广西2024年高考冲刺数学模拟试题含解析

广西省2024年高考冲刺数学模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合人={%|尤>—1},集合3={x|x（x+2）<0},那么A5等于（）

A.{x|x>-2}B.{x|-1<%<0!C.1%|x>-l}D.{x|-l<x<2}

2.如图，在平面四边形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ZBAD^120,AB=AD=1,

若点E为边C。上的动点，则AE.BE的最小值为（）

3.已知。〉；，函数/（x）=sin（20x-在区间（耳2万）内没有最值，给出下列四个结论:

①在（肛2万）上单调递增;

511

②0C

12'24

③“X）在［。,兀］上没有零点；

④/（X）在［0,7T］上只有一个零点.

其中所有正确结论的编号是（）

A.②④B.①③C.②③D.①②④

4.已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则/项系数为（）

A.10B.32C.40D.80

3%1-tan7

5.已知sin。-2cosa=l,aG(TV.——),则-------=()

2、工a

J1+tan—

2

11

A.----B.—2C.-D.2

22

6.已知等差数列{凡}的前"项和为S“，且%=—3,几=24,若%+%.=0且贝h的取

值集合是()

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}

xlnx-2x,x>0

7.已知函数/（x）=23八的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=履-1的图像

XH----X,X0

上，则实数上的取值范围是（）

8.点O在MBC所在的平面内，=|钻|=2,,q=l,AO=2AB+MC（/L,//GR）,且

/、lUUDtl

44-〃=2（〃w0）,则|叶（）

A.-B.且C.7D.J7

32

22

9.若双曲线。：土—与=1的焦距为4石，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

4m2

A.2B.4C.V19D.2M

10.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度

相同），用回归直线与=加+£近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）

y（英语成绩）

•••••

•••••

•••••••••

•・.♦・

,•，（语文成绩）

0|----------------»

A.线性相关关系较强，％的值为1.25

B.线性相关关系较强，分的值为0.83

C.线性相关关系较强，6的值为-0.87

D.线性相关关系太弱，无研究价值

11.直线y=Ax+l与抛物线C：交于A,B两点,直线///AB,且/与C相切，切点为P,记卫钻的面积

为S,则S—|A4的最小值为（）

9273264

A.——B.------C.------D.------

442727

12.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是S3的中点，则AE,所成的角的余弦值为（）

后

A1Bc6D

3333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在四面体ABC。中，43=8=同,4。=5。=取,4。=5。=5,瓦/分别是4。,3。的中点.则下述结

论：

①四面体ABCD的体积为20；

24

②异面直线AC,BD所成角的正弦值为—；

25

③四面体ABC。外接球的表面积为50〃；

④若用一个与直线E尸垂直，且与四面体的每个面都相交的平面&去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多

边形截面面积最大值为6.

其中正确的有.（填写所有正确结论的编号）

14,将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到

黑色障碍物，最后落入A袋或3袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是工，则小球落入

2

A袋中的概率为.

15.将底面直径为4,高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为.

16.设函数/（x）=|lnx+a|+k+W（a力eR）,当xe[l,e]时，记/（X）最大值为,则"（a力）的最小值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为等腰梯形，ADBC,PA=AD=AB^CD=2,BC=4,

Q4_L底面ABC£）.

(1)证明：平面平面上钻；

(2)过Q4的平面交于点E,若平面P4E把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，求二面角A-PE-5的

余弦值.

18.(12分)已知/(%)=ln(x+〃z),g(x)=e*.

(1)当机=2时，证明：/(x)＜g(x)；

(2)设直线/是函数/(%)在点人(1"(/))(0＜升＜1)处的切线，若直线/也与g(x)相切，求正整数加的值.

X2V21

19.(12分)已知椭圆C：与=1(a＞b＞。),与x轴负半轴交于A(—2,0),离心率e=—.

a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/：?=履+机与椭圆。交于N(%,%)两点，连接AM，AN并延长交直线％=4于石(毛,为)，

,、1111

/(乂，/)两点，已知一+—'=一+一'，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

%%%%

20.（12分）如图，在四棱锥尸—A3CD中，侧棱？底面ABCD,AD//BC,ABC^90，AD=1,

PA=AB=BC=2»Af是棱PB中点.

(1)已知点E在棱BC上，且平面AME//平面PC。，试确定点E的位置并说明理由；

(2)设点N是线段CD上的动点，当点N在何处时，直线与平面R钻所成角最大？并求最大角的正弦值.

21.(12分)已知点P(l,|),a=(x—l,y)/=(x+l,y),且|4+|。卜4,满足条件的Q(x,y)点的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在过点(0,-1)的直线/,直线/与曲线C相交于A,3两点，直线PAPB与y轴分别交于两点，使

得|PM|=|PN|?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

22.(10分)记函数/(%)=x+g+|2x-1的最小值为机.

(1)求机的值；

9

(2)若正数"，b,。满足次?c=相，证明：ab+bc+ca>-------.

a+b+c

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求出集合3,然后进行并集的运算即可.

【详解】

VA={x|x>-1},B=(x|-2<x<0},

/.AB={x|x>-2}.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.

2、A

【解析】

分析：由题意可得人钻。为等腰三角形，BCD为等边三角形,把数量积分拆，设。E=rDC(0<r<l),

数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而ABLBCAOLCD,所以5CD为等边三角形，

BD=s/3O设。E=/r>C(0<r<l)

----------23---2

AEBE=^D+DEy{BD+DE)=ADBD+DE\AD+BD)+DE=-+BDDE+DE

33

=3Z2--?+-(0<?<1)

22

所以当f=工时，上式取最小值41,选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用

向量共线转化为函数求最值。

3、A

【解析】

(4、1k5511

先根据函数/(x)=sin20X-丁在区间(肛2万)内没有最值求出左一一张如勺+二或左+士强打—+一.再根据

k3J1222412224

已知求出:<@,］，判断函数的单调性和零点情况得解.

32

【详解】

因为函数/(x)=sin2®x-1在区间(肛2%)内没有最值.

所以2左乃一工领以M■一工<4OTZ"一工2左1+工，2k7i+---<4a>7r--eZ

2,3322'332

k55k11

解得k----领血—+一.

1222412224

又丁=—..2TT,CD>—,所以一<一.

2。332

令人二。.可得所.且/⑺在⑶2m上单调递减

71.7177r

当xe[0㈤时,2。1----£-----,2兀0------,且2加0——e—

33332~L2

所以f(X)在［。,7T］上只有一个零点.

所以正确结论的编号②④

故选：A.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4、D

【解析】

根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得。，最后依据<+i=C：aZ"T,可得

结果.

【详解】

由题可知：5r

Tr+l=C；x'a-

当r=0时，常数项为（=炉

又（*+。丫展开式的二项式系数和为25

由a，=2,=＞。=2

所以25f

当r=2时，7；=C；X223=80X2

所以犬项系数为80

故选：D

【点睛】

本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.

5、B

【解析】

结合sit?。+cos?0=1求得sin。,cos。的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.

【详解】

sini—2cos。=13〃34

由〈.22「以及。£(肛二~),解得sina=-y,cosa=-y.

sina+cosa-\2

.a

sin—

l——或

1aaa.a(cc.ofAaa

I-tan—cos—cos----sin—[cos--sin—Jl-2cos—sin—

_____2;______2=22r

1a.aa.a(a.a\(a.2a.?a

I+tan—sin—cos—+sin—cos----sin—cos——I-sin—cos-----sin一

2l+2_22(22人22)22

a

cos—

2

「3

l+

=-l----s-m---a--=------5=—小2.

cosa_4

-5

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.

6、C

【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足区+%-=。的，的取值集合.

【详解】

设公差为d,由题知为=-3nq+3d=-3,

Sl2=24=12alH1—d=24,

解得％=-9,[=2,

所以数列为-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,,

故於｛123,4,5｝.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.

7、A

【解析】

可将问题转化，求直线y=履-1关于直线y=-1的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临

界点，进一步确定左的取值范围即可

【详解】

可求得直线kx-1关于直线y=-l的对称直线为y=mx-1(m=-k),

当尤〉0时，f(x)=xlnx-2x,/'(%)=lnx-l,当x=e时，/'(x)=0,则当xw(0,e)时，/'(%)<0,/(%)

单减，当xe(e,+8)时，/'(x)>0,单增；

当x<0时，/(x)=x2+|x,/'(%)=2x+|,当％=-j/'(x)=0,当x<—(时，/(x)单减，当一｝x<0时,

/(%)单增；

根据题意画出函数大致图像，如图：

3i

当y=M-l与/"（工卜产+万工（x<0）相切时，得A=O,解得m=—,；

y=xlnx-2x

当y=mx—l与/(x)=xlnx—2x(%>0)相切时，满足<丁=如一1

m=Inx-1

解得X=1M=_1,结合图像可知根《-1,一、，即一左e1-l,-g),/reQ,l

故选：A

【点睛】

本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题

8、D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到2=：,〃=—,再根据BC=AC-计算得到答案.

63

【详解】

由网=网=函可知,点。为AABC外心,

.12__]_2]

则ABAO=5AJ?=2,AC-AO=—AC=—,又AO=XAB+4AC,

2

AO-AB=AAB+piAC-AB=42+^uAC-AB=2,

所以21①

AO-AC=AAB-AC+piAC=A,AB-AC+//=—,

因为42—〃=2,②

54

联立方程①②可得4=：,〃=彳，ABAC=-b因为BC=AC—AB，

63

所以BC?uAC'+AB?—2AC-AB=7，即卜。[=77.

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

9、B

【解析】

根据焦距即可求得参数根，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】

因为双曲线C:土-与=1的焦距为4百，

4m2

故可得4+〃/=倒石），解得m2=16，不妨取加=4；

又焦点歹（2有,0）,其中一条渐近线为y=-2x,

I4V5I

由点到直线的距离公式即可求的d=J~L=4.

V5

故选：B.

【点睛】

本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.

10、B

【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.

【详解】

散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，

故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，

且直线斜率小于1,故选B.

【点睛】

本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.

11、D

【解析】

设出A3坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得区却，再由点到直线的距离公式求得P到的距离,

得到的面积为S,作差后利用导数求最值.

【详解】

/、/、y=kx+i

2

设B[x2,y2)9联立彳2_,Mx-4Ax-4=0

则石+々=44，%+%=左(玉+%)+2=4左2+2

2

则\AB\=yi+y2+p=4k+4

■1

由x?=4y,得y=2—=)/=—x

742

设。(面,先),则^^=左=x§=2k,%=42

则点P到直线3=区+1的距离d=Jp+izi

从而S=JA.Z=2(左2+I).〃2+I

S—|叫=2伏2+°.7F+1-4(F+1)=2d3-4d2

令/(%)=2丁-4d=>/f(x)=6x2-8%(%>1)

当iWxwg时，/'(x)<0；当x>g时，r(x)>0

故/(Hmm=/1]=—H，即S-|加的最小值为《

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用

构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.

12、C

【解析】

试题分析：设AC、6。的交点为。，连接E0,则NAEO为AE,SD所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为。，

AE2+。/—石。2

则AE=-a,EO=-a,OA=­a所以cosNAE。=

2222AEOA

=餐,故C为正确答案.

考点：异面直线所成的角.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①③④.

【解析】

补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计

算截面面积的最值.

【详解】

根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为“,仇c,

c2+b2=41

<c2+a2=34,解得a=3,b=4,c=5

b2+a2=25

补成长，宽，高分别为3,4,5的长方体，在长方体中：

①四面体ABC。的体积为V=3x4x5-4x2x3x4x5=20,故正确

3

②异面直线AC,所成角的正弦值等价于边长为5,3的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为"，故错；

17

③四面体ABC。外接球就是长方体的外接球，半径R=,32+42+5?=叵,其表面积为50开，故正确；

22

④由于EFLa,故截面为平行四边形可得KL+KN=5,

24

设异面直线与AD所成的角为。，则sin0=sinZHFB=smZLKN,算得sin0=—,

25

KJ_i_KNV24

[—2—>石=6・故正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的

处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法.

4

【解析】

记小球落入3袋中的概率PGB）,则P（A）+P（B）=1,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向

右下落，小球将落入3袋，所以有贝"（A）=l-P⑻=：.故本题应填,

15、6兀

【解析】

由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为R底面半径为r,则受4=将侧面积表示成

由2

关于厂的函数，再利用一元二次函数的性质求最值.

【详解】

欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为肌底面半径为r,则42=立，

62

所以h=6_&.

2

=27irh=Inry/3-^-r=也乃［―（r—1了+1］〈百万，

（2JL

当厂=1时，5例的最大值为技■.

故答案为：6兀.

【点睛】

本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时

注意将问题转化为函数的最值问题.

16、-

2

【解析】

易知无）=max41nx+a+龙+可，|lnx+a—无一用，G（x）=|lnx-x+tz-/>|,F^-\lnx+x+a+b\,禾！］用绝

对值不等式的性质即可得解.

【详解】

/（%）=max||lnx+fl+x+Z2|,|lnx+a-x-Zj|1,

设6(%)=|111%—1+〃一4，/(x)=|lni+%+Q+4,

^/z(x)=lnx—x,h(%)=—-1

JC

当工w[1同时，/z'(x)<0,所以/z(x)单调递减

令九(x)=lnx+%,n(%)=—+1

JC

当xe[l,e]时，n(x)>0,所以“(x)单调递增

所以当xe[l,e]时，

G(x)=max!|l+«-Z?|,|l+«-e-Z?|j,

F(x)=max1|l+«+Z?|,|l+«+e+Zj|1,

贝！14-M(a,Z?)>|l+tz—Z?|+11+tz—e—Z?|+|l+4i+^+Z?|+|l+tz+Z?|

则4M(a,Z?)习2+e+2a+|2-e+24>2e,

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、(1)见证明；(2)-

7

【解析】

(1)先证明等腰梯形ABC。中AC然后证明B4LAC,即可得到AC_L平面从而可证明平面PAC

_1_平面PAB；(2)由匕棱锥p-ABE=%棱锥P—ABCO，可得到SAABE=S梯形AECO，列出式子可求出3E，然后建立如图的空

间坐标系，求出平面P4E的法向量为〃],平面ME的法向量为〃2，由cos94，省)=^^可得到答案.

【详解】

(1)证明：在等腰梯形ABC。，ADBC,AD=AB=CD=2,

易得NA6c=60°

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZAfiC=4+16-8=12,

则有AB2+AC2=台。2,故AC,

又PAJ_平面ABCD,ACu平面ABCD,AC,

AC1AB

即，八JoAC,平面上钻，故平面PAC_L平面MB.

AC1.PA

(2)在梯形ABC。中，设BE=a,

■■匕棱锥P-ABE=%棱锥P-ABCD，,■^AABE='梯形AECO，

(CE+AD)xh

—xBAxBEsinZABE而h=M-f=6,

22

且=(4—a+2)x6,..々=3.

即一x2xax

222

以点A为坐标原点，A3所在直线为x轴，AC所在直线为，轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则

/\3、万、

A(0,0,0),尸(0,0,2),3(2,0,0),E-,^-,0,

22J

设平面B4石的法向量为4=(x,%z),AE-,^-,0,AP=(0,0,2),

22J

1,36

n,±AE-x-\------y=0n

由,勺得22

凸1AP

2z=0

取x=l,得y=-^^,z=0»-1且o]

95

9

同理可求得平面PBE的法向量为％=邛，J

设二面角A-PE-B的平面角为6,

II1--x^+0xl

则cosd=cosg心=R=j93=4

Hhl愣[7

4

所以二面角A-PE-B的余弦值为-.

l)

【点睛】

本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能

力及计算能力，属于中档题.

18、(1)证明见解析；(2)m=2.

【解析】

(1)令歹⑺=g(x)—〃x)=e，—ln(x+2),求导尸(x)=e，———,可知尸(九)单调递增，且尸(0)=。

x+22

F'(-l)=j-l<0,因而尸(x)在(—1,0)上存在零点。，尸(九)在此取得最小值，再证最小值大于零即可.

(2)根据题意得到/(%)在点A(xo,/(xo))(O<x0<1)处的切线I的方程V=不匕-三蔡+In(4+根)①，再设

直线/与g(x)相切于点国*)，有人=」一，即玉=-皿%+力)，再求得g(x)在点国小)处的切线直线/的

X。-I-m

方程为广」+则…+'②由①②可得蚂=」+皿/+间，即

x0+mx0+mx0+mx0+mx0+mx0+m

%+1

+m-l)ln(x+m)=x+l,根据毛+根一1>0,转化为ln(x()+M)=

000<x0<1,令

x0+m-\

rI11

/z(x)=ln(x+m)——----(0<x<l),转化为要使得可光)在(0,1)上存在零点，则只需入⑼=ln%------<0,

x+m—1m—1

2

//(1)=ln(m+l)——>0求解.

m

【详解】

(1)证明:设E(x)=g(x)—/(x)=e*—ln(x+2),

则尸⑺="—-—,尸(x)单调递增，且尸⑼=LF'(-l)=i-l<0,

x+22e

因而r(x)在(-1,0)上存在零点。，且尸(x)在(-2,a)上单调递减，在(a,茁)上单调递增,

〃+l)2

a1

从而尸(龙)的最小值为F(a)=e—ln(a+2)=+a=>0-

a+2a+2

所以万(x)>0,即/(x)<g(x).

⑵尸(")=£'故尸(*=*

%X

故切线l的方程为y=-----------+In(X。+rn)①

x0+mx0+m

设直线/与g(x)相切于点国叫，注意到g'(x)=e，,

1

从而切线斜率为-x=------,

x0+m

因此再=-ln(x0+m),

而g(xj=*=-^,从而直线/的方程也为3=—^+"(/+“)+」②

%+mx0+mx0+mx0+m

由①②可知皿/+句+―--=——+ln(x0+m),

光o+mx0+mx0+m

故(l+m-l)ln(Xo+m)=Xo+l,

由根为正整数可知，x0+m-l>0,

x+1

所以.(％+根)=—,0<x0<1,

大()IilLJL

令/z(x)=ln(x+m)--"I小。〈九〈1),

x(x+m)+l

则力1(x)=->o,

(x+m)(x+m-l)

ri

当m=1时，/z(x)=ln(%+1)-----为单调递增函数，且Ml)=ln2—2v。，从而/z(x)在(0,1)上无零点;

x

12

当机>1时，要使得Mx)在(0,1)上存在零点，则只需M0)=lnm-----<0,/z(l)=ln(m+l)——>0,

m—1m

因为4(zn)=lnzn---彳为单调递增函数，4(3)=ln3—；>0,

所以加<3；

2

因为色(加)=ln(m+l)---为单调递增函数，且/z2(l)=ln2—2<0,

m

因此机>1；

因为，〃为整数，且1＜相＜3,

所以m=2.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.

22

、证明见解析；定点坐标为

19(1)—+2L=1(2)(1,0)

43

【解析】

(1)由条件直接算出即可

y=kx-\-m,

-8kmW-12

22得左2)/加2=。玉+%2=

(2)由＜xy(3+4+8^^+4-12，,由月如二月底可

彳=一,374F'%

6y6y21111

得力----,同理％=-,然后由一+—=—+—推出加=一女即可

%+2---------------X2+2------------y1y2%%

【详解】

c1

(1)由题有a=2,e=—=—..\c=l,b2=a2-c2=3-

a2

22

...椭圆方程为上+乙=1.

43

y=kx+m,

22得左2)%2初

(2)由<xy(3+4+81V+4/_12=0

[43

A=64左2m2—4(3+4左2)(4m2—12)>0n»?<4左2+3

—8km2

4m-12•又^AM=kAE

.1一0=j-O=6%

玉+24+2再+2

同理”=且]

x2+2

1111

又——十——=——十——

X%%%

々+弘+%)

...M+%一_%1■+21■2_一%%+%2%：+2(

X%6M6%6%%

，4(%+%)=%%+々％

:.4(向+m+kx2+ni)=xi(kx2+m)+x2(fcr1+m)

，(4左-m)(%1+x2)-2kxix?+8m=0

-8kmn;(W-12)24(左+rri)

，(4左—m)—ZK---------------A+8m=0=>=0

3+4423+4左23+4左2

/.m=-k,此时满足m2<4左2+3

y—kx+m=k{x-V)

，直线MN恒过定点(1,0)

【点睛】

涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.

20、(1)E为BC中点、,理由见解析；(2)当点N在线段。。靠近C的三等分点时，直线与平面R钻所成角最

大，最大角的正弦值且.

7

【解析】

⑴E为中点，可利用中位线与平行四边形性质证明ME//PC,AE//DC,从而证明平面AME//平面PC。；

(2)以A为原点，分别以AO,AB,AP所在直线为X、V、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N在

线段。C靠近C的三等分点时，直线与平面P45所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

【详解】

(1)E为中点，证明如下：

M、E分别为PB,BC中点,

：.ME//PC

又用石.平面下＞。。,尸。＜=平面正℃

/平面PDC

又EC//AD,且EC=AZ)...四边形E40C为平行四边形,

:.AE//DC

同理，AE//平面PDC,又AEcME=E

平面AME//平面PDC

(2)以A为原点，分别以AD,AB,AP所在直线为x、V、z轴建立空间直角坐标系

则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),£>(1,0,0),尸(0,0,2),M(0,1,1)

设直线MN与平面所成角为。，DN=XDC(OW/IW1)则

MN=MA+AD+DN=^+\,2X-\,-1)

取平面PAB的法向量为n=(1,0,0)则

sin0=Icos<MN,n>1=/=.1+---

11

也+1)2+(2._1)2+1V52-22+3

(♦+1)2=/_]<5

2

令A+l=te[l,2],则52-22+3-5/-2「+3-10(1)2_121+5—7

所以sin。〈痘

7

52

当t==*时，等号成立

33

即当点N在线段。。靠近C的三等分点时，直线与平面R45所成角最大，最大角的正弦值《羽.

7

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.

2215

21、(1)----=1(2)存在，y——犬―1或丁二—x—1.

4322

【解析】

⑴由同+,|=4得7(x-l)2+r+而+日+y=4看成Q(x,y)到两定点耳(-1,0),巴(1,0)的和为定值，满足椭圆

定义，用定义可解曲线。的方程.

(2)先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线/的斜率存在时，设直线点斜式方程y=1,由1PMi=|PN|,

可得kPA+kPB=0,再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k的一元二次方程求解.

【详解】

解：⑴设耳(-1,0),鸟(1,0),

由a=(x—l,y)/=(x+l,y),|a|+|Z?|=4,

可得&-If+/+J(*+if+9=4,即为|Q片|+|Q阊=4,

由4＞上勾，可得。的轨迹是以片(T0),£(1,0)为焦点，且2a=4的椭圆，

_______22

由c=l,a=2,可得b==可得曲线C的方程为^+4=1；

(2)假设存在过点(0,-1)的直线I符合题意.

当直线/的斜率不存在，设方程为k0,可得M,N为短轴的两个端点，

1PMi=|PN|不成立；

当直线/的斜率存在时，设方程为y=Ax-l,A(4g-1),5(々,依2-1)

由1PM=|PN|,可得原M+L=0,即即A+%=0，

,5,5

—rzn"1---"2------化为2kxi“一(左+^)(玉+冗2)+5=0,

可得，2=o

%一1%2—1

\y=kx-\

由〈1O可得(3+4^2)%2-8Ax-8=0,

[3x2+4y2=12

由(0,-D在椭圆内，可得直线/与椭圆相交,

8k8