2024年新高考地区数学地市选填压轴题好题汇编（十六）（解析版）

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(十六)

一、单选题

22

1.(2023•广东•高三茂名市第一中学校联考阶段练习)过双曲线C:二-谷=1,(4>0力>0)的右焦点厂

作渐近线的垂线，垂足为"，点0为坐标原点，若sinZHOF〉sinZHFO,又直线y=2x与双曲线无公共

点，则双曲线C的离心率的取值范围为()

A.(V2,V5]B.(应,+8)C.(1,75)D.(V2,75)

【答案】A

【解析】如图，可知；0阳中，OF=c,FH=b,OH=a,

因为sin/HO/Asin/HFO,由正弦定理可知妁〃，

即万>片,所以cz>2/,得e>a.

b

又因为直线y=2x与双曲线无公共点，则942,即屈2a,

a

结合/+廿=02,所以c2V5〃，所以eV造.

综上：y/2<e<y/5,

2.(2023•广东深圳•高三深圳市宝安中学(集团)校考阶段练习)若点O和点尸(-2,0)分别是双曲线

^-y2=l(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP产尸的取值范围为()

a

77

A.[3-2-\/3,+co)B.[3+2V3,+°°)C.[—,+8)D.[-,+8)

44

【答案】B

【解析】由题意可得c=2,6=l,,故”技

2

设P(m,〃)，贝I]--«=l,Z7t>V3.

3

^7^24

OP•FP=(m,n)•(m+2,n)=m2+2m+n2=m2+2mH-------1=—m2+2m-1关于

3

m=--对称，故OPFP在tG,+8)上是增函数，当机=超时有最小值为3+2用，无最大值，故OP-FP的取值

范围为［3+20,+8),

故选B.

3.(2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)设a=lnl,O4,b=l.Q4,c=e004,其中e为自

然对数的底数，则()•

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【解析】令『(无)=e=(x+l),则/(x)=e'-1,

当X>0时，f'(x)=ex-1>0,函数/(x)在(0,+°°)上单调递增，

所以/(0.04)=e004-(0.04+1)=e004-1.04>/(0)=0,即e004>1,04-

令g(x)=lnx-x,g'(x)=--1,

X

当x>l时，g(^)=--1<0,g(x)在(L+oo)上单调递减，

X

所以g(1.04)=lnl.04—1.04<g(l)=-l<0,所以lnl.04<1.04,所以c>6>a.

故选：A

4.(2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)己知/(x)是定义在R上的函数，且满足

/(3X-2)为偶函数，/Qx-l)为奇函数，则下列说法一定正确的是().

A.函数/(X)的图象关于直线X=1对称B.函数/(x)的周期为2

C.函数/(x)关于点(2,0)中心对称D.7(2023)=0

【答案】D

【解析】因为“3x-2)为偶函数，所以〃3x—2)=〃—3x—2),

所以/(x-2)=/(-x-2),f(%)=f(―x—4),

所以函数/(x)关于直线％=-2对称，不能确定/(X)是否关于直线％=1对称，A错误；

因为为奇函数，所以/(2x-l)=-/(-2x-l),

所以=所以/(x)=—/(—x—2),

所以函数/(x)关于点(-1，0)中心对称，故C错误，

由f(x)=f(-x—4)与f(x)=—f(―x—2)得f(―x—4)=-f(―x—2),BPf(x-4)=-f(x—2),

故〃x-4)=〃x),所以函数y(x)的周期为4,故B错误；

/(2023)=/(506x4-l)=/(-1)=0,故D正确.

故选：D.

JT

5.(2023•湖南•高三南县第一中学校联考阶段练习)已知等差数列｛%｝中，a=--,设函数

78

f(x)=cos4X-sin4X+2sinXcosX+2,记％=/(%),则数列｛%｝的前13项和为()

A.0B.12C.24D.26

【答案】D

【解析】结合题意：

/(%)=cos4x-sin4x+2sinxcos1+2=(cos?x+sin2xj^cos2x-sin2x)+sin2x+2

=(cos?x-sin2x)+sin2x+2=cos2x+sin2x+2=yflsin+2,

所以/5)=国"+£|+2,

由2x+'=E(左eZ),可得x=包-二(左eZ),

428

当E时，x=-(故函数/(x)的图象关于点($2]对称，

由等差中项的性质可得，+«13=a2+ai2==a6+a8=2a7，

所以数列｛》,｝的前13项和为/(q)+/(4)++/(43)=6X4+2=26.

故选：D.

6.(2023•湖南•高三南县第一中学校联考阶段练习)设函数/(x)的定义域为R,其导函数为了'(X),且

满足了。)>#》+1"(2)=，+1,则不等式0-，/(幻土一，+1的解集是()

A.(―co,1]B.(—8,2]C.[—1,2]D.[2,+00)

【答案】B

【解析】设g(x)=&2匚,f(x)>f'(x)+l,^f(x)-f(x)+l<0,

e

Ag'Q)=,⑶一/d<0,g(x)在R上单调递减，又〃2)=屋+1,

e

.••不等式e,"(x)2尸+10>1=,

exe

即g(x)>g(2),，xV2,原不等式的解集为(-叫2].

故选:B.

7.(2023•湖北•高三校联考阶段练习)已知某正四棱锥P-ABCD高为/?,底面ABC。边长为m内切球

半径为r,外接球半径为R,下列说法中不正确的是()

A.得到a,/?的值，可以确定唯一的R

B.得到a,/i的值，可以确定唯一的r

C.得到a,R的值，可以确定唯一的//

D.得到a,r的值，可以确定唯一的〃

【答案】C

【解析】在正四棱锥中，当底面边长以及四棱锥的高确定时，此时正四棱锥是唯一确定的,

因此此时正四棱锥的内切球以及外接球均唯一确定，故AB正确，

如图，E，F为AB，CD的中点，==+外,

由题意，P-ABCD为正四棱锥，底边长为。，

22

根据等体积法可得=gfl+4x1a+hr,化简可得〃=产，,

a-Ar

“J的值，可以确定唯一的/?,D正确，

设外接球球心为0,连接OC,

（h-R）2+［与］=改,化简可得2r_4的+/=0，

当△=16炉一8“2＞0时，此时2/—4尺〃+片=0有两个不相等的实数根，

所以得到a,R的值，不可以确定唯一的九，C错误，

22

rv

8.（2023•湖北•高三校联考阶段练习）椭圆C：1+白=1（4＞人＞0）的左右焦点分别为与，F2,

ab

2

8为椭圆C的下顶点，延长B片交椭圆C于另一点A,若cos/A耳8=3，则椭圆C的离心率为（）

五

A.1B.6C.返D.

3333

【答案】B

【解析】由椭圆的定义可得IAKI+|A2|=2a,

22

根据题意可得I町|=|BF2|=y/c+b=a,

所以cosNA尸8-IA4『+|B412TMi2=(2.一|他『+//+|叫『=2

1

2|5耳||4耳|2a(2a-\AF2\)3

解得1钻1=宁，51=宁

所以—+睁。

9.（2023•湖北黄冈•高三校联考期中）已知函数/（同=后可-亚可，则下列命题正确的是（

A.3xeR,使得•/'（工）+/（-工）＞。

B.方程〃x）="有两个不同实根，则实数力的取值范围是（-M）

C.3xe（O,l）,使得〃x）=〃2f）

D.若/（。）*/（2-。），则实数"的取值范围是口,+s）

【答案】D

【解析】对VxeR,都有/(-%)=+-Jx+l|=-f(x)

所以V尤CR,/(X)+/(T)=0,/(x)为奇函数，A错;

+1-\/1—x,0<%W1

当大>0时，/(x)=小尤+无一1|=

+1-y/X—1,X>1

易知/(x)在(0,1]上单调递增，此时f(x)e(0,V2]

2

当X>1时，/(x)={x+17xT=

y/x+l+yjx-l'

/(X)在(1,+8)上单调递减，此时〃x)e(o,应)

；Y>0时,/(x)e(0,忘],

XO时，/(x)e[-V2,0),

而/(O)=O,所以加=0,方程/(x)=加仅有一根，B错;

%£(0,1)时，2-xw(L+8),

止匕时/(x)—/(2—x)=(jx+]-Jl_x)_(j2_x+]_j2-x-l

y/x+1-y/1—X-A/3—X+y/1—X—+1-y/3—X

而函数P(X)=GU-行共在(0,1)上单调递增，得xe(O,l)时，p(x)<MD=o

所以对Vxe(0,l),“x)v/(2—x),C错;

综上，武0时，2-a>2,此时〃a)V0</(2-a)

ae(O,l)时，2-ae(l,+oo),止匕时/(a)</(2—a)

时，2-«e(0,l),此时/(a)2/(2-a),D对.

故选：D.

10.(2023•湖北随州•高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习)在等腰_MC中，

~(X-

DApR

AC=CB=2,ZCAB=30°,ABC的外接圆圆心为0,点尸在优弧AB上运动，贝1J尸。一2~,•尸C的

最小值为()

A.4B.2C.-273D.-6

【答案】D

【解析】由已知AC=CB=2,/C4B=30。，所以圆0的外接圆直径为2R=生=4,

sinA

因为ZAPC=ZABC=/BPC=/BAC=30°,

PAPB_RPC

所以同+阿l|PC|)

因为kq<pC«2R,即2<pc|v4,所以pc|=2班时，取到最小值一6.

故选：D.

11.(2023•湖北荆门・高三荆门校联考阶段练习)/(%)=2e:5Y的零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由2e=5x2=0得£=冬，构造函数g(x)=],求导得g'(x)=M2：x),e<>0

e5ee

g(%)在(-AO)上单调递减，在(。,2)上单调递增，(2,+8)上单调递减，且g(O)=O,

故选：D.

12.(2023•山东济南•高三山东考阶段练习)已知函数

2—ax,x<\

/(x)=1332/c2八11J若对任意不〈无2都有〃占)-/(电)<2占一2%,则实数a的取值

[32、76

范围是()

A.(-oo,-2)B.[L+oo)C.1—2,gD.18,一：

【答案】A

【解析】因为若对任意玉都有〃玉)-〃巧)〈2王-2%,

所以对任意王〈%都有</(X2)-2X2,

令g(x)=〃x)-2x,则g(%)在R上递增,

当了<1时，g(x)=2-(a+2)x,则〃+2<0,即。〈一2成立；

当X〉]时，g(x)=-x3-—ax2+2a2x2--,

贝!Jg'(%)=Y—3ar+2a2,

agi

当即—时，/（1）=1—3a+2笛之o,解得Q4—；

232

当1>1,即a>g时，g'^=-^a2>0,无解；

13113

y^2—（a+2]<———a+2a1——,B|J4a2—a—3>0,解得;或〃21,

v73264

综上：q<-2,

故选：A.

13.（2023•山东济南•高三山东考阶段练习）棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四

面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）

A.正B.—C.理D.也

36126

【答案】C

【解析】由题，当球和正四面体A-BCD的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，

设内切球的球心为0,半径为R,空隙处最大球的球心为半径为「，

G为△BCD的中心，得AG1平面BCD,E为CD中点，

球0和球。分别和平面ACD相切于F，”，

在底面正三角形BCD中，易求BE=邪,BG=-BE=^,：.AG=y/AB2-BG2==,

33V33

x

又SABC=SABD=SACD=SBCD=4=A/3,

3匕「

由匕-BCD=%-BCD+^O-ABC+^O-ACD+%一ABD，即得R=---------------™-------------,又

JBCD+JABC+JABD十ACD

_1/T2娓_26

^A-BCD—，

2企遥ACre2娓a店Ansr”2瓜2瓜瓜

••R=—产=--,AO=AG—GO=--------------=,AO1=AG—2R-r=------------------r=-------r,

4V36362363

又《AHO\AFO,可得竺二竺即〃=逅，即球的最大半径为理.

AOOF1212

故选：C.

14.（2023•福建泉州•高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）我国古代的洛书中记载着世界上最古

老的一个幻方：如图，将1,2,3,9填入3x3的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字

之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3,填入“X〃的方格中，使得每行，每列和两条对

角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做〃阶幻方.记〃阶幻方的每列的数字之和为外,如图，三阶幻

方的t=15,那么乂=()

492

357

816

A.41B.369C.1476D.3321

【答案】B

Q1

【解析】由等差数列的性质得：九阶幻方所有数字之和为^(1+81)=3321,

由于每列和对角线上的数字之和都相等，

所以每列的数字之和为三一=369,

故选：B.

21nx_

---,x>0

Y

15.(2023•福建泉州•高三福建省德化第一中学校联考阶段练习)函数〃尤)=(兀、,

sinIcox+—l,-7r<x<0

若2r(%)-3/(%)+1=。恰有6个不同实数解，正实数。的范围为()

A.底(10,J4]B.代「10刃八C.(0,1制01D.[2堂10、

【答案】D

【解析】由题知，

2尸(回-3/(回+1=0的实数解可转化为/(x)=；或7。)=1的实数解，即y=〃x)与y=1或y=g的交点,

当x>0时，/(力=驷*，⑴=2。一向)

XX

所以xe(O,e)时，r(x)>0,/(X)单调递增，

xw(e,+co)时，fr(x)<0,/(x)单调递减，

如图所示:

12

所以工二e时/（%）有最大值：-＜f«=-＜i

2axe

所以工＞0时，由图可知，=/（%）与y=l无交点，即方程〃龙）=1无解,

y=/（x）与y有两个不同交点，即方程〃工）=；有2解

当无＜0时，因为G〉O,nWxWO,

ITTTTT

所以一0兀+—<cox+—<—,

666

人71nI兀兀

令Z=+—,贝!1力£一。兀+一,一

6L66

兀兀_

则有y=sinr且fe-COTI+-,-,如图所示:

OO

因为x＞0时，已有两个交点，

所以只需保证V=sinf与y=；及与y=l有四个交点即可，

所以只需一19多兀＜—71117t解得2VIQ

6663

故选：D

16.（2023•浙江湖州•高三校考期末）已知正项数列｛4｝满足/e[o，£|,-1=ln（2«„a„+1）（Me,

则（）

A.对任意的〃EN*，都有。＜%vl

B.对任意的〃EN*，都有4＞%+1＞。

C.存在〃EN*,使得〃〃+1＜；为

D.对任意的〃£N,都有〃〃+12寸

【答案】D

【解析】因为％（o，£|,^-l=ln（2aA+1）,不妨令q=（,贝=即

ln〃2=3>。，。2>1，故AB错误；

4e

1—Y

ln(2anan+1)=In((2anan+1-1)+1),构造/(%)=ln(_x+l)—x,贝|/'(x)=——--1=——当％e(TO),

f^x)>0,/(x)单增，当xe(0,+oo)时，/'(元)<0,/(x)单减，故〃x)<〃0)=0,即ln(x+l)Vx,

所以In《244+]—1)+1)424%+1—1,gpa^-l<2anan+l-l,因为q>。，所以竽2；,累乘法可得

a

n乙

乎子一管9即午2?，也即％2*.故C错误，D正确.

故选：D

17.(2023•浙江湖州•高三校考期末)设抛物线「：/=2%的焦点为RA为抛物线上一点且A在第一象

限，|心|=2.现将直线人方绕点方逆时针旋转3(),得到直线/,且直线，与抛物线交于C、。两点，则1。。|二

()

3

A.1B.-C.2D.4

2

【答案】C

【解析】抛物线交点尸为(g,0),准线为X=-；,

设4%,%)，%>0,设直线AF的倾斜角为以0。女<180。)，

x=

V|AF|=x0+^-=2,o~'%=6,即A：出;

・^AF=―F=6ntanCL—^3=>a=60

••319

2~2

将直线Ab绕点/逆时针旋转30得到直线/,则直线/倾斜角为90。，即直线/垂直于x轴，故

%=%=/=；，故|。必=22刊=2><[%+\=2.

故选：C.

18.(2023•江苏•高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习)已知抛物线cV=2m(〃>o)的焦点为

F，且抛物线C过点P(L-2),过点尸的直线与抛物线C交于A,8两点，a，g分别为A,3两点在抛物线C

准线上的投影，也为线段AB的中点，0为坐标原点，则下列结论正确的是()

A.线段A3长度的最小值为2B.A尸鸟的形状为锐角三角形

C.A,0,4三点共线D,必的坐标不可能为(3,-2)

【答案】c

【解析】对于A,因为抛物线C过点次1，-2),所以抛物线c的方程为V=4x,线段加长度的最小值为通

径2P=4,所以A错误；

对于B,由定义知|AA|=|AF|,M〃x轴，所以NA%=NAAF=NAF。，

同理NB尸g=NB/O,所以NA尸片=90,所以B错误；

对于C,设直线AB:x=/ny+l,与抛物线方程联立，^y2-4my-4=0,

y4

设A（多,y）,4（巧，，2）,贝|」必必=一4,koA=—=—=一％,

xiM

因为4卜1,%），所以%%A,0,4三点共线，所以C正确;

2

对于D,设4B的中点为〃（不，几），则％=♦；—=2m,x0=my0+l=2m+1,

取加=-1,可得M（3,-2）,所以D错误.

故选：C.

19.（2023•江苏•高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）设数列｛%｝的前〃项和为与，且

5,+%=1,记2,为数列｛4｝中能使h二（机CN*）成立的最小项，则数列｛0｝的前2023项和为

2m+l

（）

3

A.2023x2024B.22024-1C.6--D.

【答案】D

【角星析】因为S〃+4=l,贝！JS〃+i+4+i=l,

两式相减，得2。〃+1-。〃=。,

又当〃二1时，％二;，故％工。，

所以｛4｝是以4的等比数列，则%,=：，

显然｛4｝递减，要使得巴最小，即要使得〃最大，

令屋丁二,得2"2m+l.

2〃2m+l

若加二1,则=4=;;

若2V机<3,则〃《2,3=。2=；；

若4〈加W7,贝1J〃W3,以=%=：；

若8<m<15,则〃44也=%=4；•••;

16

若10244屋2047,则H'=%=品，，

则/=4+他+么)=3+；=1

1113

7；=b}+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b^=-+-+-=~,,

T一“1_H,T_H24_113

故选：D.

二、多选题

20.(2023•广东•高三茂名市第一中学校联考阶段练习)已知e是自然对数的底数，函数/(x)的定义域为

(O,+8),-(X)是/(x)的导函数，且3+lnx-/'(x)>0,贝ij()

X

A./[j+/(e)>0B.0<。C.f(e)>0D.")=0

【答案】AC

【解析】令函数g(x)=lnx-/(x),贝I]g'(x)=d2+ln『/'(x)>。，

X

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

又g(l)=0,所以g(e)=lne"(e)=/(e)>0,

g1卜吟《卜-个卜。，即/电>。，

所以dJ+/(e)>0j(J>。，而/⑴的大小不确定.

故选：AC.

21.(2023•广东•高三茂名市第一中学校联考阶段练习)已知圆C：/+y2=4,直线/过点尸(-2,4),若

将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆C',则下列说法正确的有()

A.若直线/与圆C相切，则直线/的方程为3x+4y-10=0

B.若直线/与圆C交于A,2两点，且..ABC的面积为2,则直线/的方程为无+y-2=0或

7x+y+10=0

C.若过点(2,0)的直线/'与圆C交于M,N两点,则当CMN面积最大时，直线/'的斜率为1或T

D.若。是x轴上的动点，QR,2s分别切圆C'于R,S两点，则直线RS恒过定点(3,3)

【答案】BCD

【解析】对于A选项：当直线/垂直于x轴时，其方程为％=-2,符合题意.当直线/不垂直于x轴时，设

直线/的方程为y-4=-x+2),即丘-y+2左+4=0,则］封=2,解得上=一1,所以直线/的方程为

3

y-4=——(x+2),即3x+4y—10=0.综上，直线/的方程为％=-2或3x+4y—10=0,所以A错误；

4

对于B选项：由题意知直线/的斜率存在且不为0,故设直线/的方程为>-4=%(X+2),即

%x—y+2%+4=0.设圆心C到直线/的距离为人则上2,4-/4=2,BPrf4-4rf2+4=0,解得

2

2匕+4r

J=V2,则1=解得勺=T或4=-7.所以直线/的方程为x+y—2=。或

7x+y+10=0,所以B正确;

对于c选项：可知直线/'的斜率存在且不为0,设直线/'的方程为>=&。-2),

,|一2匕|

=0,所以圆心C(0,0)到直线厂的距离d'=於言

即k2x—y—2k2

因为Sc“N=gI跖V|W=d'^j4-d'2=4(4一d，2)d'2<(""2""=2，当且仅当4-/2=d'1，即d'2=2时

取等号.

由d'2=2,得毕L=2,解得七=1或&=T，所以C正确；

%+1

对于D选项：由题意知圆。'的方程为。-3)2+。-4)2=4,圆心C'(3,4).设。(/,0),则以C'。为直径的

圆的圆心为。(辞,2)半径为=)+僚,

则圆。的方程为卜一个J+(>_2尸="3：+16,

整理得犬+V-(3+r)x-4y+3/=0,圆C'与圆。的公共弦所在直线即为直线RS,

I?+J-(3+—4y+3r—0,

两式相减,

(x-3)2+(y-4)2=4

可得直线RS的方程为(3—/)%+4y+3z—21=0,即(3—x)t+3x+4y—21=0.

令门解得[芯=：'即直线氏5恒过定点(3,3),所以D正确.

[3x+4y—21=0,[y=3,

故选：BCD.

22.(2023•广东深圳•高三深圳市宝安中学(集团)校考阶段练习)设公比为4的等比数列｛q｝的前〃项

和为s“，前"项积为，且4>1,。畋3。曲>1,q7T<o,则下列结论正确的是()

〃20241

A.0<^<1B.S2023s2024-1>0

C.5024是数列｛，｝中的最大值D.与3是数列｛4｝中的最小值

【答案】AB

【解析】当<7<0时，贝!ja2023a2024=a；023“V0,不合乎题意；

l

当9加时，对任意的〃EN*,an=a^>o,且有幺叱="1,

an

可得4用2,可得°20243.2023此时的⑼二>。,

“2024一1

与题干不符，不合乎题意；故。<4<1,故A正确；

对任意的〃eN*，4=%尸>0,且有曝=0<1,可得

a„

此时，数列｛%｝为单调递减数列，则的。23>。2。24,

结合“期［:<0可得0<a2024<1<a2023,

“2024.1

结合数列的单调性可得%>1(〃W2023),。v4v1(〃N2024),

故52023>2023a2023>2023>1,S2024=S2023+a2024>2023>1,

,,,^2024>S2023>=,^2024,^2023—1>0,故B正确；

因为。<。2024V1<«2023，数列｛%｝为单调递减数列，

所以0)23是数列｛〃｝中的最大值，故CD错误.

故选：AB.

23.(2023•广东深圳•高三深圳市宝安中学(集团)校考阶段练习)为弘扬中华民族优秀传统文化，某

学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①,

4jr

己知球的体积为了,托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图

②.则下列结论正确的是()

A.经过三个顶点A,B,C的球的截面圆的面积为:

B.平面8CF//平面AOE

c.直线”与平面。底尸所成的角为;

D.球面上的点离球托底面DEF的最小距离为6+如-1

3

【答案】AD

【解析】根据图形的形成，知A,我C三点在底面。防上的射影分别是DEF三边中点M,N,P如图,

则与△MNP全等且所在的面平行，

所以截面圆就是ABC的外接圆与AWP的外接圆相同，

由题意可知，△MNP的边长为1,其外接圆的半径为『=3*1=走，

33

则经过A,B,c三点的球的截面圆的面积为=],故选项A正确；

由题可知PM/ARV,PM=FN,所以AC//FN,AC=FN,

所以四边形ACMV为平行四边形，所以CF//AN,又Ac平面ADE，

Ne平面ADE，所以AN与平面ADE1相交，故CF与平面相交，

所以平面8CF//平面AQE错误，故B错误；

由AM与平面DEF垂直可知，AF在平面。石尸内的射影是w,

所以NAW为直线AF与平面DEF所成的角,

因为VADE是边长为2的等边三角形，所以4M=8，

_JT

V凡比是边长为2的等边三角形，所以尸河=百，则ZAFM=T，

所以直线M与平面。灰所成的角为1故选项C错误；

4

设球的半径为R,由球的体积为手，得事"=?,解得R=1.

如图2,平面ABC所在圆的圆心为Q,连接。。|与圆交于点G,

过点a作〃，OQ与圆交于J,/,

OQ==4,

Ofi=R—OXO=1—9AN=2sin—=y/3,

所以球离球托底面。）的最小距离为⑷V-O0=g+迈-1,故D正确.

3

故选：AD.

24.（2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知4》均为正实数，且4a+b（l-々）=0,则

下列不等式正确的是（）

A.ab..16B.2a+b..6+4y/2

,八1161

C.〃一/?<0D.+—r...—

a2b22

【答案】ABD

【解析】因为々>。力>。,次?=4a+5..25/5而=47^,当且仅当4〃=/?时等号成立，所以必..16,故A正

确；

4〃

由4。+力="得b=——同理

a-1

1>4,2a+Z?=2a+4a=2（a-l）T■——+6..2A/2（iz-l）x———F6=40+6,当且仅当2（"1）二」—，即

ci—1a—1v。-1ci—1

.=1+应时等号成立，故B正确；

a=5,b=5满足题意，但。_}=0,故C错误；

由4“+6=而得工+。=1,所以2二+肉/雪多当且仅当4=2即。=4。时等号成立，所以

ab\a-b1）\ab）a'b

1161%—

+7T••,故D正确.

a2b22

故选：ABD.

25.（2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正方体A5CD-A4G2的棱长为1,点

尸满足AP=2AB+月AD+/A4,，%，〃，/©R（尸，B,D,A四点不重合），则下列说法正确的是

（）.

A.当2+〃+7=1时，|PA|的最小值是1

B.当4=1,〃=/时，"〃平面ABQ

C.当彳=〃=1,7=；时，平面P5Q1平面A8D

D.当M=l,>=0时，直线尸4与平面44G3所成角的正切值的最大值为正

2

【答案】BCD

【解析】对于选项A：当4+〃+7=1时，即了=1一(2+〃)，

uiwuuuuumuuuuuuuuiuULUI

则AP=A,AB+piAD-\-yAA^=AAB+4AZ)+[1-(4+AA^

uunuuur/uunumr、/uumuun、uumuuumm

可得"AAjJ+//^AD-AAjJ,则-2,^8+/1AJ)，

可知点尸在平面4石。内，

设点A到平面48。的距离为d，可知4区=4。=/。=应，

由=^AX-ABD可得^xdxLxyf2xV2x=—xlx—xlxl,解得d=—

322323

所以Pd的最小值是△=弓，故A错误；

对于选项B：当几=1,〃=/时，

UlUuuuuumUUUUUUUUUUUU

贝1JAP=AAB+/dAD+yAAi=AB+JLIAD+JLIA^，

uunuua/UUttiuuu、UULUUU

可得AP-A8=〃(AO+AA),则8尸=〃他，

由正方体的性质可知：AB〃C、D、,且AB=CQ,

则ABCQ为平行四边形，可得AR〃BG，且A2=BG，

UULUUU

即M=BG，则8P=〃8。，

可知点?在直线上，直线段即为直线8G，

且AE>1〃BC1,ARu平面A3Q,BC"平面ABQ,

所以8G〃平面A42，即2〃平面ABQ,故B正确;

对于选项C：当九=〃=1,/=1时，

uunuunuumumiuunuumiuuuruuniuar

贝i|4尸=245+〃4£>+7朋=42+40+1"nAC+mCG,

uunuuniuuiruunuuiruuir

取CG的中点nJ^AP=AC+-CC1=AC+CM=AM,

可知点?即为点收，

因为AA,，平面A3CD,Mu平面4BGD,则四上囱），

设ACBD=0,连接OP,

可知AC/BD,MAC=A,A4,,ACu平面AAGC，

所以Ml平面A4CC，且AGu平面A4CC,可得8。LAG，

同理可得：A3LAG，且BDAtB=B,3D,u平面ABD,

所以ACJ平面A5£>,

又因为。，尸分别为AC,CG的中点，则OP〃AG，可得0P1平面AB。，

且OPu平面AjAD,所以平面48C平面A|BD,故C正确；

对于选项D：当4〃=1,?=0时，

UUULlUUULUUULUHULLUUIU

贝UAP=2AB+〃AD+7招=XAB+〃AD，

可知点?在平面ABCD内，

因为平面ABCD〃平面44GR,

则直线PA与平面所成角即为直线P4与平面ABCD所成的角,

因为A4,，平面ABCD,则直线总与平面ABCD所成的角为NA/H,

可得tanW条=5

1uunuuniuuo

又因为加=1,即〃=一，贝iJAP=4A8+—AO,

uuflUUH2iuum