2024年高考数学模拟卷7（新题型地区专用）

2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合M={x|-24x42},N={y\y=2x+1],则MuN=（）

A.[-2,+功B.（1,2]C.[1,2]D.（1,+s）

【答案】A

【解析】由题设N={y|y>l},故MuN={x|-24x42}3W»l}={尤|尤12},故选：A

2.“x<l”是“一-4无+3>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解不等式/一4尤+3>0得x>3或x<l,记4=（一.1）"3,+e）,8=（-8』），

因为/B,所以“x<l”是-4x+3>0”的充分不必要条件.故选：A

22

3.已知椭圆£：—+^=Ua>b>0）的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（）

a2b2,

A.包B・迪n2百

V/•\-）（------

3333

【答案】B

则离心率=行=卜冉

【解析】由题意，2a=66,所以生e+

a

故选：B.

4.已知向量次=（6』）,/=倒62）,则花在/C上的投影向量是（）

（他1][百1]

A.—B.-「____TA_______

【答案】A

【解析】刀在就上的投影向量为

，故选A

5.已知等差数列｛。“｝的前"项和为S,，'=1,$8=4,贝）|47+%8+%9+。20=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】在等差数列｛%｝中，邑=1，$8=4,所以$4=1,国-$4=3,

故S,E-$4,几-$s-几£构成公差为2的等差数列,

所以邑0-、6=1+(5-1)x2=9,即%+%8+%9+。20=9,故选C

6.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政

部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教

育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（）

8

A.-B.-C.-D.—

99327

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34=81种；每个地区至

少安排1名专家的安排方法有：C：A：=36种；

364

由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：—

o19

故选：B.

7.我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一

个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为夕，大正方形的面积为H，小正方形的

面积为Sz，若1t=25,则:sma+cosa的值为（）

〜2sma-cosa

a

57

A.-B.-

22

【答案】c

【解析】设大正方形的边长为a,则直角三角形的直角边分别为asin/acosa,

7T

因为0是直角三角形较小的锐角,所以

222

可得H=a,S2=d-4x；/sinacosa=a-2asinacosa,

a21

则A=25,

=22

S2a-2asincrcoscrl—2sinacosa

即sida+cos2a_所以ta/a+l3、4

=25,解得tana=1或tana=]（舍去）,

l—2sinacosa1-2tana

3rx_3_|~1]

3sina+cosa_3tana+l_413

所以故选C.

2sina-cosa2tana-12x--1

4~

8.已知双曲线C：W/=1（“>0/>0）的左焦点为耳，离心率为e,直线了=阳左H0）分别与C的左、右两支

ab

交于点Af,N.若小鸣?/的面积为,ZMFXN=60°,则©2+3〃的最小值为（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【解析】连接班,班，有对称性可知：四边形孙尊为平行四边形，故区叫=|孙|,|咐|二|"国，

4明=120。，2△即N

由面积公式得：/7白卜|叫忖11120。=6,解得：|八胤・区7剧=4,

由双曲线定义可知：|片MT甲V|=2%

222

FXN+F2N-4C_（£N-舄NY+2片N£N-4c2

在三角形居中，由余弦定理得：cos120°=

2F{N-F2N2F[N,F?N

2F】N♦F?N-4/」，解得：阳码内可=手

2F、N♦F?N

4b2

所以---=4，解得：b?=3,

3

3

故e?+3a2=1+—+36Z2>1+2二7，

a

a

当且仅当弓=3。2,即/=1时，等号成立.

a

故选：D

二'多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设z为复数，则下列命题中正确的是()

A.|z|2=zz

B.若2=(1-2评，则复平面内［对应的点位于第二象限

C.z2=|z|2

D.若忖=1,则|z+i|的最大值为2

【答案】ABD

【解析】对于A,设2=。+历，故彳=。-历，贝!||二『=。2+/，zz=(a+bi)(a-bi)=a1+b2,故，=z5■成立,

故A正确，

对于B,z=(l-2i)2=-4i-3,z=4i-3,显然复平面内I对应的点位于第二象限，故B正确，

222

对于C,易知=/+〃，z=a+b+2abi,当必wO时，z2Mlz故C错误，

对于D,若忖=1,则小+4=1,而＞+h/2+3+如=0拜易得当6=1时，|z+i|最大，此时|2+i|=2,

故D正确.

故选：ABD

10.将函数夕=3112。必。＞0)向左平移2个单位，得到函数/(X),下列关于/(X)的说法正确的是()

6

A./⑴关于卜寸称

57r

B.当。=1时，/(x)关于尤=-二对称

C.当。<0W1时，/(x)在［o*］上单调递增

兀］「

D.若/*)在TT5-上有三个零点，则0的取值范围为13，4

_66」|_2_

【答案】ABC

【解析】/(x)=sin2dx+胃(°>0),当x=q时，得2dx+：|=0,/(x)=0,故选项A正确;

当。=1时，/(-fj)=sin+^|=-1,T是函数的最小值，所以〃x)关于x=-1j对称，故选项B

12|_^12oyJ12

正确；

当0<oWl时，0<x<工，得0<?<24工+/<?M，所以/(x)在卜冬上单调递增，故选项C正确;

12316/22k

由」W型，得0V2°(X+4V2S,由于〃x)在1-2,当上有三个零点，所以2兀V20k<3兀，所以

66<671_66_

3

1<«<1,故选项D错误.

故选：ABC.

11.已知函数/(x)满足：①对任意x,yeR,/(x+y)+/(x)+/(y)=/(x}/e)+2；②若工二九则

/(x)#/(y).则()

A.〃())的值为2B./(x)+/(-x)>4

C.若/⑴=3,则"3)=9D.若"4)=10,则/'(-2)=4

【答案】ABC

【解析】对于A,令x=y=O,得3〃0)=[/(0)/+2,解得/(0)=1或/(0)=2,

若/(0)=1，令"0,得2〃x)+l=〃x)+2,即〃x)三1,

但这与②若则/(x)片/(刃矛盾,

所以只能/'(0)=2,故A正确；

+/%

对于B,令y=一X,结合八0)=2得，/(x)+/(-x)=/(x)-/(-x)<R^^^，

解得/(X)+/(T"4或〃x)+/(-x)W0,

又/(0)=2,所以2〃0)=4>0,

所以只能/(X)+/(T)N4,故B正确;

对于C,若〃1)=3,令夕=1得，/(x+l)+/(x)+3=3/(x)+2,

所以/(x+l)=2〃x)-1,所以/⑵=2〃1)-1=6-1=5,

所以"3)=2/⑵-1=10-1=9,故C正确；

对于D,取/卜)=(百)'+1,

则/⑴.小)+2=[(可+1]](可+1]+2=(G厂+(可+(可+3

满足/（4）=10,但〃-2）=不4故D错误.

故选：ABC.

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

（2\5

12.+的展开式中的常数项为.

\7

【答案】40

（_2\5（2V5

【解析】依题意，2x+xJ的展开式的通项为&|=C；.（2x）5r］『3=c>缓一-x丁，

令5-$=0可得厂=3.故常数项为C>22=40.

13.已知正四棱台/5CD-44的上、下底面边长分别为4、6,高为夜，则正四棱台

的体积为，外接球的半径为.

［答案］辿1V26

3

【解析】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：H=4?=16,^=62=36,

所以正四棱台/BCD-/4GA的体积为『=/啊+邑卜后=粤2；

连接NC,BD交于点、。〉连接/£,42交于点。-如图所示：

o

当外接球的球心。在线段。。2延长线上，

设。。=〃，外接球半径为我，则。2。2=(6-亚J,

因为002=夜，上、下底面边长分别为4、6,

则2Q=42=2收DO°=；BD=3e,

所以上=RO；+川=DO；+(/z-V2)2nh=3^2,R=726

当外接球的球心O在线段外。延长线上，显然不合题意;

当球心O在线段。02之间时，贝1]。2。2=(行-同上可得，h=3亚,不符舍去.

14.定义：max{x,y}为实数x,y中较大的数.若a,6,c>0,则11^*[,+6,1+无，9+<4的最小值为

IacabI

【答案】2

【解析】设"=11^<[，+瓦」+蛇£+),

[acabJ

则由题意可得M>'+b>O,M2L+6c>o,M>4c>0,

acab

因为所以

\ac)a

①当c21时，—+bc>—+b>0,

aac

只需考虑+c,

ab

所以M^L+bcNL+b22AB,Af>-+c>-+l>2J-,

aa\abb\b

所以M222gx2上=4,可得"22,当且仅当。=b=c=l时取等号;

②当0<c<l时，0<—\-bc<卜b,只需考虑Af2bb,M>—\-c,

aacacb

a

所以—+Z?Y—+c\=a+—xbc=4,

acbabe

可得"22,当且仅当”=l,bc=l时取等号.

综上所述，M的最小值为2.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明'证明过程及验算步骤。

15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=alnx-x.

⑴当。=1时，求函数/(X)的单调区间；

(2)当。>0时，求函数/(x)的最大值.

【解】⑴/(x)的定义域为(0,+劝,

11_r

当〃=］时，/(x)=lnx-x,/，(％)=——1=-----,

xx

1—y

当/'(%)=--->0，解得：O<X<1,

当/'(》)=二^<0,解得：X>1.

・•・/(X)在(0,1)上为增函数；/(X)在(1,+8)上为减函数;

(2)/(x)的定义域为(0,+8),

当a>0时，令/'(尤)>0,得0<尤<a,令/'(x)<0时，得x>a,

f(x)的递增区间为(0,。)，递减区间为(。,+8).

f(x)1mx=alna-a=a(Ina-1).

16.(本小题满分15分)如图，在五面体48CD跖中，底面48co为平行四边形，斯〃平面/2-C。，^EAB

为等边三角形，BC=CE=2AB=2EF,ZABC=60°.

⑴求证：平面E/8_L平面48cD；

(2)求平面ECD与平面FCD夹角的余弦值.

【解】(1)不妨设/3=1,则BC=CE=2,

在平行四边形48CD中，:BC=2,AB=1,ZABC=60°,连接ZC,

由余弦定理得AC?=F+22-2xlxlxcos60°=3,即/C=百,

AC2+AB2=BC2,AC1AB.

X---AC2+AE2=CE2,:.AC1AE,ABC\AE=A,

NC_L平面E/B,又ZCu平面48cZ).

A

由(1)易知EG_L平面/BCD,且EG=里.

2

如图，以A为原点，分别以射线/8,/C所在直线为xj轴，竖直向上为z轴，建立空间直角坐标系4-xyz,

则Eg,o,f,F0口？,c(o,Ao),D(-I,AO),A(-2,2AO),G(T，2仆,仆)，

\7\7

CD=(-1,0,0),FC=0，5，-孚，小■，员g，

\7\7

/、位•丽=0

设平面尸CD的法向量为〃=(%//),则｛—,,

元・FC=O

-x=0

得百G，令＞=i，得力=(o,i,i),

——y------z=0

12，2

/、\m-CD=Q

设平面ECD的法向量为机=(再,必,zj,贝,

mEC=0

一再=0

得1厂6，令％=1，得比=(0」,2),

―/再+13必一了马二0

一一m-n33A/10

cosm,n==厂「=，

\m\­\n\72x7510

所以平面EC。与平面FCD夹角的余弦值观.

10

17.(本小题满分15分)已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴,从收获的果实中随机抽取了50个软籽

石榴，按质量(单位：g)将它们分成5组：[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),[440,460]得

到如下频率分布直方图.

(1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)内的石榴中抽取7个石榴

进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.

(i)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；

(ii)记这3个石榴中质量在区间[420,440)内的个数为X,求X的分布列与数学期望.

【解】(1)该品种石榴的平均质量为"=20x[370x0Q05+(390+410+45qx0.010+430x0.015=416,

所以该品种石榴的平均质量为416g.

(2)由题可知，这7个石榴中，质量在[380,400),[400,420),[420,440)上的频率比为

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取质量在[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴个数分别为2,2,3.

(i)记/="抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，2=“这3个石榴恰好来自不同区间”，

则尸⑷史，尸(")=华2=乜，

'JC：35'1c：35

12

所以尸(叫/)=错=/6

17

35

即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为'.

(ii)由题意X的所有可能取值为0,1,2,3,

c34r2rl18

贝”(x=o)=^=正，尸(X=1)=-^

35

d17031

p(y=2)=-^=—,尸(X=3)=V

I，C；35'，C；35

18.(本小题满分17分)已知抛物线：/=2x,直线/：y=x-4,且点瓦。在抛物线上.

(1)若点4c在直线/上，且48,C,。四点构成菱形/8C。，求直线3D的方程；

(2)若点A为抛物线和直线/的交点(位于无轴下方)，点C在直线/上，且43,C,。四点构成矩形/BCD,

求直线8。的斜率.

【解】⑴由题意知/C/BD,设直线8£>:x=-y+zM.

联立0=2x22

2m

贝UyB+VD=-^yByD=-，xB+xD=-(yB+yD)+2m=2m+2,

则BD的中点(加+1,-1)在直线y=x-4±,

代入可解得加=2,/+2〉一4=(),△=20>0,满足直线与抛物线有两个交点,

(2)当直线/用/。的斜率为0或不存在时，均不满足题意.

y=x-4得[x=或2kfx=8

由(舍去)，故4(2,-2).

方法一：当直线么民4。的斜率存在且不为0时，设直线N3：尤-2=［了+2).

x—2=/fy+2）.

联立2得〉-2（y-4/-4=0,所以为+为=2，.

y=2x

所以可2/+今+22+2）.同理得。（（一4、2cl

-+2,——+2.

ttJ

由8。的中点在直线＞=x-4上,

得g（2»+4/+2+12■--+2j-4=-1[2t+2-2+2],

2

1

BPt2+—+|t—4=0.

令/_；=p,则p2+p_2=0,

解得p=-2或p=1.

2t+2-\--+2

1

当P=1时，直线AD的斜率原。

2t2+4t+2-\^--+2J+23

当。=-2时，直线AD的斜率不存在.

所以直线8。的斜率为;.

方法二:设5（西,.）,。（%2，%），线段AD的中点4）,

Q

则$=24,必+y2=2（-4）.

y.+2y+22+2

由皿皿得岸.丁?71，即与一2

色-2

2

所以必力-2（%+%）+8=0.

2

故乂歹2—2（%+%）+8=。可转化为2a—ISa+32—4（。—4）+8=0,

即/一]I。+28=0.解得。=7或Q=4.

k二%一%一%一切二2二I

BD

所以直线的斜率x2-%jyly：y2+yxa-4.

T-T

当。=4时，斜率不存在；当。=7时，斜率%

所以直线8。的斜率为;.

19.（本小题满分17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用.设A,B,C,。是

直线/上互异且非无穷远的四点，则称七•一（分式中各项均为有向线段长度，例如=为A,B,

BCAD

C,。四点的交比，记为（4