江苏省镇江市2023年中考数学试题（附解析）

江苏省镇江市2023年中考数学试卷

一、填空题(本大题共12小题，每小题2分，共24分)

1.-100的相反数是.

【解析】【解答】解：-100的相反数是100.

故答案为：100.

2.使分式'有意义的x的取值范围是_______.

x-5

【解析】【解答】解：..•分式有意义，

二x-59，

解得:x声5,

故答案为：x龙.

3.因式分解：x2+2x=

【解析】【解答】解：原式=x(x+2),

故答案为：x(x+2).

4.如图，一条公路经两次转弯后，方向未变.第一次的拐角.法(.是1*丁，第二次的拐角/伙。

是________

：.CD〃AB,

.•.NABC=NBCD=140。(两直线平行，内错角相等).

故答案为：140.

5.一组数据2，、，4,3，3的平均数是3,则X的值是

【解析】【解答】解：•.•一组数据2,X,4,3,3的平均数是3,

-(2+x+4+3+3)=3,解得x=3.

故答案为：3.

6.若KI是关于x的一元二次方程6。的一个根，则m的值为.

【解析】【解答】解：把x=l代入方程x2+〃?x-6=0得：1+加-6=0,

解得：加=5.

故答案为：5.

x=1代入原方程得到1+切-6=0,然后解方程即可求m的值.

7.若点/（2，\"、8（3.「）都在反比例函数i1的图象上，则1「（填或

X

【解析】【解答】•••反比例函数11的k=5>0,

X

在同一象限内，y随x的增大而减小，

•.,点「（2.1J、出工都在反比例函数」'的图象上，且2<3,都在第一象限，

X

vt>V.,

故答案为：>.

>和「的值，再比较大小即可。

8.如图，用一个卡钳I。/”=1测量某个零件的内孔直径$A，量得（7）的长为6cm，

\（JA3）

则Hi的长为cm.

CDOC

CD=6cm,

/.AB=6><3=18（cm）,

故答案为：18.

△CODMAOB,然后利用相似三角形的性质，就可以求得AB的长.

9.二次函数i2v:■9的最大值为_________.

【解析】【解答】解：二次函数y=-2x2+9的a=-2V0,开口向下，

・•.二次函数y=-2x2+9有最大值为9.

故答案为：9.

2+9有最大值为9即可解答.

10.如图，扇形（川8的半径为1,分别以点A、B为圆心，大于118的长为半径画弧，两弧相交于点P,

HOI'V，则」"的长/-（结果保留兀）.

【解析】【解答】解：由题知：OP垂直平分AB,

VOA=OB,

NAOB=2NBOP=2x35°=70°,

•••扇形的半径是1,

故答案为：一71.

IK

OA=OB,然后由等腰三角形的性质可求出NZ08的度数，最后代入弧长公式即可解答.

11.《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三

角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步.问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出

的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长.用直角二角形二条边的长相

加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直

径.根据以上方法，求得该直径等于步.（注：“步”为长度单位）

勾8

【解析】【解答】解：根据勾股定理得：斜边长为J解+15,=17,

8+U7

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径广、3（步），即直径为6步,

故答案为：6.

可求出直角三角形内切圆的半径，即可求直径的长.

12.已知一次函数J—h,2的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点0为圆心、r为半径作若

对于符合条件的任意实数k,一次函数J一心•2的图像与oo总有两个公共点，则r的最小值

为.

【解析】【解答】解：在了=履+2中，令x=0,则了=2,

...一次函数y=kx+2的图象与y轴交于（0,2）,

.•.一次函数过定点（0,2）,

当。。过（0,2）时，两者至少有一个交点，

•.•一次函数经过一、二、四象限，.••直线与圆必有两个交点，而当。。半径小于2时，圆与直线存在

相离可能，

二半径至少为2,

故r的最小值为2,

故答案为：2.

y=kx+2中，令x=0,则y=2,于是得到一次函数y=kx+2的图象与y轴交于（0,2）,求得一次函数过

定点（0,2）,当。O过（0,2）时，两者至少有一个交点，根据一次函数经过一、二、四象限，得到直

线与圆必有两个交点，而当。。半径小于2时，圆与直线存在相离可能，于是得到结论.

二'选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一

项是符合题目要求的）

13.圆锥的侧面展开图是（）

A.三角形B.菱形C.扇形D.五边形

【解析】【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形.

故答案为：C

14.下列运算中，结果正确的是（）

A.2m+m=3ni4B.

C./„*t-nt'D.（〃『）'=〃『

【解析】【解答】解：2m2+m2=3m2,则A不正确，不符合题意；

m2«m4=m6,则B不正确，不符合题意；

m4+m2=m2,则C正确，符合题意；

（m2）4=m8,则D不正确，不符合题意；

故答案为：C.

15.据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元.数据10870用科学记数法

表示为（）

A.1.087x104B.IO,87x|O4C.|Q.87x|O'D.1.087x1a5

【解析】【解答】解:10870=1.087x104,

故答案为：4

"10〃的形式，其中1W同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，n

的绝对值与小数点移动的位数相同.

16.如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上.任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出

现2张正面朝上的概率是（）.

同■■

正面反面反面

2I

A.1B.二C.D.,

339

【解析】【解答】解：.••任意将其中1张卡片正反面对调一次,有3种对调方式，其中只有对调反面朝上

的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，

...尸二，

3

故答案为：B.

17.小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程3（单位：内）与时间，（单位：nun）

之间的函数关系.已知小明购物用时“w,从商场返回家的速度是从家去商场速度的1.2倍，贝ijt的值

为（）

A.46B.48C.50D.52

【解析】【解答】解:设小明家距离商场为s加，

•小明购物用时3Qmin,

.••小明从家到商场所用时间为42-30=12

二小明从家到商场的速度为'

12

•••小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，

S

•••小明返回所用时间为10

I.2X——

12

Aa=42+10=52,

故答案为：D.

sm,先根据题意求出小明去商场的所用时间，从而表示出小明去商场时的速度，然后根据返回速度是去商

场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间，最后a的值为40+12=52即可解答.

18.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出丁个球放入乙袋，再

从乙袋中取出仁—2）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出丁个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同,

则2的值等于（）

丙袋

A.128B.64C.32D.16

【解析】【解答】解：依题意有，5-2y+2计2，=29+2了-2=29+2*-2,-2》,

即5+2x=29+2y-2x=29-2y,

24

解得:

；.2x+y=2xx2y=16x8=128,

故答案为：A.

三只袋中球的个数相同可列出方程，然后解方程分别求出2x和2片最后根据同底数幕乘法的逆运算即可

求出2x+y的值.

三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.

（1）计算：*用＜•3；

化简：1二］.

\a）a

【解析】（1）先根据算术平方根，零指数暮，特殊角的三角函数值求出对应的值然后进行计算即可；

（2）先计算括号里的分式的加减，然后计算分式的乘除，即可解答.

20.

（1）解方程：二二二一；♦I;

x+3jr43

（2）解不等式组：EL“

【解析】（、•31得到整式方程，然后再移项合并同类项，解出x的值，最后对所求的根进行检验即可；

（2）先分别求出每一个不等式的解集，再求不等式组的解集即可解答.

21.如图，B是AC的中点，点D,E在刖同侧，“_/〃），BECD

（1）求证：64RE名ABCD-

（2）连接/）£,求证：四边形是平行四边形.

【解析】AB=BC,然后根据全等三角形的判定定理SSS即可证明所求的结论;

（2）根据全等三角形的性质得到N45E=N3CD,然后根据平行线的判定定理得到人?〃C。，再根据平行

四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可解答.

22.一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同.将球搅匀，从中任意摸出1

个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求2次都摸

到红球的概率.

【解析】

23.香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表.

风味偏甜适中偏酸

含量/(wV100，”/)71.289.8110.9

某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1-5月份售出的

香醋数量绘制成如下条形统计图.

1.5月份彷出的不同包装的各风味香置敛墙的条形铳计图

已知I5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占40%.

（1）求出a,b的值.

（2）售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为mg100ml,中位数为

mgHiOniL.

（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）

【解析】【解答】解：（2）由条形统计图可知：售出的玻璃瓶装香醋的总数为：20+38+42=100（瓶）.

其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，

•.•售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，

，售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为110.9mg/100mL,中位数为89.8mg/100mL.

故答案为：110.9,89.8.

（2）分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多的含量即为众数，数量居中的那种风味对

应的含量即为中位数；

(3)根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一.

如图，正比例函数与反比例函数八的图象交于，)两点，点在

24.i-3Xi5A,."C轴负

X

(2)点P在x轴上，若以B,0,P为顶点的三角形与A.""'相似，求点P的坐标.

【解析】【解答】解：(1)当x=l时，y=-3x=-3=加，即点8(1,-3),

将点8的坐标代入反比例函数的表达式得：k=-3x1=-3,

即反比例函数的表达式为：y--,，

x

根据正比例函数的对称性，点/(-1,3),

由点0、A的坐标得，OAv10,过点工作轴于点”，

而N/CO=45°,

设AH=3x=CH,则0H=x,则AO、|，ix、,而，则x=l,

则AH=CH=3,OH=1,

则CO=CH+OH=4,

则点C的坐标为：(-4,0),

故答案为：-3,-3,(-4,0)；

ZOC中，tanNA0H=3,ZACO=45°,AO、而，用解直角三角形的方法求出CO,即可求解;

（2）首先由点P在x轴上可分两种情况讨论，分析得出点P在x轴的负半轴上时八BOP与A."火'不可能

相似，然后由点P在x的正半轴时，因为乙,所以存在两种可能使得与▲IOC相似,

即△AOCs^BOP和△AOCS^POB,最后再列比例式即可求解.

25.如图，将矩形」/?（，（"）…用沿对角线8/）翻折，「的对应点为点C'，以矩形/BCD的顶点/为

圆心、广为半径画圆，0.4与8（“相切于点£,延长£M交0/于点尸,连接£广交/B于点

（1）求证：BEBG.

（2）当，=|,时，求8（'的长.

【解析】与8c•相切于点E,可得乙1£。=90。，由四边形,48CD是矩形可得4MD・/8"・90°，

然后由余角的性质得到N/G尸=N3EG,再由对顶角的性质得出,1（,F,从而可得N3EG=

ZBGE,即可证明5E=3G；

（2）由锐角三角函数的正弦定义看求出N/3E的度数是30。，由折叠的性质得到NC3D=30。，由直角三

角形的性质求出BC、iCD=2、门.

26.小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，

将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.

如图1是俯视图，。4.（用分别表示门框和门所在位置，M,N分别是04,（加上的定点，

O\f2\rn.OXI6un.\H.V”的长度固定，/1〃,、的大小可变.

(1)图2是门完全打开时的俯视图,此时,041OB，.\fF\1X0,求.I八/?的度数.

(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻,点F的位置如图3所示,请在图3中作出此时门的位置(力？.

(用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(3)在门开合的过程中，(八、/的最大值为.(参考数据：

=(1.6(),cos37«0X0,tan371«0.75)

【解析】【解答］解：(1)如图2,,.•()/点〃、N分别是04、03上的定点,

NMON=90。,

'：/MFN=180。,

:.M、F、N三点在同一条直线上，

OM=21cm,ON=36cm,

OM27

・・・tan/QW=0.75,

ON36

：./ONM=37。,

：.NMNB=180。-37°=143°,

・・・/MNB的度数为143°.

(2)如图3,作法：1.以点。为圆心，以ON为半径作弧，

2.以点尸为圆心，以FN为半径作弧，交前弧于点N、点

3.作射线08、射线09,

射线OB或射线就是此时门的位置.

(3)如图4,作于点。，则NODN=90。,

图4

：.sinZONM=,

ON36

当OD最大时，sinZONM的值最大，

"：OM>OD,

OD<21cm,

...OD的最大值为27c切，

27

当OD取得最大值27c加时，sinNOJW-0.75,

36

在门开合的过程中，sin/OW的最大值是0.75,

故答案为：0.75.

(1)由。点〃、N分别是04、上的定点，得NM0N=90。,根据tanNONM0.75,

OS

可得出NCWM=37。，从而可求得NM7vB=180。-37。=143。即可解答；

(2)以点。为圆心，以ON为半径作弧，再以点尸为圆心，以bN为半径作弧，交前弧于点N、点厅,

作射线08、射线。夕，即得到门所在的位置；

(3)作于点。，则NODN=90。，所以sinNOW‘少一”，由。蛇。。，得OD027cm,

()\36——

27

当8取得最大值27c切时，sinNCWM-0.75,于是得到sinNCWM的最大值.

36

27.已知，在平面直角坐标系《八中，点A的坐标为(3.0),点B的坐标为(利，7),点C与点B关于原

点对称，直线」R4C分别与y轴交于点E,F,点F在点E的上方，//-：.

竺

B*

1111111t11，AI111.

OA

(1)分别求点E,F的纵坐标(用含m,n的代数式表示)，并写出m的取值范围.

(2)求点B的横坐标m,纵坐标n之间的数量关系.(用含m的代数式表示n)

(3)将线段£尸绕点(0・1)顺时针旋转90。，E,F的对应点分别是/“，/'.当线段/7"与点B所在

的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围.

【解析】48与y轴交于E,得到*3,然后由点C与点3关于原点对称，可求得点C坐玩为(-〃z,-加),

得到小丹3,设直线4s对应的一次函数解析式为y=Ax+6,将Z(3,0),B(tn,〃)代入y=Ax+6得解方

程即可求出点E和F的坐标，再根据点F在点E的上方可列出关于m的不等式求解即可解答；

(2)根据EF=2可得到关于m的方程，解方程即可解答；

(3)根据〃与机的关系式为n2-1,得到|B(加，n)在函数y-：x2-1(x#±3)的图象上，由旋转

得，yE'=\,当F在点3所在的函数图象上时，解方程得到xF-3<2，然后根据线段E歹与点3