湖南省长沙市2022-2023学年高二年级下册第三次阶段性测试数学试题(学生版+解析)

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期第三次阶段性考试

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若用—z)=L则zS=()

A.1B.-1C.2D.-2

2.在平面直角坐标系x。中，若角a以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为也，则a

2

的一个可能取值为()

A.-60°B.-30°C.45°D.60°

3.已知函数y=/(x+l)为奇函数，则函数y=/(x)+l的图象()

A.关于点(1,1)对称B.关于点(1,-1)对称

C.关于点(—1,1)对称D.关于点(-L-1)对称

4.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=d-tb>若〈a,c)=,,贝i]/=()

A.-5B.-6C.5D.6

5.我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注.过期药品处置不

当，将会给环境造成危害.现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年

产量为丁(小=；""+1)(〃+3)(单位：万件)，但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生

药物浪费.因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为()

A7年B.8年C.9年D.10年

6.如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4,球的体积为义”

则该圆台

3

的侧面积和体积分别为()

A.3571,—^―B.3571,259兀C.35®式,259兀D.35也n，

7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学

为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“数学方法论”，“几

何原本”，“什么是数学”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必

须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A.150种B.210种C.300种D.360种

8.己知点N是抛物线「y2=2px（0>0）和动圆C：（%—叶十⑶一3?=产（r>。）的两个公共点，点

产是r的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2,则当「变化时，厂+|川巴的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列有关四边形A3CD的形状，判断正确的有（）

A.若AD=BC，则四边形A3CD为平行四边形

B.若A3=OC，且人。2=o,则四边形A3CD菱形

c.^\AB+AD\=\AB-AD\,则四边形ABCD为矩形

D.若AB=DC，且4080=0，则四边形A5CD为正方形

10.己知函数/（尤）=coso>x-Gsin（yx,a）>0,则下列结论中正确的是（）

A.若。=1,则将/（%）的图象向左平移4个单位长度后得到的图象关于原点对称

B.若|/（石）一/（々）|=4,且打—目的最小值为则0=2

C.若/（%）在0,y上单调，则。的取值范围为（0,2]

「713-

D.若“X）在[0,可上有且仅有2个零点，则。的取值范围是

11.如图，在正三棱锥A-BCD中，底面ABC。的边长为4,E为的中点，AC±AB,则下列结论正确的

是（）

A

E

C

A.该棱锥的体积为8女

B.该棱锥外接球的体积为8扁

C.异面直线CE与8。所成角的余弦值为巫

10

D.以。为球心，为半径的球截该棱锥各面所得交线长为之亘

3

12.定义在（0,+。）上函数/⑴的导函数为了'⑺满足矿（九）＞/（九），若对于任意玉〉％〉0,则一

定成立的是（）

A.七/(%)>%/(%)B./(x1)+/(x2)>^/(x1)+^/(x2)

C./（%—々）＞/（%）—D./（%+%）＞/（%）+/（%）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某产品的广告费用尤与销售额y的统计数据如下表：

广告费尤/万元1.82.235

销售额V万元12■2840

根据上表已得回归方程为y=8.6x-1.8,表中一数据模糊不清，请推算该数据的值为

14.若直线av—y—1=。与曲线y=x+lnx相切，则实数。=.

22

15.已知双曲线C:1-与=1（“＞0,6＞0）的左、右焦点分别为耳,居，若双曲线的左支上存在一点尸，使得

尸尸2与双曲线的一条渐近线垂直于点〃，且|PH|=|码则此双曲线的离心率为.

16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边,

向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿

破仑三角形）的顶点”.在.ABC中，已知NACB=30°,且A3=6—1,现以3C,AC,A3为边向外

作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A,B'，C,贝LAB'C'的面积最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.每年4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣.为了

鼓励同学们阅读四大名著，学校组织了相关知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中

的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：

个人赛

奖项组别团体赛获奖

一结收

一等奖—*寸茨三等奖

高一20206050

高二162910550

(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；

(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期

望.

18.己知数列｛%｝中，％=1,前w项和为S,,若对任意的〃eN*，均有2s〃=aa+i—1.

⑴求数列｛g｝的通项公式；

(2)数列｛4｝满足a=咋3("%——511(〃eN*)，求1"=伪一：+%-。+…+2”一：(加＞3且根eN*)

n444

的值(结果用，〃表示).

19.在几何体ABC-AgG中，AB=BC=6,AC=3,点。，E在棱AC上，且AD=DE=EC,

三棱柱D3E—直三棱柱，且。石=。4.

(1)求证：平面A3E，平面AB4；

(2)求平面A3G与平面AB耳夹角余弦值.

20.在直角坐标系xOy中，动点0到直线/:x=T的距离与到点歹(T0)的距离之比为2,动点。的轨迹

记为曲线c

⑴求曲线。的方程；

(2)尸是直线/上一点，过点尸作曲线。的两条切线抬、PB,切点为A、B,求tanNAPB的最大值.

函数/(%)=gcos2%—cos711

21.设〃£R,—+x+aH—

2

⑴讨论函数/(x)的零点个数；

3兀

⑵若函数/(X)有两个零点/,巧，求证：xl+x2>—.

22.已知尤1，%是方程e*-ax=ln(at)-x的两个实根，且玉<々.

(1)求实数。的取值范围;

⑵已知/(x)=ax,g(x)=ln(l+x)-cosx+2,若存在正实数x3,使得/(玉)=g(x3)成立,证明：为＜阳.

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期第三次阶段性考试

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若理—z)=L则zS=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出复数z,再利用共辗复数的意义及复数乘法计算作答.

-1,

【详解】依题意，1—z=-=3=—i,于是Z=l+i，

ii-

所以=i)=l—i?=2.

故选：C

2.在平面直角坐标系中，若角a以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为也，则a

2

的一个可能取值为()

A.-60°B.-30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数的定义得到cosa=@，再根据特殊角的三角函数判断即可.

2

【详解】依题意可得cosa=且，贝恒=30。+左水。。,左。或a=-30。+占360。,左eZ,

2

所以a的一个可能取值为-30。.

故选：B

3.已知函数y=/(x+l)为奇函数，则函数y=/(x)+l的图象()

A.关于点(1,1)对称B.关于点(1,-1)对称

C.关于点(—1,1)对称D.关于点(-1,-1)对称

【答案】A

【解析】

【分析】根据y=/(x+l)为奇函数，得到y=/(x)关于(1,0)对称，进而得到答案.

【详解】函数y=/(x+l)为奇函数，图像关于(0,0)对称，

则函数y=/(x)关于(1,0)对称，

所以函数y=/(x)+l的图象关于(1,1)对称.

故选：A.

4.已知向量&=(3,4),b=(1,0),c=a—tb，若=,,贝V=()

A.-5B.-6C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先利用向量坐标运算法则求出c=(3T,4),再由〈a,c)=(dc),利用向量夹角余弦公式列方程,

求出实数f的值.

【详解】.向量a=(3,4),6=(1,0),c=a-tb>

c=(3-r,4),又〈a,c)=(Z?,c),

a-cb-c25-3r3-t

------=-------,即nn=,

\a\-\c\l&l-lcl5---------1

解得实数f=—5.

故选：A.

5.我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注.过期药品处置不

当，将会给环境造成危害.现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产”年的累计年

产量为T(9=；〃(〃+1)(〃+3)(单位：万件)，但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生

药物浪费.因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为()

A.7年B.8年C.9年D.10年

【答案】B

【解析】

【分析】计算出。“=：〃(3〃+5),解不等式;〃(3〃+5)W60,则有+5〃—24040，再利用二次函

数的单调性即可得到答案.

【详解】第一年年产量为卬=2,以后各年年产量为4=T⑺—T（〃—1）=；〃（3〃+5）,（心2,〃eN*）,

当”=1时也符合上式，a”=九+5）（〃eN*）.令:〃（3〃+5）<60,

得3/+5〃一24040.设/（〃）=3"2+5〃一240,对称轴为“

则当">0时，/（九）单调递增，又因为〃eN*，/（8）=3X82+5X8-240=-8<0,

则最大生产期限应拟定为8年,

/（9）=3x92+5x9-240=48>0,

故选：B.

6.如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4,球的体积为迎王，则该圆台

3

）

ll259兀

B.35兀，259兀C.35立兀，259兀D.35缶，万-

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形，根据题意，利用垂径定理即可求解.

【详解】设球的半径为R,则也眩=迎火，所以R=5,取圆台的轴截面ABCD,

33

如图所示；设圆台的上、下底面圆心分别为尸、E,则E、尸分别为A3、C。的中点，

连接。£、OF、OA,OB、OC、OD,则OA=OS=OC=OD=5.

由垂径定理可如，OE±AB,OFLCD,

所以0£=JQ42_AE2='52—42=3,OF=《Ob1—DF?=J52-32=4，

所以EF=7,=产+:=5A/2.因此，圆台的侧面积为兀（3+4）义5拒=35缶，

圆台的体积为1（32+42+3x4）x7=卷^

故选：D.

7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学

为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“数学方法论”，“几

何原本”，“什么是数学”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必

须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A.150种B.210种C.300种D.360种

【答案】B

【解析】

【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.

【详解】第1步，将五门选修课程分为3组，若分为3、1、1三组，有C；=10种分组方法，

若分为3,2,0三组，有C；xC；=10种分组方法，

C2xC2

若分为2、2、1三组，有53=15种分组方法,

A2

则一共有10+10+15=35种分组方法.

第2步将分好的三组安排在三年内选修，有尺=6种情况，

则有35x6=210种选修方式，

故选：B.

8.已知点N是抛物线「y2=2px（p>0）和动圆C：（%-以+（y—3丫=产（厂>0）的两个公共点，点

厂是F的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2,则当厂变化时，厂+|川巴的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】直线AW的方程为y=2x+l,联立直线与抛物线的方程得到石+々=2宁，结合C是的

中点，可得。=6,由抛物线的定义可将转化为惘。+|加耳，当CRM三点在一条直线时，可求

得r+|又巴的最小值.

【详解】圆洋（x—l7+（y—3）2=/（r>0）的圆心。（1,3）,

当MN是圆C的直径时，直线的斜率为2,

设直线的方程为y—3=2（x—1）,化简为：y=2x+l,

2

<2_,消去）可得：4X+（4-2/7）X+1=0,

px

设V（X，X）,N（x2,y2）,所以％+%2=2P44,

因为C是脑V的中点，所以"a=1=女二±=2,解得：p=6,

24

故厂（3,0）,/：x=-3,由抛物线的定义可知，过点M作闻交/于点”,

过点。作CP，/交/于点尸，

所以|VF|=|MW|,所以r+|MF|=|MC|+|MF以CP|=4,

当三点在一条直线时取等.

故选：B.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列有关四边形A3CD的形状，判断正确的有（）

A.^AD=BC>则四边形A3CD为平行四边形

B.若A3=OC，S.AB2-AD=0>则四边形A3CD为菱形

C.若向+回=向-叫，则四边形ABCD为矩形

D.若AB=OC，且AC-3D=0，则四边形A5CD为正方形

【答案】AB

【解析】

【分析】对选项A,利用AD=BC即可判断出选项A的正误;对于选项B,由AB=OC,得出四边形ABCD

为平行四边形，再根据AB2-AD2=0>即可判断出选项B的正误;对于选项C,根据条件,得到AB-AD^O,

即Na4D=90°,从而判断出选项C的正误；选项D,根据A3及AC8。=0即可判断出选项D

的正误.

【详解】选项A,若贝UAD//BC,AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形，故A正确;

选项B,若AB=OC，则AB//DC,AB=DC,则四边形A3CD为平行四边形，

XAB2-AD2=0-则AB=4)，则四边形A3CD一定是菱形，故B正确；

选项C,若|AB+AD|=|AB—AD],则+,5—=4A6.AD=0,则"LAD,则

/BAD=90。,仅由N&4Z)=90°不能判定四边形A3CD为矩形，故C错误；

选项D,若A3=OC，则A3//DC,AB=DC,则四边形A3CD为平行四边形，又由AC-3D=0，

可得ACLBD，所以对角线则平行四边形A3CD为菱形，故D错误，

故选：AB.

10.已知函数/(x)=cos0x-J§sinox,a>>0,则下列结论中正确的是()

A.若。=1,则将/(%)的图象向左平移四个单位长度后得到的图象关于原点对称

6

B.若/&)—/(切|=4,且悦―目的最小值为。则°=2

JT

C.若/(x)在0,-上单调，则。的取值范围为(0,2]

「713-

D.若/(X)在[0,可上有且仅有2个零点，则。的取值范围是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据辅助角公式化简〃X)=COS0X-gsin0x=2cos/x+1^,由平移的性质可判断A,由最值

与周期的关系可判断B,利用整体法，结合余弦函数的性质即可判断CD.

【详解】函数/(x)=costyx—A/§sinox=2cos|a)x+—.

选项A：若0=1,/(x)=2cos^+jj,将/(%)的图象向左平移十个单位长度得函数

y=2cos[x+m]=—2sinx的图象，所以A正确；

选项B：若|/(%)一/(%2)|=4,则/，巧分别是函数/(%)的最大值点，最小值点(或者最小值点和最大

值点)，若忖―目的最小值为则最小正周期是兀，所以。=2,B正确；

选项C：=coxH—,当xe0,—时，tG—,co—+—,若/(x)在0,—上单调，

3_3_3333

兀兀

则口一+—V兀，所以0v@＜2,C正确；

33

选项D：当尤«0,可时，/=5+三€,若/(%)在[0,可仅有2个零点，

则y=2cosf在/e;丽+=仅有2个零点，则上兀V师+二＜』兀，所以,《。＜月，D错误，

_33J23266

故选：ABC.

11.如图，在正三棱锥A-8C。中，底面△80的边长为4,E为A。的中点，AC±AB,则下列结论正确的

是()

A.该棱锥的体积为8及

B.该棱锥外接球的体积为8函兀

C.异面直线CE与2。所成角的余弦值为巫

10

D.以。为球心，为半径的球截该棱锥各面所得交线长为之亘

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据三棱锥的体积公式即可判断A,根据正方体的外接球即可由体积公式求解B,根据线线平行,

结合异面直线所成角的定义，即可由余弦定理求解C,根据弧长公式即可求解D.

【详解】因为由正三棱锥性质可知，AC,AB,两两垂直，

且AB=AC=AD,利452+4。2=5。2=16，所以AB?=8，AB=272«

所以匕A-BCD，if-=3-X-2X2Av/2X2A/2X2V、23A错误；

设外接球半径为R，补形成以AC,AB,同一顶点出发的三条棱长的正方体可知，

则正方体的体对角为其外接球的的直径，即

（2R）2=3X（2&）2=24,即R=#,所以外接球体积为兀、6#=8"兀，B正确；

记AB中点为连接CH,EH,则田〃BD,

由于△ABCM^ADC,所以CE=CH,所以NCEH为锐角，所以NCE”即为异面直线CE与3D所成

角.

因CE=CH=yjAC2+AE2=y[8+2=JiO'EH=[BD=2,

UUZ,=ET4+10-10MBCT分

所以cosNCEH=--------7=-.....,故C正确；

2x2x71010

如图，易知以。为球心，A。为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以。为圆心，A。为半径的三段圆弧,

7TIT7T

其圆心角分别为ZADB=-,ZADC=-,ZBDC=-,所以其交线长为

443

-X2A/2+-X2A/2+-X2V2=^^；故D正确.

4433

故选:BCD.

12.定义在（0,+"）上的函数“X）的导函数为/'（x）满足矿（%）＞/（x）,若对于任意玉〉々〉0,则一

定成立的是（）

A.七/(%)>%/(%)B./(%1)+/(%2)>—/(%1)+—/(%2)

X2

C./(%-9)>/(玉)-/(%)D.石)+〃玉)

【答案】ABD

【解析】

【分析】构造函数R(x)=/区，求导可得单调性，即可结合选项判断ABD,举反例即可求解C.

【详解】设外力=/区，则/(x)=4'(x)，(x)〉0,所以/(％)在(0,+")上单调递增.

选项A:由于石〉工2〉0,所以尸(%)>/I/)，则">,所以工2/(%)>%/(%2)，故A正

王Xz

确；

对于B：由于」g>/应，且玉〉工2〉0,所以

%工2

/(x1)+/(x2)>^/(x1)+^/(x2),故B正确;

2

对于C：取f(x)=x满足条件，取再=2,x2=l但

“%一%)曰(1)=1<〃%)一"々)于⑵―/1)=4—1=3,故C错误；

对于D：因为玉+%>用>。，所以Fix,+x2)>F(x,),即,从而l/("+")>/(西)，

玉+x2XjX]+x2

同理可得望<土包>/(.),所以

X1+%2

团……(…)>小)+小)量&+%)>〃力〃6D正确，

%]+*2+*^2

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某产品广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费无/万元1.82.235

销售额y/万元12■2840

根据上表已得回归方程为y=8.6x-1.8,表中一数据模糊不清，请推算该数据的值为.

【答案】16

【解析】

【分析】设数据的值为。，根据回归直线方程恒过样本中心点，列出方程，即可求解.

【详解】设数据的值为。，可得x=3，y=-（80+a）,

由回归直线方程y=8.6x—1.8恒过样本中心点，可得?80+a）=8.6><3—1.8,

解得a=16.

故答案为：16.

14.若直线双一'一1=。与曲线y=x+lnx相切，则实数a=.

【答案】2

【解析】

【分析】设切点为A（%〃），利用导数的几何意义结合点A为直线双-y-1=0与曲线y=x+lnx的公共

点，可得出关于。、机的方程组，即可解得。的值.

【详解】设切点为A（私〃）,由〃x）=x+lnx,得在（%）=1+工,则/（m）=l+1=a,

xm

因为点A为直线依一丁一1=。与曲线y=%+lnx的公共点，则am-l=m+]nmf

am=m+1

所以，,即In加=0,可得m=1,故a=l+l=2.

am-l=m+]nm

故答案为：2.

22

15.已知双曲线。:斗-与=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳,耳，若双曲线的左支上存在一点尸，使得

尸工与双曲线的一条渐近线垂直于点〃，且1尸〃1=|印寸，则此双曲线的离心率为.

【答案】V5

【解析】

【分析】设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得F?到渐近线的距离，可得|P闾=26,归国=26-2a,

b

由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得一=2,再由离心率公式可得所求值.

【详解】设双曲线（a>0,方>）的左、右焦点分别为:

C/一房=10

月(-c,0),g(c,O),

一条渐近线方程为云-町=。，

可得工到渐近线的距离为I五冏=上L=b,\PH\^\FH2\,

W+。2

则I"1=2万，|尸耳|=»—2a,

HE,b

在直角三角形。鸟“中，cosZHF,<?=j—7,=-,

\OF2\C

但工「+|尸片「-

在，P&《中，可得cosN尸耳片=

2闺用照

_4c2+4b2-(2b-2a)2_b

2-2c-2b―c'

化为2=2,即有e=£

aa

故答案为：、后.

16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边,

向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿

破仑三角形）的顶点”.在ABC中，已知NACB=30°,且A3=6—l，现以BC,AC,A3为边向外

作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A,B',C,贝『AFC'的面积最大值为.

【答案】昱##上6

33

【解析】

【分析】设ABC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c,连接AC,"。，则NA'CB'=90°,

由等边三角形的性质可求出A'CB'C,从而可求出4",在：ABC中，利用余弦定理结合基本不等式可

得a2+b2„4,从而可求出,AB'C的面积最大值

【详解】设ABC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,J

连接ACB'C,则由题设得，ZACB'=9Q°,

因为以BC,AC,A3为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A,B'，C,

所以AC=^bx2=且匕，B'C=—a，

2333

所以43'=且，7+方

3

在，ABC中，由余弦定理可得a2+b2-2abcos30°=c2

即独活="

a2+b2.卜-

20)a2+b2

又ab”

22

即4+况,m等号当q=b=也时成立），

由题意可得A'3'C'为等边三角形,

故S△”字4叫孝义（邛

故答案为：走

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.每年4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣.为了

鼓励同学们阅读四大名著，学校组织了相关知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中

的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下:

个人赛

奖项组别团体赛获奖

一等奖二等奖三等奖

高一20206050

高二162910550

（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；

（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期

望.

【答案】⑴g

7

（2）分布列见解析；期望为一

12

【解析】

【分析】（1）利用古典概型及条件概率的概率公式计算可得；

⑵首先求出高一、二团体赛获奖的概率，则X的可能取值为0，1，2,求出所对应的概率，即可得到其

分布列与数学期望.

【小问1详解】

记”任取1名学生，该生获得一等奖”事件A,记“任取1名学生，该生为高一学生”为事件2,

20

则尸（A）=生，尸（AB）=22_,所以=

J350v7350v1'P（A）9

350

【小问2详解】

由已知可得，高一团体赛获奖的概率《=--------------=-

高二团体赛获奖的概率6=--------------------=

16+29+105+504

所以X的可能取值为0,1,2.

所以P（X=0）=2x』=L,P（X=l）=-x-+-x-=—,

'7342'7343412

P（X=2）=-%-=—.

'73412

则X的分布列为

X012

J_51

P

2-1212

1517

E（X）=0x—+lx3+2x—=—.

v72121212

18.已知数列｛4｝中，4=1,前〃项和为S*,若对任意的“cN*，均有2S〃=%+i—1.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)数列抄“｝满足勿=1呜("4——511(咒eN*)，求I”=4一。+打一:■…+_T(m>3J!LmeN*)

n444

的值(结果用能表示).

【答案】⑴a“=3"T

m2-6m+18

4

【解析】

【分析】(1)根据S,,4的关系即可求证｛%｝为等比数列，即可求解，

(2)根据对数的运算性质可得。，，进而由分组求和，结合等差数列求和公式即可求解.

【小问1详解】

因为2s“=a“+i—l,故2sLi=%—1(〃22),两式相减得%=3%,,(«>2),

在2S”=-1中令〃=1,则可得。2=3,故〃2=3〃1，

故嗅=3,(〃eN*),则数列｛g｝为等比数列，且公比为3,所以%=3"工

an

【小问2详解】

心陛回_J」「o+l+2++(”1)].31==

nnL」〃22

57

令4<-，解得，

42

可得当〃=1,2,3时，b<—,当〃之4且〃eN*时，b>—.

n44

T=b----\-b------F+b---

x14244

=■|x3_(4+%+4)+(Z?+b

45++幻_3)

=(4+4++或)_他+伪+匕3)+

2

[+丁卜”一司(1)5(.«-6m+18

='-------乙------------0+-+l+-x(6-m)=-----------------

22J4v'4

19.在几何体ABC-43]G中，AB=BC=5AC=3,点£>,E在棱AC上，且AD=DE=EC,

三棱柱D3E-4与。1是直三棱柱，且。E=.

(1)求证：平面A3E，平面AB4；

⑵求平面ABC1与平面ABB1夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】(1)根据直三棱柱的特点和线面垂直的性质得3及，BE,证明再利用面面垂直的判

定定理即可证明；

(2)以点8为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面43G与平面A84的法向量，面面角的空间

向量求法即可.

【小问1详解】

因为三棱柱。BE-A与G是直三棱柱，

所以3月，平面瓦汨，因为5石u平面3DE，所以BB］上BE.

由AB=JBC=，AC=3,点O,E在棱AC上,且AD=D£=£C=1,

由余弦定理得ZABC==—工，

cosI'

2xj3xj32

而OvNABCv兀，则NABC="，

3

兀

即有ZBAC=ZBC4=—,BE2=AB2+AE2-2ABAECOSZBAE=1，

6

TV

即有超2+5石2=4=&石2,所以ZABE=5，BE±AB.

因为A5?AB]B,AB,BB]U平面ABB-所以BE,平面至4,

因为6Eu平面43E，所以平面43E，平面ABB一

【小问2详解】

由题意，由（1）易知3D，BC,BB1两两垂直,

以点B为坐标原点，直线3Q，BC,分别为x种、y轴、z轴建立空间、直角坐称系,

因为5D=1，E为8中点,则川0,0,0),A(1,0,1),G,1,£)(1,0,0),C(0,V3,0),

7

E

[22J

所以招=(1,0,1),BQ2'J'BE=HI

设平而AXBCX的法向量加=（%,%,zj,

%+Z]=0

mBA.=0

则,即《

m・BC]=0

取4=A/3，得加=卜^/^,一1,\/^)

又平面ABB,的一个法向量〃=BE=

设平面45G与平面AB用夹角为6,则

nun