广东省梅州市2024届高三年级下册2月总复习检测数学试题

广东省梅州市2024届高三下学期2月总复习检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=,8={x|-l<x<2},/口”=穴,贝I。的取值范围为

（）

A-（-00,-1]B.（-1,2]

C-[-1,2）D.[2,+8）

2.已知2-i（其中i为虚数单位）是关于x的方程/+.+4=0的一个根，则实数乙

q分别等于（）

A.p=4,q=5B.p=-4,q=-5

C.p=—4,q=5D.p=4>q=-5

二、多选题

3.某单位有职工450人，其中男职工150人，现为了解职工健康情况，该单位采取分

层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本，得出体重情况：男性平均体重为63

千克；女性平均体重为54千克.则下列说法木加端的是（）

A.抽查的样本中女职工人数为60

B.该单位男职工的体重普遍比女职工较重

C.估计该单位职工平均体重为58.5

D.每一位男或女职工被抽中的可能性均为■

5

三、单选题

4.某圆锥的底面直径和高均是2,则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径

试卷第11页，共33页

为（）

A.遥+]生

B.1r

22

石+

C,1D.A/3-I

22

5.已知tan1a+；卜-2,则^2a=（

)

A.-B.-C.D.-i

544

2222

6.如果双曲线》—匕=1的离心率为2,那么椭圆X上了=1的离心率为（

m2n2m2n2

1B,五V3D.男

A-5C.

223

7.已知是锐角二角形，角A，B9c所对的边分别为a，b，c，S为的

面积，2S=b2+c2-a\则二的取值范围为（）

b

A《臼B「

、

C『D.惇

,2

8.如图，正四棱柱/BCD-4qCQi中，AA]=24B=2，点户是面上的动点,

若点P到点D1的距离是点P到直线AB的距离的2倍，则动点尸的轨迹是（）的一

部分

试卷第21页，共33页

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

四、多选题

9.已知直线加，”和平面a,B,且"ua,则下列条件中，P是q的充分不必要条

件的是（）

A.p-.m//a■>q:m//nB.p-.mVa>q:m1.n

C.p:a//y?>q:n///3D.p：於1,q:aL/3

10.已知函数/（x）=esin，_e”"，则下列说法正确的是（）

A.〃x）的图象关于直线x=£对称

B.〃x）的图象关于点中心对称

C.〃x）是一个周期函数

D./（x）在区间（0,无）内有且只有一个零点

H.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并

且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9,

1->2-3-5->7-8-9就是一条移动路线.从1移动到数字〃（??=2,3,...,9）的不同路

线条数记为厂“，从1移动到9的事件中，跳过数字〃（〃=2,3,…,8）的概率记为2,则下

列结论正确的是（）

试卷第31页，共33页

Brr

A.々=8-„+l>n

c.小=2D.Pi>Ps

534

五、填空题

一—fCP

12.已知6,e?表示两个夹角为生的单位向量，。为平面上的一个固定点，为这个

3

平面上任意一点，当历=x[+y[时，定义(x,y)为点P的斜坐标•设点0的斜坐标为

(2J),则仅卜

133+33+333-1----1-333---3=

*〃个3*

14.已知圆。：卜_4)2+1，=5，点尸在抛物线7：/=4x上运动，过点尸引圆C的切线,

切点分别为A,B,则J4用的取值范围为—.

六、解答题

15.设｛%｝是等差数列,也“｝是等比数列.已知q=4=4,b2=a2+\b3=2a3-4-

⑴求｛叫和也｝的通项公式;

(2)数列｛4｝和也｝的项从小到大依次排列(相等项计两项)得到新数列匕｝，求｛%｝

的前50项的和.

2

16.甲、乙两人进行五局三胜制乒乓球比赛，已知每局比赛，甲胜的概率为乙胜

试卷第41页，共33页

的概率为g.

(1)求甲赢得比赛的概率；

(2)求两人比赛局数的数学期望.

17.已知三棱柱48C由18c中，AB=AC=2'ZBAC=120°.且3C=28B］，

NC88］=60。，侧面3CGM_L底面48C,。是BC的中点•

(1)求证：平面G4D_L平面440；

(2)在棱44上是否存在点0,使得80与平面/CG4的所成角为60°.如果存在，请求

出生；如果不存在，请说明理由.

AAX

18.已知函数/(x)=ln(x+l)-鼻伍>0).

(1)若X=1是函数/(X)的一个极值点，求。的值；

⑵若/(x)20在［0,+8)上恒成立，求。的取值范围；

(3)证明：［陋)>e(为自然对数的底数).

(2023J

19.有一种曲线画图工具如图1所示，0是滑槽Ng的中点，短杆ON可绕°转动，长

杆的通过N处钱链与ON连接，々W上的栓子。可沿滑槽滑动，且

试卷第51页，共33页

m1=£W=ON=1.当栓子。在滑槽45内做往复运动时，带动N绕。转动，跟踪动点

N的轨迹得到曲线G，跟踪动点河的轨迹得到曲线02，以O为原点，43所在的直线

为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

⑴分别求曲线G和的方程;

⑵曲线q与x轴的交点为E，F，动直线/:了=依+机与曲线G相切，且与曲线g交

于p，0两点，求尸0的面积与△KPQ的面积乘积的取值范围，

试卷第61页，共33页

参考答案:

1.D

【分析】求出忘8,根据并集结果得到答案.

【详解】锣=｛木4一1或%之2｝，4=｛小＜4，4D$B=R,

故〃22，贝IJ。的取值范围为[2,+Q0）.

故选：D

2.C

【分析】将2为代入方程，根据复数相等的知识列方程组，由此求得正确答案.

【详解】将2-i代入/+px+q=0得（2-叶+°（2-。+4=0，

所以4_4i_]+2p_pi+q=3+2,+g_（4+p）i=0，

所以13+20+4=°,解得°=一4，"=5.

14+P=0

故选：C

3.ABD

【分析】根据分层抽样、平均数、古典概率等知识确定正确答案.

【详解】A选项，抽查的样本中女职工人数为90x竺纪竺=60,A选项正确.

450

B选项，男性平均体重为63千克；女性平均体重为54千克，

所以该单位男职工的体重普遍比女职工较重，B选项正确.

C选项，估计该单位职工平均体重为受x63+受二1丝x54=57,C选项错误.

450450

Q01

D选项，每一位男或女职工被抽中的可能性均为里=±,D选项正确.

4505

故选：ABD

4.B

答案第11页，共22页

【分析】作出圆锥的轴截面，设内切球的半径为凡利用三角形面积关系建立关于R的方

程，解之即可求解.

【详解】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为。，半径为七

AB=2,CG=2F--------------------------1-

则，所以4C=BC=Q（学）2+CG2=6,

又S“ABC=S-4DB+S«ZDC+^ABDC

即gx2x2=gx2R+；xy/^R+gxy/^R,

解得&=二尸=立匚，即内切球的半径为1二1.

1+V522

故选：B

5.C

【分析】先求得，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

tIdallnCXa.

【详解】依题意，tanfa+¥t、=」^=_2,tana=_3，

2sinacosa2tana-6_3

所以sin2a=•72--

sma+cosatan2a+19+T5

故选：C

6.D

【分析】根据双曲线、椭圆的标准方程与离心率的定义计算即可求解.

22

【详解】由题意知，双曲线二一匕=1的离心率为2,

m2n2

答案第21页，共22页

则=2,解得加=〃2,得"=5n,

m2

所以椭圆W+E=l（">，"）的离心率为e=J2-">=奥=如.

犷n43m3

故选：D

7.A

【分析】先求得tan4sin"，cos’,利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简£,利用三

b

角函数值域的求法求得正确答案.

【详解】依题意,2S=besinA=b2+c2-a29

sin/=2丘Z

=2cos4tanZ=2,

2bc

.,275,V5

sin/=2cos/smA=-^,cosA=-

由<sin2A+cos2A=1角毕得

0<Y

c_sinC_sin（4+5）_sinAcosB+cosAsinB

bsinBsinBsinB

2V51V5

=--------------1-----'

5tan55

ABC兀

0<B<-

2

由于三角形是锐角三角形，所以

所以0<—A<B<—,所以tan8〉tan（二一

22（2J

答案第31页，共22页

1sin/

所以0<=tanA=2,

tan5cosA

所以0〈拽，〈迪，正〈拽，

5tan8555tan55

故选：A

8.C

【分析】建立如图空间直角坐标系，设尸(1,加,〃)(〃>0)，利用两点距离公式可得

9("+；>3川,即可求解.

------------=1

1919

【详解】由题意知，以。为原点，所在直线分别为工〃/轴建立如图空间直角

坐标系，

则4(1,0,0),5(1,1,0),A(0,0,2)，设P(l,加,〃)(加,〃〉0)，

所以西二(-1,-私2-〃)，

因为。到2的距离是P到AB的距离的2倍，

所以I西卜2〃，即+(-相『+(2-1)2=4/,

?

整理，得9(〃+?)23/.］，

1919-

所以点尸的轨迹为双曲线.

故选：C

答案第41页，共22页

9.BCD

【分析】结合命题的充分不必要条件：由线面关系可得到A错误；由线面垂直的性质和判

定可推出B正确；由线面平行的性质和判定可推出C正确；由面面垂直的性质和判定可推

出D正确.

【详解】A：若加〃a，nua,则直线加，〃可能平行或异面，所以，不能推出故A

错误；

B：若p：〃7_L(z，则直线"2垂直于平面a的每一条直线，又”ua,所以成立，

但若成立，根据线面垂直的判定，还需在平面。找一条与〃相交的直线，且加不

在平面a内，故4不能推出P，故B正确；

C：若p：a〃/3,且“ua,由面面平行的性质可知，"：〃〃尸成立；反之，由线面平行的

判定可知当4：7?〃户，不能推出〃尸，故C正确；

D：若且〃ua,由面面垂直的判定定理可知g：a_L£成立；反之，若g:aJL/?,

且"ua,则直线〃与平面万可能成任意角度，故D正确.

故选：BCD.

10.BCD

【分析】根据函数的对称性、周期性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

答案第51页，共22页

兀兀

【详解】AB选项，/（X）的定义域为"，fsin——Xcos----X

e-e2.=ecos%-esinx=-/(%)J

所以“X）关于点（,oj中心对称，A选项错误，B选项正确.

C选项,小+2叫=sg+2处2MA告=sing_cosx=f(x)'

所以〃X）是周期函数，c选项正确.

COSX=sinxe8sx

D选项，令/（%）=©,由”e0得e=，

所以smx=cosx,在区间（0,兀）上，解得x=；

所以/（x）在区间（0,兀）内有且只有一个零点，所以D选项正确.

故选：BCD

11.ABD

【分析】画出树状图，结合图形及古典概型逐项分析判断.

【详解】画出树状图，结合图形

里

审一中

一市,申电

而j7^

申：、

、、989f

9r99

9r999

9

结合树状图可知:4=l,q=2,q=3遇=5,々=8,弓=13,狠=21,4=34，

对于选项A：可知々=8，故A正确;

对于选项B：均有今+］〉/，故B正确;

答案第61页，共22页

对于选项c：因为4=34,过数字5的路线有5条，所以°5=1-2="，故c错误；

丫§34

对于选项D：因为P7=l-2=卫,°8=1-至=2,所以a＞小，故D正确；

434434

故选：ABD.

12.疗

【分析】根据条件得到而=21+,，再利用模长的定义及数量积的运算，即可求出结果•

【详解】由题知丽=21+晟，又以表示两个夹角为二的单位向量，

3

所以阿卜^OQ-OQ=5(2亲+斤=,疝+或3+刀=14+4xcos/+1=V7，

故答案为：jy.

13,1£1_H_10

27327

【分析】考查等比数列的求和运算，首项根据已知构造出等比数列，观察发现数列乘以g

后的每项都为10"一1的形式，然后用等比数列的求和公式求解即可.

答案第71页，共22页

3+33+333+…+333…3

if)

=-9+99+999+…+999-♦9

=1[(10-1)+(102-1)+---+(10,,-1)]

【详解】iFiofi-io")

-31-10n

_\(10"+1-10]

W-9n)

_10,,+1n10

-^7--3-27

故答案为：吟发吟

【分析】设尸(%,%)，将|/用表示为只含毛的表达式，结合二次函数的性质求得J4耳的取

值范围.

【详解】依题意，圆c：(x_4)2+/=5的圆心为。(4,0)，半径r=后，

抛物线T：/=■的焦点为尸(1,0)，画出圆和抛物线的图象如下图所示，

设尸(x。，%)，则*=4%，

|尸［=--4)'+说,切线长归闻=\PB\=耐1二3=J(x。-4y+y；-5,

由Rt△曲C~RtPAC^\AD\_\AC\则⑷=3'

1"而'

pr1JP

"C垂直平分弦，则|/8|=2|/"=21PHxr

\PC\

答案第81页，共22页

55

即|4B|=2雄,'(/―4)+y匚£=26.11-2—=2y/5-11-2—

「

J(x4?+y：V(%-4)+yo1(%-4)+4x0

5

=2后11-2-

\(x0-2)'+12

又x020,则(％-2)?+12N12,即0<-------——49,

(%-2『+1212

口二<1———<1"<115<1

则12(x0-2)+12，则61-2)2+12，

所以1,却的取值范围是

【点睛】求解直线和圆相切有关问题，可以考虑圆的几何性质来进行求解，如本题中,

P4P2是切线，则连心线尸C垂直平分48，APAC,P2C是直角三角形等等.要求弦长的

取值范围，可先求得弦长的表达式，然后根据表达式的结构，考虑二次函数的性质、基本

不等式的知识求得求得最值.

15.⑴%=3〃+1也=2向

答案第91页，共22页

(2)3266

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为4等比数列的公比为4,根据等差数列、等比数

列的通项公式建立方程组，解之即可求解；

（2）推出数列｛.｝的前50项中含有数列也,｝的前6项且含有数列｛%｝的前44项，结合分

组求和法计算即可求解.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为4等比数列的公比为4，

4q=d+5,解得d=3

则=%+d+1即

2=2(/+2d)—4’

4/=4d+4q=2

n[M+1

所以a”=ax+（n—1）J=3n+l,bn-b｝q~=2•

（2）当数列｛0“｝的前50项中含有数列也｝的前5项时，

令3〃+1=产=64,得〃=21，则第26项为64，

当数列｛cn｝的前50项中含有数列｛〃｝的前6项时，

6+1

人3«+1<2=128,口1274cTSZ；At1CC

令，得"<—,则第48项为128；

3

所以数列｛c“｝的前50项中含有数列也｝的前6项且含有数列｛%｝的前44项，

故数列｛c“｝的前50项和为

S50=[44x4+44（：_l）x3]+4（；-；）=3266.

16.（D—

81

答案第lOl页，共22页

107

⑵万

【分析】(1)利用互斥事件的概率公式，分三种情况讨论，再求和.所分情况为：前三局

甲获胜；比赛四局，甲前三局胜两局，第四局甲胜；比赛五局，甲前四局胜两局，第五局

甲胜.

(2)先求出随机变量猿的可能取值，再求出对应的概率，最后用数学期望公式求出即可.

A.

【详解】(1)由已知可得，甲赢得比赛有以下三种情况：

前三局甲获胜，概率为：

比赛四局，甲前三局胜两局，第四局甲胜，概率为：22

313327

比赛五局，甲前四局胜两局，第五局甲胜，概率为：A=

\3)381

所以，甲赢得比赛的概率为「$+

(2)设两人的比赛局数为X,则随机变量X的可能取值为3,4,5,

P（X=4）=Cil-

尸(X=5)=l一尸(X=4)一尸(丫=3)=1一；吟吟,

则数学期望为唱+54107

~Z1

答案第111页，共22页

17.(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)根据余弦定理求得8c=54=6住面面垂直的判定定理、线面垂直的性质

即可证得OE,oc,Og两两垂直，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可证明；

(2)由(1),设通=4麴(0<4<1)，利用空间向量法求解即可.

【详解】(1)在中，AB=AC=2,ABAC=120°,由余弦定理，

得C°S4"="2+"「BC2=4+4-8C2解得8C=2。，得BB、=拒.

2AB-AC8

在中，BB\=BD=M,NDBB\=60"，则△88］。为正三角形，

取2。的中点。，连接OB』则OBJBD,又平面_L平面/2C,

平面CBBGn平面4BC=BC,OBt<=平面CBBG，所以_L平面ABC•

取4g的中点E,连接。E,则os////)，而所以0E_L3C，

由OE、OCu平面/2C，所以_LOE,O4_LOC，

以。为原点，以OE,OC,OB、所在直线为X,%z轴建立如图空间直角坐标系，

o/Tpy&

则B,(0,0,-),^(1,,0),£>(0,,0),C,(0,273,-),

所以而=(-i,o,o),福=(o,乎$,葩=(-「*；),

设平面C/D和平面的一个法向量分别为*=«,弘,z)a=&/2，Z2)'

答案第121页，共22页

>»

4•AD=一再=0n2•AD=—x2=0

则

---------3G3V3,3__

n2-ABX=­x2万力十/2=0

令乂=4,%=百,则王=0,4=—3,%2=。/2=1,

所以成=(0,e-3),第=(0,6,1)，所以).以=0,

故平面3AD1平面B{AD；

(2)由(1)知，c(0”,0),3(0,岑0),A(l,—,0)-((0,0,|),G(O,2"|),

由函=怒，即(0,4.)=区-1"名力得4(1,后|)

222乙

所以就=(T,6,0)冠=(0,哈•!).=(()，¥$,设“。=4.(0<4<1)

则而=(0,4,|⑷，又胡=(1,后0),

所以而=9+而=(1,6+争争,

设平面NCG4的一个法向量为7=(x,y,z)，

n-AC=-x+y[3y=0k1x=G,z=-Gn=(V3,l,->/3)

则“3G3令‘得‘所以

n-AC,=-----y+—z=0

12-2

,_,\BQ-n\|2V3-V3A|

〜,sin600=cosBQ,n\=~~-=

所以1〜阙同

l+(V3+^A)2+(y)2一了,

整理，得17万-52+12=。，方程无实数解，

答案第131页，共22页

所以在441上不存在点Q，使得30与平面/CG4所成角为60、

18.⑴1

⑵(0,1]

⑶证明详见解析

【分析】(1)由尸(1)=0求得。，验证后确定a的值.

(2)对。进行分类讨论，根据f(x)在区间[o,+8)上的最小值不小于0求得。的取值范围•

(3)将要证明的不等式转化为证明M吗一_L>o,结合(2)的结论来证得不等式成

20232024

立.

【详解】⑴〃x)=ln(x+l)-含伍>0),定义域为(T+⑹，

/(x)=^E(a>0),因为”=1是/(X)的一个极值点，

(尤+1)一

所以⑴=之彳"=0,a=2.

此时/(X)=上!,所以“X)在区间(-1,1)上/■《)<0,/(x)单调递减，

(x+l)-

在区间(1,+8)上/，(x)>0J(x)单调递增，所以尤=1是的极小值点，符合题意，

答案第141页，共22页

所以a=2・

(2)因为/(力20在［0,+s)上恒成立，所以/(x).>0-

当°<“<1时，r(x)=叶=>o在他+的上恒成立，

(x+1)，

，(x)在［0,+oo)上单调递增，所以/@)向“=/(0)=0成立，符合题意・

当">1时，令/(x)=廿二>0,得X>"1,

令/(幻=》+1一0<0,得°<x<"l

(x+l)’

所以y(x)在(o,a7)上单调递减，在(“_i,+8)上单调递增,

当x£(0,a—l)时，/(%)</(0)=0，这与〃%)之0矛盾•

综上所述，。的取值范围是(0川.

20242024?0241

(3)要证明2024I>e,即证明In2024I>ine，即证明In吗—一—>0,

20232023I>me20232024

由(2)得"1时，〃X)=111(》+1)-3在(()，+00)上单调递增,

1

J11i八112023i20241，小八

v7

历么(2023)I2023J1+120232024'

2023

从而原不等式成立.

【点睛】求解函数在区间上的最值的步骤：(1)确定了(力的定义域；(2)计算导数

/〈X)；G)求出/，(x)=o的根；(4)用/，(x)=o的根将/(X)的定义域分成若干个区间,

答案第151页，共22页

考查这若干个区间内广（X）的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间来求

得最值.

2

19.(i)G：x+r=i;0J2=1

29

⑵(0,2]

【