<59可知,+1„-5归6，

2x-4,x>5

故要使不等式k+1|+卜一5归根的解集不是空集，<m>6.

（2）由q力均为正数，则要证°物>abba，只需证Cla-bbb-a>1,整理得［j'l，由

于当心。时，a-b2可得当"。时，a-b<0,可得可

知”,。均为正数时［「'I，当且仅当a=。时等号成立，从而办从“处成立.

母题揭秘：

,【均值不等式及柯西不等式的应用】

一：均值不等式：若a、b均为正实数，贝广；外,讪，当且仅当a=b时等号成立。

若a、b均为正实数，则J?1V洞后竽Q'ajb2,当且仅当a=b时等号成立。

a+b

若a、b>c均为正实数，则］:加足竺野小砺尸，当且仅当㊀声二。时

小、

等号成立。

二：柯西不等式：Q+〃2++〃2）Q+拉++lf2）>（ab+ab++ab》

12n12n1122nn

等号成立条件当且仅当3=3==4或6=匕=5=0

b1■>•2n*■■

12n

（1）二元柯西不等式：。2+"）。+-）式就+用为，等号成立当且仅当

（2）柯西不等式的几个常用变形

①柯西不等式的三角公式：

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2

J〃2+〃2++Q2++巧+~+Z?2>JQ±b)+(a土匕｝++(a±b]

Y1222

〃2Q2。2(。+。++。

以F+T++f2—1-------2------------------M

bb…b/7+)“++b

12n12

/

Q2Q2。2

=T-+T-+…+(b+b++b)>G+a>

bbb)1212n

'12n

②式体现的是当各项42M2,e系数不同时,其“平方和”与“项的和”之间的不等

关系，刚好是均值不等式的一个补充。

跟踪练习二

1.【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】

(1)比较砂+从与2(2a-力-5的大小;

(2)已知a,b,ceR+，且a+b+c=lf求证：加

2.[2017-2018学高三上学期半期考试】

已知函数/(x)=m-|x-l|,7neR»且/'(x+2)+/(x-2)>0的解集为[-2,4].

(1)求机的值；

⑵若为正数，且白+工+2=加，求证a+2b+3cN3..

a2b3c

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3.【贵州省铜仁市第一中学2017-2018学年高三上学期第二次月考】

已知函数f(x)=|2x-l|,xeR,

⑴解不等式/(x)<x+l

⑵若对于x,"R,有卜-y-1|J,|2y+l|求证：/(%)<1•

4.【安徽省黄山市普通高中2018届高三11月“八校联考”】已知函数

/(x)=|2x-l|.

(I)求不等式/(x)<4；

(II)若函数g(x)=/(x)+/(x-1)的最小值为a，且加+〃=〉0,”〉0)，求2+1的

mn

取值范围.

参考答案

跟踪练习一

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【解析】分析：(1)分类讨论，去掉绝对值符合，即可求由

(2)利用作差法,即可证明:f<ab)>f(a)-f(b).

详解:(1)由/(乃43—|2*+1|,得区一”+|2H+。<3,

即<3或{—£><3或IT法工<工

KX-*-*■jX_1.人1a__hrI_L.-Jj

解得一1<x<一；或一；<“<T,

所以，集合幺={XEfl|-1<X<1}.

(2)证明：：a,bEAf.,.-1<o£r<l,

=|ai-1|=1—ai,/(a)=|a—1|=1—a,/(!?)=|i-1|=1—

-(f(a)—fGO)=l-a.&-l+a+l-b=(l+a)(l-1))>0,

.”(砌>f(a)

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是

利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思

想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数

形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.

2.

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【解析】分析：《1)通过讨论X的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；

(2)根据绝对值的性质，得到关于打的不等式，解出即可.

详解：Q)不等式+x>。可化为优一2|+支>区-1].

当*<-IB寸，—(x—2)+x>—(工+1)解得x>—3^^—3<x《一1；

当一1V工工20寸,—(1—2)+x>x1-1解得x<1即一i<JJ<1:

当%>2时，x-2+x>x+1解得力>3即x>3：

综上所述:不等式〃的+%>。的解集为四|-3<x<域%>3}.

②由不等式fG)<a2-2a可得

|x-2|—|x-1|<aa—2aj

---|x-2|-|x-1|<|x-2-1|=3

.■・a%—2a之3,艮[1祀”——3>0

解得Q>3或Q<-1

故实数Q的取值范围是a>3或a<-1.

点睛：(1)本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质.(2)重要绝对值

不等式：口小|川三-，+，，使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要

确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是号，就用左边，如果两

个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“土”号，不管是“+”还

是“•”，总之要使中间是常数.

3.

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解析：（1）当口=2时,原不等式可化为|3工—1|十|工一2|23.

①当工£，时，原不等式可化为一3X+1+2-X之3,解得所以xWD;

3

②当!<x<2时，原不等式可化为3X—1-2+”之3,解得“N1,所以1£工42；

3

③当X之2时，原不等式可化为3工一1一2十X之3,解得工之之，所以工之2.

2

综上所述，当口=2时，不等式的解集为｛可工工磷:之1｝.

（2）不等式X—；+/Q）wx可化为|3"1|+|尤-4W3x,依题意不等式田-1+卜-4<3%

在恒成”，所以3%-1+,-“恪3%，即|X-Q|V1，即a-l<x<a+l9所以

Q—1V一

一3.解得「,故所求实数•的取值范围是44

4+1、2—123

2

4.【解析】分析：（1）当3时，得幻=|一|+|12|<3"，分类讨论，即可求

解不等式的解集；

（2）当re|-"时，,即,—1,分类讨论，转化为时，

3/+2（2a-3）x-4a（a-l）<。恒成立，利用二次函数的性质即可求解.

详解：（1）当=1时，/㈤=|x-1|II,VI>><,

①当Y-2时，,

令f（x）43x+l,BP-2x-l<3x+l,此时无解；

②当-2<x<1时/f（x）=，

2[

令/「，+I,即+1,所以｛;

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③当、时，/：X)=2.VI,

令/"(")<3x+1,即2*+1<3AJ4-1,解得#>1,

综上所述，不等式的解集为口心号.

(2)当2E[-2,0)时，f(x)=|JK—2a.4-l|4-x+2>3x+1,即|工-2a+1|>2x—lj

①当一盘寸，2x一1<必归-2a+l|=2尤一1恒成立;

②当a〉；,工E[—2,；，寸>2x—1(口，—2a+11>2%—1怕成?7；

h叱，。)时，比一2a+1|2>(2”—1产恒成立，

即344-2(2a-3)x-4a(a-1)<6恒成立,

令gOc)=3%z+2(2a-3)x-4a(a-1),gGO的最大值只可能是g(；)或03)，

M。，0(。)=3a2—2aM0,得。<a又a>；,所以；<d

综上所述：Q的取值范围是｛川一2<a三；｝.

点睛：点本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及不等式的恒成立问题的

求解与转化，着重考查了分类讨论的数学思想方法和转化与化归思想方法的应

用，试题综合性强.，有一定的思维难度，属于中档试题.

跟踪练习二

1.

t解析】试题分析：(1)作差比较，a2+h2-2(2«-i)+5=a-22+i-l2>Q,从而可得结果；⑵

1)]；—L)中的1换为a+5+c后，利用均值不等式可得结论.

试题解析：(1)因为。2+拉一2(2。-。)+5=a-22+。-12之0，所以,编+及22(2a-b)-5；

(2)

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证明：,.,a+b+c=l,a,b,CGR+,

旃疯乂2依=8当且仅当a=b=c时，取

cabc

等号。

2.

［解析】试题分析：（1）将=*—归-1|代入到〃x+2）+〃工-2岸。，构造g（冷=卜+11+|X-3|,

再根据〃工+2）+/日一2）之。的解集为［―2,4］,