（江苏专用）高考数学一轮复习讲义 函数的单调性与最值

2.2函数的单调性与最值

基础知识自主学习

DT知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数尸〃才)的定义域为A,区间IQA.

如果对于区间I内的任意两个值不，及

定义当X1<用时，都有F(X)3(X2)，那当时，都有f(xi)>f(x2),那

么就说函数f(x)在区间/上是单么就说函数f(x)在区间/上是单

调增函数调减函数

产)

图象描述01^2X

oR~%-x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间/上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I

上具有单调性，区间/叫做y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为4如果存在刘G/I,使得

条件对于任意的x£A,都有/•(x)W/~(xo)对于任意的都有f(x)》/■(加

结论F(刘)为最大值F(xo)为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论

(1)对及6〃(为#及)，/"-/">0oF(x)在〃上是增函数,/一/〈0

X\—X2X\—Xz

在〃上是减函数.

(2)对勾函数尸/+。(4〉0)的增区间为(一8,一5］和［―,+°°),减区间为［―5,0)和

(3)在区间。上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(4)函数/1(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J"或"X")

(1)若定义在R上的函数f(x),有/•(—l)<f(3),则函数/"(X)在R上为增函数.(X)

(2)函数y=f(x)在［1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,+8).(x)

(3)函数尸%勺单调递减区间是(一8,0)u(0,+8).(x)

(4)所有的单调函数都有最值.(X)

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函

数.(X)

(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(V)

2考点自测

1.(教材改编)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是.(填序号)

①尸%②y=2xT；

③y=l—x；@y—(2A—I)2.

答案②

解析①在(0,2)上为减函数；

②y=2x—1在(0,2)上为增函数；

③尸1—x在(0,2)上为减函数；

④尸(2x—1厂在(一8,g)上为减函数，在(/，+8)上为增函数.

x,x20,

2.(教材改编)函数y="的单调增区间为；单调减区间为

x,X0

答案［0，+8)(—8,0)

解析当x20时，y=x为增函数；当x<0时，为减函数.

3.(教材改编)已知函数/Xx)=x2-2ax—3在区间［1,2］上是增函数，则实数a的取值范围为

答案(一8,1］

解析函数f(x)=V—2ax—3的图象开口向上，对称轴为直线x=a,画出草图如图所示.

由图象可知函数/Xx）的单调递增区间是[a,+8）,

由[l,2]=[a,+8）,可得aWL

4.（2016•盐城模拟）函数尸六+2*-3（入>0）的单调增区间为.

答案（0,+8）

解析函数的对称轴为x=-l,又x>0,

所以函数/Xx）的单调增区间为（0,+8）.

2

5.（教材改编）已知函数f（x）=-xG⑵6],则Hx）的最大值为______,最小值为

%—1?

2

答案21

5

2

解析可判断函数/.（*）=-7在[2,6]上为减函数，

X-1

2

所以F（X）nm=f（2）=2,f（x）min=f'（6）=£.

□

题型分类深度剖析

题型一确定函数的单调性（区间）

命题点1给出具体解析式的函数的单调性

例1（1）（2016•连云港模拟）函数Ax）=log,U2-4）的单调递增区间是.

2

（2）尸一/+2|3+3的单调增区间为.

答案（1）（一8,-2）（2）（—8,-1],[0,1]

解析（1）因为尸log1。，力0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求

2

函数£=/-4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（-8,-2）.

（2）由题意知，当x>0时，y=—V+2x+3=—（x—1尸+4；当x<0时，y=—x—2x+'i=—

（x+l”+4,

二次函数的图象如图.

A-2-IO

由图象可知，函数y=-f+2|x|+3在(-8,—1],[0,1]上是增函数.

命题点2解析式含参数的函数的单调性

例2已知函数/Xx)=瓷y(a〉0),用定义法判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性.

解设一1<XKX2<1,

ax\Jh-ax\—aXix\+axiax-i-Xy小生+1

/一1%2~1x5—1X2~l

♦-1,

/.Ai-xi>0,击用+1>0,(x；—1)(然—1)>0.

又,.,a>0,/.f{xC)—f{x2)>0,

函数/Xx)在(一1,1)上为减函数.

引申探究

如何用导数法求解例2?

Va>0,：.f(x)<0在(-1,1)上恒成立,

故函数/Xx)在(-1,1)上为减函数.

思维升华确定函数单调性的方法

(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；

(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；

(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“U”连接.

跟踪训练1(1)已知函数代才)=/玄与，则该函数的单调递增区间为.

(2)函数F(x)=(3—V)e'的单调递增区间是.

答案(1)[3,+8)(2)(-3,1)

解析⑴设t=x—2x—3,则力》0,即Y—2x—320,

解得后一1或x23.所以函数的定义域为(-8,-1]U[3,+8).

因为函数f=?-2x-3的图象的对称轴为x=l,

所以函数t在(-8,-1]上单调递减，

在[3,+8)上单调递增.

所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+8).

⑵f'(x)=-2x*e"+e"(3—V)=e'(—f—2x+3)=e*[—(x+3)(x—1)].

当一3<京1时，f'(x)>0,所以函数y=(3一力e'的单调递增区间是(一3,1).

题型二函数的最值

例3(1)函数F(x)='*的最大值为________.

〔一x+2,

答案2

解析当时，函数/"(;<)=｝为减函数，所以f(x)在x=l处取得最大值，为《)=1；

当;K1时，易知函数/'(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，为/"(0)=2.

故函数Ax)的最大值为2.

(2)已知/■(x)='+2”+a,%£[11+8),且awi.

X

①当a=/时,求函数f(x)的最小值；

②若对任意xe[l,+8),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解①当a=；时，f(x)=x+支+2,

又xG[l,+8),所以/(x)=l—=>0,

即/Xx)在[1,+8)上是增函数，

17

所以f(x)„=A1)=1+7777+2=o-

miZAiZ

@f(x)=x+~+2,xG[1,+°°).

x

3)当且忘0时，f(x)在[1,+8)内为增函数.

最小值为f(l)=a+3.

要使/,(x)>0在xG[l,+8)上恒成立，只需a+3>0,

所以一3<aW0.

(ii)当0<aWl时,f(x)=1—4,

因为Xd[l,+8),所以/(x)20,即/'(x)在[1,+8)上为增函数，

所以Ax)min=A1)=a+3,

即a+3>0,a>—3,所以0〈aWl.

综上所述，F(X)在[1,+8)上恒大于零时，

a的取值范围是

思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求

出最值.

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

跟踪训练2(1)函数尸x+q不力的最小值为一.

V-4-8

(2)函数f(x)=_r(x>l)的最小值为

x-1

答案(1)1(2)8

解析(1)易知函数1在[1,+8)上为增函数，二*=1时，w“=L(本题也可用

换元法求解)

(2)方法一(基本不等式法)

..x'+8x-1+2x~1+9

f(x)=-------------:-----------

X-1X—1

9/a

=(x—1)+---7+222'/x—\•+2=8,

X-1X-1

9

当且仅当X—1=---即X=4时，F(X)min=8.

x—1

X—4r—I-2

方法二(导数法)f'(x)=-------六一，

X—1

令■F(x)=0,得x=4或X=—2(舍去).

当"水4时，f(x)<0,

f(x)在(1,4)上是递减的；

当*>4时，f(x)>0,

f(x)在(4,+8)上是递增的,

所以F(x)在*=4处取到极小值也是最小值，

即/'(x)"i"=f(4)=8.

题型三函数单调性的应用

命题点1比较大小

例4已知函数/"(X)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当.>用>1时，"(就一

Axi)],(X2—X1)<0恒成立，设a=F(—g),6=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为

答案b>a>c

解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=l对称，且在(1,+8)上是减函数，因为

a=/'(一》=/1(m，且2*3,所以b〉a〉c.

命题点2解函数不等式

例5(2017•苏州月考)定义在R上的奇函数尸f(x)在(0,+8)上递增，且/■$=(),则

满足Alog।x)>0的x的集合为.

答案或l〈xV3}

O

解析由题意知W)=o,A-1)=o

由F(log]X)〉0,得log】Jr),或一：＜lo嘉＜0,

解得或KX3.

O

命题点3求参数范围

例6(1)如果函数/■(x)=af+2x-3在区间(一8,4)上是单调递增的，则实数a的取值范

围是.

[2—ax+1,矛〈1,FXi—fX2

(2)已知/Xx)=,、满足对任意为W如都有一:--------—>0成立,

[a,XL/

那么a的取值范围是.

17

答案⑴[―；,0]⑵匠,2)

解析(1)当a=0时，f(x)=2x—3,在定义域R上是单调递增的，故在(一8,4)上单调递

增；

当aWO时，，二次函数f(x)的对称轴为x=一1

a

因为f(x)在(-8,4)上单调递增，

所以水0,且一124,解得一水0.

a4

综上所述，得-；WaW0.

(2)由已知条件得f(x)为增函数,

’2—a>0,

所以上>L

、2—aX1+1W&

33

解得水2,所以a的取值范围是2).

乙乙

思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单

调性解决.

(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“产符号脱

掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

(3)利用单调性求参数.

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间

比较求参数；

②需注意若函数在区间［a,6］上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

跟踪训练3(1)(2016•徐州模拟)已知函数f(x)=x(e—')，若f(汨)＜〃及)，则下面正确

e

的式子为.

①为＞生；②为+应=0；

③为＜&④水/

2x+k

⑵(2。16•宿迁模拟)要使函数尸工与尸1弥(广2)在(3,+8)上具有相同的单调性,

则实数k的取值范围是.

答案⑴④(2)(-8,-4)

解析(1)P(—X)=—x("—e“)=f(x),

在R上为偶函数，

f'(X)=6、-^+x(6'+二)，

ee

・••当x>0时，f(x)>0,・・・F(x)在［0,+8)上为增函数，

由f(xi)<f(x2),得XI不I)<f(I*2|),I.|Xl|<㈤,

/.豕忌

(2)由于p=log3(x—2)的定义域为(2,+8),且为增函数，故函数p=log3(x—2)在(3,+

8)上是增函数.

2x±k2x-2+4+A4+A

又函数y===

x—2x~2x-2

因其在（3,+8）上是增函数,

故4+4<0,得k<—4.

答题模板系列

1.解抽象函数不等式

典例（14分）函数/'（X）对任意的股，"WR,都有/"（;»+〃）=F（0）+/1（〃）一1,并且x>0时，

恒有/'（x）>L

（1）求证：Mx）在R上是增函数；

（2）若f（3）=4,解不等式『（才+a—5）<2.

思维点拨（D对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出/■（%）一/"（外并与0

比较大小.（2）将函数不等式中的抽象函数符号“产运用单调性“去掉”是本题的切入点.要

构造出/I协"'(A)的形式.

规范解答

(1)证明设汨，xzGR且为<生，则加一币〉0,

,当x>0时，f{x}>1,/./(^―Xi)>1.[3分]

fa)=/[(x2—为)+xj=f(x2—%)+f(xi)—1,[5分]

f(Xi)一/'(Xi)=f(Xi-Xi')—l〉0=f(Xi)</(A2),

，f(x)在R上为增函数.[7分]

(2)解,:m,〃GR,不妨设0="=1,

.•.A1+1)=A1)+A1)-1=>A2)=2AD-1,[9分]

f(3)=4=f(2+l)=4=/'(2)+f(l)-l=4=3f(l)—2=4,

.•.f(l)=2,.*.Aa2+a-5)<2=Al),[11分]

：f(x)在R上为增函数，

'.aa—5〈1=-3〈a<2,即aC(—3,2).[14分]

解函数不等式问题的一般步骤

第一步：（定性）确定函数/Xx）在给定区间上的单调性；

第二步：（转化）将函数不等式转化为ft粉<7■（加的形式;

第三步：（去力运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“尸，转化成一般的不等式或不

等式组：

第四步：（求解）解不等式或不等式组确定解集；

第五步：（反思）反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.

课时作业

1.(2016•南京模拟)下列函数中，在区间(1,+8)上是增函数的是

①——x+1；②；

1-X

③尸—(X—1)1④y=3'r.

答案②

解析①中，函数在(1,+8)上为减函数，③中，函数在(1,+8)上为减函数，④中，函

数在(1,十8)上为减函数.

2.(2016•无锡二模)已知函数/•(x)=|x+a|在(-8,—1)上是单调函数，则a的取值范围

是.

答案(一8,1］

解析因为函数/Xx)在(-8,一a)上是单调函数，所以一a2一1,解得aWl.

3.定义新运算：当a26时，ab=a；当a"时，ab=S,则函数f(x)=(lx)x-

(2x),不£［—2,2］的最大值等于.

答案6

解析由已知得，当一2〈后1时，f(x)=x—2,

当1<启2时，f{x)—x—2.

：f(x)=x—2,f(x)=x-2在定义域内都为增函数，

f(x)的最大值为A2)=23—2=6.

(a,x>l,

4.已知F(x)=(a।°-是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是

4--x+2,xWl

答案［4,8)

ra>l,

4—色>0

解析由已知可得彳2'解得4WaV8.

心4—f+2,

IN

5.(2016•兰州模拟)已知函数f(x)是定义在区间［0,+8)上的函数，且在该区间上单调递

增，则满足f(2x—1)的x的取值范围是.

答案由1令9

f2x-1^0,

12

解析由己知，得°即5〈水百

2iq,乙O

6.已知函数尸logKax-l)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是.

答案［1,+8)

解析要使y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增，贝！Ja>0且a—120,.'.a'L

7.函数/■(x)=(；)—logz(x+2)在区间［-1,1］上的最大值为.

答案3

解析由于在R上递减，y=logz(x+2)在［―1,1］上递增，所以f(x)在［-1,1］上

单调递减，故f(x)在［-1,1］上的最大值为/■(—1)=3.

fa,a2b,

8.(2017•江苏天一中学月考)对a,6WR,记max{a,b}=1函数F(x)=max{|x

[b9Kb,

+11，|r-2|}(xGR)的最小值是

答案2

ri

2—x,JK-,

/•(十)在(一8,3和百+8)上分别为减函数

解析方法一Hx)=<]

x+1,x2.

和增函数，

13

方法二作函数f(x)的图象如图所示，由图知当X=g时，［1(X)］*“=/"(》=*

9.若函数/•(x)=|2x+a|的单调递增区间是［3,+8),则@=

答案一6

2x+a,

解析f(x)=\2x+a\

a

-2x—a,X-~

函数的单调递增区间为［一宗+8),

a^

・・一1=3,Aa=-6.

—2

xf'的最大值为1,

{2+log,x,x>3

则a的取值范围为.

答案［|，1)

解析f(x)在(-8,3］上是增函数,则/U)皿=1.

在R上的最大值为1,

,,.0<a<L且2+log.3Wl,解得

的取值范围O是1).

11.(2016•江苏新海中学期中)已知函数f(x)=-4f+4〃入-4a—3(a>0)在区间［0,1］内有

一个最大值一5,则a的值为.

答案I

解析f(x)=—4(x—声一4a,对称轴为x=*顶点为号-4a).

①当券1,即心2时，f(x)在区间［0,1］上递增.

.*.y»ax=/(l)=-4—a2.

令一4一3=—5,.,.a=±l<2(舍去).

②当OV^Vl,即0<a<2时，如*=fg=-4a,

令-4a=-5,(0,2).

12.(2016•江苏泰州中学月考)已知匕为常数,函数y=|V-2x-t|在区间［0,3］上的最大值

为2,贝I」t=