2023-2024学年北师大版八年级下册第一章三角形的证明单元测试卷(含答案)

2023-2024学年北师大版（2012）版八年级下册第一章三

角形的证明单元测试卷

学校:姓名：班级：考号：

评卷人得分

一、单选题

1.等腰三角形的两边。、6满足^/^与+|b-8|=0,则该等腰三角形的周长是（）

D.14或19

2.如图，ABC中，AB=2AC,是/B4C的角平分线，延长AC至E,使得CE=AC,

连接DE、BE.下列判断：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分ZCEB；@SMD=SEBD

不一定成立的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12cm,BC=6cm,过点A作AX_LAC,P,Q

分别为线段AC和射线网上的点，且R2=A5.若以A、反C为顶点的三角形与以

A、P、。为顶点的三角形全等，则AP的值为（）

A.6cmB.12cmC.12cm或6cmD.以上答案都不

4.如图，在四边形ABC。中，NA=90。，对角线BD恰好平分/ABC,点£在A5边上.连

接使得DE=DC,若=则NDEB一定等于（）

A

D,

CB

A.45°+<zB.90°+（zC.2aD.180°—a

5.如图，已知ABC中，AB=3,N3=40。，ZC=20°,在,ABC所在平面内一条直

线，将二/RC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线

最多可画（）

6.如图，在ABC中，AB,AC的垂直平分线4、4相交于点。，若/34c=80。，则/QBC

的度数是（）

7.如图，在RtaABC中，ZACB^90°,ZG4B=3O°,以C为原点，AC所在直线为V

轴，8c所在直线为无轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使为等腰

三角形，符合条件的加点有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

8.如图，在平面直角坐标系中，点4,A,.A3,L和耳，B2,B3,L分别在直线y——x+b

和无轴上，。4片，耳&厚，B2A；B3,L都是等腰直角三角形，如果点A（1,1），那

么4O23的纵坐标是（）

试卷第2页，共6页

9.如图，已知ABC中，AB=4,AC=5,边BC的垂直平分线分别交BC,AC于点

E,F,点。为直线所上一点，则△ABD的周长最小值为（）

10.如图是一副直角三角板放置，点C在FD的延长线上，ABCF,ZF=ZACB=90°,

AC=1,则CD的长为（）

C.73-1D

--2-

评卷人得分

二、填空题

11.如图，在等腰ABC中，AB=AC,延长BC至点。，使得.BD=AB,过点。作

AC,垂足为E,延长DE至点尸，连接8尸，ZABF=2ZADE,AB=12.5,=75,

则DF=

A

F

12.如图，ABC中，ZC=90°,ZBAC=60°,AB的垂直平分线分别交AB、8c于点

D、E,连接AE,若3E=6,贝|CE=.

13.若a、6、c是.ABC的三边，且a=6,6=8,c=10,则ABC最大边上的高是.

14.如图，ASC中，ZC=90°,AD平分/BAC,AB=5,CD=2,则△ABD的面

积是.

15.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,8,45于点£）,/R4C的平分线AF交CO

于点E,交BC于点F,。0，4/于加，CM的延长线交A3于点N,下列四个结论：

®AC=AN;②ZABC=45°；③EN〃:BC；④连接而，若羽.=16,则%谢=10,

其中正确的结论有.

16.如图是我们画圆（或画弧）使用的圆规，已知圆规两脚。4=QB=8cm.画圆或画

弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为60。时，A,8两点的距离为

cm.

试卷第4页，共6页

评卷人得分

17.如图，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90。,AC=3C,A(6.5),点。为A3上一

点，过点。作于点E,点尸为x轴上一动点，点P关于DE的对称点为点Q,

连接DP、DQ、AQ.

(1)点B的坐标为；

(2)若点P的坐标为(-2,0),延长阳交4。于点尸.当尸尸，AQ时，求点。的坐标.

(3)若点M为了轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以AP为斜边的三角形为

等腰直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

评卷人得分

----------------四、证明题

18.如图，在ABC中，AB=AC,8是/ACS的平分线，DE//BC,交AC于点E,

且/CDE=25°.

(1)求证：CDE是等腰三角形;

⑵求/A和的度数.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】本题考查非负式子和为0,它们分别等于0,三角形的三边关系，解题的关键是注

意三角形三边关系.根据非负数的性质求出a,b的值，再求周长即可.

【详解】解：VV^3>O,|Z>-8|>0,V^3+|Z7-8|=O,

-3=0,6—8=0,

解得：a=3,b=3,

V3+3=6<8,

.••8为腰，3为底，

...周长=8+8+3=19,

故选C.

2.D

【分析】如图，延长AD交班于尸，ABE是等腰三角形，则AF是线段BE的垂直平分线，

是班边上的中线，即BD=ED,进而可判断①；由中线可知。为中线交点，则fiD=2CD,

进而可判断②；DE是边上中线的一部分，则与NBED不一定相等，进而可判断

③；由SABC—SADC=SEBC—S.EDC,即SABD=SEBD,进而可判断④.

【详解】解：如图，延长AO交防于F，

*.•CE=AC,

：.AE=2AC=AB,即一ABE是等腰三角形，

AD是ZBAC的角平分线，

是线段3E的垂直平分线，是跖边上的中线，

/.BD=ED,①一定成立，故不符合要求；

BC是底边AE上的中线，

二。为中线交点，则①)=2CD,②一定成立，故不符合要求;

£>£■是边上中线的一部分，

答案第1页，共16页

.,./AED与/BED不一定相等，即ED不一定平分NCEfi；③不一定成立，故符合要求；

,•,°cABC~—°qEBC，2qADC-=2qEDC，

SABC_SADC=SEBC—SEDC,即SMO=SEBD,④一■定成立,故不符合要求；

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，中线的性质，角平分线

等知识.熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

3.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，分两种情况：当AP=CB时，ZC=ZQAP=90°.

当点尸运动到与C点重合时，AP=AC,ZC=ZQAP=90°,分别证明三角形全等即可得到

答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键.

【详解】解：当AP=CB时，NC=NQAP=90。，

在RtAAPQ和RtACR4中，

[PQ=BA

[AP=CB'

RtAAP2^RtACBA(HL),

即AP=BC=6cm；

当点尸运动到与C点重合时，AP=AC,ZC^ZQAP=90°,

在RtAQAP和Rt3C4中，

[QP=AB

[AP=AC'

RtAgAP^RtABCA(HL),

即AP=JBC=12cm；

综上所述，AP=6cm或12cti1,

故选：C.

4.D

【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线

的性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；

过点。作于点由题意易得=则可证，ADE丝."C,然后问题可求

解.

答案第2页，共16页

【详解】解：过点。作3c于点”，如图所示:

,/BO恰好平分ZABC,ZA=90°,

DH=DA,

又：DE=DC,

.ADE^HDC(HL),

ZAED=ZC=a,

：.ZDEB=180°-ZAED=180°-a；

故选D.

5.C

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，正确利用图形分类讨论，得出等腰三角形是解答本

题的关键.

根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当以AB为等腰三角形的腰时，当以A3为等腰

三角形的底时，找出满足题意的直线，得到答案.

【详解】解：根据题意，

当以为等腰三角形的腰时：

如图，AB=BE=3

A

如图，AB=AF=3

当以AB为等腰三角形的底时:

答案第3页，共16页

A

cGB

如图，AG=BG,AB=3

综上，有AD,AE,BF,AG四条直线满足题意，

故选：C.

6.C

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定

理.连接Q4,根据三角形内角和定理求出NABC+NAC8,根据线段垂直平分线的性质、

等腰三角形的性质得到=NQ4c=/OG4,根据三角形内角和定理计算是解

题的关键.

【详解】解：如图所示，连接。4,

ZABC+ZACB=180°-ABAC=100°,

AB.AC的垂直平分线交于点。，

AOB^OA,OC=OA,

：.ZOAB=ZOBA,ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,

：./OBA+ZOCA=ZOAB+Z.OAC=ABAC,

/.ZOBC+Z.OCB=100°-(ZOBA+ZOCA)=100°-Z.BAC=20°,

NOCB=NOBC=10°,

故选：C.

7.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，

有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称：在同一三角形中，等边对等角)”分三种情况

解答即可.构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做

到不重不漏.

【详解】解：如图，

答案第4页，共16页

①以A为圆心，A8为半径画圆，交直线AC有二点M，M2,交5c有一点M，（此时

AB=AM）；

②以B为圆心，班为半径画圆，交直线8c有二点M5，加4,交AC有一点加6（此时祝=胡）.

③AB的垂直平分线交AC一点“7（MA=MB）,交直线8C于点

...符合条件的点有8个.

故选：C.

8.A

【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，

通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键.设点4,4,4侬坐标，结合函数解

析式，寻找纵坐标规律，进而解题.

【详解】解：过4作_Lx轴于用,过4作4万2_Lx轴于E2,过人3作4万3_1_工轴于〃3，…

如图，

答案第5页，共16页

设4(%,%),A(%3,%),A//，%),…，4()23(“2023,y2023),

w14

贝U有%=-X2+-，

14

%=『3+-，

又・・・041%与4与一当4%..都是等腰直角三角形，AEJx轴，4石2A轴，4鸟，无轴.一

OB】=2A£,

B[B2=24与，

B2B3=2As旦...

：.x2=2yl+y2,

巧=2%+2y2+%，

%2。2323y023，

=2M+2y+2y+…+2y2022+2

将点坐标依次代入直线解析式得到：

1/C、4

%=《(2%+%)+不,

「・%=e乂+1，

113

同理%=5/+/+1=]%，

3

%=]%，

_3

丁2023=5>2022，

又'."I，

答案第6页，共16页

3

」3产

/1I'

故选：A.

9.C

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接8,根据线段垂直平分

线的性质得到3。=CD,由三角形周长公式得到的周长=AB+AD+CD,故当A、D、

C三点共线时，AD+CD最小，即此时的周长最小，此时点D与点尸重合，最小值

即为AC的长，据此可得答案.

【详解】解:如图所示，连接8,

•..边的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F,

：.BD=CD,

：.△ABD的周长=AB+AD+3r)=AB+AD+CD,

...当A、D、C三点共线时，AD+CD最小，即此时△ARD的周长最小，此时点。与点/重

合，最小值即为AC的长，

/.AABD的周长的最小值为AC+AB=9,

故选C.

10.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质.过

点B作于点求出BC,在中求出Of,BM,推出=即可

求得答案.

【详解】解：过点B作于点M,

答案第7页，共16页

E

BA

FMDC

在Rt^ACB中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=1,

・・AB=2AC=2，BC=VAB2—AC2=，

・.,ABCF,

：.ZBCM=ZABC=30°.

：.BM=-BC=—,CM^4BCi-BM-

222

在△£1/*中，ZF=90°,ZED尸=45°,

••一BMD是等腰直角三角形，

/.MD=BM=—,

2

：.CD=CM-MD=--—=^^~.

222

故选：B.

11.24

【分析】过点A作AG,3c于点G,过点、B作BHLDF于点H,设/ABC=NACB=a,

根据三角形内角和定理求出的度数，ZBD尸的度数，于是求出4DE的度数，根据

NABF=2NADE即可求出的度数，根据周角的定义求出ZDBF,于是可求出N3FD的

度数，从而得出△BED是等腰三角形，再证△Dfi”和.ACG全等得出D"=AG,根据

的面积求出AG的长，于是得出的长，再根据等腰三角形三线合一即可求出。尸

的长.

【详解】解：如图，过点A作AG,3c于点G,过点B作BHLDF于点H,

答案第8页，共16页

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

设ZABC=ZACB=a,

*.*BD=AB,

：./BAD=ABDA=1(180°-ZABC)=90。-ga,

u：DEIAC,

：.ZAED=90°,

又「ZDCE=ZACB=af

：.ZBDE=900-ZDCE=90°-af

13

ZADE=N5DA+ZBDE=90。——a+90。-a=180。——a

22

ZABF=2ZADE,

：.NABF=21180。—ga)=360。—3a

/DBF=360°-ZABF-ZABC=360°-(360°-3a]-a=2a,

oo

在△gFD中，ZBFD=1800-ZBDF-ZDBF=180-(90-a)-2a=90°-af

:.ZBFD=/BDF,

BF=BD,

即△5ED是等腰三角形，

由等腰三角形三线合一的性质得NDBH=gNDBF=ix2a=a

22

VAB=AC,BD=AB,AS=12.5,

・•・BD=AC=12.5f

在和，ACG中，ZDBH=ZACG=a,NBHD=NCGA=90。,DB=AC,

：.DBHgACG(AAS),

：.DH=AG,

,:SABD=”,BD=12.5,

.\-BDAG=75

2

・•・AG=12,

：・DH=12,

答案第9页，共16页

：是等腰三角形，BHLDF,

/.DF=2DH=24,

故答案为：24.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定

理，三角形面积公式等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键.

12.3

【分析】由三角形内角和定理可得=30。，由垂直平分线的性质得，AE=BE=6,则

/E4S=N8=30。，NE4C=3O。，根据CE=；AE,计算求解即可.

【详解】解：：NC=90。，ZBAC=60°,

AZB=30°,

DE是A2的垂直平分线，

AE=BE=6,

•*.NEAB=NB=30。,

/.ZEAC=ABAC-Z.BAE=30°,

CE=—AE=3,

2

故答案为：3.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，等边对等角，含30。的直角三

角形.熟练掌握垂直平分线的性质，含30。的直角三角形是解题的关键.

13.注

5

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法求三角形的高.熟练掌握勾股定理的逆定

理判断三角形的形状是解题的关键.由勾股定理的逆定理可求ABC是直角三角形，

NC=90。，设ABC最大边上的IWJ为h,依题意得，SABC=]""=5c，7,即6x8=—xlO/z,

计算求解即可.

[W1V62+82=100=102,

a2+b2=c2>

ABC是直角三角形，ZC=90°,

设.ABC最大边上的高为/z,

依题意得，S的©=gab=；ch,即；x6x8=IO/7,

答案第10页，共16页

解得，h=—,

24

故答案为：—.

14.5

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点。作于E,根

据角平分线上的点到角两边的距离相等得到。£=CD=2,再根据三角形面积计算公式求解

即可.

【详解】解：如图所示，过点。作DESAB于

TAD平分/B4C,ZC=90°,DELAB,

:.DE=CD=2,

AB=5f

,e,S^BD=5A3-DE=-x2x5=5,

故答案为：5.

A

CDB

15.①③/③①

【分析】证明CAM%,NAM,可得AC=4V,故①正确；根据题意无法确定AC、BC的

大小关系，则无法得到ZABC=45。，故②错误；由CAM^NAM,可得EM=NM,再证

明△心?尸为等腰三角形，从而得到=进而得到二CMF丝MWE,可得

/PC0=/£W,进而证明硒〃BC,故③正确；结合三角形中线的性质可得SACM=^ZANM»

SBCM=SNBNM,进而可得SABM=万5ABe=8,故④错误.

【详解】解：方，

：.ZAMC=ZAMN=90°,

AF是ZBAC的平分线，

JZCAM=ZNAM,

在VCW和△NAM中，

答案第11页，共16页

ZAMC=NAMN

<AMAM,

ZCAM=/NAM

：.CAM^NAM(ASA),

：.AC=AN,故①正确；

根据题意无法确定的大小AC、5C的大小关系,

・••无法得到ZABG45。，故②错误；

•・・CAM/NAM,

：.CM=NM,

VZACB=90°,CDLAB,

：.ZAED+/DAE=NCFE+NCAF=90°,

又丁ZCAF=ZDAE,

：.ZAED=ZCFE,

•:ZAED=/CEF,

：.ZCFE=ZCEF,

：.CE=CF,

VCM1AF,

:・EM=FM,

在，CM尸和NME中,

FM=EM

<NFMC=/EMN,

CM=NM

：._CMF-NMEOAS),

：./FCM=/ENM,

：.EN//BC,故③正确；

,:CM=NM,

・

・•qUACM——q0,ANM，q0,BCM—一v°BNM，

•CC_CC—―

,,uANMT°BNM一°ACM丁0BCM一2ABC'

即入ABM=T'

答案第12页，共16页

又SvABC=16,

；•sAB”=；xl6=8,故④错误一

综上所述，正确的有①③.

故答案为：①③.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与

性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.

16.8

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质.熟练掌握有一个角为60。的等腰三角形是等

边三角形是解题的关键.

如图，连接A5,证明，是等边三角形，然后作答即可.

【详解】解：如图，连接A8,

由题意知，ZAOB=60°,

OA=OB=8cm,

AO8是等边三角形，

AB=OA=8,

故答案为：8.

17.⑴(1,0)

(2)(3,2)

⑶存在，打一1,0)或玳-11,0)

【分析】(1)根据等腰三角形的性质，以及点A的坐标，求出。8的长，即可得到点3的坐

标；

(2)对称，得到PD=DQ,进而得到ZDPQ=ZDQP,同角的余角相等,得到NDPQ=ZQAC,

答案第13页，共16页

推出OQ=AQ,证明一尸瓦必.AC。，得到尸E=AC,得到0E的长，进而求出砥的长，即

可得出。点坐标；

(3)分点”在y轴正半轴和负半轴，两种情况，进行求解即可.

【详解】(1)解：・・・ZAC3=90。,AC=3C,9(6.5),

AC=BC=5,OC=6f

：.OB=OC-BC=lf

：.5(1,0)；

故答案为：(1,0).

(2),・,点P关于OE的对称点为点。，

.・.DP=DQ,

.・.NDPQ=/DQP,

VZACB=90°,PF1AQ,DELPQ,

：.ZACQ=ZPFQ=ZDEP=90°,

.・.ZDPQ=ZCAQ=90°-ZCQA,

.・・ZDQP=ZDQP