天津市宁河区2024届高三年级上册期末数学试题（含答案解析）

天津市宁河区2024届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/={-3,-2,-1,0,1},{-1,0,1},C={x|-2<x<0},贝lJ（/nC）U8=（）

A.{-1}B.{-2,-1}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,0,1}

2.设。,6eR,则“a>b>0"是的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕,

这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都

大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩.为向大学生普及大运会的相关知识，某高校

进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计,

成绩均在[50,100]内，将其分成5组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],

并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间[80,90）内的

人数为（）

A.20B.40C.60D.80

4.设a=2«s,b=0，c=log050.3,则。,6,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

5.函数在区间TE上的图象大致是（）

cosxvZ2）

试卷第1页，共4页

6.如图，在直角梯形/BCD中，AD1DC,AD〃BC,5。=4,40=2,CD=3,

以4。所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积

94兀

B.24兀C.30KD.亍

7.已知数列｛对｝满足：若久=3,则q=（）

22

A.48B.24C.16D.12

22

8.已知双曲线5-%=1（°>0,6>0）的一条渐近线过点（2,亚），且双曲线的一个焦点

在抛物线丁=4瓜的准线上，则双曲线的方程为（）

9.已知函数/（》）=5仙（8+。）［0>0,|同<外的图象关于工=-9对称，它的最小正周期为

兀，关于该函数有下面四个说法：

①“X）的图象过点C

Sir117T

②/（X）在区间三上单调递减；

试卷第2页，共4页

③当xe[o,||时,/(x)的取值范围为-乎,.；

④把函数歹=5亩2工的图象上所有点向右平行移动？个单位长度，可得到/(X)的图

6

象.以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

10.i是虚数单位，复数瞥=______.

1-1

11.在(X2-，6的展开式中，d的系数是.

12.过点(1,2)且倾斜角为:的直线和圆(x+2『+(y-3『=10相交于/,2两点，贝U

M.

13.甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有5个红球、2

个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球.若从甲箱中不放回地依次

随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为；若先从甲箱中随机取出一球

放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为.

14.在平行四边形4BCZ)中，ZABC=60°,£是CD的中点，AF=2FE>若设

BA=a,BC=b,则而可用Z，g表示为;若V/OE的面积为亭，则网的

最小值为.

15.已知定义在R上的函数/(x)=t1，若函数g(x)=/(x)-a(x+l)恰有2

ln(x+l),x>0

个零点，则实数。的取值范围是.

三、解答题

9

16.在。中，角。所对的边分别为。也。，已知6=4,c=5,cosC=.

16

(1)求sing的值；

⑵求。的值；

⑶求sin(28-的值.

17.如图，AB//CD且C£>=2AB,ADLCD,EG//AD且AD=2EG,FG//CDS.FG=CD,

。6，平面/58,AD=CD=DG=2,M为棱尸G的中点.

试卷第3页，共4页

(1)求证：8尸〃平面CEM；

(2)求直线BE与平面CEM所成角的正弦值；

(3)求平面与平面CEM夹角的余弦值.

18.记S.是等差数列｛%｝的前〃项和，抄“｝是等比数列，且满足%=5,&=9,。=%+1,

“=邑・

⑴求｛%｝和也｝的通项公式；

〃为奇数

(2)对任意的正整数〃，设%=上〃为偶数，求数列匕｝的前2"项和&；

(3)求数列『1)”。也｝的前〃项和％eN*).

22/7

19.已知椭圆会+右=耳。％〉。)的左顶点为A,上顶点为3,离心率为?，|/@=2.

(1)求椭圆的方程；

⑵设点”在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点N在圆/+/=〃上，直线四，BN

的斜率分别为K，k2,且后2=3勺，求证：

(i)BNLMN■,

(ii)直线九W过定点，并求出此定点的坐标.

20.已知函数/'(苫)=111%+1％2,<7eR.

⑴当a=l时，求曲线了=/(x)在处的切线方程；

⑵求“X)的单调区间；

(3)设演广2(0<方<芍)是函数g(x)=〃x)-ox的两个极值点,证明：

g(xi)-g(x2)<"|-lna.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】直接根据交集、并集的定义得答案.

【详解】由已知NcC={-2,-1},

则（4cC）u3={-2,T,0,l}.

故选：D.

2.A

【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.

【详解】由a>b>0可得［<［,故充分性满足；

ab

由不一定得到a>b>0,比如。=-1,6=-2,故必要性不满足,

ab

所以“a>b>0"是的充分不必要条件.

ab

故选:A

3.C

【分析】先根据频率和为1求出进而可得人数.

【详解】由频率分布直方图可得

（0.005+a+0.04+0.015+0.01）xl0=l,解得a=0.03,

所以成绩落在区间［80,90）内的人数为200x0.03x10=60.

故选：C.

4.B

【分析】利用指数函数y=2,的单调性得到a<b<\,再利用对数函数夕=log05x的单调性得

出c>l,即可求出结果.

2小,巾

【详解】因为°=2-°3,易知函数y=2、是增函数,

又—0.5<—0.3<0,所以。<6<2°=1,

又易知y=logo.5X是减函数,所以c=log（）.503>logo.50・5=l,得至！

故选：B.

5.D

答案第1页，共13页

【分析】根据条件，利用函数的奇偶性和函数的取值，结合图象即可求出结果.

兀兀—x

【详解】因为〃X)=」，xe,/(f)=cos(-x);丁一/,),

cosx

71兀

所以/(x)=—xe图像关于原点对称，故选项A和B错误,

cosx252

又〃0)=0,/(x)->+«),所以选项C错误，选项D正确,

故选：D.

6.C

【分析】所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，分别求出圆柱与圆锥的体积，相

减可得几何体的体积.

【详解】旋转后所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，如图所示：

其中圆柱与圆锥的底面半径都等于CD=3

圆柱的高等于BC=4,圆锥的高等于BC-/O=2,

底面圆的面积为兀x3?=9无，

圆锥的体积为；x9兀x2=6?t,圆柱的体积为9兀X4=36TT,

所以所得几何体的体积为36兀-6兀=30兀.

【分析】先根据条件得到数列,ogi%］为公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公

式及对数的运算性质计算即可.

【详解】由logla"+i=l°gL+1得logl%+iT°g1即=1,

2222

答案第2页，共13页

所以数列,0g为公差为1的等差数列，

所以唾1。5=logLa1+4=logL3,

222

所以10gl=log13-4=log13-log1-^=log,48,

22~2々162

所以%=48.

故选：A.

8.D

【分析】根据题设条件，直接求出。,6,即可求出结果.

【详解】因为双曲线=1（。>0/>0）的渐近线方程为y=±:X,所以&=子，得到

a-yplb，

又抛物线「=4氐的准线方程为x=—G，所以°=百，又〃+/=。2=3,得至1」〃=1,。2=2,

所以双曲线的方程为土-y=1,

2

故选：D.

9.B

【分析】先通过周期和对称轴求出函数/（%）的解析式，对于①，直接代点判断；对于②③，

求出2尤-1的范围，然后利用正弦曲线的性质判断；对于④，根据题意平移后判断.

【详解】“X）的最小正周期为兀，所以臼=兀，得0=2,

G）

由小）关于工=若对称，则｛m=sinG+T=±l,

所以一巴+9=—+kn,keZ,解得夕=空+祈，左£Z,

623

又I同<?所以夕==,

所以/'（x）=sin（2x-g）,

对于①：而14>0,①错误；

对于②：由净XV者得W，函数尸sinx在py上单调递减，所以“X）在

区间iSjrf1'Ijr*上单调递减，②正确；

答案第3页，共13页

对于③：由OWxW：得一函数V=sinx在一g,笄上的值域为当,1

/DDDJJ乙

所以“X)的取值范围为-丁,1,③错误;

7T

对于④，把函数V=sin2x的图象上所有点向右平行移动£个单位长度得

6

y=sin2(x-sin12x-E,④正确;

故选：B.

10.l+3z73z+l

【分析】根据复数除法法则计算出答案.

4+2i(4+2i)(l+i)4+6i+2i?2+6i-,

【详解】1-i-(l-i)(l+i)~2~+1

故答案为：l+3i

11.60

【分析】利用(一:展开式的通项公式"(-2)d(04r46/eN),即可求出结果.

【详解】因为展开式的通项公式为

Tr+l=刃(玲J(__y=(一2)(320(0<r<6,r€N),

X

所以/的系数为(-2)2戢=4x15=60,

故答案为：60.

12.2A/2

【分析】求出直线方程，利用点到直线距离公式和垂径定理求出弦长.

JT

【详解】因为tan/，所以直线方程为尸2=1,即…+"

|-2+1-3|

圆心(-2,3)到直线y=x+l的距离为d==20,

y/1+l

故网=2,10-屋=2夜,

故答案为：2友

29

13.

922

【分析】根据条件，先求出基本事件的个数和事件A包含的基本事件的个数，再由古典概率

答案第4页，共13页

公式即可求出第一空的结果；用4，4，4表示从甲箱中随机取出一球是红球、白球、黑

球，事件8：从乙箱中取出的球是红球，从而有2=84+24+时,再利用互斥事件的概

率公式及全概率公式即可求出结果.

【详解】因为从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，共有A；。=90种取法，

又两次都取到红球，共有A；=20种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为

2

9

记事件4：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件4：表从甲箱中随机取出一球是白球,

记事件4：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件5：从乙箱中取出的球是红球,

113544

则尸⑷=-,P（A2）=-,P（A3）=-,P（B14）=-,P（S\A2）=-9P（BM3）=-，

乙JJL\J，，L11，

所以P(B)=P(BA]+BA2+BA2)=尸(54)+P(BA2)+P(BA2)

1514349

=P(BI4)P(4)+P(8|4)P(4)+P⑻4)p(a)=yY常/五.

29

故答案为：—；—.

2-274百

14.—a+—b—

333

【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运

算公式，结合基本不等式，即可求解.

【详解】如图所示，根据向量的运算法则，

=BA+AF=BA+^AE=BA+|(4D+D£>^+，-#)=£$，

设卜上加,同=〃，因为V4OE的面积为且，可得J_〃,0sin60°=@,即加〃=4,

11112222

又由忖网=(^a+~^)2=~(a+B+2tz-b)=^-(m2+H2+cos60)

44iA

=—(m2+H2+mri)>—(2mn+mn)=—,当且仅当加=〃时，等号成立，

所以网的最小值为孚.

故答案为：；生8.

333

答案第5页，共13页

【详解】数形结合，由直线V=a(x+1)与曲线了=/(x)的位置关系可得当

aG(-00,时有两个交点，即函数y=g(口恰有两个零点.

V=I纪2+x\y

Q\

0X

y^a(x+1)\

点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数

研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程

根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思

想找到解题的思路.

16.⑴也

4

(2)6

3V7-V3

⑶

16

【分析】(1)先求出sinC,然后利用正弦定理求解;

(2)利用余弦定理列方程求解;

(3)先求出cos28,sin25,然后利用两角差的正弦公式计算sin128-,即可.

【详解】(1)根据C为三角形的内角可得sinC=Jl-85七=区

16

.5近

b4x-----

根据正弦定理得sin5=如£

sinBsinC16

54

答案第6页，共13页

(2)根据余弦定理cosC="-+亡/="+1匕25=

2ab8。16

解得。=6,(负值舍去)；

(3)因为b<c,所以5为锐角，

所以cosB=71-sin2B=—,

4

所以sin25=2sinBcosB=2xx—=3y,

448

27971

cos2B—cosB—sinB=---------——,

16168

grp,..con.7t37711V3377-V3

加以sm2B——=sin26cos——cos2^sin—=-----x-------x——=-------------

<3)33828216

17.(1)证明见解析

喈

⑶孚

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；

（2）利用向量求线面角；

（3）利用向量求面面角.

【详解】（1）由。G,平面48CD,ADVCD,如图建立空间直角坐标系,

则3（2,1,0）,尸（0,2,2）,C（0,2,0）,£（1,0,2）,河（0,1,2）,

所以丽=（-2,1,2）,屋=（1,-2,2）,西;=（0,-1,2,

设面CEN的法向量为五=（x,y,z）,

CE-n=x-2y+2z=0/、

则一_，取z=l可得元=（2,2,1）,

CM-n=-y+2z=0

.1ULU

此时尸=-4+2+2=0,

所以］_L而，又8尸Z面CEM,

所以AF〃平面CW；

答案第7页，共13页

(2)设直线8E与平面CEM所成角为。，BE=(-1-1,2),

,明|—2—2+2|V6

所以sin。=

74+4+1x71+1+4-9

即直线BE与平面CEM所成角的正弦值为国；

9

(3)设面的法向量为比=(〃也。)，=(-1,-1,2),=(-2,0,2),

BE-m=-a-b+2c=0/、

贝！I__,取a=l可得而=(1,1,1),

BM-m=-2a+2c=0

设平面BEM与平面CEM夹角为0,

\n-m\_2+2+1_5下＞

所以COS0=

\n\-\m\73x39

即平面BEM与平面CEM夹角的余弦值—.

9

18.(1)%=2〃-1也=2"

4"+14

(2)«(2«-l)+--y

⑶“2(［广2”1)/ci

【分析】(1)利用等差数列，等比数列的通项公式，求和公式列方程组求解;

(2)利用分组求和，将奇数项和偶数项的和分别求出即可；

(3)利用错位相减法求和.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为等比数列｛a｝的公比为,

答案第8页，共13页

%=%+2d=5〃]—l

S=34+3d=9d=2

则3解得4

a7=%+1,4=2

3

bxq=4%+6dq=2

所以。“=2〃一1也=2"；

为奇数

(2)由(1)得g=

2”,〃为偶数

以=(%+%+…+。21)+(。+"+…+。")

力(1+4〃-3)4-4.24",、4"44

—--------+-------=n(2n-1k----------

21-4'’33

(3)由(1)得㈠)%也=(-1)"•伽一1)2=(2〃一1〉(-2)”,

则=lx(-2)+3x(-2)2+--+(2”-l)x(-2)”,

所以-2Mn=1x(-2)2+3x(-2)3+…+(2〃-3)x(-2)"+(2〃-1)x(-2―

两式相减得

3M“=lx(-2)+2[(-2)~+(-27+­••+(-2)"]-0止1)<卜2广

4-(-2)川

——2+2x-(2»-l)x(-2)"+1

1-(-2)

=„一?(_2广

所以以

19.(1)±-+/=1

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析，定点为(0,-1)

【分析】(1)根据条件，直接求出/=3,〃=1,即可求出结果；

V=勺+1

(2)根据条件，设出直线8W：y=/x+l,直线BN:y=3%x+l,联立/=1’得到

I

1+3奸'1+3后，

答案第9页，共13页

联立2]，得--yy,-~~—7^),通过计算得丽1-双亓=0,即可证明8N_LMV;

[x+y=11+9左；l+9k-

再计算出心=-4,从而得出直线血W的方程＞=-JxT,即可求出结果.

3k13k\

【详解】(1)由题知，,"77=2,y.a2=b2+c2,解得片=3,〃=1,

a3

丫2

所以椭圆的方程为土+/=1.

3

(2)(i)由(1)知5(0,1),设直线=尤%+1,直线=3左x+1,

y=kxx+\

6左1_6k；_1_3k；

X22,

由＜,消y得至I」(1+36+6左］X=0,得至I」XM1+3好'%=-1+3好+1+3月’

——+V=1

I3

所以

v=3kyX+\,r.6k,

由221，消。得到(1+我)%+6KX=0,得到%=

x+y=11+%1+9奸1+%'

grpi(1

所以N刈一帝6kl肝，由.9k1，

,,无3/6左—18左;、36K—12k；

故BN=(------4-,----y),MN={

1+9左：1+9左；(1+9^2)(1+3^2)9(1+9^2)(1+3^2

36k；(一6%)-12k；(一18肝)一2161+216炉

所以丽•茄？=(1+942)(1+342)*1+99；+(1+9后；)(1+342)*1+9肝-(1+9^2)2(1+3^2)=0,

做BN1MN,

1-9好l-3/2

1+9储-1+3奸1

(ii)由⑴知Mv

6kl6kl

-----------——I--------------

1+9好1+3左：

所以直线W的方程为了一霹,整理得至独一上、-1,

所以直线血W过定点，定点为(0,-1).

答案第10页，共13页

20.(l)4x-2y-3=0

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求导，然后求出了'(1),/(1),根据点斜式写出直线方程；

(2)求导，然后分0和a<0讨论求/(x)的单调区间；

(3)根据极值点为导函数的零点，令土=人0</<1,利用韦达定理将。用t表示，代入

%

g(xJ-g(X2)-(£-lna),构造函数求其最值即可.

【详解】(1)当。=1时，/(x)=lnx+-^x2,

得/'(x)=：+x，则/'⑴