陕西省西安市某中学2024届高三年级下册高考模拟押题文科数学试题（一）（含答案与解析）

2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟押题试卷

数学（文科）

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=y=j6-2x],B=[y\y2-4<0）.„

1.已知集合I'/，/，则集合中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.复数史-的模等于（）

-1+i

3.某幼儿园组织“宝贝计画”兴趣小组.“变变变”是“宝贝计画哲学”，源自《周易》“穷则变，变则通，通则

久”，宝贝计画的终极理想是通过画画，让孩子还原想象、树立自信、感悟智慧、温存内心.某天中班有四个小

朋友参加此项活动，每个人画了一幅《小猪佩奇》的画，他们先把作品放到一起再反扣在桌子上，每人从

中随机的拿出一幅画，则四个小朋友拿到的都不是自己的作品的概率为（）

1123

A.一B.-C.—D.—

4358

4.一组数据为2,6,8,6,5,8,7,下列说法正确的个数是（）

①这些数据的众数是6

13

②这些数据的中位数是一

2

③这些数据的平均数是7

④这些数据的标准差是巫2

7

A.1B.2C.3D.4

5.已知的内角A,3,C所对的边分别为"c,若。=2百，函数

/（x）=—（瓜in2x—cos2x）+3的最小值为/（A）,则的外接圆的周长为（）

A.3兀B.4兀C.8兀D.16兀

6.已知一个三棱锥的三视图如图，正视图为边长为3的正方形，侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，则

此几何体的外接球的表面积为（）

正视图侧视图

A.6兀B.1271C.1771D.27兀

—,则cos[0一？-）的值为（

717

A.B.C.D.

838

]]]1

8.数列｛帽满足[=吟=*"一（在2）,则+?+—=（）

2021101210122023

A.-------B.-------C.-------D.

2025202540484048

9.若a=0.315,b=k)g312,c=k)g26,d=，一g,则有()

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

10.已知A（—2a,0）,B（2a,0）,（a>0）,半径为2的圆C满足：圆心在直线4x-3y=0上，且到直线

y=x的距离为YZ.若圆c上任意一点尸都满足R4.p3>o,则实数。的值可能是()

2

35

A.1B.-C.2D.-

22

11-已知/(x)定义域为R,函数/(%)满足/(%)+〃4一x)=6,g(x)=12：+2,23,f(^x),g(x)

4%—8

图象的交点分别是(玉,％),(々,％)，(忍，％)，(%4，%)，-(当，％)，则%+为++%可能值为

()

A.2B.14C.18D.25

22

12.已知双曲线♦一斗=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为F1,F,,右焦点工到渐近线的距离为3+G，

ab

过耳作圆。：/+3；2=02的切线，交双曲线右支于点若cos/£Mg=；,则圆C的面积为

()

A.9兀B.8兀C.6兀D.4兀

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在区域｛(无，»/+嬉9｝内任取一点尸，使点尸落在｛(%,刈必+沆』区域内的概率为

x+y-3<0

14.若X,y满足约束条件<x—y—1V0,则z=3x—y的最小值为.

5x+y+120

15.已知向量小匕满足,+2023囚=卜—20234a=(1,0),忖=2,则”+2人在a+人上的投影为

16.定义在R上的函数八％)的导函数为尸(龙)，且有〃—3)=-12,/(T)+/(X)=0,且对任意

xGR都有/'(%)>3,则使得/(eA)-3ev-3>0成立的x的取值范围是.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列｛4｝,%是方程(0)+和q―5]=0的根，数列也｝满足公比是2的等比数歹U,

b3=2。6-〃4-

(1)数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵令g=（3a“—1）也“，求数列｛cn｝的前n项和Tn.

22

18.己知椭圆。：0+%=1（4〉6〉0）的一个焦点与抛物线/=4%的焦点重合，离心率为，

（1）求椭圆C方程；

（2）过点g,o］作斜率为|■的直线交椭圆C于P,Q两点，求弦p。中点坐标.

19.在长方体ABC。—44GR中，AD=^AB=\,E在线段CD上，且满足DE=EC.

（1）求证：平面EBB11平面AEAX；

（2）若异面直线AD】与DG所成角的余弦值为普，求用到平面AED1的距离.

20.2023张信哲世界巡回演唱会在唐山站正式启动，9月9日唐山新体育中心体育场一起来见证情歌王子的

魅力现场!为了了解关注该演唱会是否与性别有关，某电视台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2x2

列联表.

男女合计

关注演唱会701080

不关注演唱会8040120

合计15050200

（1）能否有99.9%的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”；（运算结果保留三位小数）

n(ad-bc)2

附：K-=其中〃=〃+/?+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

20005

P(K>k0)0.1000.0500.0250.0100.001

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

(2)演唱会结束后，现场开启有奖竞猜活动.规定同组三个人中至少有两个人答对这道题目就可以获得神

3

秘奖品.甲、乙、丙三人现场组队参赛，已知甲和乙能答对这道题概率为一和L3三人都答对这道题的概

48

3

率为7,求三个人能获得神秘奖品的概率.

21.已知函数g(x)=g(x?+2aln%—4).

(1)讨论函数y=g(x)的单调性；

(2)设函数〃x)=g(x)—4x+2,若函数y=/(x)的导函数有两个不同的零点X],%(玉<9)，证

明.+§

22

—，—才〜一=C0S6Z.....人―一

22.在直角坐标系xOy中，曲线c的参数方程为1(a为参数)，以坐标原点。为极点，X

y=2sina

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为左"cos。一夕sin。-2左=0(左为直线/的斜率且

左w0).

(1)将曲线。和直线/化为普通方程；

(2)设曲线。与直线/交于A,3两点，线段A3的中点为M.证明：直线31的斜率与直线/的斜率的乘

积为定值.

23.己知函数〃x)=|x+2|+|x—2|.

(1)求不等式/(%)<6的解集；

⑵若不等式2a+l有解，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

XGy=Ay2-4<ol»

1.已知集合A=1IN|/6-2%1‘,B=I[y\"',则集合4AcB中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】分别求解集合A3,根据交集的定义计算即可.

［详解］因为集合4={%6可,=后石}={0,1,2,3},5={302—4<0}={4—2<,<2},故

AB={0,l,2}.

故选：C.

2.复数二巨的模等于（）

-1+i

A.孝B.1C.72D.G

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数除法运算即可得出答案.

【详解】半

-1+122

故选：B.

3.某幼儿园组织“宝贝计画”兴趣小组.“变变变”是“宝贝计画哲学”，源自《周易》“穷则变，变则通，通则

久”，宝贝计画的终极理想是通过画画，让孩子还原想象、树立自信、感悟智慧、温存内心.某天中班有四个小

朋友参加此项活动，每个人画了一幅《小猪佩奇》的画，他们先把作品放到一起再反扣在桌子上，每人从

中随机的拿出一幅画，则四个小朋友拿到的都不是自己的作品的概率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用排列数及古典概型的概率公式即可求解.

【详解】四个小朋友拿到的都不是自己的作品有C；C；xl=3x3x1=9种方法，四个小朋友随便拿一个有

A：=24种方法，

93

故四个小朋友拿到的都不是自己的作品的概率为一=一.

248

故选：D.

4.一组数据为2,6,8,6,5,8,7,下列说法正确的个数是()

①这些数据的众数是6

②这些数据的中位数是,

2

③这些数据的平均数是7

④这些数据的标准差是否2

7

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】将原数据组由小到大排列，根据众数、中位数、平均数、标准差的定义逐一计算即可.

【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：2,5,6,6,7,8,8,

所以这组数据的众数是6或8,故①错误;

中位数是6,故②错误;

［口①、，2+5+6+6+7+8+8,

平均数为---------------------二6.故③错误;

7

方差为『［［(2—6)1(5—6)?+2x(6—6"(7—6R2x(8—6门26

7

性*不,26J18244小丁母

标准差为J—=-------.故r④正确.

V77

故选：A.

5.已知的内角所对的边分别为若〃=26，函数

/(x)=-(由sin2x-cos2x)+3的最小值为/(A),则ABC的外接圆的周长为()

A.3兀B.4兀C.87rD.16兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由正弦型函数的最值可得A=]7T,再由正弦定理代入计算，即可得到结果.

【详解】要使/(%)=-瓜足2%+＜：052%+3=-2511112》一61+3,取得最小值/(A),

ITTTTTjr

只需2A——=—+2E,即4=—+hi(keZ),又Ae(0,7r),.1A=§.

623

设,ABC的外接圆的半径为R,

2R=61=2石=4

根据正弦定理，-sinA-6-，解得R=2.

下

所以.A6C的外接圆的周长为4兀.

故选:B.

6.已知一个三棱锥的三视图如图，正视图为边长为3的正方形，侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，则

此几何体的外接球的表面积为()

正视图侧视图

俯视图

A.6兀B.12KC.17兀D.27兀

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可将该三棱锥补充为一个正方体，计算正方体的外接球体积即可得.

【详解】由题意将该三棱锥补充为一个正方体，如图所示，

该三棱锥为A-BCD,其外接球与它所在正方体外接球是同一个，

设其外接球的半径为A,则有(2氏)2=32+32+32=27,

此几何体的外接球的表面积为S=47tA?=27K.

故选：D.

cB

D.

1

7.已知sin],贝I]cos[0—的值为（

4

177

A.-B.-cD.

38-48

【答案】D

【解析】

【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式即可得解.

a7i1人。兀PTJC兀^1

【详解】因为sin一十一一”,令t——-I----,贝U。=2t—,sint——4,

21242126

bi\5兀(c71571]

所以cos(a--—=cos|2t-----------|=cos(2/-兀)=-cos2t

I66J

=—(1—Zsin2=Zsin?/—1=2x]()—1=—：

故选：D.

2/、111+」

8.数列｛4｝满足q（心2），则丁+丁丁()

nn—1%024

2021101210122023

A.------B.-------C.------D.

2025202540484048

【答案】B

【解析】

【分析】由等差数列的定义可判断是以;二4为首项，2为公差的等差数列,即可利用裂项求和求

解.

【详解】将%=/T+2"2化简为也=2,

nn—1nn-1

所以数列,?）是以:

=4为首项，2为公差的等差数列.

If---所以

所以=4+2(〃-1)=2〃+2,即——~7TV

v7

nan2n(n+l)2\nn+1)

n

2〃+2

111120241012

所以一+—+—+-I________--------------------------

(12〃3%02440502025

故选:B.

9.若。=0.3产5]=iog312,c=log26,d=^|,则有()

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先得0<a<l,d=进一步

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log,3>2,从而我们只需要比较4,log23的大小关系即可

求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.

【详解】«=0,3115<0,31°=1，所以0<a<l,d=f—g<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

pn4+ln2?

又因为理#_In4」n2<[2J_(ln2回?<1

log,3-In3-ln3<In3-ln3-(ln3)2<

所以Z?vc,即dva<》vc.

故选：B.

10.已知A（—2a,0）,B（2a,0）,（a>0）,半径为2的圆C满足：圆心在直线4x-3y=0上，且到直线

y=x的距离为YZ.若圆c上任意一点尸都满足R4.p3>o,则实数。的值可能是（）

2

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】由已知圆心在直线上和点到直线的距离求出圆C方程，又圆。上任意一点都满足上4.总>0,即

0<ZAPB<9Q.得到两圆位置关系为相离，即圆心距大于两圆半径之和求出实数。的取值范围即可.

【详解】

设圆心C

解得7篦=3或%=-3,圆心的坐标为（3,4）或（—3,-4）,

圆。方程为：(x—3y+(y—=4或(x+3y+(y+4)2=4,

因为圆C上任意一点都满足上4.依>0，即0</AP3<90,

所以圆。与圆0:必+丁2=4/（。〉0）位置关系为相离，所以|OC|>2+2a,

3

又因为|0。=5,所以5>2+2a,即0<。<1.

故选：A.

11.已知/（X）的定义域为R,函数/（X）满足/（%）+/（4_%）=6,g（x）=12"+2023,/（力超⑺

图象的交点分别是（%,%）,（孙％），（毛，%），（斗％），，（%，%），则%+%++月可能值为

（）

A.2B.14C.18D.25

【答案】C

【解析】

【分析】可以分别说明/（%）遥（月的对称中心为（2,3）,从而两个函数的图象交点关于（2,3）对称，即

%+%++笫应为6的倍数，由此即可逐一判断.

【详解】因为函数"％）满足〃x）+/（4—x）=6,所以的对称中心为（2,3）,

12（2+%）+202312（2-x）+2023

注意至ijg（2+x）+g（2-x）4（2+x）-8+4（2-x）-8

12（2+%）+202312（2-x）+2023

=6,

4x4^

所以g（x）=12：［j；23的对称中心也是（2,3）,

故两个函数的图象交点关于（2,3）对称，

故%+%+「+其应为6的倍数，对比选项可知C选项符合题意.

故选：C.

22

12.已知双曲线斗=1（“>01>0）的左、右焦点分别为月，工，右焦点工到渐近线的距离为3+6，

ab

过《作圆。：必+丁2=。2的切线，交双曲线右支于点加，若cos/£Mg=g,则圆C的面积为

（）

A.9兀B.8兀C.6兀D.4兀

【答案】A

【解析】

【分析】由焦点到渐近线的距离为匕，可得b,结合双曲线定义与cos/月照=；可得。，即可得圆C

的面积.

【详解】如图，因为右焦点工到渐近线的距离为3+班，故人=3+6，

作OA±FXM于点A,F2B±F[M于点B,

因为耳M与圆°：必+/=/相切，所以[04|=.月1=2|。4|=2/闺理=»,

因为cos/£MB=g,即/月加工=60,

在直角5中，得M味芥

又点加在双曲线上，由双曲线的定义可得：

\FlM\-\F2M\=\F]B\+\MB\-\F2M\=2b+^-^=2a,整理得匹士?"，

因为人=3+6，所以4=3,圆C的面积S=兀r2=71y/=9兀.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作。4,4M于点A,83,4”于点3,从而结合双曲线定义

与直角三角形的性质可得。，即可得圆C的面积.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在区域｛(刘力9+北,9｝内任取一点「，使点P落在｛(x,刈V+乂』区域内的概率为

【答案】|

【解析】

【分析】根据集合意义即可求解.

【详解】区域｛(%»V+寸央｝,表示以0(0,0)圆心，半径为3的圆及其内部，

区域｛(x,y)|三+产＜1｝,表示以0(0,0)圆心，半径为1的圆，

结合图形可得所求概率p=」]XTT=—I.

9兀9

故答案为：一

9

x+y-3<0

14.若x,y满足约束条件｛x—y—lVO,则z=3x—y的最小值为.

5x+y+l>0

【答案】-7

【解析】

【分析】画出可行域，当直线y=3x-Z经过点3时，z取最小值.

【详解】作出如下图可行域：z=3x—y,即y=3x—z,

平移直线y=3x,经过点B时直线的纵截距-z最大，即z取最小值,

x+y—3=0,、

联立u,C，解得5(—1,4),

5x+y+l=0

代入得z=3义(-1)-4=-7.

故答案：-7

15.已知向量①匕满足,+2023囚=卜—2023川,0=(1,0),忖=2,则“+2b在a+8上的投影为

【答案】见1

5

【解析】

【分析】根据题意可得b=(O,±2),再由平面向量投影的定义，计算对应的投影即可.

【详解】由口+2023小.一2023M两边平方化简得到=0，

又a=(1,0),W=2,

x2+y2=4

设b=(x,y),贝卜，则万=(。,±2),

x+0-y=0

则a+Z?=(l,±2),a+2Z?=(1,±4),

(a+2b).(a+b)a

a+2b在a+Z?上的投影为----i------T\-------——N5.

\a+b\5

则a+2b在a+6上的投影为逋.

5

故答案为：巫

5

16.定义在R上的函数〃％)的导函数为了'(%),且有/(—3)=—12"(—%)+/(力=0,且对任意

xGR都有了'(X)>3,则使得/(e，)—3e，—320成立的x的取值范围是.

【答案】［ln3,y)

【解析】

【分析】构造函数g(x)=/(x)-3%,根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.

【详解】由/(—x)+/(x)=0知/(%)是奇函数，.・"(3)=—3)=12,

设g(x)=/(x)—3%,则g(3)=/(3)—3义3=12—9=3,g'(x)=/'(x)—3>0,

・•・g(x)在R上单调递增，由/(e)—3e、—320得/(e)—3F之3,

即g(ex"g(3),二/打，得x、ln3,x的取值范围是［ln3,+”).

故答案为：［ln3,+oo)

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

17.已知正项数列｛a,｝,a“是方程丫+4%-5n=0的根，数列｛bn｝满足公比是2的等比数列,

b3=2a6-a4.

⑴数列｛叫和也｝的通项公式；

(2)令ca=(3%—1)也“，求数列｛c“｝的前几项和却

【答案】（1）a”=n,bn=T

【解析】

【分析】（1）根据题意因式分解可得数列｛%｝的通项公式，进而求数列也,｝的首项封，即可得数列｛〃｝的

通项公式；

（2）由（1）可得%=（3〃—利用错位相减法运算求解.

【小问1详解】

因为（a）+4〃。"一5/=0,即（a“+5〃）（%—八）=0,

所以4=-5〃或%=n,

因为。”>0,所以%=n,

设数列出｝的首项伪，

则a=24-4=12—4=8=/22,解得伉=2,

所以优=2".

【小问2详解】

由⑴可得：c〃=（3%—1）也0=（3〃—1>4”,

则q=2x4+5x42+8x43+…+（3〃-1）x4®,

47；,=2x42+5x43+8x44+---+（3n-4）x4n+（3«-l）x4,!+1,

上述两式小目减得—3（=2x4+3*4?+3x43H---1-3x4°—（3〃—1）义4,!+1,

12x（1—4"）

=—^-^^-4-（3n-l）x4n+1=-（3n-2）x4"+1-8-

所以7；=，2X4〃M+|.

22

18.已知椭圆。：三+%=1（。〉6〉0）的一个焦点与抛物线>2=4%的焦点重合，离心率为。.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点，,o］作斜率为|•的直线交椭圆C于P,Q两点，求弦尸。中点坐标.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

⑵（-4）

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的焦点求出C的值，然后由椭圆的离心率计算。，再由平方关系得到力，可写出椭

圆的方程；

（2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点坐标.

【小问1详解】

依题意得：c=l

c11

e=—,即一=—,解得a=2

a2a

b1=a1-c1解得b=V3

22

椭圆。的方程为土+乙=1

43

【小问2详解】

设AB的中点为M,即/（天,%），如图所示:

设尸（七,％）,。优,％），又中点坐标为/（%%）,

%+%2=2%0

所以《

/+%=2%

则如「3

2

’22

9+"=1

22/b2

又A,B两点在椭圆=+与=1（。〉6〉0）上，可得＜

22'

ab生+&=1

2_22_2

两式相减可得三至+M二%=0,整理得

a2b2

X-%=b（X]+々）=3x2x（）=/x3=3xQ_①

石-W〃（％+%）42%%x42'%一

过点p]_g,o]斜率为g的直线为＞=.

因为M（%,%）在直线上，故为+g]，②

联立①②，解得xQ=-1,%=g

所以尸。中点坐标[一1，3]

19.在长方体ABC。—A/GR中，AD=^AB=1,E在线段CD上，且满足DE=EC.

B

（1）求证：平面EBB,1平面AEA,.

（2）若异面直线A。与。G所成角的余弦值为半，求用到平面AED1的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵2

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明BE，平面丛4,再由线面垂直的性质定得证;

（2）利用等体积法求⑸到平面AE2的距离高即可.

【小问1详解】

7T

由题意，AD=DE,CE=CB,所以NDEA=NCEB=生,

一4

7T

所以/BEA=—,即

2

又长方体中，AA_L平面A3CD,BEu平面A3CD,

所以E5_L44，又AEA&=A,AE,A&u平面及里，

所以3E，平面EA\,BEu平面EBB}

：.平面EBB,±平面EA\.

【小问2详解】

延长CB到BQ使=如图,

0

所以用。〃。由，又ADJIC[B,所以片QADl,

因为ABXDQ,所以NRABi为异面直线AD,与DC,所成的角，设5耳=a,

，解得a—2,

所以5用=2.

因为耳到平面AED,的距离等于Q到平面AEDl的距离，

所以%-AER=%-AE£(]=VD「AEQ,

设B}到平面AED1的距离为h,

则SAEDlxh=SA£Gx2,1xV2xh=gx2,解得〃=2,

即B1到平面AE，的距离为2.

20.2023张信哲世界巡回演唱会在唐山站正式启动，9月9日唐山新体育中心体育场一起来见证情歌王子的

魅力现场!为了了解关注该演唱会是否与性别有关，某电视台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2x2

列联表.

男女合计

关注演唱会701080

不关注演唱会8040120

合计15050200

（1）能否有99.9%的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”；（运算结果保留三位小数）

n(ad-bc)2

附：K=其中n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

P(A0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）演唱会结束后，现场开启有奖竞猜活动.规定同组三个人中至少有两个人答对这道题目就可以获得神

秘奖品.甲、乙、丙三人现场组队参赛，已知甲和乙能答对这道题的概率为一3和/3三人都答对这道题的概

48

3

率为7,求三个人能获得神秘奖品的概率.

16

【答案】（1）有99.9%的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”

（2）—

32

【解析】

【分析】（1）直接由卡方计算公式代入运算，并比较它与10.828的大小即可得解；

332

（2）由独立乘法公式求得P（A）=z，P（B）=&,P（C）=§,由互斥加法公式、独立乘法公式以及对立事

件概率分别依次求得有。个人答对这道题概率和有1个人答对这道题的概率，最后再由对立事件概率公

式即可求解.

【小问1详解】

根据列联表中的数据，经计算得到

K?_200X(70X40-80X10)2100

3—80x120x50x150~9~11.111>10.828,

;有99.9%的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”;

【小问2详解】

记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A,B,C,

333?

则所以P(C)=；

48163

有。个人答对这道题的概率

--------1515

PQ=P(ABC)=P(A).P(B)-P(C)=-x-x-=—,

有1个人答对这道题的概率

一__一3511311527

R=P(ABC+ABC+ABC)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

148348348324

5721

所以若三个人中至少有两个人答对这道题目P=1-6-《=1-而-五=记.

综上：三个人能获得神秘奖品的概率为二21.

32

21.已知函数g(x)=g(x?+2aln%—4).

(1)讨论函数y=g(x)的单调性；

(2)设函数/(x)=g(x)-4x+2,若函数y=/(x)的导函数有两个不同的零点为，w(玉＜%2)，证

明.〃石)+〃％)〉1皿5

’22

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，分。20、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间;

x2-4x+a

(2)求出函数的导函数/'(x)=依题意f―4x+a=0在(0,+“)上有两个不等实根，令

x

丸（0）〉0

/z(%)=x2-4%+a,只需<而＜。’即可求出0的取值范围，结合韦达定理可得

/(石)+/(%2)=。1n〃—8，则需证(l—a)lna+a—2V。,aG(0,4),令

根（a）=（l—a）lna+Q—2M£（0,4）,利用导数说明函数的单调性，求出相（。口"，即可证明.

【小问1详解】

2

由已知函数y=g（x）定义域为（0,+“），又g[x）=x+4=x+a

XX

当aNO时，g'（x）＞0,函数g（x）在（0,+8）上是增函数;

当a＜0时，g'（x）=。解得x=或x=（舍去）,

所以当x〉Q时g'（x）＞o,函数g（x）在（G,+8）上是增函数;

当0＜x＜J工时g'（x）＜0,函数g（x）在（0,、。）上是减函数;

综上所述：当a»0时，函数g（x）在（0,+“）上单调递增;

当a＜0时，函数g（x）（J工,+s）上单调递增，在（0,々）上单调递减.

【小问2详解】

由已知/(x)=g(x)-4x+2,即〃犬)=；(*+2alnx-4)-4x+2=+々1nx,

可得r(x)=x+q-4=©+a

XX

函数/（九）有两个极值点%,％2（石＜%2），即尤2—4x+a=0在（0,+8）上有两个不等实根,

/z(0)=a>0

令〃(x)=*-4x+a,只需<7小4Z故°<a<4,

/z(2)=a-4<0

又毛+巧=4,西々=a,

1

所以/(%)+〃%2)=1+alnX]一例卜1+a\nx2-

2

=-4(石+%2)+(liiXj+lux?)+5(x；+x；)=alna-a-8,

要证〃石）+/（々）〉小_5,

22

即证Qlna-Q-8>ln”一10,ae（0,4）,

只需证（1一a）lna+a-2vO,ae（0,4）,

令加（〃）二（1-〃）1114+〃一2,〃£（0,4）,

]—Q]

则加⑷=-InaH-------b1=Ina,

aa

令〃（。）=加（〃），则〃'（〃）=--1_工<0恒成立，

所以加⑷在ae（0,4）上单调递减，又加⑴=1>0,加（2）=g—ln2<0,

由零点存在性定理得，三%«1,2）使得加（%）=0,即1叫=’，

a。

所以〃£（0,。0）时，加（Q）>0,相（Q）单调递增，

〃£（%,4）时，加加单调递减，

m-

则机（〃）max=M）-（1〃o）]n%+%—2=（1一4）aQ-2=aQ-\------3,

ao%

令H（x）=x+,—3,xe（l,2）,则H[x）=l一-、=（”+1）_ll>0,

犬XX。

所以"（x）=x+L—3在（1,2）上单调递增，

JC

所以%+工-