2024年成人高考专升本数学模拟试卷和答案(一)

2024成人高考专升本数学【模拟试题】

选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

*1.设函数/(x)=/—4x+4,xe[2,+oo),g(x)是7(x)的反函数，则()

A.g(x)=2-VxB.g(x)=2+4x

C.g(x)--2-4xD.g(x)=-2+4x

令y=/(x)=x1-4x+4=(x-2)2

nx-2=C=>x=C+2,反函数为y=2+J7,选B

*2.若与是/(x)的极值点，则()

A./''(%)必定存在，且尸(无。)=0

B.尸(X。)必定存在，但/''(Xo)不肯定等于零

C.1(%)可能不存在

D./''(%)必定不存在

应选C。例：丁=国在兀=0处取得微小值，但该函数在x=0处不行导，而/'(0)不存在

*3.设有直线=三，则该直线必定()

04-3

A.过原点且垂直于x轴

B.过原点且平行于x轴

C.不过原点，但垂直于x轴

D.不过原点，且不平行于x轴

直线明显过(0,0,0)点，方向向量为7={o,4,-3},x轴的正向方向向量为昨{1,0,o},

f.v=1X0+4X0+(-3)X0=0^/±V,故直线与x轴垂直，故应选A。

*4.幕级数在点兀=2处收敛，则级数£(一1)"%()

A.肯定收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与凡有关

在点x=2处收敛，推得对2,2),肯定收敛，特殊对％=T有

=2%(T)"肯定收敛，故应选A。

5.对微分方程y''+3y+2丁=*工，利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是()

A.y*=Ae~xB.y*-(Ax+B)e~xC,y*-Axe~xD.y*=Ax2e~x

二.填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

*6limJ/+X+1-X_

6+8---------------------------•

7.设y=J,则y'=

1I

rM

*8.设F(『2)(x)=edt,则F(x)=

解：…）（X）=（尸5一2）（幻），=（『etdty=2%/-/

方⑺（x）二（/（〃一1）（力）'=（2xex2-exy

=2e"+4，e'-ex

=4x2ex+2ex-e

ddx

*9.

xVl+lnx

解「dx/芈上=2"Ziq

xVl+lnx1Vl+lnx1

=273-2=2(73-1)

10.设2=511(1+工2+y2),则dz|0

，i)

*11.己知之=1.2,1,b=2,-1,1},则过点Mo。，1，1）且同时平行于向量1和B的平面

的方程为.

1k

面的法向量为方=axb121^3i+j-5k

2-11

平面的方程为3(x—l)+(y—1)—5(z—1)=0即3x+y—5z+l=0

12.微分方程电+3y=e21的通解是.

dx

8(X—]\2n

*13.募级数/的收敛区间是.

"=o9

蝌人(、(X-1)2",、(x—1严2

解：令4,(X)=——，/+i(X)=———

lim小X)…(X-1产29"(X-

…%,(x)_Q89n+1(X—1)2'_9

（x-n2

由<9,-1解得,—2vxv4,于是收敛区间是（—2,4）

14.设M=T+7+2无，则与商同方向的单位向量=

*15.交换二次积分/=£公y）办的次序得/=

解：积分区域如图所示：D：y<x<77-0<y<l,于是

/=£右[；/(尤，y)dy

f(.x,y)dx

三.解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题〜第25题每小题6分，第26题〜第28题每小题10

分，解答时应写出推理，演算步骤。

、，grx+(arctanx)2,

*16.计算--——丁

J1+x-

2

x+(arctanx)

解」—dx

1+x2

X7(arctanx)2,

4-----ax+-------3—ax

1+x21+x2

1fJ(l+x2)

+j(arctan42d(arctanx)

21+x2

Ip/.7I,、q

=—ln(l+xx)+—(arctanx)+c

*17.设/(x)=/普，求Ho/(I+//)-/(1)

h

/(I+//)-/(1)

解：火。=/'(1)

h

“2eT

v3

18.判定函数丁=——的单调区间

3-x

19.求由方程"2-1：1工3”0所确定的隐函数丁=丁(%)的微分力

*20,设函数/(x)=Inx-Jj(x)tZx,求Jj(x)dx

解：设A=J，(x)dx,则/'(x)=lnx—A,两边求定积分得

A=j于(x)dx={(In%-A)6?X

—(xInx—x—Ax)|；——Ac+A+1

解得：A=~,于是

e

/(%)-Inx--

e

gr_iv

21.判定级数—的收敛性,若其收敛，指出是肯定收敛，还是条件收敛?

n=\yjn2+4n

、rL2,23］、.

22.设z=xsiny+xy,求----

dxdy

23.求微分方程V'+3y'+2y=%"的通解

*24.将函数/(x)=arctan2x绽开为麦克劳林级数

Q00

解：/'(x)=(arctan2x)'=--=2^(-4x2)"

00

=Z(-1)'22'+室"(--<%<-)

n=022

00

/(x)—/(0)=⑺由=50(—1)〃22向”也

n=0

0000rs2n+l

=£(-l)"22n+1£x2,,Jx=£(—1)乙2n+l

Ji

n-0n=02n+l

ooo2n+ii[

即/(%)-arctan2x=X(—

士D"2L"+l22:

25.设;/'(/)=4，求/•'(1)

clxx

26.求函数Z=Jl—X?—y?在条件y—g=0之下的最值。

v3

*27.求曲线y=-------的渐近线

(x+1)2

无3

解1.(1)•Jimv=血____=0c

用，•x-><x>y%.oo(x+1)2-

曲线没有水平渐近线

一

(2)鳖Ty=，:12=9,曲线有铅直渐近线X=T

0+1)2

(3)lim2=lim—---=1=4

X(X+1)

臂G-依)=乜(^717—X)

x3-x3-2x'-x

lim=—2=6

x—>00(X+1)2

所以曲线有斜渐近线

y=x-2

*28.设区域为D：1<x2+y2<2,y>0,

解：积分区域如图所示（阴影部分）

=-5",=兀-V2)

【试题答案】

1.-^y-f{x)-x2-4x+4=(x-2)2

=>x-2=J7=>x=J7+2,反函数为y=2+J7,选B

2.应选C。例：y=|x|在x=0处取得微小值，但该函数在x=0处不行导，而/''(0)不存在

3.直线明显过(0,0,0)点，方向向量为7={0,4,—3},x轴的正向方向向量为口={1,0,0卜

f.v=1X0+4X0+(-3)X0=0^/±V,故直线与x轴垂直，故应选A。

0000

4.在点兀=2处收敛，推得对Vx°e(—2,2),肯定收敛，特殊对公=—1有

n=0n=0

00co

»〃其=2>"(T)'肯定收敛，故应选A。

n=0n=0

5.产+3/+2=0特征根为「=—1,G=—2,由此可见戊=—1(・.・小*=/一以=)是特征根，

于是可设y*=幼6一"=Axe-”,应选C。

limvX3+X+1—X

lim

6.x—>+oo3/2x->+oo

X

x2r22x2J

,e(l+xV=)--e----(-l-+---x---)-'----(-l--+--x-----=2-x-)--e-------(-x-----l-)--e=-------------

7.)/一2、2--2、2(1+1)2

(1+/)2(1+x2)2

,xx

8.解：“1)(九)=(*"-2)(尤))=([edt)'=2xe-e

F(n\x)=(尸(*T)(%))'=(2xe，-exy

=2e，+4x2e?-ex

=4x2/+2ex2-ex

解「-^==r"%喳=2行很「

JixV1+InxJ】Vl+lnxk

=2g-2=2(6-1)

dix

——----------•

dx1+x2+y2

2丁/IIf

耳=江1干=耳，+y

隹如+包办)

金(1.1)砂(1,y)"

Jk

11.平面的法向量为为=axb=121=3i+j-5k

2-11

平面的方程为3(x—1)+。一1)—5(2—1)=0即3x+y—5z+l=0

12.解：p(x)=3,q(x)=e2x

通解为y=e

=e~^d\\e2xe^dxdx+c}

e-3x(fe5xdx+c)

e-3G5,+c)

-e2x+ce-3x

5

(x—1产(x-l)2n+2

13.解：令M〃(x)=M“+i(X)=

9"9〃+i

2n+29〃_(X-1)2

limlim(x-1)

oon—>oo

”“(x)9用(x—1产~9

(X_1)2

由19><1解得,—2vxv4,于是收敛区间是(—2,4)

14.同="+12+22=&，&0=3=—寻

15.解：积分区域如图所示：D：y<%<y/y,0<y<1,于是

yydyf(x,y)dx

2

x+(arctanx)

16.解」—dx

1+x2

(arctan%)2

[—^—rdx+—dx

J1+x2'1+x2

1fJ(l+x2)

+j(arctanx)2d(arctanx)

21+x2

9X1/、1

ln(l+%-)+—(arctan%)+c

/(l+/z)-/(l)

17.解：巴=/'(1)

h

__L9

e'『a=2eT

融,3x2(3-x2)-x\3-x2y

18.解：”-------2

X2(9-X2)

~(3-x2)2

当一3<%<3时，y>0,函数单调增加；当x<—3或x>3时，y<0,函数单调削减，故函数的

单调递减区间为(—8,-3)0(3,+00),单调递增区间为(—3,3)

19.解：方程两边对x求导(留意y=y(x)是x的函数)：

y'/+2孙一Jl+j?-y=0

2孙

解得y'=

+y2-x2

2xy

ndy=y'dx"=----ax

+y2-x2

20.解：设4=［，(％)公，则/(x)=lnx—A,两边求定积分得

A=If{x}dx=J(lnx-A)dx

—(xInx—x—Ax)|；=—Ac+A+1

解得：A=-,于是

e

/(%)=lnx--

e

0000

21.解：(1)先判别级数Z/J的收敛性

=z2

n=ln=lYn+n

1A

令/=/J>—,=-=----

J"2+"V(n+1)2"+1

•・・00£匕oo1

=z发散

n=ln=l〃+1

00001

=发散

n=ln=l+〃

(2)由于所给级数是交织级数且

11

<1>"”=/、:>/==%+i

A/H2+nJ(〃+I)?+(〃+1)

<2>KM“=0

由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。

22.解：—=2xsiny2+

为

今zddi日0.23、

----二——(——)二——(2xsiny+y)

dxdydydxdy

=4%ycosy2+3y2

23.先求方程y'+3y'+2y=0的通解：

特征方程为户+3厂+2=0,特征根为G=-1,々=—2,于是齐次方程通解为

x2x

y=Cle~+c2e~・(1)

方程中的/(%)=%"=找以，其中a=1不是特征根，可令

y*=(ax+b)ex

则丁*'=(。犬+4+b)ex,y*''=(ax+2。+b)ex

代入原方程并整理得

(6ax+5a+6b)ex=xex==1,

5a-\-6b=0=>a=—b=---

6936

〉*=&_2)/……(2)

636

_i5

所求通解为y=y+y^=ce~x+ce~2x+(—x----)ex

x2636

O00

24.解：f\x)=(arctan2x),=-----7=2V(-4x2)