2024年高考数学新结构模拟适应性特训卷（二）（九省联考模式）

2024年新结构模拟适应性特训卷（二）

高三数学

+看诛皎闺X150寸I］钥诛酬效剂X150剂-

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知角。的终边经过点尸",-5）,且tan。*,则x的值是（）

A.-13B.-12C.12D.13

2.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示.小明打算在网上搜集一些与

二十四节气有关的古诗.他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气

的不同情况的种数是（）

小满立夏谷雨田口

芒^中77青明

夏专彳/下）卡分

小次季X京蛰

大暑/L夏季△雨水

立秋厂皮卜口立春

处暑1秋vzy季|大寒

白泰"季丁冬寒

寒蠢雪

霜降立冬小雪

A.90B.180C:220D.360

3.已矢口数歹！的前”项和S“=/+〃，贝0〃2023+。2024的值是（）

A.8094B.8095（8096D.8097

4.已知直线履->+2=。和以M（3,-2）,N（2,5）为端点的线段相交，则实数上的取值范围为（）

A.I

43

c.D.-co,—U—,+oo

3723J\_2

5.已知函数/（町=入/+反2+尤一2,若广⑴=1,则/（T）=（）

A.-1B.0C.1D.2

6.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶

的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF//AB,AB=2EF=4,△ADE与

△BC尸都是边长为2的等边三角形，若点A,BC,D,E,尸都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

7.已知随机事件A,B满足P（A）=1,P（A|B）=|,P（B\A\=^~,则尸（B）=（）

34'，16

22

8.如图，已知双曲线C:J-1=l（“>0.b>0）的一条弦AB所在直线的倾斜角为75。，点B关于原点。的

ao

对称点为旦，若耳=30。，双曲线C的离心率为e,则e?=（）

A.3B.2+V3C.3+6D.4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z-z?满足3Z]+z[=—1—2i,Zj+3Z2=5+2i,则()

A.Zj=-1-iB.z2=2+i

4_-3-i

C.—z2=-3+2iD.

z25

10.在DABC中，a=2C,c=2>/2，C=45。，则A可能为（）

A.30°B.150°C.120°D.60°

11.已知椭圆C亍+9=1的左、右焦点分别为耳，F2,P是C上一点，则()

A.|尸耳|+|「阊一|耳匐=4一6B.|P4||%|的最大值为8

仁|丽+玩|的取值范围是[2,4]D.丽•比的取值范围是[-2,1]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合A=｛也，＜l｝,B=｛x|xNa｝,若则实数。的取值范围是.

13.如图，在三棱锥4-ABC中，的，平面A4G，NABG=90。，4耳=2AA=2B1C=2,p为线

段4月的中点，M,N分别为线段4,和线段耳&上任意一点，则石尸M+MN的最小值为.

14.已知/(x)=_rlnx,g(x)=x-e”,若存在尤1e(0,+8),尤2eR,使得/'(尤J=g(尤2)＞。成立，则二■的最大

x\

值为.

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(满分13分)设等差数列｛%｝的前〃项和为S.，%=3,Ss=35.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设数列｛鬲|｝的前几项和为北，求7；。.

16.(满分15分)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲

在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获

胜率如下表所示.

比赛位置第一棒第二棒第三棒第四棒

出场率0.30.20.20.3

比赛胜率0.60.80.70.7

⑴当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率.

(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率.

(3)如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由.

17.(满分15分)如图，在三棱柱ABC-4与G中，口ABC是正三角形，四边形ABC。是菱形，AC与

(1)若点E为例中点，求异面直线3E与。。所成角的余弦值;

(2)求平面4G。与平面BCC4的夹角的余弦值.

18.(满分17分)已知椭圆C：E+《=l(a>6>0)的离心率为"，点尸(。,2)在椭圆C上，过点P的

ab3

两条直线PA,PB分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线PA,PB,AB的斜率满足kPA+kPB=4kAB(%N0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明直线AB过定点；

(3)椭圆C的焦点分别为耳，F］,求凸四边形耳AgS面积的取值范围.

19.(满分17分)若函数在［。回上有定义，且对于任意不同的为,々«。，可，都有

|/(占)-/伍)|<小1-引，则称“X)为［他国上的“人类函数”.

⑴若〃X)=J+x,判断“X)是否为［1,2］上的“3类函数”；

(2)若〃"=4(%-耻'-彳7111彳为［国上的“2类函数”，求实数。的取值范围；

(3)若〃x)为［1,2］上的“2类函数”，且〃1)=〃2),证明：%,x2e［l,2］,

2024年高考数学新结构模拟适应性特训卷（一）

答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

序号12345678

答案BCACCAAC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

序号91011

答案ABDCDCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12（-℃,0）

13^/5

14一3

e

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（满分13分）

【答案】⑴4=13-2〃

（2）52

【分析】（1）设出｛%｝的公差为d,利用等差数列通项公式和前一项和公式求解即可；

（2）由（1）判断出｛%｝前六项为正，后四项为负，进而利用前"项和公式求解即可.

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,

%=%+4d=3

*.*a=3,S=35,5x4,

55耳—H----u—35

、2

解得%=11,d=—2,

故=q+（〃-l）d=13-2〃.

(2)由(1)知a.=-2”+13,<7=—2,

"(U+13一2")=⑵-七

。6=1，%=—］，S"=

2

|+,,,+1%。|=%+a,+•■,+a6—+q+%+q。)

16.（满分15分）

【答案】⑴0.69

嗯

（3）应多安排甲跑第四棒，理由见解析

【分析】（1）根据全概率公式即得出答案.

（2）根据条件概率的计算公式即可求解.

（3）分别求出四个位置上的获胜概率，即可做出判断.

【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件A，“甲跑第二棒”为事件4,“甲跑第三棒”为事件43,“甲跑第

四棒”为事件为，“运动队获胜”为事件8,

则尸（B）=尸（A）尸（BIA）+P（4）尸（B|4）+P（A）尸（BIA）+P（A4）尸（BIAj

=0.3x0.6+0.2x0.8+0.2x0.7+0.3x0,7=0.69,

所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69.

⑵尸⑷力制二垣*-

0.69~23'

所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为3・

n/一P(4B)0.2X0.816

⑶P(4网=向广--------

0.6969

P(&B)0.2x0.714

尸（412）=

P⑻0.6969

P（4B）03x0721

产(410=

尸⑻0.69~69

所以尸（4|B）＞「（A|B）＞P（4|B）＞P（4|B）.

所以应多安排甲跑第四棒，以增加运动队获胜的概率.

17.（满分15分）

【答案】⑴亚

35

亚

19

【分析】（1）根据题设易于建系，分别求出相关点的坐标，得到西，丽的坐标，利用空间向量的

夹角公式计算即得；

（2）同上建系，求出相关点坐标，分别求得两个平面的法向量坐标，最后利用空间向量的夹角公式计

算即得.

因为四边形ABCD是菱形，所以AC/8D,

因为。耳，平面ABC。，所以OA,两两垂直，AB=OBt=4

如图，以点。为原点，OB,OA,OB1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则4（0,2,。）,B仅君,0,0）,C（0,-2,0）,£>（-2>/3,0,0）,耳（0,0,4）.

BA=（-2V3,2,0）,丽=卜2君,0,4）,在三棱柱ABC-4与6中，因//BC//AD,4G=BC=AD,

易得口ADC^，故西=瓯=（0,-2,4）,

因为点E为A4,中点，所以通=；赢，所以屉=应+荏=丽+3丽=丽+3丽=卜30,2,2）,

I一►BE-DCX4_277

因cosBE,DCS=_

11明。G735x27535

所以异面直线BE与DC.所成角的余弦值为空.

35

(2)DQ=(O,-2,4),q^=G4=(0,4,0),BC=(-273,-2,0),=(-273,0,4),

设％=&,%,zj是平面AG。的一个法向量，则一L一-1,

Y\•DC]=-2%+4z1=0

取光i=l,得々=(1,0,0),

一/、1%•BC=-2A/3X?-2%=0

设%=(%,%/2)是平面3CG四的一个法向量，则———厂，

n2-BB[=-2V3X2+4z2=0

取%2=2,得第=(2,-26,6),

设平面AC.D与平面BCQBi的夹角为。,

I一一I22y/19

则…小讣3rE和F，

故平面4G。与平面BCG4的夹角的余弦值为名叵.

18.（满分17分）

22

【答案】⑴工r+“V=1

124

（2）证明见解析

’24娓

⑶

【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可;

（2）设直线如：y=H+M〃w2）,联立直线和椭圆方程，消元后，利用即彳+即B=4心（％H0）,建

立方程，解出后验证即可：

（3）设直线如：》=h-1,联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用

SF收B=g闺阊M-闯进行计算，换元法求值域即可.

b=2

【详解】（1）由题设得|工=坐，解得。2=12,

a3

a2=b2+c2

~_2y2

所以c的方程为'Y+上-=I；

124

（2）由题意可设如：y=Ax+〃?（mw2）,设2（甬,弘）,B（x2,y2）,

y=kx+ni

由l,整理得（1+3斤2）/+6痴*+3〃/-12=0,

---1---=1

1124

A=36居"2_4（1+3月2）（3〃户_12）=12（12左2_〃,+4）＞0,

由韦达定理得占々=普青-6nik

再1+3/

1=

由心人+kpB~4kAQ得H~4",

X1X2

"i+7〃2+Ax2+加一2_4k

整理得2加上（加—2）=2（4—〃巧左，

因为女工0,得〃/_m_2=0,解得m=2或m=-1,

〃?=2时，直线AB过定点尸(0,2),不合题意，舍去;

,”=-1时，满足A=36(4^+l)>0,

所以直线AB过定点(0,-1).

⑶)由⑵得直线/"=所以户口+1),

1

x=(y+D

k

由,

X2

+

1124

整理得+3^2+2y+\-12=0,

\kJkk

由题忍得我.反8=y—为

5rjA^o2F、1F2ZJ1JL

因为如所以42>1,所以0<g<8,

令t=1+4,re(2,26),

所以5W2B=12V2—=1272—在/⑵26)上单调递减,

l---

19.(满分17分)

【答案】(D〃x)=［+x是［1，2］上的“3类函数”，理由见详解.

(3)证明过程见详解.

【分析】(1)由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明|/(%)-/(尤2)|<3卜-即即可;

(2)由已知条件转化为对于任意xe［l,e］,都有-2<「(x)<2,〃x)=axe'-x-lnx-l,只需

a<x+ln：+3且a>x+ln：-l,利用导函数研究函数的单调性和最值即可.

xexe

(3)分|%-引<；和;可玉一刃<1两种情况进行证明，/(1)=/(2),用放缩法

|〃石)-〃%)|=|〃石)-〃1)+〃2)_〃封国〃石)-〃1)|+|〃2)-〃龙2)|进行证明即可.

【详解】(1)对于任意不同的士

有1<%1<入2<2,2<%+%2<4,所以2<%+；2+2<3,

玉+%2+2

<3卜fl，

2

丫2

所以“X)=5+X是［1,2］上的“3类函数”.

(2)因为/'(x)=〃xe"-x-lnx-l,

由题意知，对于任意不同的占，尤2e［Le］,都有|〃为)-〃々)|<2卜-到，

不妨设玉<马，则一2(无2-0)<〃再)-"%2)<2(尤2-占)，

故“xJ+2X］<"々)+2%且/(%)-2%>f(x2)-2x2,

故〃x)+2x为［l,e］上的增函数，〃尤)-2x为［l,e］上的减函数，

故任意xe［l,e］,者B有-2(r(x)W2,

由广(x)42可转化为a"+ln：+3,令g(x)=x+ln：+3,只需。<且(”

xexe

(1+x)(—2—Inx—%)

g'(x)=，令〃(元)=-2-In%-x,"%)在［1,日单调递减,

所以"%)("⑴=-3<0,g1力<0,故g(x)在［Le］单调递减,

g(x)mm=g(e)=［?，

由广(尤)。一2可转化为+-1,令〃(x)=x+：l,只需a2%(x)皿

(l+x)(2-lnx-x)

/z'(x)=,令M⑺=2-ln%—%,m(x)在［l,e］单调递减,

且加⑴=1>0,m(e)=l-e<0,所以Hx。使m伉)=0,gp2-lnx0-x0=0,

即In=2—4,/=e2-Ab,

当)虫为)时,m(x)>0,/z'(x)〉0,故人⑴在［1,飞)单调递增,

当x£(%,e］时，m(x)<0,〃(x)<0,故人(力在(％,e］单调递减，

〃(—。)=号二=5,

故卜

(3)因为为［1,2］上的“2类函数”，所以|〃尤|)一〃々)|<2］占一口，

不妨设<z42,

当占-马<时，|〃士)一〃々)|<2］占一对<1；

当"尤1-々<1时，因为〃1)=〃2),-l<x,-x2<-^

|/(^)-/(X2)|=|/(A1)-/(I)+/(2)-/(X2)|<|/(X1)-/(I)|+|/(2)-/(X2)|

<2(X1-1)+2(2-X2)=2(X1-X2+1)<2^-1+1^1,

综上所述，VX］,x2e［l,2］,|/(.r1)-/(x2)|<l.

【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a2“X)恒成立(a>/(耳侬)或aV恒成立

1rJ；②数形结合(y=〃x)的图象在y=g(x)上方即可)；③讨论最值"41ax(。或1m/0

恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

2024年新结构模拟适应性特训卷（二）

高三数学

+耆诛皎闺X150寸I］钥诛即缴剂X150剂-

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知角6的终边经过点尸（％-5）,且tan"：则x的值是（）

A.-13B.-12C.12D.13

【答案】B

【分析】根据任意角正切函数定义计算.

【详解】根据任意角三角函数定义，

-55一

tan0==,所以x=-12.

x12

故选：B.

2.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示.小明打算在网上搜集一些与

二十四节气有关的古诗.他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气

的不同情况的种数是（）

芒种

夏V春分

小暑/\惊蛰

大暑雨水

二十四节

立秋||立春

气与四季

白露\

秋分

霜降立冬小雪

B.180C.220D.360

【答案】C

【分析】根据组合知识进行求解.

【详解】小明选取节气的不同情况的种数为C；?=220.

故选：C

3.已知数列｛"“｝的前〃项和$“=/+〃，则%023+”2024的值是()

A.8094B.8095C.8096D.8097

【答案】A

【分析】利用前〃项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可.

【详解】易知4=百=1+1=2,S,T=(〃-1)2+W-1,

故4=s“-S,T="+"-(0-1)2+w-l)=2",当”=1时符合题意，故。"=2〃成立，

显然«2023+«2024=4046+4048=8094.

故选：A

4.已知直线依-y+2=。和以M(3,-2),N(2,5)为端点的线段相交，则实数上的取值范围为()

(41「3、

A.I-«：>，--B.-,+℃I

「「43](4]J3)

[32」I3」[2J

【答案】C

【分析】根据题意可知直线履->+2=。恒过定点A(0,2),根据斜率公式结合图象分析求解.

【详解】因为直线质-y+2=o恒过定点A(0,2),如图.

4343

又因为心”=-§，3'=；，所以直线的斜率上的范围为-1万.

故选：C.

5.已知函数/(x)=a.1+"2+下一2,若广(1)=1,则/(-1)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求出广(X),计算出尸(无)+尸(T),结合已知条件即可得解.

【详解】因为/(x)=+人尤2+x-2,贝!]/'(x)=+2bx+l,

贝i]/'(-x)=-2axe""-2bx+1=-2axQr-2bx+1,

所以，r(x)+/,(-x)=(2are?+2Z>.r+l)+(-2are?-2/>.r+l)=2,

所以，/((l)+/((-l)=l+/，(-l)=2,故/'(—1)=L

故选：C.

6.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶

的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，己知四边形4BCD为矩形，EF〃AB.AB=2EF=4"DE与

△8CP都是边长为2的等边三角形，若点A,BC,D,E,尸都在球。的球面上，则球。的表面积为()

甲

A.22乃B.1U

【答案】A

【分析】如图，根据球的性质可得平面/BCD,根据中位线的性质和勾股定理可得且

MO、=屈,分类讨论当。在线段上和。在线段MQ的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为

R2=],再用球的表面积公式计算即可.

【详解】如图，连接/C,BD,

设ZCcBO=q,因为四边形4BCD为矩形，所以Q为矩形WCD外接圆的圆心.

连接。。1，则。。口平面金C。，

分别取EF,AD,5c的中点“，P,Q,

根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线OQ交EF于点M.

连接尸。，则尸。〃疑，且Q为P。的中点，

因为£F〃Aff,所以PQ//EF,连接EP,FQ,

在4ADE与ABCF,易知EP=F°=—F=O,所以梯形用。尸为等腰梯形，

所以且河0产收半打=拒.

设。。1=加，球。的半径为R,连接OE,0A,

当。在线段。1对上时，由球的性质可知R?=。£=042,易得O1A=67F=6,

则（加-加产+Z=百,+小，此时无解.

当。在线段的延长线上时，由球的性质可知，V52+m2=（V2+m）2+l2,

解得m=交，所以尺2=在2=1，

22

所以球。的表面积S=4TIR2=22兀.

故选：A.

7.已知随机事件A,B满足尸（A）=g,P（A|B）=|,尸伍|A）=A，则P（B）=（）

A.1B.AC.2D.里

4161648

【答案】A

【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出P（A同=:，进而推得尸（AB）=[.即可根据条件概

率公式，得出答案.

【详解】由已知可得，尸B|A=—W=，.

''P（A）16

因为尸（A）=g，

所以，尸（A研=4.

\'48

又P(A)=P(A8)+P(A^)=；,

3

所以,P(AB=—.

16

又P例6=喘3

4

所以，尸⑻=%

故选：A.

8.如图，已知双曲线C：W-1=l（a>0,>>0）的一条弦AB所在直线的倾斜角为75。，点B关于原点。的

ab

对称点为耳，若NBA耳=30。，双曲线C的离心率为e,则e?=)

c.3+6D.4

【答案】C

【分析】由题意结合两角和的正切公式求出L,&B，设4伍,%）,8（%,%），利用点差法可推出

A2〃

心屋"4=与，再根据《2=1+1,即可求得答案.

aa

【详解】由题可知，弦AB所在直线的倾斜角为75。，/54q=30。,

则直线ABX的倾斜角为45。,

k.„=tan45°=1,依H=tan75°=tan（45°+30°）=’a"+tan30=?+6

叫AB''l-tan450tan300

设4（冷%）,2（/，%），则用（f，-%），

则毛一4=i,4-4=b两式相减可得丘/+七五=0，

a2b2a2b2a2b2

即'”

xx-x2x1+x2a

即,4明='，则'=2+6，

r2房

故e?==—7+1=3+A/3,

aa

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4，Z2满足34+Z2=T—2i,4+3z2=5+2i,贝lj（）

A.Zy=-1—iB.22=2+i

.z,—3—i

C.z、一z?=-3+2iD.="

z25

【答案】ABD

【分析】根据复数的四则运算求解即可.

【详解】3zj+z2=-l-2i,zx+3Z2=5+2i,

Zj——1—i,z2=2+i,

Z]—1—i-(l+i)(2-i)—3—i

所以Z]_z?=_3_2i

二2+i-55

故选:ABD

10.在EIABC中，”=2百，c=2V2，C=45。，则A可能为（)

A.30°B.150°C.120°D.60°

【答案】CD

【分析】由正弦定理可得答案.

ac

【详解】由正弦定理

sinAsinC

26W百

得..asinC

smA=-----

2722

又因为a>c,所以A>C,

因为0°<A<180°,所以4=60°或。=120°.

故选：CD.

11.已知椭圆c：1+y2=l的左、右焦点分别为耳，F2,P是C上一点，贝I」（）

A.|P\+|P词-闺囿=4-右B.归倒尸阊的最大值为8

C.|丽+A可的取值范围是[2,4]D.西•A瓦的取值范围是12,1]

【答案】CD

【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式判断AB；设出点尸的坐标，利用向量的坐标运算，结合椭

圆的范围计算判断CD.

【详解】由椭圆定义得忸定|+|「叫=4,[4月=26,|尸制+|P周一|耳阊=4一26,A错误;

|尸闻|尸用《伊浦；忸闾]=4,当|P周=|P闾时取等号，B错误；

耳（-6,0）,8（6,。），设尸（x,y）,贝『2WxW2,/=l-y>可=卜6—工一“，配=（退一x,-y）,

叵+%=2正+/=2、9+i,由一2WXW2,得2W附+用44,C正确；

__k,33

PF.-PR=x2-3+y2=-X2-2,-2<-X2-2<1,D正确.

44

故选：CD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合人={也，<1},3={尤|无2〃},若ireAxeB,则实数。的取值范围是,

【答案】（-8,0）

【分析】由命题的真假得出A,从而易得其范围.

【详解】A=[x]2x<1}={X\X<0},B^{x\x>a],

因为所以aeA,所以。的范围是（一甩0）,

故答案为：（-8,0）.

13.如图，在三棱锥A-a与G中，AA_L平面A4G，ZA^IG=90°,4月=244=246=2,p为线

段A瓦的中点，M,N分别为线段AG和线段耳£上任意一点，则君PM+MN的最小值为.

【答案】V5

【分析】根据题意，证得用G，平面AAA，得到BgJLA与，根据》AB幽+用即y=用照c「得到

石「舔皿/叱用+加^质11/削£=石，进而得到囱《逐9+威，进而得到“为4。1的中点，且N为4c

的中点，即可求解.

【详解】因为平面AB。，A4,片Gu面AAG，所以44,_L4G，A4IJ.A耳，

又因为乙喃6=90°,B,C,±A}Bt,

因为明口44=4，44,，4月匚平面4片4，所以用£，平面A8M，

又因为AB|U平面所以4GJ.AB1,

在RtDA^片中，可得阴=《AA：+/B：=石,

在Rt^AABjC]中,SqAB,M+S口81Mq=SQA鼻q，

故gX石XPMsinZMPBj+：x1xMNsinNMNQ=；x1x石，

则45PMsmZMPBt+MNsinZMNQ=石，

又因为遥PMsin/MPB]<#PM,MNsinZMNC\<MN,

所以45PMsinZMPBt+MNsinZMNQ<非PM+MN,

即加"PM+MN,当且仅当/MP片=90。,/脑\6=90。时，等号成立，

当/MP4=90。时，”为AG的中点，此时当/施\6=90。时，N为gG的中点，

综上所述，括PM+MN的最小值是遍.

故答案为：V5

M

B\NG

14.已知/(x)=xlnx,g(x)=x-e”,若存在X]eQ+oo),%eR,使得/(网)=g(%)>。成立，则」的最大

xi

值为.

【答案】-/e-1

e

【分析】根据两函数的同构特征，不难发现了(xj=g(ln%),考查利用函数g(x)=x・e'的单调性推得

ln%=X2,从而将强转化为奥土，最后通过以彳)=叱,(工>1)的最大值求得三的最大值.

一M玉X再

【详解】因/(x)=xlnx,g(x)=xC,则/(不)=再111%=姑项・”=g(lnx),

由g(x)=知x>0时，g'(x)=(x+l)ex>0,即函数g(x)=在(0,+°o)上单调递增.

由/(Xi)=g(%2)>。可得：再>1,%2>。且g(ln%i)=g(%2),故得：In%=尤2,

则迤=生土，不妨设人(%)=叱,。>1),贝必'(刈=上坐,。>1),

再再XX

故当l<x<e时，hr(x)>0,%(%)递增,当—>e时,hXx)<0,以冗)递减,

即。(x)max="(e)=’，故'"的最大值为L

e项e

故答案为：—.

e

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设等差数列｛%｝的前,项和为S“，%=3,演=35.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛|%|｝的前〃项和为北，求。.

【答案】⑴氏=13-2”

(2)52

【分析】(1)设出｛%｝的公差为d,利用等差数列通项公式和前〃项和公式求解即可；

(2)由(1)判断出｛/｝前六项为正，后四项为负，进而利用前〃项和公式求解即可.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

%="1+4d=3

•/a=3,S=35,<5x4

55怎=H-------d=35

、2

解得4=11,d=—2,

故〃〃=q+(n-V)d=13-2n.

(2)由(1)知〃〃=—2n+13,d=—2,

Mo—1|+------|"10|="1+/--------F—(〃7+/+“9+〃10)

=‘6-(I-Sf)=2s6-Si。=52.

16.某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑

第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所

小.

比赛位置第一棒第二棒第三棒第四棒

出场率0.30.20.20.3

比赛胜率0.60.80.70.7

(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率.

(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率.

(3)如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由.

【答案】⑴0.69

(2)色

23

(3)应多安排甲跑第四棒，理由见解析

【分析】(1)根据全概率公式即得出答案.

(2)根据条件概率的计算公式即可求解.

(3)分别求出四个位置上的获胜概率，即可做出判断.

【详解】(1)记“甲跑第一棒”为事件A，“甲跑第二棒”为事件4,“甲跑第三棒”为事件4,“甲跑第四

棒”为事件4，“运动队获胜”为事件B,

则尸(8)=尸(4)尸(BIA)+P(4)尸⑶4)+尸(4)尸(」4)+尸(4)尸(』4)

=0.3x0.6+0.2x0.8+0.2x0.7+0.3x0.7=0.69,

所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69.

（2）尸⑷根带1…尸”"）6

P⑻0.6923

所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为二.

（3）尸（41回二?胃O.2xO.816

0.69~69

P(&8)0.2x0,7_14

尸(418)=

P⑻0.69~69

P(A4B)0.3X0,721

P(B)-0.69~69

所以尸（4|B）＞尸（AlB）＞尸（4IB）＞尸（4|B）.

所以应多安排甲跑第四棒，以增加运动队获胜的概率.

17.如图，在三棱柱ABC-A4G中，DABC是正三角形，四边形A8CD是菱形，AC与8。交于点。,

。瓦，平面ABC。，AB=OBt=4.

（1）若点E为9中点，求异面直线BE与DC,所成角的余弦值;

（2）求平面与平面BCC4的夹角的