2024高考一模模拟训练数学试卷（解析版）

备战2024高考一模模拟训练卷(1)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合A={x\y=Jx-2},B-{y\y--x2+4},则/c3=()

A.0B.RC.[0,4]D.[2,4]

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查集合的交集运算，函数的定义域、值域，属于基础题.

【解答】

解：；x22,集合A=[2,+oo),

又集合8=(-巩4],故NcB=[2,4].

故答案选：D

2.设万，B为非零向量，且满足|万+3|=①一3|,则展3=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用向量的模求向量的数量积，属基础题.

根据[2+31=|5-|得忸+讦=|@-时,展开求解即可.

【解答】

解：因为।a+B国万一31,所以耳

即IN/+2a-b+\b^=\af-la-b+\b^,所以济3=0

故选8.

7

3.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2,1),贝『六|=()

2-1

A.2B.3C.V2D.1

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的几何意义及复数的模，属于基础题

【解答】

解：...复数z对应的点的坐标是(2,1),二"二？十，，贝/

4.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接,

需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点

第1页，共20页

中离地面最远的点)距地面E，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面邑，地球的半径为七则该椭

圆的短轴长为()

A.B.

C.&Si+R)(Sz+R)D.210+R)(S2+R)

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查椭圆的性质，属于基础题.

由题意得。+c=S]+R,a—c=S2+R,计算即可得解.

【解答】

222

解；由题意得a+c=S]+R,a-c=S2+R,b=a-c=(Sx+R\S2+R),

b=M+RX^+R)，26=2抑]+1)(邑+区).

5.已知sin(a-e]=cos]?+ej,则cos26=()

1

A.1B.-1C.-D.0

2

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查三角函数的恒等变换，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式，属于基础题.

7T

根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，可得tan6=-1,即可得到。=-7+左匹左£Z,再根据诱导

4

公式即可求出cos20.

【解答】

解：Hsinf--cosfT+所以Lcose-X^sine=LsinO,

16J16J2222

所以1——sin^=――-cos0,所以tan8=—1,

22

■JT

所以。=——十左肛左eZ,

4

所以cos20=cos2x(-/+fcr]=cos]-,+2fcrJ=cos]-=0,"eZ

故选：D.

6.已知随机变量X服从正态分布N(〃Q2),有下列四个命题：

甲：尸(X〉掰+1)〉尸(X(加一2)；乙：尸(X〉加)=0.5；

第2页，共20页

丙：P(X^m)=0.5；丁：P(m-1<X<m)<P(m+1<X<m+2).

如果只有一个假命题，则该命题为

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查正态分布的概率，属于基础题.

【解答】

解：乙、丙一定都正确，则〃=加，P(X〉m+l)=P(X<m-l)〉P(X<m-2),

甲正确，，丁错，选D.

7.函数/(x)的定义域为R,且f(2x+1)为偶函数，/(x)=f(x+1)-/(x+2),若/(I)=2,则/(18)=()

A.IB.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性，对称性，属于中档题.

【解答】

解：/(2x+l)为偶函数，则/(x)关于x=l对称，取/(x)=2sin(工x+工)关于x=l对称，

36

TTTTTTTL

/(X)+/(X+2)=2sin(―x+-)+2sin-(x+2)+-

36|_36

=2sin(—%+—)+sin(—x+—

L3636J

c「.乃7171.71.715%71.51.1

=2sin—xcos——I-cos—xsin——I-sin—xcos--1-cos—xsin—TI=2cos—TTX.

_36363636J3

/(x+l)=2si呜x+g=2cos*—(x)+/(x+2),

即/(x)=2sin(-7VX+工)满足条件，/(18)=2sin(6^+-)=l.

366

8.已知/(x)=xlnx,若过一点(加汨)可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是()

2

A.n<mInmB.n>m\nmC.--e<〃<0D.m<1

e

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于较难题.

第3页，共20页

设切点为(f/lnf),求得切线方程为y=+,可得出/-“zlnf+〃一〃？=0,令=+

分用(0、加>0两种情况讨论，利用导数分析函数g(。的单调性，根据方程g«)=0有两根可得出结果.

【解答】

解：设切点为(fJlnf),对函数/(%)求导得/'(x)=lnx+l,则切线斜率为r«)=lnf+l,

所以，切线方程为V-/ln/=(lnf+l)(x-。，即y=(lnt+l)x-f,

所以，〃=+1),可得/=0,

g(t)=t-mint+n-m,其中/>0,

由题意可知，方程g(/)=o有两个不等的实根.

①当加wo时，对任意的/>o,g'Q)>o,此时函数g(。在(o,+8)上单调递增，

则方程g(/)=o至多只有一个根，不合乎题意；

②当m>0时，当0<f<加时，g'⑺<0,此时函数g«)单调递减，

当，>冽时，g'(f)>0,此时函数g«)单调递增.

由题意可得g")*=^(/M)=m-mlnm+n-m=n-mlnm<Q,可得〃<加山〃?.

故选：A.

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.在棱长为2的正方体ABCD-中，4c与BD交于点。，贝U

A.ADJI平面BOQB.BD±平面COG

2

C.G。与平面/BCD所成的角为45°D.三棱锥c-的体积为］

【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查空间直线与平面的平行与垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面所成的角，属于中档题.

逐项判断，可得结果.

【解答】

第4页，共20页

解：AD/BC「AD]，平面50G,8Gu平面BOQ,ZD]〃平面BOQ,/对.

BDICO,BD±CCX,CDcCG=C，二台。，平面COG，台对・

2

C]C_L平面48CD,G。与平面48cz）所成角为NC]OC,tanZCOC=

1正w1,

.-.zqoc^45°,。错.

112

V-V=—x—x2xlx2=—,。对.选/BQ.

cLBOC-c—ZBJOC/C323

10.已知函数/（》）=/53（4¥+。）（其中幺>0,<y>o,I〈万）的部分图象如图所示，则下列结论正确

的是（）

TT

B.函数〃x）的图象关于点（-诊,0）对称

C.函数“X）在区间［-工，工］上单调递减

36

D.若/（----（/）=—>则sin"a-cos4a的值为—

655

【答案】BD

【解析】【分析】

第5页，共20页

本题考查由部分图象求函数解析式，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，

属于中档题.

首先利用函数的图象，求出函数的关系式，进一步利用函数的关系式求解.

【解答】

T27r57r7C

解：由函数的图象，得知：4=2,—=------------=—，

43124

2%

所以T=故。=—=2,

T

57r

2x+(p=k兀"GZ),

5%

解得。=上万——(A-eZ),

6

jrSTT

由于|夕|<»,所以0=—或----，

66

.5兀_.,2〃,人r、

当r0=x=2sin(2x--------)=2(舍去)

6336

故/(x)=2sin(2x+生)，故/错误；

6

rrTT

当彳=一一时，/(——)=0,故8正确；

1212

当xe[-工，工]时，2x+-e[--,-],/(x)为增函数，故C错误；

36622

什兀、6c•/万c兀、6

对于D：右f(-----a)=一，2sin(2aH—)=—,

65365

63

整理得：2cos2a=-，所以cos2a=—.

55

3

sin4a-cos4a={sin1a+cos2a)(sin2a-cos1a)=-cos2a=--,故Z)正确.

故选：BD.

11.甲罐中有5个红球，2个白球，乙罐中有4个红球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别

以4,4表示从甲罐取出的球是红球、白球，再从乙罐中随机取出一球，以5表示从乙罐取出的球是红球.

则下列结论中正确的是()

733

A.尸⑷4)=6B.p⑻=宝

OJ0

c.事件B与事件4相互独立D.4，4互斥

【答案】BD

第6页，共20页

【解析】【分析】

本题考查条件概率，互斥事件与相互独立事件的判断等知识.属中档题.

根据题意，逐一分析判断即可.

【解答】

52

解：由题意4，4是互斥的事件，「（4）=于尸（4）=于

_5x—5

p（3|4）=号智=—=：,网刃4）=（，故/错误；

1（力J_®o

7

552433

P（^）=-x-+-x-=—,故5正确；

7o/o56

5525335

由尸（84）=亍、$=藐，^（5）-p（4）=-x-.

7856567

因为尸（阴）2尸⑻•尸（4），故c错误；

易得4，4互斥，故。正确.

故答案选：BD.

12.已知抛物线/=4》的焦点为尸，以该抛物线上三点4,B,C为切点的切线分别是4，,，3，直线4,4

相交于点。，％与人右分别相交于点尸，。•记4民。的横坐标分别为气，马，项，贝版）

A.DA-DB=Q

C.\AF\-\BF|=|DFI2D.\AP\-\CQ\=\PC\-\PD\

【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查抛物线的切线，直线的交点，两点间的距离公式等，属于较难题.

【解答】

解：方法一：/5,9,8（无2，?＜（%,票），左=/,

,X；1/、an_112

I:y_：=3匹（》一再），BPy--x1x--x1,

彳产+々

2即退=土产时,

第7页，共20页

亦丽+一丫子2竽仁丁42

=(■

24

一口『一*l(4+x㈤不一定为。’/错.

22

\AF\-\BF\=

令+1哈+1)=

DF?_(苞+》2)](二112])2_X]+2X]「2+%]X]X；苞々।]

“一—4)~42~

2222

=五区+9+且+1=|AF|[3尸|,C对.

1644

'再+%23%2),尸(石+小石％)Q(%2+%0%27、

/尸_卜。一X1)2|(工1工0-%oJ_I/-I《4+X],

一V,21(41―4，

PD—卜2一%)2]((%()-%2)再)；_I%/I也+X]

―V121(41—4

\AP\4CQ\=\PC\-\PD\,。对.

第8页，共20页

y=~X9^AD=^BD=^X29方程为J=3工1(%一11)+,，

乙乙乙，4

即y——XjX——,①，BD:J二万工2%——,②

联立①②=＞以土产,中），

显然上以•的B=；王马不一定为-1,D4与DB不一定垂直，

故万鼠丽不一定为0，4错.

对于5,退=*，•二阳+马=2W，B正确.

22

对于C,|/用“跖|=（a+1）（红+1）,

122

而k2=（三产y+（苧_1）2=；*+x；）+窗+1=|4F|.|AF|,C正确.

对于。，仿对/的分析nP（土产,牛），。（干&，¥）,

X

.,1^1\A-XP\国f

"\PD\~\xP-xD\

….\AP\\PC\

而M

x+xZ-xJlPDI\CQ\

|ce|24

2

:.\AP\-\CQ\=\PC\-\PD\,。正确，选：BCD.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

2i,x20,

13.设函数y（x）=/(-6)+/(log26)=

l+log3(3-x),x<0,

【答案】6

【解析】【分析】

本题考查分段函数的求值，涉及对数的运算，属于基础题.

根据题意，由函数的解析式求出/（-6）、/（log?6）的值，进而计算可得答案.

【解答】

21,无)0,

解：根据题意,函数/'（》）=

l+log3(3-x),x<0,

则/(-6)=1+log39=3,/(log26)=2晦6T=3,

第9页，共20页

故〃-6）+/（log26）=3+3=6.

故答案为：6.

14.等比数列｛%｝满足如下条件：对于任意“eN*,有%+i>%,S“+]<S”.试写出满足上述条件的一个

通项公式an-.

【答案】-（；）"（答案不唯一）

【解析】【分析】

本题考查等比数列的通项公式，涉及S“与a”的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

根据题意直接分析求解即可.

【解答】

解：由于s“+i<s"，所以。<S“，故%+]<0，且见+]〉％，

所以数列的首项和公比分别满足为<0,qe（0,1）即可；

故%=-（》"（答案不唯一）•

故答案为：-（；）"（答案不唯一）.

15.箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚.阿涅西的深入研究而闻名于世.过原点的动直线交圆

/+/-2y=0于点P,交直线y=2于点Q,过尸和。分别作x轴和y轴的平行线交于点M,则点M的

轨迹为箕舌线.记箕舌线函数为/（x）,则的解析式为.

Q

【答案】/（x）=^-

x+4

【解析】【分析】

本题考查直线方程与圆的方程，渗透数学文化。属于中档题。

根据题意画出题目中的圆和直线，设出点。的横坐标X。，联立。。与圆的方程解出P点纵坐标得到表达式。

【解答】

解：连接/尸，则4Pl.c）P,圆了2+/一2了=0的标准方程为炉+（丁-1）2=1,

第10页，共20页

设点。(％,2),当点。不与点”重合时，直线。0的方程为^=一x,

2

y=­x

%

联立/+/_2好0,解得y=

QQ

当点。与点/重合时，点/的坐标也满足方程y=所以，/(%)=—^,

-x+4X-+4

故答案为/(x)==J.

X+4

16.已知正四棱锥S-Z3CD的所有棱长都为1,点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥,

得到截面多边形:T,则「的边数至多为，「的面积的最大值为.

【答案】5；

【解析】【分析】

本题主要考查四棱锥的截面问题，利用二次函数的性质求最值，余弦定理，三角形的面积公式，属于难题。

【解答】

解：方法一：r的边数至多为5,延长交于点J,延长E/,CB交于点K,连接次分别与48

交于G,〃，连接FG,HI得截面五边形EFGHI.

设跖=x,:.SF=2x,EF=y/3x,CJ=2-2x,

：.JD=l-2x=DG,JF=CQ-2x),

JK=41(2-2x)=2V2(1-x),JG=HK=6Q-2X)，FG=\-2X,

JG2+FG2=JF":.JGLGF,

•••\^=1-V2(l-2x)-(l-2x)=5^

而EJ=MQ-x)=EK,加=2啦(1—x),

第11页，共20页

22

S庄JK=1-272(1-x)=V2(1-X),显然五边形时截面面积最大,

••WW=V2(1-X)2-A/2(1-2X)2

lr--41

=V2(-3x2+2x)W0——=—<x=:时取“=”，

-1233

.•.r面积的最大值为注.

3

方法二：取SC中点凡8尸，SC,£>E，SC,;.SC_L平面尸.

作平面与8D/平行，如图至多为五边形.

:.PB=1-A,BQ=1-A,PQ=1-A,NQ=MP=ABD=V22,

3+1_2

cosZDF5==_

7^1Frs"DFB=q

2x—x—

22

G_1V3V3,2A/2_V2.2

血?22234

与NQ的夹角为&4与AD夹角，而&4与垂直，

••.SpMN。=届(J%)，S=V22(l-2)+^22=-|V222+V22，

2=2时，s取最大值正.

33

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

第12页，共20页

已知｛q｝是等差数列，公差不为零，其前"项和为S”.若生，%，%成等比数列，$3=12.

⑴求%及S“；

1$=a“,”eN+,=l,7；为数列也｝的前〃项和，求北的取值范围.

⑵己知数列｛〃｝满足^--b

u

M+1n3

-2

（1）由题可得：（％+然）=（%+♦）（%+64）

【答案】解:

3%+3d—12

解得d=0,%=4(舍)或d=1,%=3,

n(Qi+a)_n(n+5)

a„=n+2,S,n

22

11

⑵由6得

n+l

111、/11、/11、

磋2时，了=（z不一「）+（「+「）+（!———）++(—--)+-,

b“"bn-,1bn…-\bn…-2bn-2b”.n-3b2瓦b、

(n+1)(〃+2)

=an-\+an-2+an-3+…+《+3=

2

当〃=1时上式仍成立.

211

bn==2(-),

(〃+1)(〃+2)n+1n+2

1

)]

n+2

=2占12

n+2n+2

2

丁函数北=1——-在IL+8）单调递增.

〃+2

1）•

18.（本小题12.0分）

国防科技大学是我国军事学院的最高学府，被称为“军中清华”，学校拟计划对今年招收的部分新生做一

个测试，抽取40名新生对关于报考志愿的首要考虑因素进行调查，所得统计结果如下表所示：

男生女生总计

以祖国的国防事业为首要考虑因素1026

以实现自己的军人梦为首要考虑因素4

总计2040

⑴补充完成2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关;

第13页，共20页

(2)若测试调查共设置2个环节，新生需要参加全部环节的测试，每个环节设置两个项目，若新生每通过一

2

个项目积2分，未通过积-1分；已知新生甲第1环节每个项目通过的概率均为一，第2环节每个项目通过

3

3

的概率为不，各环节、各项目间相互独立；求甲经过两个环节的测试后所得积分之和的分布列和数学期望

n(ad—be}2

参考公式：/=9(a+b)(c+d)(a+c)S+d)'其中"=+6+C+%

参考数据:

pd)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

【答案】解：⑴补充2x2列联表如下所示:

男性女性总计

以祖国的国防事业为首要考虑因素101626

以实现自己的军人梦为首要考虑因素10414

总计202040

八嘿需胃.…

有95%的把握认为“新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关”

(2拷的所有可能取值为-4,-1,2,5,8

“11224

尸(5=-4)=—X—X—X—=-----

3355225

尸…)=2-

33553355225

P(^2)=4(ix2xZx2)+lxix3x2+2x2x2x2=2L

335533553355225

^=5)=2x(2x2x2x3+lx2x3x3

33553355225

PC=8)=W至

3355225

所以，4的分布列为

第14页，共20页

+2x21+5,空+8x&=36

2257525

19.（本小题12.0分）

在△48C中，A,B,C的对边分别为,acosB-2acosC=(2c-b)cosA.

⑴若。二百口，求cosB的值；

(2)若b=l,/5/C的平分线4D交5c于点。，求4。长度的取值范围.

【答案】角得(1)vacosB-2acosC=(2c-b)cosA,

/.sinAcosB-2sinAcosC=(2sinC-sinB)cosA

nsinAcosB+cosAsmB=2sinAcosC+2cosAsinC

nsin(Z+B)=2sin(4+C)

nsinC=2sin8nc=2b,c=也anb=，

2

a2+,c2-bi2_。2+3。2-----4--a2_13v/T3

...cos3=

lac2。•百Q24

(2)由(1)知c=26,・.・b=l,:.c=2,设/BAD=6,

S=--2-sin2^=--2-AD-sin•1•AD•sin0

"222

47T4

=4>=jcos6*e(0,—),.'.ADe(0,—).

20.（本小题12.0分）

第15页，共20页

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA1平面ABCD,点E在线段PC上，PC1平面BDE.

BC

⑴证明：平面尸/C；

(2)若P4=4D=2,求二面角8-尸。一/的正切值；

【答案】解：(1)平面/BCD,3Du平面/BCD,

PALBD,

■：PC1平面BDE,BDu平面BDE,

PC1BD,

又PAcPC=P,PA,尸Cu平面尸NC,

BD1平面PAC；

设NC与8。交点为。，连。£,

因为PC_L平面ADE,BE,OEu平面区法，

所以BE,尸C,OE1PC,

所以NBEO为二面角8—PC—Z的平面角，

因为8O_L平面P/C,/Cu平面P/C,

所以8。L/C,

所以四边形/BCD为正方形，又PA=AD=2,

易得OB=OC=6，PC7AC°+P#=26，

因为尸/_L平面48cO,/Cu平面/8CO,

所以尸/L/C,

第16页，共20页

则APACSAOEC,

„OEPAOE2

贝n！I—=—n—=—

OCPCV22G

所以tan/BEO嘿=鲁6

3

即二面角B-PC-A的正切值为6.

21.(本小题12.0分)

已知圆C:/+/=4,尸为圆C上任意一点，2(-4,0)

(1)求尸。中点M的轨迹方程。

(2)若经过0的直线/与M的轨迹相交于N、B,在下列条件中选一个，求ANBO的面积。

条件①：AB斜率为士②原点0到AB的距离为生42.

417

【答案】解：⑴设

因为M是尸0中点，又。(一4,0),

所以尸(2x+4,2p),

又尸为圆C上任意一点，将尸代入圆C:/+J?=4,得(2x+4>+4/=4,

化简得：(x+2)2+/=1,

故点M的轨迹方程为(x+2)2+/=1;

(2)把M的轨迹记为OE,则QE的圆心坐标为£(-2,0),半径为1,

选①:直线/的方程为尸;(x+4),即，-4"4=。,

1-2+41?

点E到直线I的距禺为-/,=I—，

Vl+16V17

13

则4?=2.

17

44

点。到直线/的距离为

所以邑3]134V13

V17V17-17

选②：易知直线/的斜率存在,

设直线/方程为V=40+4),即％x-y+4汇=。，

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因为点。到直线I的距离为生47,

17

当左=,时，直线/的方程为y='(x+4),即x-4y+4=0,

44

点E到直线I的距离为斗士生=上,

Jl+16V17

则|明=25-(/)2=2咫,

4V13

所以邑"。=5＞＜布

当左=---时，直线/的方程为＞=—•-(%+4),即x+4y+4=0,

44

点E到直线I的距离1-2为+41=左?，

VI+16V17

则河=2卜(卓=2后,

4V13

所以SQBO=~XX

综上，A48O的面积为生叵

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=eax-x与函数g(x)=x-』lnx,aeR.

⑴若〃x)＞0,求Q的取值范围；

(II)若曲线＞=f(x)与X轴有两个不同的交点，求证:两条曲线＞=