2024年高考数学二轮考前演练之函数的单调性与最值 (解析)

备战2024年高考数学二轮专题考前演练

函数的单调性与最值

一、选择题

1.已知函数/(%)=前，则不等式—3V/(2%+l)V3的解集是()

1十I尢I

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(—8,—1)U(2,+8)D.(—8,—2)U(19+8)

【答案】B

【解析】【解答】因为/(%)=前的定义域为R,

且/(-%)=3含=一等=—/(%)，所以函数/(%)为定义在R上的奇函数，

JLi-I人IJ."iI人I

4%4

当%>0时，则/(%)二百=0，

X

因为y=^1+i在(0,+^)上单调递减，则/(%)==4在(o,+^)上单调增，

xX

可得/(%)在(-8,0)上单调减，且函数/(%)为定义在R上连续不断，

所以/(%)为定义在R上的增函数，且/(3)=3,/(—3)=—3,

则一3<f(2%+1)<3,即/(—3)<f(2x+1)<f(3),

可得一3V2%+1V3,解得一2<%<1,

所以不等式—3V/(2%+l)V3的解集是(―2,1).

故答案为：B.

【分析】根据题意分析可得/(%)为定义在R上的增函数，且为奇函数，进而根据函

数性质解不等式.

2.已知函数/(%)=log2x-则不等式/(%)>。的解集是()

A.(-1,2)B.(0,2)

C.(2,+8)D.(—8,—1)u(—1，2)

【答案】C

1

【解析】【解答】解：由题意可得函数/(%)的定义域为(0,+8),

因为y=log2%与y=一系在(。，+8)均为单调递增函数，

所以/(%)=log2x-京在(0,+8)为单调递增函数，

因为/(2)=log22--=1-1=0,

所以/(%)＞。的解集为(2,+8).

故答案为：C.

【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数

的零点，即可得答案.

3.已知奇函数/(%)的定义域为R,且/(%)在[0,1]上单调递增，在(1,+8)上单

调递减.若/(2)=0,则/(%)＞。的解集为()

A.[—2,2]

B.(—8,—2]U[0＞2]

C.[—2,0]U[2,+8)

D.(——2]U{0}U[2,+8)

【答案】B

【解析】【解答】奇函数/(%)的定义域为R,f(0)=0,/(一2)=0且/(%)在[―1,0]

上单调递增，在(-8,-1)上单调递减，可作出/(%)的大致图象：

由图象可知/(%)之0解集为(一8,-2]U[0,2].

故答案为：B

2

【分析】作出图象，从图象上观察/(%)之。的解集.

4.下列函数在其定义域上单调递增的是()

A.y=2X—2一久B.y=x~3C.y=tan%D.y~

【答案】A

【解析】【解答】对于A选项，因为函数y=2久、y=-2-久在R上均为增函数，

故函数y=2久-2T在R上为增函数，A选项满足要求；

对于B选项，函数y=%-3在(0,+8)上为减函数，B选项不满足要求；

对于C选项，函数y=tan%在其定义域上不单调，C选项不满足要求；

对于D选项，函数y=1咤3在其定义域上为减函数，D选项不满足要求.

2

故答案为：A.

【分析】根据题意由函数单调性的定义，结合指数函数、对数函数、幕函数以及

正切函数的单调性由此对选项逐一判断即可得出答案。

5.函数y=J%?—4%+3的单调递减区间为()

A.(3,+8)B.(—1)

C.(一8,I)和(3,+8)D.(0,+8)

【答案】B

【解析】【解答】解：令％2一4%+3之0,解得％23或%41,即函数y=

4%2—4%+3的定义域为《一8,1]u[3,+8),

因为y=V^在定义域内单调递增，了=%2—4%+3在(—8,1)上单调递减，在

(3,+河上单调递增，

则函数y=4%2—4%+3在(—8,1)上单调递减，在(3,+^)上单调递增，

3

所以函数y=一4%+3的单调递减区间为(—8,1).

故答案为：B.

【分析】先求函数的定义域，进而根据复合函数的定义域分析判断.

6.已知函数/(%)=1。83%2一。％+3°)在[2,+8)上单调递减，贝ija的取值范围

()

A.(—8,4]B.(—4,4]C.[—4,4]D.(—4,+

【答案】B

【解析】【解答】解：因为函数/(%)=1翼(/_a%+3a)在[2,+河上单调递

减，则函数y=/一+3a在[2,+8)上单调递增且y〉o恒成立.

即12-解得—4Va44

<22—2a+3a>0

故答案为：B

【分析】先利用复合函数的单调性判断出y=/_a%+3a在[2,+“)上单调递

增且y>0恒成立，根据二次函数的性质列出不等关系组即可求解.

7.已知/(%)=a*+aT,且/'(3)>/(1),则下列各式一定成立的是()

A•/'⑶〉/(—2)B./(0)>/(3)

C./(-I)>/(-3)D./(0)>/(-I)

【答案】A

【解析】【解答】解：：/(-%)=a~x+ax=/(%),.•・/(%)为偶函数，

令t=肝,则t>0,又y=t+｝在0VtV1单调递减，.•.在t>1单调递增，

.•.当OVaVI时，y=a%是减函数，在％€(0,+―)上，有0v。久v1,.•./(%)在

%e(o,+^)单调递增，

当a>l时，y=a久是增函数，在％W(0,+”)上，有产>1,.••/(%)在％w(0,

4

+8)单调递增，

•••/(%)在％e[0,+°°)上单调递增，

A、/(3)>/(2)=/(—2)，A正确；

B、/(0)</(3)，B错误；

C、/'⑴=。(-1)</(-3)=f(3)，C错误;

D、f(0)Vf(-1)=/1⑴，D错误.

故答案为：A.

【分析】先判断了(%)的奇偶性，再根据/(3)>/(I)判断/(%)的单调性，进而判

断选项.

8.若函数/(%)=仞(/—4%—5)在(3t+1)上单调，则实数t的取值范围是

()

A.[-1,1]U[2,4]B.(—1,1]u[2,4)

C.(—,1]U[2»+D.(—8,—2]U[5,+

【答案】D

【解析】【解答】由题意可得%2—4%-5>。解得x<-l或x>5,

令快=X2-4X-5,函数〃=X2-4X-5在(-8,T)上单调递减，(5,+8)上单调递

增，

由函数y=lg〃是其定义域内单调递增函数，

故要使函数/(%)=lg(x2-4x-5)在(t,t+1)上单调，

即t+lWT或t25,

解得tW-2或t25,

即实数t的取值范围是(—8,-2]U[5,+河

5

故选：D.

【分析】由对数函数的真数大于0可得x〈-1或x>5,再根据复合函数的单调性可

得t+lW-1或t25,进而求解可得出实数珀勺取值范围.

9.函数y=%+£-1在(0,+8)上的最小值是()

A.-2B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】【解答】解：因为x>0,所以％+±22以^=4,

Xy]X

所以y=%+g-l之3,即y=%+£-l在(0,+8)上的最小值是3,

故选D.

【分析】利用基本不等式求解.

10.下列函数中，在定义域上单调递增的是()

x

A./(%)=|B./(%)=(|)C./(%)=—2x+1D./(%)=log2x

【答案】D

【解析】【解答】解：A、/(%)=]，由反比例函数的性质可得：在(—8,。)、(0,

+^)上f(x)单调递减，故不选A；

B、/(%)=©尸，0<|<1,由指数函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，

故不选B；

C、f(x)=-2x+l,由一次函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，故不选C；

D、/(%)=log2(%)，2>1,由对数函数的性质可得：£6)在(0,+8)上单调递

增；故选D；

故答案是：D.

【分析】利用反比例函数、指数函数、一次函数、对数函数的性质分别判断A、

B、C、D四个选项.

6

11.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.7(%)=-InxB./(%)=C./(%)=一：D.f(x)=

【答案】C

【解析】【解答】A、•••y=In%在区间(0,+8)上单调递增，...f(x)=一In%在区

间(0,+^)上单调递减，A不符合题意；

B、y=2久在区间(0,+河上单调递增，.../(%)=表在区间(0,+河上单调

递减，B不符合题意；

C、・••y=：在区间(0,+8)上单调递减，.../(%)=一:在区间(0,+8)上单调

递增，C符合题意；

D、・••/(1)=3停7=仃，/(I)=3。=1,/(1)>/(I),/(%)在区间(0,+

8)上不单调递增,D不符合题意。

故答案为：C

【分析】利用函数单调性判断选项.

12.下列函数在区间(0,2)上单调递增的是()

1

A.y=(x—2)2B.y=C.y=sin(x—2)D.y=cos(x—2)

【答案】D

【解析】【解答】对于A选项：y=(%—2)2开口向上，对称轴％=2,所以在(—

8,2)上单调递减，故不符合题意.

对于B选项：y=£是y=：向右平移了两个单位长度，所以在在(-8,2)上单调

递减，故不符合题意.

对于C选项：y=sin(x-2)是y=sin%向右平移了两个单位长度，

所以y=sin(%—2)在(―4+2,—/2)上单调递减，在(话+2,/2)上单调

递增,

7

因为OV—；+2V2,所以不符合题意.

对于。选项：y=cos(x—2)是y=cos%向右平移了两个单位长度，

所以y=cos(%-2)在(-兀+2,2)上单调递增，则在(0,2)上单调递增，符合题

故答案为:D.

【分析】利用已知条件结合增函数的定义，进而找出在区间(0,2)上单调递增的函

数。

二、填空题

13.函数y=log4%一3|的单调递减区间是

2

【答案】(3,+8)

【解析】【解答】解：令m(x)=|x-3|,则在(-8,3)±m(x)为减函数，在

(3,+8)上m(x)为增函数,

又由y=log工租(%)是减函数，

2

可得在区间(3,+8)上y=10g工租(%)为减函数.

2

故答案为：(3,+8),

【分析】将原函数分解成两个简单函数，即m(x)=|x-3|,y=logim(x),再

2

根据复合函数单调性进行判断，可得答案.

14.若偶函数/(%)在［0,+8)上单调递减，且/(1)=0,则不等式/(/—3%+

3)＞。的解集是-

【答案】［1,2］

【解析】【解答】解：由已知条件f(1)=0可得/(/—3%+3)之/(I),因为偶

函数/(%)在［0,+8)上单调递减，所以|%2一3%+3|41,

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解得1<x<2

故答案为：[1,2]

【分析】利用函数的单调性和奇偶性转化成|好—3%+3|<1,,解不等式即可求

解.

15.已知函数/(%)=%+In%-1,则不等式/(%)〈。的解集是.

【答案】(0,1)

【解析】【解答】函数/(%)=x+\nx-1的定义域为(0,+8).

因为y=%—l在(0,+8)上为增函数，y=In%在(0,+8)上为增函数，

所以/(%)=%+In%-1在(0,+8)上为增函数，

又/(I)=1+Ini—1=0,所以不等式/(%)<。的解集为(0,1).

故答案为：(0,1)

【分析】利用已知条件结合函数的单调性，进而得出不等式/(%)V0的解集。

16.已知/■(%)=/。吗(2%2—20%+5°)在区间(2,3)上是减函数，则实数a的取值

范围是.

【答案】[—8,4]

【解析】【解答】解：令g(%)=2/—2a%+5a,因为了=b吗%在定义域上单调递

减，

又/(%)=log^2x2-2ax+5a)在区间盘，3)上是减函数，

所以g(%)=2x2-2ax+5a在(2,3)上单调递增且恒大于零，

-<2

所以2—,解得-8<a<4,所以实数a的取值范围是

、g(2)=8—4a+5a>0

[—8,4].

故答案为：[-8,4]

9

-<2

【分析】由题意利用二次函数、对数函数的性质可得2-，由

、g(2)=8—4a+5a之0

此求得实数a的取值范围.

三、解答题

17.设机为实数，已知函数/(Wul-名是奇函数.

(1)求m的值；

(2)证明：/(%)在区间(0,+^)上单调递减:

(3)当％€(0,+8)时，求函数/(%)的取值范围.

【答案】(1)函数=含是奇函数，.•./(-%)+/(%)=1—为+1-

m(2x-l)

m(m+2),J)=。对任意％e(―8,0)U(0,+8)恒成立，...

2X-12X-1

m=—2；

(2)由(1)知/(%)=1+/三=W|，对任意％1，到e(o,+8),设ov/v

X%%XX

\—2相+122+1_(21+1)(22-1)-(22+1)(21-1)_2(2工2-2打)

%2'见/-八％2)=—=(2J)(2J)=(2X」i)(2犯_1)'

%2

0<<x2»2久2-2久1>0,2久1一1>0,2-1>0,•••/(%1)-/(%2)-

黑；募1)>3即/(血)>/(%2)，•••/(%)在区间(0，+8)上单调递减；

(3)由(2)知/(%)在区间(0,+8)上单调递减，当％T+8,有之_T。且

/>0,••./(%)=1+高>1,当％-0,有高7+8，

%e(0,+河，函数/(%)的取值范围是(1,+8).

【解析】【分析】(1)由奇函数的定义得/(-%)+/(%)=o化简求解;

(2)利用单调性的定义证明;

(3)利用(2)的单调性结合指数函数的性质求其范围.

18.已知函数/(%)=伍％+后一会其中aeR.

(1)求函数/(%)的单调区间;

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(2)讨论函数/(%)的零点的个数.

【答案】(1)解：函数/(%)的定义域为(0,+8),(%)

人(人"iJL)

x2+(2-a)x+l

x(x+l)2'

在一'兀二次方程/+(2—a)x+1=0中，4=(2—a)2—4=a2—4a=—

4)，

①当aVO时，/'(%)20恒成立，此时函数/(%)单调递增，增区间为(0,+8),

没有减区间；

②当0<a<4时，/7(%)>0恒成立，此时函数/(%)单调递增，增区间为(0,+

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