陕西省西安市五校2024届高三3月份模拟考试数学试题含解析

陕西省西安市五校2024届高三3月份模拟考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知AABC中内角所对应的边依次为"c,若2a=b+l,c=#i,C=%,则AABC的面积为（）

A.当B.旧C.36D.273

[JT\TT77

2.已知函数/（%）=2cos—耳侬＞0）在一上单调递增，则。的取值范围（）

~21（2-1「2-

A.—,2B.0,—C.—,1D.（0,2]

一3」I3」L3

3.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角

形，则该几何体外接球的体积是（)

32万

A.16万

64缶20号

3­3

4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,

共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019

年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）

ZVXKZUlbM.g对ZUIR

=出口目-isQiSig

A.这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

5.设i是虚数单位，若复数z=l+i,则也+z2=()

Z

A.1+zB.1-zC.-1-iD.-1+z

6.命题0：存在实数%,对任意实数》,使得5由(％+*0)=-5111大恒成立；q：Va>0,f(x)=In——^为奇函数,

a-x

则下列命题是真命题的是()

A.P^QB.(~>p)v(~iq)C.pA(-><7)D.Jp)八q

7.已知集合4={%|/082%<1}，集合8=b1y=J2-x卜贝!|A_B=()

A.(—,2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.[0,+co)

z—i

8.设复数z满足——=i,贝！|z=()

z+z

A.1B.-1C.1-iD.1+z

9.已知x>。，y>0,%+2y=3,则匚心的最小值为(

)

孙

A.3-242B.2A/2+1C.V2-1D.V2+1

10.已知直线W和平面a,若加_Lo,贝!1“根_1_九”是“九〃a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充分必要条件D.不充分不必要

11.已知向量a与8的夹角为。，定义axb为a与b的“向量积”，且axb是一个向量，它的长度,义q=倒沙卜也。，

若“=(2,0),〃一丫=(1,_&),则卜x(〃+v)卜(

)

A.4GB.V3

C.6D.26

12.为得到，；二二二一〒的图象，只需要将二二，::二二的图象()

A.向左平移二个单位B.向左平移亍个单位

C.向右平移二个单位D.向右平移^个单位

19

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x>\

d-\-hC

13.已知羽V满足且目标函数2=2x+y的最大值为7,最小值为1,则一------■=.

八a

ax+b7y-^c<0

14.已知复数2=产是纯虚数，则实数〃=，|z|=.

1-1

22

15.设月，工分别是椭圆C5+3=1(。>匕>0)的左、右焦点，直线/过月交椭圆C于A,B两点,交y轴

a"b"

于E点,若满足£E=2A£,且NE4g=60,则椭圆C的离心率为.

16.如图，A6C的外接圆半径为2有，。为8C边上一点，且BD=2DC=4,ZBAD=90°,贝！IABC的面积

为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=sinox+cos[ox+W],其中xeR,a)>0.

(1)当<w=l时，求的值；

71

(2)当Ax)的最小正周期为万时，求/Xx)在0,-上的值域.

_4_

18.(12分)已知函数/(x)=lnx.

(1)求函数g(x)=/(x)-x+l的零点；

⑵设函数/（%）的图象与函数y=x+：-l的图象交于4（%,乂），2（网，%）&<%）两点，求证：a<xIx2-xI；

（3）若左>0,且不等式（£_1）/（尤）2Mx-Ip对一切正实数x恒成立，求上的取值范围.

19.（12分）已知。，b,c分别为ABC内角A,B,C的对边，且〃=342—3,2.

（1）证明：Z?=3c・cosA；

（2）若ABC的面积S=2,b=«，求角C.

20.（12分）设点耳（-c,0）,居（c,0）分别是椭圆C：=+匕=1（。〉2）的左，右焦点，尸为椭圆C上任意一点，且

a4

PF「。月的最小值为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，直线/:x=5与％轴交于点E,过点工且斜率左W0的直线4与椭圆交于A,3两点，〃为线段石❷的中

点，直线交直线/于点N,证明：直线BNLI.

21.（12分）在..ABC中，角A、B、。所对的边分别为。、b、C,且cos2C+3cosc—1=0.

（1）求角。的大小；

（2）若b=3a,ABC的面积为6sinAsin3,求sinA及c的值.

22.（10分）已知圆。的极坐标方程是Q=4COS。，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平

近

x=----t+m

2

面直角坐标系，直线/的参数方程是<「（才是参数），若直线/与圆。相切，求实数小的值.

g

v=

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由余弦定理可得02+02—4b=7,结合2a=0+1可得a,b,再利用面积公式计算即可.

【详解】

f7=+Z?2—(2Z7\a—2

由余弦定理，得7=d+及—2abcosC=a?+廿一ab,由L、，解得［…

2a=b+lb=3

grpjqA/3_3A/3

/TT以，——cibsinC——x2x3x2—~~,

故选：A.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

2、B

【解析】

'JI'JI11Ji11'JIJI

由——<x<-，可得——3——<69%——<-®——，结合y=cosX在［-7T,0］上单调递增，易得

3233323

--(0--,-(0--N［一兀,0］,即可求出。的范围.

L3323J

【详解】

,兀兀一加兀兀兀兀兀

由——Wx<一,可得——3——<CDX——<—CD——,

3233323

'兀、兀兀

x=0时,/(。)=2cos，而。£,

\3/32

71

又y=cosx在[-71,0]上单调递增，且—耳£[-71,0],

7171

-----(D---->—71

33a)<2

71717171兀兀」八22

所以-----(D------,—0)------C[-71,O]，则<一co—«0，即故0<G<g.

332323

。〉0。〉0

故选:B.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

3、C

【解析】

作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径,

即可得外接球的体积.

【详解】

如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为8的等腰直角三角形，三棱柱的高为4,其外接球半径为「=2夜，所以

体积为V==64f冗.

故选：C

【点睛】

本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.

4、D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选:D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

5,A

【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可

【详解】

'・,复数z=l+i,|z|=A/2,z2=(1+z)2=2z,则^^—+z2=----+2i=------^-+万=1—i+万=1+i,

z1+z(1+z)(l—z)

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题

6、A

【解析】

分别判断命题。和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题。，由于sin(x+〃)=—sinx,所以命题。为真命题.对于命题4,由于。>0,由解得一a<x<a,

且/(―x)=lngM=ln[0M]=-ln^=-/(%),所以〃龙)是奇函数，故为真命题.所以。人4为真命题.

a+x\a-xJa-x

(r?)v(->q)、。A(「<?)、(「°)A4都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

7、D

【解析】

可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.

【详解】

解：A={x|0<x<2},B={y|y>0}；

A1B=.

故选。.

【点睛】

考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.

8、B

【解析】

利用复数的四则运算即可求解.

【详解】

z—i

由--=z=>z—z=z(z+i)=>(1—i)z=z,—1=>z=-1.

z+i

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.

9^B

【解析】

3='+(x+2加，+1+义之1+2、尸=1+2攻，选B

xyxyyxyyx

10、B

【解析】

由线面关系可知加，“，不能确定〃与平面。的关系，若M/a一定可得机,〃，即可求出答案.

【详解】

m±6r,m±n,

不能确定〃ua还是〃aa,

.\m-Ln^nila,

当〃〃。时，存在aua,nila.,

由机_La=>zn_La,

又nila.可得加J_〃，

所以“根J_〃”是“nila”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

11、D

【解析】

先根据向量坐标运算求出"+v=(3,若)和cos(〃,"+v),进而求出sin(M,M+v),代入题中给的定义即可求解.

【详解】

由题意v="—（〃一v）=（l,6），贝!|〃+v=（3,石），cos得sin(〃,〃+v)=；,由定义知

故选:D.

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.

【解析】

V=sm(2x--)=sin[2(x--)1_

试题分析：因为.6，所以为得到二'=:二二二，的图象，只需要将二二s：二二的图象向

右平移.个单位；故选D.

考点：三角函数的图像变换.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2=2兀+'表示直线在丁轴上的截距，只需求出可行域直线在y

轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.

【详解】

由题意得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,

AA(L-l),5(3,1),

二直线AB的方程是：尤―y—2=0,

Z7—I—b—I—

・・•贝！I二一2,故答案为-2.

a

\"'8(3.1)

vX

,7：A(1,-1)

A\\

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题.

14、11

【解析】

根据复数运算法则计算复数z=T+,根据复数的概念和模长公式计算得解.

22

【详解】

a+i(a+z)(l+z)(tz-l)+(tz+l)zci—1a+1

复数z=-----+------i,

1-z(l-z)(l+z)222

0=0

2

・・•复数z是纯虚数，，1,解得a=l,

”Uo

[2

：.z=i,/.|z|=l,

故答案为：1,1.

【点睛】

此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.

15、旻1

3

【解析】

采用数形结合，计算|耳目以及卜耳|,然后根据椭圆的定义可得|A巴并使用余弦定理以及6=彳，可得结果.

【详解】

如图

H

o.

X

由/环玛=60,所以伤目=」一=2c

11cos60

由耳£=2曲，所以防卜［耳目=。

又|AFj|+|AF^=2a,贝”AF^=2a_c

2

gerlc+(2cY-(2a-cY

所以cos120=——―一-----L

2c-2c

化简可得：7c2=(2a-c)=2a-c=Sc

则£=2V7-1

aA/7+13

故答案为：也二1

3

【点睛】

本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档

题.

16、3g

【解析】

先由正弦定理得到NR4C=120,再在三角形ABO、ADC中分别由正弦定理进一步得到5=C,最后利用面积公式计

算即可.

【详解】

依题意可得BC=6,由正弦定理得———=2R,即sinN54C='==走，由图可

sinZBAC4四2

知N54C是钝角，所以NR4C=120,ADAC=30，在三角形A5O中，AD=BDsinB,

=4sin3,在三角形AOC中，由正弦定理得屈)=———即AD=4sinC,

sinCsinADAC

所以，sinB=sinC,故B=C=30，AB=2g，AD=2,故ABC的面积为

-ABBCsinB=3yf3.

2

故答案为：3后

【点睛】

本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)昱(2)-,1

212」

【解析】

(1)根据。=1,得到函数f(x)=sin尤+cos(x+t),然后，直接求解/(：)的值；

TTTT

(2)首先，化简函数/(x)=sin(ox+§),然后，结合周期公式，得到。=2,再结合xe0,-,及正弦函数的性

质解答即可.

【详解】

71

(1)因为。=1,所以/(x)=sinx+cosXH----

6

7C

(2)因为/(无)=sin8+cosG)XH--

6

.7C.71

-sincox+coscoxcos---sincoxsin—

66

1.V3

=—S1H69X+——COSCOX

22

=si.nf(DX+吟—\

I3j

即/(x)=sincox-\--

27r

因为T=—=n,所以<y=2

co

所以/(X)=sin羸+?

秒3

JI

因为0,—

_4

~•八兀「》57r

所以+

3L3o

所以当x=0时，于(x)力.当x=2时，/(x)=l(最大值)

212

711

当％=丁时，/«=-

42

/(X)在0,—是增函数，在—是减函数.

12124

・•・/(X)的值域是1,1.

【点睛】

本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考

查了运算求解能力，属于中档题.

18、(l)x=l⑵证明见解析(3)0＜匕，2

【解析】

(1)令g(x)=/依-尤+1,根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；

112JC—llUCtXX

(2)转化思想，要证。＜玉x2-%1，即证X1%・(1^^)＜下々-X],即证/"(二)＞1-0，构造函数进而求证;

(3)不等式，一l)/"x.»(x—)2对一切正实数x恒成立，(x2-W-Z:(x-1)2=(x2-l)[lnx-k{X~l)],设

x+1

/7(x)=/nx-9D,分类讨论进而求解.

X+1

【详解】

11—X

解：(1)令g(x)=。a-尤+1,所以g，(x)=--1=--,

XX

当xe(0,l)时，g'(x)＞0,g(x)在(0,1)上单调递增；

当xe(l,+8)时，g，(x)<0,g(x)在(1,y)单调递减;

所以g(x)„»>,=g⑴=。，所以g(x)的零点为x=l.

a1

Inx1=「H-----1

七“lnx?-Inx,x

(2)由题意<,/.a=xYx2•(1----------),

Cl.马一七

lnx2="2-----I

〃lrvc-Inx,M

x0s

要证a＜玉％2-\x2-x，即证石W(l)＜玉%2%，即证欣()＞I，

x2-玉玉x2

.1I11

令:一>1,贝!!/加>1--，由(1)知/%4-1,当且仅当％=1时等号成立，所以历-<--1,

石/tt

即/加>1」,所以原不等式成立.

t

(3)不等式(%2—l)/""(X—)2对一切正实数工恒成立，

(x2—l)lnx—k(x—I)2=(x2—l)[lnx——,

x+1

2kY+2(I一大次+1

设h(x)=Inx—,h,{x}=-

x+1X(x+l)2-x(x+l)2

记°0：)=炉+2(1-4+1,△=4(1-左)2_4=4左次_2),

①当A,,。时，即0<匕,2时，〃(x)..O恒成立，故以幻单调递增.

于是当0cx<1时,//W</?(l)=0,又炉-1<0,故(炉-l)/nx>A;(x-l)2,

当尤>1时，h(x)>h(l)=Q,又/一i〉。，故(无2_])/%>—无-i)2,

又当X=1时，(x2-V)ln=k(x-V)2,

因此,当0<匕,2时,(x2-l)bvc..k(x-1)2,

②当△>0,即后>2时，设V+2(1-笈)X+1=O的两个不等实根分别为X,，无4(工3<尤4)，

又夕(1)=4-2左<0,于是为<1(上一1〈尤4,

故当尤e(L%-l)时，W)<0,从而献x)在(1,无-1)单调递减;

当xe(l,左-1)时，力(无)<//⑴=0,此时为2一1>。，于是(炉一1冽尤)<0,

BP(x2-V)lnx<k(x-1)2舍去，

综上，左的取值范围是0<£,2.

【点睛】

(1)考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；(2)考查转化思想，构造函数求极值；(3)考查分类讨论

思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.

19、(1)见解析；(2)45°

【解析】

(1)利用余弦定理化简已知条件，由此证得/?=3c-cosA

(2)利用正弦定理化简(1)的结论，得到tanA=2tanC,利用三角形的面积公式列方程，由此求得tanA,进而

求得tanC的值，从而求得角C.

【详解】

(1)由已知得C?一/=一！及，

3

12

由余弦定理得2bccosA=+c2-tz2=b2——b2=—b2,AZ?=3c-cosA.

33

(2)由(1)及正弦定理得sinjB=3sinCcosA,即sin(A+C)=3sinCcosA,

:.sinAcosC+cosAsinC=3sinCcosA,:.sinAcosC=2sinCcosA，

/.tanA=2tanC.

S=2=—bcsmA=—b-------sinA=—b2tanA,

223cosA6

tanA=2,tanC=1>C=45°.

【点睛】

本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算

求解能力，属于中档题.

22

20、(1)土+匕=1(2)见解析

54

【解析】

(D设p(x,y),求出明•后由二次函数知识得最小值，从而得。，即得椭圆方程；

(2)设直线式的方程为丁=左(%—1),左力0,代入椭圆方程整理，设4%,%),5(々,当)，由韦达定理得

为+々=①匚,%乙=竺?，设N(5,y°),利用AM,N三点共线，求得为=/,

1-4+5左2724+5左2%一3

然后验证为一%=。即可.

【详解】

解：(1)设P(x,y),贝!1。耳=(—c—乂一y),P月=(c—乂一y),

所以尸耳・尸乙=/+9—02—°2,

a

因为a>2,%£[-a.a].

所以当x=0时，坨・夕巴值最小，

所以4—，=3,解得。=1,(舍负)

所以"=5,

22

所以椭圆C的方程为土+匕=1,

54

(2)设直线4的方程为y