2023-2024学年黑龙江省九年级（下）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈工大附中九年级（下）开学数学试卷（五

四学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

L—；的绝对值是（）

C.7D.-7

2.下列运算一定正确的是()

A.a2-a=a3B.(a3)2=a5

C.(a-1)2=a?—1D.a5—a2—d3

4.八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（）

5.如图，4B是。。的直径，BC是。。的切线，点B为切点，若4B=8,tanzBXC=贝的长为（）

4

A.8

B.7

C.10

D.6

1

6.方程=言的解为（）

2+x

A.x=5B.x=3C.x=1D.x=2

7.已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的

坐标可能是（）

A.(a,b)

B.(―a,b)

C.(—CL,-b)

D.(a,—b)

8.一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中

随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（）

112

A.2-3-3-

9.如图，在△ABC中，DE”BC,AD=2,BD=3,AC=10,则ZE的长为

()

BC

A.3B.4C.5D.6

10.周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家.在整个过程中，小辉离家

的距离s（单位：加）与他所用的时间M单位：加田之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图

书馆回家的速度分别为（）

A.75m/min,90m/minB.BOm/min,90m/min

C.75m/min,lOOm/minD.80m/min,lOOm/min

二、填空题：本题共10小题,每小题3分，共30分。

11.风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为

______兆瓦.

12.在函数丫=熹中，自变量工的取值范围是.

13.9的算术平方根是.

14.把多项式式于—9x分解因式的结果是.

15.不等式组］、的解集是.

16.二次函数y=-（%-6）2+8的最大值是.

17.若双曲线y=”的图象的一支位于第四象限，贝瞌的取值范围是.

18.一个扇形的面积为7兀＜:62,半径为6cm,则此扇形的圆心角是度.

19.在AABC中，乙4=50。，NB=30。，点D在边上，连接CD,若△4CD为直角三角形，贝UNBCD的度

数为度.

20.如图，矩形4BCD的对角线8。的垂直平分线交4。于点E,交BC于点F,连接CE,

△£。产的面积为学—2必4。8=|,则CD的长为

三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.（本小题7分）

先化简再求值：（当一£艺）一弓,其中x=4±加45。+2cos30。.

（X乙儿IT,乙

22.（本小题7分）

如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶

点上.

（1）在方格纸中将△力BC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点力的对应点是点

M,点B的对应点是点N,点C的对应点是点P）,请画出△MNP；

（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）.连接FP,请直接写出线

段FP的长.

23.（本小题8分）

民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四

类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷

调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查

人数的25%.请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

(2)请通过计算补全条形统计图；

(3)若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名.

24.(本小题8分)

已知四边形4BCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G,过点B作BM1CE,垂足为点

M,BM的延长线交4。于点尸，交CD的延长线于点

(1)如图1,求证：CE=BH；

(2)如图2,若4E=4B,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG

除外)，使写出的每个三角形都与A4EG全等.

图1图2

25.(本小题10分)

君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的4、B两种型号的毛笔.若购买3支4种型号的毛笔和1支8种型号的

毛笔需用22元；若购买2支4种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元.

(1)求每支4种型号的毛笔和每支8种型号的毛笔各多少元；

(2)君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支

4种型号的毛笔？

26.(本小题10分)

如图，△力BC内接于。。，半径力。平分NB4C,延长4。交BC于点K.

(1)如图1,求证：BK=CK；

(2)如图2,延长4K交。。于点。，当4K=3DK时，求证：AaBC为等边三角形;

(3)如图3,在(2)的条件下，点E在弧4B上，点F在弧CD上，连接4尸、AE,BE、CE,EC交4F于点P,

AF1AE,且力F=CE,连接DF,当DF=2时，求BE的长.

27.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=a/-2a久-3a(a40)交x轴的负半轴于点4,

交x轴的正半轴于点B,交y轴的正半轴于点C,且OB=2OC.

(1)求a的值；

(2)点。为抛物线的顶点，点P在第三象限的抛物线上，PQ〃y轴，PQ交直线BD于点Q,设点P的横坐标为

t,线段PQ的长为d,求d与t的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，连接PB、PA,PB交y轴于点E,连接DE、AE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得到线

段DF,射线F8交y轴于点K,当-NEBK="PE时，求点P的坐标.

备用图1备用图2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|-支=；・

故选：X.

绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

考查了绝对值的性质.

2.【答案】A

【解析】解：4a2-a^a3,原计算正确，故此选项符合题意；

B、(a3)2=a6,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、(a—1尸=a2—2a+l,原计算错误，故此选项不符合题意；

。、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意.

故选：A.

根据同底数塞的乘法、塞的乘方的运算法则，完全平方公式、合并同类项法则解答即可.

本题考查了整式的运算.解题的关键是熟练运用整式的运算法则和乘法公式.

3.【答案】A

【解析】解：力、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意；

B、C、。中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故8、C、D不符合题意.

故选：A.

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称

图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即

可判断.

本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义.

4.【答案】C

【解析】解:从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2,

故选：C.

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了锐角三角函数的定义.

先根据切线的性质得到N4BC=90。，然后利用正切的定义求BC的长.

【解答】

解：•••48是。。的直径，BC是。。的切线，

••・AB1BC,

・•・^ABC=90°,

tanZ.BAC=^=

AB4

3

・・・8C=JX8=6.

4

故选：D.

6.【答案】A

【解析】解：去分母得：3x—1=2（2+x）,

去括号得：3%一1=4+2x,

移项合并得：x=5,

检验：当％=5时，（2+久）（3久一1）40,

•••分式方程的解为％=5.

故选:A.

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

7.【答案】D

【解析】解：a+b>0,ab>0,

.•.以a>0,b>0,

A、（a,6）在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；

B、（-a,b）在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；

C、（-a,-6）在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；

。、（a,-。）在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意.

故选：D.

因为ab>0,所以a、b同号，又a+b>0,所以a>0,b>0,观察图形判断出小手盖住的点在第四象

限，然后解答即可.

本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象

限(+,+);第二象限(一,+);第三象限(一,一)；第四象限(+,-).

8.【答案】D

【解析】解：•••从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为8,

・•・摸出的小球是红球的概率为盘=|,

故选：D.

用红球的个数除以球的总个数即可.

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件a的概率p(a)=事件a可能出现的结果数+所有可能出

现的结果数.

9【答案】B

【解析】解：••・DE〃BC,

tAD_AE

AB=ACf

vAD=2,BD=3,AC=10,

._丝

“Z+3-10，

・•.AE=4.

故选：B.

根据平行线分线段成比例由得到等=*，然后根据比例的性质可求出4E.

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

10.【答案】C

【解析】解：由题意，得：

小辉从家去图书馆的速度为：1500+20=75(m/min)；

小辉从图书馆回家的速度为：1500+(70-55)=100(m/min).

故选：C.

根据题意可知小辉家与图书馆的距离为1500小，去图书馆花了20分钟，回来时用了15分钟，再根据“速度

=路程一时间”列式计算即可求解.

本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚.

11.【答案】2.53x105

【解析】解：数字253000用科学记数法可表示为2.53x105.

故答案为：2.53X105.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定九的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，九的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，门是正数；当原数

的绝对值<1时，n是负数.

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX的形式，其中1<|a|<io,n为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

12.【答案】万大一|

【解析】解：由题意得：

5%+3。0,

工3

xW-

故答案为：乂不一|.

根据分母不能为0,可得5x+3大0,然后进行计算即可解答.

本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为0是解题的关键.

13.【答案】3

【解析】解：9的算术平方根是3.

故答案为：3.

利用算术平方根的意义解答即可.

本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键.

14.【答案】x(y+3)(y-3)

【解析】解：xy2-9x

—x(y2—9)

=x(y+3)(y-3),

故答案为：x(y+3)(y-3).

先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解.

本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.

15.【答案】%>|

【解析】解：解不等式3x+420,得:x>~l，

5

%>

解不等式4一2%〈一1,得:2-

则不等式组的解集为%>|,

故答案为：X>|.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定

不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

16.【答案】8

【解析】解：二次函数y=-(x-6产+8,

•••a=—1<0,

y有最大值，

当x=6时，y有最大值，最大值是8.

故答案为：8.

利用二次函数的性质解决问题.

本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

17.【答案】k<1

【解析】解：•••双曲线丫=”的图象的一支位于第四象限，

/c—1<0,即k<1.

故答案为：fc<1.

根据反比例函数的图象与性质进行解答即可.

本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键.

18.【答案】70

【解析】解:设扇形的圆心角为心，

2

贝|如包=7兀，

J360

•••n=70,

故答案为：70.

设扇形的圆心角为汨，利用扇形面积公式列方程，即可求出几

本题考查扇形面积公式，解题关键是掌握扇形面积公式.

19.【答案】60或10

【解析】【分析】

本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键.

当Aac。为直角三角形时，存在两种情况：N&DC=90。或乙4CD=90。，根据三角形的内角和定理可得结

论.

【解答】

解：分两种情况：

①如图1,当乙4DC=90。时，

.­•乙BCD=90°-30°=60°；

②如图2,当N4CD=90。时,

.­./.ACB=180°-30°-50°=100°,

.­./.BCD=100°-90°=10°,

综上，则NBCD的度数为60。或10。；

故答案为：60或10.

20.【答案】4

【解析】解：如图，设EF,BD交于点G,

•••四边形4BCD是矩形，

AD//BC,乙BCD=9Q°,

Z-ADB=Z.CBD,

2

tanZ.ADB=tanZ-CBD=

在RtADBC中，tanMBD=%=£,

DC3

设CD=2x,贝！JBC=3x,BD=VBC2+CD2=(3%)2+(2%)2=-\A13x，

・•,EF是线段的垂直平分线，

EF1BD,点=次=等，

•••(DBC=乙FBG,乙BCD=Z-BGF=90°,

BGFs〉BCD,

•••~BD=~BCf

.旦=F,

V13%3x

nl13%

BF=

o

丁013x5x

o6

1

S^ECF=--CF-CD,

15%r10

-x—x2.x=—,

263

解得：x=2或-2（不合题意，舍去），

・•.CD=2x=4,

故答案为：4.

设EF,BD交于点G,由矩形的性质，三角形的正切的定义得出黑=事设CD=2%,则BC=3x,BD=

DCD

gc,由线段的垂直平分线的性质得出BG=空，由ABGFSABCD,得出黑=常，代入计算求出

2DL）DC

BF=华，进而得出6=今由〃ECF=>CF.CD,得出：x"x2x=学，得出x=2或一2（不合题意，

ooZZo3

舍去），即可得出CD的长度.

本题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，解直角三角

形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关

键.

21.【答案】解：原式=苴|—注?]+导

x+2xx—2

~—2x—2)x—4

2x-2

~x—2x—4

_2

x—49

当x=4ttm45°+2cos30°=4xl+2x苧=4+时，

2

原式=

4+73-4

2

2/3

—

【解析】本题主要考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则.

先根据分式的混合运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得久的值，代入计算可得.

22.【答案】解：（1）如图，△MNP为所作;

（2）如图，ADEF为所作;

【解析】（1）利用网格特点和平移的性质画出4、B、C的对应点即可；

（2）先把DE绕E点逆时针旋转90。得到EQ,则△DEQ为等腰直角三角形，然后取DQ的中点F,则ADEF满足

条件，最后利用勾股定理计算PF.

本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离

确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.也考查了等腰直角三角形的性质.

23.【答案】解:(1)20+25%=80(名),

答：一共抽取了80名学生；

类类类

(3)1600x会24=480(名-)，

oU

答:估计该中学最喜欢球类的学生共有480名.

【解析】(1)根据最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%即可得出答案；

(2)先求出武术类的人数，再补全统计图；

(3)利用样本估计总体即可.

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的

条件，利用数形结合的思想解答.

24.【答案】证明：(1)••・四边形48CD是正方形，

BC=CDAD=AB,乙BCD=/.ADC=90°,

BM1CE,

：.^HMC=Z.ADC=90°,

.­•乙H+AHCM=90°=NE+4ECD,

Z.H=/.E,

在△EDC和△HC8中，

NE=CH

乙EDC=乙HCB=90°,

CD=BC

•••△EDCA”CB(44S),

・•.CE=BH；

(2)△BCG,ADCF,XDHF,LABF,

理由如下：•・•[£*=IB,

.・.AE=BC=AD=CD,

•••△EDCm公HCB,

・•.ED=HC,

vAD=CD,

.・.AE=HD=CD=AB,

在△AEG和△BCG中，

\LEAG=乙CBG=90°

/-AGE=乙BGC,

AE=BC

・•.△ZEGaBCG(A4S),

：.AG=BG=^ABi

同理可证4AFB^ADFH,

1

...AF=DF=^AD,

AG=AF=DF,

在△AEG和△ABF中，

AE=AB

AEAG=Z-BAF=90°,

AG=AF

•••△/EGAAB—S/S),

同理可证△AEG之AAEG义工DCF.

【解析】(1)由正方形的性质可得BC=CD=AD=AB,乙BCD=乙4DC=90°,由“A4S”可证△EDC2

HCB,可得CE=8"；

(2)由“A4S”可证4AEG也△8CG,由“S/S”可证△AEG之△ABG△AEGdDHF,△AEG之△OCT.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

25.【答案】解：(1)设每支Z种型号的毛笔%元，每支B种型号的毛笔y元；

由题意可得：(LV3y=24-解得：二:，

答：每支4种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元;

(2)设a种型号的毛笔为a支，则买8型毛笔(80-a)支，

由题意可得：6a+4(80-a)<420,

解得：a<50,

答：最多可以购买多少50支4种型号的毛笔.

【解析】(1)设每支4种型号的毛笔x元，每支8种型号的毛笔y元，由题意列出方程组，即可求解；

(2)设4种型号的毛笔为a支，由“总费用不超过420元”列出不等式，即可求解.

本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，找出正确的等量关系和不等关系是解题的关

键.

26.【答案】(1)证明：连。3OB,如图1,

图1

•••OA=OC,

zl=Z.3,

•••OA-OB,

•••Z.2=Z.4,

•••4。平分/CAB,

•••z.1=z.2,

z3=z4

又；OA=OA,

OAC^L0AB{ASA),

AC=AB,

zl=z2,

•••BK=CK；

(2)证明:连。C,CD,如图2,

c

w

图2

设。K=t,贝1JAK=3DK=3t,

AD=AK+DK=3t+t=4t,

・・.AO+OD=1/2AD=1/2x4t=23

・•.0K=0D-DK=2t-t=tf

OK=DK,

AC—ABZ-CAO—Z-BA,

・•・AK1CB,

・・•CB垂直平分0D,

OC—CD,

•••OC=CD,

OC=OD=CD,

：.△COD是等边三角形，

•••Z-D=60°,

在。。中，AC=AC9

Z-B=Z-D=60°,

vAC=AB,

・•.△ABC为等边三角形；

(3)解：连接B。，EF,ED,FC,过点B作BG1AE,交/E的延长线于点G,如图,

vAF1AE,

・•.EF为。。的直径，即EF经过点。.

•••AF=CE,

：.AF=CE-

AF-AC=CE-AC-

AE=CF-

・•.AE=CF.

・•,ZD是。。的直径，

・•・乙AED=AAFD=90°.

vAF1AE,

・•・四边形ZEDF为矩形.

/.AF=DE,AE=DF,

・•.AE=DF=FC.

•・•乙DAC=30°,

1

・•・^DAF=Z.CAF=乙ABF=^DAC=15°.

・•・Z-BAF=Z.BAD+Z-DAF=45°.

・•・乙EAB=90°-Z-BAF=45°.

BG1AE,

・•.△BG/为等腰直角三角形.

AG=BG,^GBA=45°.

・•.Z.EBG=Z.GBA-AABE=30°.

设GE=a,贝!JBE=2a,BG=y/~3a.

AG=BG—EG+EA=2+a.

・•・2+a=

解得：a=V-3+1.

BE=2a=2V-3+2.

【解析】(1)利用垂径定理的推论解答即可；

(2)利用垂径定理的推论得到ZB=AC,设OK=a,则4K=3a,则4D=AK+DK=4a,可得圆的半径

与弦心距，解直角三角形得到NBOK=60。，再利用圆周角定理即可得出结论；

(3)连接8。，EF,ED,FC,过点8作BG1AE,交AE的延长线于点G,利用垂径定理及其推论，圆周角定

理得到△为等腰直角三角形，设GE=a,则BE=2a,BG=/3a,利用AG=BG=EG+EA=2+

a,列出方程求得a值，则结论可得.

本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，圆周角定理，等腰三角形的性质，等

边三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判

定与性质，等弧对等弦和等弦对等弧，熟练掌握圆的有关性质并恰当的添加辅助线是解题的关键.

27.【答案】解：(1)当y=0时，ax2-2ax-3a=0,

解得％=-1,x=3,

.*.^(-1,0),8(3,0),

OB=3,

•・,OB=2OC,

3

・•.oc=f,

-3Q=£

解得a=—I；

1

(2)va=

1r31r

•••y=--x2+%+-=--(%-I)2+2,

・•・D(l,2),

设直线BO的解析式为y=kx+b,

.(k+b=2

飞忆+b=O'

解得｛矍”

・•・直线BD的解析式为y=-％+3,

•・•点P的横坐标为

1Q

•••尸。-/2+t+力

PQ//y轴，

Q(t,—t+3),

1r3In3

PQ=d=-t+3+-t-1-2t+1；

(3)当E点在K点上方时，连接4D,DB,延长/E交BK于点G,

1,0),B(3,0),0(1,2),

AD=BD=2/2,AB=4,

AD2+BD2=AB2,

・•・△4BD是直角三角形，AADB=90°,

由旋转可知NEDF=90°,

•••Z.ADE=Z.BDF,

AD=BD,DE=DF,

・••△/DE丝△8DF(S/S),

・•・Z-DAE=2DBF,

•・•乙DBF+(KBD=180°,

・••^DAE+乙DBG=180°,图1

・••点/、G、B、。四点共圆，

・•・乙AGB=90°,

・•・乙BEG=^AEP=90°-2EBK,

•・•乙PAE-乙EBK=NAPE,

・•・乙PAE=乙EBK+乙APE,

・•.Z.PAE+^AEP+/.APE=乙EBK+^APE+90°一(EBK+^APE=180°,

・••^APE=45°,

过点/作ZQ1AP交PB于点、Q,过点Q作QG1%轴交于G点，过点P作P”1%轴交于”点,

・•.HA=AQf

•・•^HAP+乙HPA=90°,^HAP+^GAQ=90°,

Z.GAQ=PA,

•••△/MP也△GQAQW),

・•.HA=GQ,HP=AG,

1a

/.PH=^t2-t-^=AG,AH=-l-t=QG,

设直线BP解析式y=pX+q,

13

--t