2024年高考数学总复习 正弦定理 余弦定理 教师版

2024年高考数学总复习正弦定理、余弦定理

【考试要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用

正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,尺为AABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

〃2=庐+。2-2拉;85A;

a_____b_____c___

内容庐=。2+*_2c〃cosB；

sinAsinBsinC

。2=〃2+=2一2〃灰:osC

(l)a=2RsinA,

Z?—27?sinB,

尻+c2一层

c=2RsinC；cos4—2bc；

a

(2)sin4=诋—庐

变形cosB-2ac；

.b.c居+。2一，

sinB=:2R,sinC~~27?*

cosC-lab

(3)。*b•c

=sinA:sin3：sinC

2.三角形解的判断

A为锐角A为钝角或直角

cccc

图形

ZLA"、一的工、--%X

ABAB

关系式a=bsinA加inA<a<ba^ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

(l)S=；a/ia(/7a表示边a上的高);

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(2)S=54bsinC=]〃csin3=]Z?csinA；

(3)S=*a+6+c)(r为三角形的内切圆半径).

【常用结论】

在△ABC中，常有以下结论:

(1)ZA+ZB+ZC=TT.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)ci>Z><=>A>B<=>sinA>sinB,cosA<cosB.

...A-\~BCA~\~B

(4)sin(A十8)=sinC；cos(A+B)=­cosC；tan(A+B)=—tanC；sin-,-=cosy；cos-5-

.C

sin~2.

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=/?cosA+acosA

(6)三角形中的面积S=y]p(p-a)(p—b)(p—c^p=；(。+6+c)).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)

(2)在△A8C中，若sinA>sin8,则A>8.(V)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(X)

(4)当辰+02—标〉。时，△ABC为锐角三角形.(X)

【教材改编题】

1.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=I,则/BAC等于()

7C7T27c57r

A6B-3CTD~6

答案C

解析在AABC中，

设AB=c=5,AC—b—3,BC=a=7,

，人心、&2+c2-a29+25-491

由余弦正理得cosZBAC=赤=---丞j------=-2，

因为NBAC为△ABC的内角，

2兀

所以NBAC=m".

2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4,a=2,2=30。,

则c等于()

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A.8B.4

「至D逑

J3u'3

答案A

解析由SAABc=]acsinB=；X2C><T=4，得C=8.

3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知8=30。，b=^2,c=2,则C=.

答案45。或135。

GR+u上丁*占m/n.ccsinB2sin30°也

解析由正弦定理得sinC=-^—=—^万一=2>

因为c>6,8=30。，

所以C=45°或C=135°.

■探究核心题型

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

P0QA

例1(12分)(2022・新高考全国I)记445。的内角A,B,C的对边分别为已知中而

sin2B

1+cos2B'

9jr

⑴若C=拳求8；［切入点：二倍角公式化简］

储+/

(2)求的最小值.［关键点：找到角8与角C,A的关系］

思路分析

(1)二倍角公式化简一去分

母、两角和与差公式化简一

求出sinB.

(2)由角3,C正余弦关系f

角8与角C,4的关系一呼

化成正弦一用角3表示角A,

C化简一角B的关系式一基

本不等式.

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答题模板规范答题不丢分

cosAsin2B_2sinBcosB华严[1分]

解（1）因为①处二倍角公式化简

1+sinA1+cos2B2cos23cosB

2

即：sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=^,[3分工<②处两角和与差公式化简

而0<8v詈，所以5=看.[4分]

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,

所以专<C<TT,

而jsinB=-cosC=sin(C-^)>M6分强一③处找角B,C的正弦关系

所以;C=W+B,即有4=千-2胪[7分立一④处用角B表示角C,A

所以:与=3a®[8分]L-

⑤处正弦定理化边为角正弦

c2sin2c

_cos226+l-cos25⑥|

⑥处将角C,A代入化角

cos2B

_(2COS2B-1)2+1-COS28

cos2B

2

=4cos2B+—7y-5&472-5.®[10^]*-⑦处基本不等式求最值

当且仅当cos2B=卷时取等号，

〃2+

所以---的最小值为4点-5.[12分]

c2

思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两

个定理都有可能用到.

跟踪训练1（2022•全国乙卷）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin（A

-B)=sinBsin(C-A).

(1)证明：2/="+/；

(2)若a=5,cosA=V，求△ABC的周长.

(1)证明方法一

由sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A),

可得sinCsinAcosB—sinCeosAsinB

=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,

结合正弦定理就^磊=会，

可得accosB—bccosA=bccosA—abcosC,

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即accosB+abcosC=2/?ccosA(*).

由余弦定理可得

c^+c^—b2

accosB=2，

c^+b^—c2

abcosC—2，

2bccosA=b2+c2—a2,

将上述三式代入(*)式整理，

得2/=廿+，.

方法二因为4+8+。=兀，

所以sinCsin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)

=sin2Acos2B—cos2Asin2B

=sin2A(1—sin2B)—(1—sin2A)sin2B

=sin2A—sin2B,

同理有sinBsin(C—A)=sin(C+A)sin(C—A)=sin2C—sin2A.

又sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以sin2A—sin2B=sin2C—sin2A,

即2sin2A=sin2B+sin2C,

故由正弦定理可得2/=廿+°2.

(2)解由(1)及42=62+，—2/?ccosA得，tz2=2/?ccosA,所以2/?c=31.

因为廿+°2=2〃2=50,

所以S+c)2=Z?2+c2+2bc=81,

得b+c=9,

所以△A3C的周长l=a+b+c=l4.

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形的形状判断

例2(1)在△A5C中，角A,B,。所对的边分别是〃，b,c,若c—QCOS3=(2〃一b)cosA,

则AABC的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因为c—acosB=(2〃一Z?)cosA,

C=TI~(A+B)9

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所以由正弦定理得sinC—sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcosB+cosAsinB—sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

所以A=^或B=A或5=兀-A(舍去)，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(2)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，/^sin与，则△ABC的形状为()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由cos8=1—2sin当

/日.B1—cosB七〃1—cosB

得sm弓?=^^-，所以

即cosB=*

方法一由余弦定理得2-=3

即4+。2—/二2层，

所以a2+b2=c2.

所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=黑，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3WO,

所以cosC=0,又角。为△ABC的内角，

所以C=E所以AABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

延伸探究将本例(2)中的条件“舒=sin4”改为“端=£(b+c+a)(6+c—a)=36c”，

乙C乙JL/C

试判断△ABC的形状.

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解因为需=*所以由正弦定理得At所以b=c-

又S+c+〃)3+c—d)=3bc,

所以b1+c1—a1=bc,

>+02—〃2be1

所以由余弦定理得cosA=1=怒=/

TT

因为AG(0,兀)，所以A=§,

所以△ABC是等边三角形.

思维升华判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A

+B+C—H这个结论.

命题点2三角形的面积

例3(2022•浙江)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

已知4a=y[5c9cos。=亍

(1)求sinA的值；

(2)若6=11,求△ABC的面积.

解⑴由正弦定理看=亮，

〃・sinC

得sinA=

c'

34

因为cosC=g,所以sinC=m，

va或g、；..小sinC小

又工=工，所以sin-=g.

(2)由(1)知sinA=V，

因为4=^^<匿所以0<4<去

所以cosA=

5，

所以sinB=sin(A+Q=sinAcosC+sinCeosA—X7+7X

因为扁=心，即奇

255

所以。=44,

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所以SAABC=；6csinA=gx11X44X坐'=22.

思维升华三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=%bsinC=；acsinB=gbcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

命题点3与平面几何有关的问题

例4(2023•厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,fe(l+cos

C)=隹csinNABC且AABC的外接圆面积为亍.

⑴求边c的长；

(2)若〃=5,延长C8至使得cosNAMC=，-,求3”.

解(1)设△A8C的外接圆半径为R,由题意无a=争，解得尺=¥.

由题意及正弦定理可得sinZABC(l+cosC)

=45sinCsinZABC,

因为sin为ABCW0,所以1+cosC=M§sinC,

即2sin(。一习=1,

L-.i71(兀5兀\,i71TC..71

因为0vC〈兀，所以一不故。-4=不a即t。=?

故c=2EsinC=2X-^^X=7.

、77i,125+Z?2—49

(2)因为〃=5,c=7,C=»,故LcosC=5=o乂《乂〃，仔s人9一5/7-24=0,

解得b=8(6=—3舍去).

^2_|_y2_g2i

在△ABC中，由余弦定理可得cos乙48C=……=不

所以sinNABC=#3

由cosZAAfC=与得sin/AMC=半.

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)

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=sinZABCcosZAMC—cosZABCsinZAMC=,

在△ABM中，由正弦定理可得.*仆,则富=5.

sinZBAMsinZAA/B27749

7

思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问

题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具

体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三甬形的边或角用所设变量表示出

来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想.

跟踪训练2(1)(多选)(2023・合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

下列四个命题中正确的是()

A.若acosA=6cos8,则△ABC一定是等腰三角形

B.若6cosc+ccos8=6,则△ABC是等腰三角形

C.若一%=—、=」不，则△ABC一定是等边三角形

cosAcosBcosC

D.若8=60。，b2=ac,则△ABC是直角三角形

答案BC

解析对于A,若acosA=bcos2,则由正弦定理得sinAcosA=sin8cos2,

；.sin2A=sin2B,则2A=22或2A+22=180。，即A=2或A+B=90。，则△ABC为等腰三

角形或直角三角形，故A错误；

对于B,若6cosc+ccos8=6,则由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sin(8+C)=sinA=

sin8,即A=B,则△ABC是等腰三角形，故B正确；

廿abc,,>-r^ysinAsinBsinC,,C一

对于C'右京则n由正弦正理ThH待B忘7=五下则ntanA=tan8=tanC,

即A=B=C,即△ABC是等边三角形，故C正确；

对于D,由于2=60。，b2—ac,由余弦定理可得匕2=m=〃2+/一收，可得(a—c)2=0,解得

a=c,可得A=C=B,故△ABC是等边三角形，故D错误.

⑵在①序+6。。=。2+。2；②cosB=bcosA；③sinB+cos8=6这三个条件中任选一个填在

下面的横线中，并解决该问题.

已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,,A=?/?=小,求△ABC的

面积.

解若选①，则由及+也〃。=4+。2,

得由ac=a2+c2—b2.

〃2+。2一。2啦a。啦

由余弦定理得cosB=

2ac2ac2'

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因为BG（O,Ti）,

所以B=^.

由正弦定理得看=备，

即告=W，解得。=小.

sinsin

HrT>LAT-»兀JT5兀

因为C=7t—A—B=7T—4=y^,

所以sinC=sinj^=sin（^+^）

.兀71,7C.71A/6+^/2

=sin4cosa十cosTsin—4,

所以S^ABC=^absin。=；*仍X也X亚奈&=上苧^

若选②，因为cos3=AcosA,A=?b=y[2,

所以cosB=bcosA=yflcos乎.

因为3£（0,兀），

所以B=1.

由正弦定理得斯=5，

即七=W?解得。=小.

sinsin

-s/__八_兀兀_5兀

因为。=兀_7A1_3=兀一q一^二逐，

所以sinC=siny^=sin（^+^

.兀71,兀.兀加+、/5

=sin^cos4十cosTsin4，

所以S^ABC=^absinC=*小X也X亚彳也=3寸^

若选③，则由sinB+cosB=y[2,

得也sin（B+弥）=也,

所以sin（B+：）=l.

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因为86(0,n),

所以8+铝俘,用，

所以8+孑=看所以8=全

由正弦定理得看=信，

即七=当，解得。=小.

sinwsin

E幺-An兀兀5兀

因为0=兀_4_5=兀_］一1=五,

5K_.包工姑

所以sinC=sin12-sinl6+4j

.7171.71.71加+也

=sin4cosa十cosgSin~^=-------

所以SMBC=5加inC=3x小X也X也:立

(3)(2022・重庆八中模拟)已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,在①c(sinA—

sinQ=((2—Z?)(sinA+sin8)；②2/?cosA+a=2c；③^^acsin3=〃2+。2—/三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并解答.

①若,求角5的大小；

②求sinA+sinC的取值范围；

③如图所示，当sinA+sinC取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点。(。与B在AC

两侧)，使得线段。。=2,DA=\,求△88面积的最大值.

解①若选①，

因为c(sinA-sinC)=(a—Z?)(sinA+sin5),

由正弦定理得c{a—c)=(a—b)(a+b),

整理得a2+c2—b2=ac,

心、)6Z2+c2—Z?2__qc__l

所以cosB_2ac~2ac~2'

TV

又0<B<7l,所以B=y

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若选②,

因为20cosA+〃=2c,

层+02一层

由余弦定理得2b—荻一+〃=2匿

111

化简得，a~\~c—b=ac9

层+/一户ac1

所以cosB=

2ac2ac2'

jr

又0<B<7i,所以B=1.

若选③，

因为斗^acsinB=a2+c2—b2,

2s

由余弦定理得一^-“csinB=2accosB,

化简得tan8=5,

TT

又0<B<7l,所以B=y

27r

②由①得，A+C=y,

27r

则0<A<y,

....„....<2nA3.,,,r-.f

sinA十smC=smA十sin(m-AJ=2smA十？cosA=y3sin(A十不

「兀,।兀5兀

又不<A+rp

所以3<sin(A+专)Wl,

则sinA+sinC的取值范围是小].

jr7T

③当sinA+sinC取得最大值时，A+%=],

解得A=1,

TT

又8=?所以△ABC为等边三角形，

令NACD=0,ZADC^a,AB=AC=8C=a,

则由正弦定理可得襦=看，

所以sina=asin0.

又由余弦定理得，*=22+"-2X2X1Xcosa,

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所以tz2cos20=tz2—a2sin29=cos2a—4cosa+4,

所以acos9=2—cosa.

SABCD=|XaX2sin(j+0

=2~acos9+]asin0

当且仅当a=NAOC=w时等号成立,

所以△BCD面积的最大值为小+1.

课时精练

理基础保分练

1.在△ABC中，C=60°,a+26=8,sinA=6sinB,则c等于()

A.^35B.V31C.6D.5

答案B

解析因为sinA=6sinB,

则由正弦定理得。=66,

又a+2/?=8,所以a=6,b—1,

因为C=60°,

所以由余弦定理,2=4+〃-2abeosC,

即C2=62+12-2X6X1X1,

解得c=回

2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA—sin8)=(b+c)sinC,

a=7,则AABC外接圆的直径为()

A.14DR*7/\c_•<.岖3U口.迎3

答案D

解析已知(a+b)(sinA—sin3)=(0+c)sinC,

由正弦定理可得(Q+Z?)(〃一Z?)=(/?+c)c,化简得b2+c1—a2=—bc,

庐+/一次-be1

所以cosA=

2bc2bc2,

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又因为AG（O,兀），所以A=亍，

2兀、叵

所以sinA=sin^=竽，设△ABC外接圆的半径为R,

由正弦定理可得2"就^=太=挈

2

所以△ABC外接圆的直径为必乎.

3.（2022•北京模拟）在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，若小asin2=6cosA,

且6=2小，c=2,则。的值为（）

A.2巾B.2

C.2^3-2D.1

答案B

、后

解析由已知及正弦定理得，小sinAsin8=sinBcosA且sin3W0,可得tanA=»又0<A〈m

所以4=看，又Z?=2小，c=2,

所以由余弦定理^2=Z?2+c2—2/?ccosA=16-12=4,解得a—2.

4.（2023•枣庄模拟）在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,A=60。，b=\,S^ABC

=小’则sinA+sinB+sinC等于（）

A雪B.等C.华D,2小

答案A

解析由二角形的面积公式可得S"Bc=]bcsinA=\^c=q§,解得c=4,

由余弦定理可得a=yj扶+c2-2bccosA=y[H,

设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得'=熹=%=2厂，

SJ.112T.olllJDSill

斫a+b+c______2r（sinA+sin3+sinC）aVT5

sinA+sin3+sinCsinA+sinB+sinC?丫sinA-^53,

2

5.（2023•马鞍山模拟）已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,设（sinB+sinC）2

=sin2A+（2—也）sinBsinC,，5sinA—2sin5=0,贝"sin。等于（）

A.|B坐

^6-^2^6+^2

J44

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答案c

解析在△ABC中，由(sin8+sinC)2=sin2A+(2—也)sinBsinC及正弦定理得(6+c)2=/+

(2~^2)bc,

I„2_〃2历

即庐+，一〃2=一也儿，由余弦定理得cosA=-而一=~29而0°<A<180。，解得A=

135°,

由也sin4—2sinB=0得sinB=^sinA=2,显然0°<B<90°,则8=30°,C=15°,

r_历

所以sinC=sin(60°—45°)=sin60°cos45°—cos60°sin45°=^~.

6.(2023・衡阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cos5(QCOSC

+ccosA)=/?,1gsinC=^lg3—1g2,则△ABC的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

答案C

角翠析2cosB(acosC+ccosA)=b,

・・・根据正弦定理得，

2cosB(sinAcosC+cosAsinQ=sinB,

2cosBsin(A+Q=sinB,

/.2cosBsin(7i—B)=sinB,

即2cosBsinB=sinB,

VBe(0,7i),AsinB^O,

•••cVoUsoBU=~2,•••UB=3.~

VigsinC=]lg3Tg2,

・1•1近・•「—苴

..lgsinC—1g2，・・sinC—?

VC^(0,71),或与，

IT

：.A=B=C=y即△ABC为等边三角形.

7.(2022•全国甲卷)已知△ABC中，点。在边8C上，ZADB=120°,AD=2,C£)=2B0.当器

取得最小值时，BD=.

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答案V3-1

解析设BD=k（k＞。）,贝ICD=2k.

根据题意作出大致图形，如图.

在△42。中，由余弦定理得44=&。2+2£）2—2AZXBZ）COSNADB=22+M—2X2A（-，=F

+2k+4.

在△AC。中，由余弦定理得4?=&。2+“）2—2ADCDCOS/AZ）C=22+（2Z）2—2X2X2/$=

4m一44+4,

AC*234舒一40+4

则市=R+2k+4

4（炉+2"+4）-12左一12

=7+24+4

_12-+1）_12（^+1）

=4一7+2左+4=4%+1）2+3

12

=4------------r-

k+i+T+i

33

•/3+1+1三2x/§（当且仅当k-\~1=,,,

KI1K-I11

即4=小-1时等号成立），

•••箓2—景=4—2小=（小—1）2,

.•.当务取得最小值小一1时，BD=k=y[3~l.

8.（2023•宜春模拟）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知加inC+csinB=4asin

BsinC,"+<:2—4=8,则△ABC的面积为.

答案平

解析Z?sinC+csinB=4asinBsinC,sinBsin00,

结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

；・sinA=3,丁"+，一〃2=&,

结合余弦定理/=〃+，-2/?ccosA,

可得2Z?ccosA=8,

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为锐角，且cosA=坐，从而求得bc=半，

.,.△ABC的面积为S=；6csinA=T义当乎义3=邛2

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(2a—c)cosA

⑴求8;

(2)若6=3,sinC=2sinA,求△ABC的面积.

解(1)由正弦定理，得sinBcosC=2sinAcosB—cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,

sin(B+C)=2sinAcosB,

sinA=2sinAcosB,

又••'sinAWO,cosB=Q

jr

・・・B为三角形内角，・・・8=Q.

(2)*.*sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=a2+4a2—2a2=9,即3/=9,

••ci—,^3,c~~2,^3,

:•△ABC的面积为S=gacsinB=3X4X2小义

10.(2023・湖州模拟)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知/bsine+A

asmB.

(1)求角A的大小；

(2)若儿〃，c成等比数列，判断△ABC的形状.

解⑴加［11(^+4)=制111B,由诱导公式得d5bcosA=asinB,

由正弦定理得小sinBcosA=sinAsinB,

Vsin・••小cosA=sinA,即tanA=^/3,

71

VAe(o,兀)，・・・A=g.

⑵・"，a,c成等比数列，.•./=儿，

/，一/

由余弦定理得cos4=全

b2+c2~bc1

=-2bc-=29

即Z?2+c2—Z?c=/?c,

/.(Z?—c)2=0,:.b=c,

第17页共21页

jr

又由（1）知A=y

.,.△ABC为等边三角形.

立综合提升练

11.（多选）对于△ABC,有如下判断，其中正确的是（）

A.若cosA=cosB,则AABC为等腰三角形

B.若A>B,则sinA>sinB

C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个

D.若sin2A+sin2氏side,则△ABC是钝角三角形

答案ABD

解析对于A,若cosA=cosB,则A=B,所以△ABC为等腰三角形，故A正确；

Z7b

对于B,若A>8,则a>b,由正弦定理得2RsinA>2Rsin8,即sinA>sin8

sin/IsinD

成立，故B正确；

对于C,由余弦定理可得6=1，82+1。2—2X8X102，=<丽,只有一解，故C错误；

〃2+62—廿

对于D,若sin2A+sin28<sin2。，则根据正弦定理得〃2+庐<。2,cosC=---------<0,所以。

为钝角，所以aABC是钝角三角形，故D正确.

12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinAsinBsinC=1,/XABC的面

o

积为2,则下列选项错误的是（）

A.abc=16y[2

B.若q=爽，则A=g

C.AA5c外接圆的半径R=2吸

D•舄l+^>32sinC

答案B

14

解析由题可得呼。sinC=2,则sinC=标,

代入sinAsinBsin

C=oQ,

4sinAsinB1

得ab直，

即4=8,即R=2小，C正确；

"c=8R3sinAsinBsinC=128&X^=16/，A正确；

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若a=y[2,则sin此时AWQ,B错误；

因为sinA>0,sinB>0,

所以(sinA+sinB)2^4sinAsinB,

(sinA+sin3)2>4

'(sinAsinB)2/sinAsinB9

1,4

由sinAsinBsinC=g,得^~^i^=32sinC,

“…(sinA+sinBp(11丁卜

所以(sinAsin8)2232sinC,即4+Q^-2sinC，D正确•

13.(2023•嘉兴模拟)TXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知csinA=M5acosC,

c=2小，ab—8,则a+b的值是.

答案6

解析csinA—yf3acosC,根据正弦定理得sinCsinA=M§sinAcosC,

•「sinAWO,故tanC=小，VC^(0,71),C=^9

〃2+廿一02(°+6)2-2"—<?]

再由余弦定理得cosc二

号°lab2'

代入c=2小,ab=8,得a+6=6.

7

14.在△ABC中，已知AB=4,AC=7,BC边的中线4。=亍那么BC=.

答案9

»+4。2一人"

解析在△A2£)中,结合余弦定理得cosZADB—

2BDAD

5+4)2—AC2

在中，结合余弦定理得cosZADC=