2024高考数学模拟试卷与答案 (三)

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.集合A={0J2},集合B={-2,0,1},则405=（）

A.{0,1}B.{-2,0}C.{-2,1,0}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根据交集的定义计算可得.

【详解】因为A={0,1,2},B={-2,0,1},

所以AC3={0,1}.

故选：A

2.若复数z满足（3—4i）z=l,则目=（）

111

A,1B.—C.—D.—

5725

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.

3+4i3+4i34.

【详解】由（34i）z=loz==

3-41-（3+4i）-（3-4i）-25_2525）

所因上扃J+3《

故选：B.

3.已知非零向量£、B满足W=2同，且则£与B的夹角为（）

71兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

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【答案】A

【解析】

【分析】分析可得q=0,利用平面向量数量积的运算性质可得出cos(ZB)的值，结合平面向量夹

角的取值范围可得出Z与B的夹角.

【详解】因为非零向量£、B满足W=2同，且力"办

则3仅闷=/一力=@一郎B|cos〈词第、2时飞(词=0,

所以，cos(a3)=；,又因为04卜,后)〈兀，故卜,3=1.

7T

因此，〃与Z?的夹角为

故选：A.

「匕八兀1八/

4.已知tan0H—=—tan0—,则cos29=(

I4J22

14

A.——B.C.D.

2255

【答案】C

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan。的方程，解出tan。的值，再利用二倍角的余弦公式以及

弦化切可求得cos2。的值.

tan"八+tan—71

tan6+1

【详解】因为tan6+：4=一tan6——,

1八兀I一tan。22

I-tan6tan一

4

整理可得tan?6-6tan6+9=0，解得tan。=3,

,八八cos2sin20I-tan20l-9_4

所CCI以>，cos26=-----------=.....—

cos"0+sin0l+tarrdT+9'

故选：C.

5.已知函数/(x)=sin2x和直线/：y=2x+a,那么“直线/与曲线_y=/(x)相切”是“a=0”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

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【解析】

【分析】根据直线/与曲线y=/(x)相切，求出a=-2E#eZ,利用充分条件与必要条件的定义即可判

断出结论.

【详解】设函数/(x)=sin2x和直线/:y=2x+a的切点坐标为(％,%),

f'(%)=2cos2%=2,,

则＜'),可得1=一2痴,左wZ,

[sin2x0=2x0+a

所以〃=0时，直线/与曲线y=/(x)相切；

直线/与曲线y=/(x)相切不能推出1=0.

因此"4=0”是"直线/与曲线＞=/(%)相切”的必要不充分条件.

故选：B.

6.已知a,6为正实数，且a+26=l,则幺山+”山的最小值为()

ab

A.1+2V2B.2+2V2C.3+2亚D.4+2收

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【详解】正实数满足a+2少=1,则±±1+"1±1=(。+2»+(工+！)=1+(。+2加(工+工)

ababab

=4+—+-＞4+2,—--=4+272,当且仅当竺=幺，即a=®=血一1时取等号，

ab\abab

所以当。=及—1/=1—交时，仁生+丝二生取得最小值4+20.

lab

故选：D

7.已知三棱锥S—ABC如图所示，AS、AB.AC两两垂直，且AS=AB=AC=2也，点E、/分

别是棱AS、3S的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点，则空间几何体ERG-ABC的体积为

()

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A.B.2V2C.I血D.

663

【答案】C

【解析】

【分析】过点G作GH〃AC,交SA于点”，证明出GHL平面S4B,计算出三棱锥C—S4B、G-SEF

的体积,可得出VEFG-ABC=Vc-SAB—%-SEF,即可得解.

【详解】过点G作G"〃AC,交SA于点X,

因为ACLA5,AC1SA,ABc^AS=A,AB.ASu平面SAB,

所以，AC，平面SAB,

因为GH〃AC,则GH,平面SAB,且也='=2,则GH=°AC=±2,

ACSC442

111//—\2

因为E、歹分别为SA、3s的中点，则54£尸=154^5=^><5><（2夜）=1,

所仪”_1c心订_113血一血

所以，VG-SEF=^SASEF-GH=~xlx—^=~,

v_1v11J_8>/2

^C-SAB一耳S^SAB.AC_1义5X（212J-3，

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8V2V2_13V2

因此,VFpCABC—C4D~^cSFF

tLrkj—L^—D/\DCJ—ocrT~6

故选：C.

8.已知数列｛a*｝为有穷整数数列，具有性质p：若对任意的〃e｛1,2,3,4｝,&｝中存在《，aM,

aHHan

4+2，…，i+j(z>1,jN。，i,jeN*),使得4+G+i+@+2------i+j=<则称｛%』为4-连续可

表数列.下面数列为4-连续可表数列的是()

A.1,1,1B.1,1,2C.1,3,1D,2,3,6

【答案】B

【解析】

【分析】根据新定义进行验证即可得.

【详解】选项A中，。]+%+。3=3，和不可能为4,A不是4-连续可表数列;

选项B中，q=l,q+。2=2,%+。3=3,%+。2+。3=4,B是4-连续可表数列；

选项C中，没有连续项的和为2,C不是4-连续可表数列；

选项D中，没有连续项的和为1,D不是4-连续可表数列.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是()

A.°1=(k,8),若a〃b,贝必=6

B.若a.c=B.c且CH。，则a=B

C.若点G是口ABC的重心，则：+岳+历=0

D.若向量Z=(—1,1),3=(2,3),则向量B在向量Z上的投影向量为三

【答案】CD

【解析】

【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直的表示可判断B选项；利用三角形重心的

向量性质可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，已知二(|,%],b=(k,8),若舒/M则左2=8X^|=36,解得左=±6,A错；

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对于B选项，若鼠，=3.工且工H6,则a-c—6-c=c-(a-6)=0,

所以,£=B或c'(a汨,B错；

对于C选项，若点G是口ABC的重心，则由+无+反;=6，C对；

对于D选项，若向量a=(—1,1),b=(2,3),

i-I/——\(2i-I(2,bcia•b-1-

则向量B在向量£上的投影向量为忖c°s(a,冲口=忖•心国•口=『［a=］a,口对.

故选：CD.

01

10.已知函数/(%)=cos%+sinxcos%-］的图象为C,以下说法中正确的是()

A.函数“X)的最大值为誓1

TT

B.图象C相邻两条对称轴的距离为一

2

C.图象c关于［―W，o］中心对称

D.要得到函数y=^sinx的图象，只需将函数/'(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移:个

单位

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

21

【详解】因为/(x)=cosx+sinxcosx--

cos2x+l1.1V2fV2V2V2.f兀)

=------------+—sm2x——=————sin2x+——cos2x=——sin2x+—,

2222(22J24j

所以函数“X)的最大值为多，故A错误；

函数/(x)的最小正周期7=呼=兀，所以图象C相邻两条对称轴的距离为:，故B正确；

因为/=^^sin2x^――^+—=0,所以图象C关于［―可,。］中心对称，故C正确；

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将“司=1^«2X+：)的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到y=¥sin|x+£|,

再将y=^lsinfx+-^向右平移三个单位得到y=Y2sinx，故D正确；

*214)42

故选：BCD

11.若函数/(x)的定义域为。，若对于任意西£，都存在唯7的当e。，使得〃%)+〃％)=1，

则称/(x)为“/型函数”，则下列说法正确的是()

A.函数〃x)=ln%是"/型函数”

B.函数/(x)=sinx是“/型函数”

C,若函数/(%)是“/型函数”，则函数1-“X)也是“/型函数”

兀兀1

D.已知meR,若/(x)=H?+sin%,xe-5-是'7型函数"，则机=—

222

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据所给函数的定义求解C,根据对数运算求解A,根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.

e

【详解】对于A,由/(%)+/(%2)=1可得出西+lnx2=l^>lnx1x2=e,所以％=一，故A

x\

正确，

对于B,取％=-|,贝!]由/(占)+/(%2)=1以及/(x)=sinx可得sin%=0=%2=攵兀，左eZ,故这与存

在唯一的％6。矛盾，故B错误，

对于C,由于函数/(x)是“/型函数”，则对于任意西€。，都存在唯一的％W。，使得

/(%,)+/(%2)=1,故1一/(占)+1-/(%2)=1，因此对于对于任意苞e。，都存在唯丁的使

得1-〃菁)+1-"々)=1，故1-〃龙)是“/型函数”,C正确，

对于D,对于任意玉©。，都存在唯一的々e。，使得加+sin%+根+sin%2=1，所以

兀兀「1

sinx2=1-2m-sin,由于——e[-1,1],所以

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「1兀兀、、

sinx2=1-2m-sinx1G[-2m,2-2m,],由于y=sinx在xe单调递增，

所以-2加之一1且2-2加,故机=',D正确，

2

故选：ACD

12.已知棱长为1的正方体ABC。-aSG，中，尸为线段4。上一动点，则下列判断正确的是（）

A.存在点P,使得。1尸〃4片

B.三棱锥P-BG。的外接球半径最小值为丑

3

c.当P为4c的中点时，过P与平面3G。平行的平面截正方体所得的截面面积为逆

4

4

D.存在点P,使得点尸到直线用£的距离为二

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A,根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B,

根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C,建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由

二次函数的性质即可求解D.

【详解】由于5Cj后,；口3。6为等边三角形，且其外接圆的半径为

1V2V6

r=—x--------=，

2sin6003

由于A4，平面A6CQ,5£>u平面所以

又4。，8。,4。八441=44。,44]u平面A41G。，所以5。1平面A41G。，

AGu平面A41clC,故3。LAC一同理可证3GLAC1，

因此3。cBQ=B,BD,BC[u平面BDC,,故AC1，平面BDQ,

因此三棱锥尸-3G。为正三棱锥，设外接球半径为R，球心到平面3DG的距离为〃，

则R=1产+*,故当/z=0时，R=「=彳为最小值，故B正确，

取AB，G2，AD的中点为M,Q,N,连接NM,MQ,NQ,当尸是4。的中点，也是QM的中点，

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则该截面为与平面BC］。平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为

['也X交xsin6。。373…

NM=41AM="，所以截面面积为6x---,c正确,

2224

27

对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则。(0,0,0),C(0,1,0),4(1,0,1)

QB]=DA=(1,0,0),设4P=aAiC=,(0<ii<1),

B]P=AP—44=(—a,a,—a)—(0,1,0)=(—a,ci—1,—a),

所以点P到直线4G的距离为

d=]'RP*2=力片―2a+l—/=52/—2a+l=工]+-，

[I\CM)M2；2

£A由于上

由于OWaWl,所以d=,2a—541,故D正确，

1422

由于B[P=(—a,a—1,—a),.t.P(l—a,a,l—a),G(0,1,1)厕C1P=(1—a,a—1,—a),

A(L0,0)，4(LU),福=(0,1,1),

若葩=(0,1,1)与于=(1—a,a—1,—a)共线，贝Hi—a=0,a=l,此时彳=(0,0,—1),此时

函=(0,1,1)与彳=(0,0,-1)不共线，故CXP,AB,不平行

故A错误，

故选：BCD

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.关于x的不等式a/+(a+9x+2〉0的解集为(―3,1),则。+人=.

41

【答案】——##-1—

【解析】

【分析】分析可知，-3、1是关于x的方程以2+(a+")x+2=0的两根，利用韦达定理可得出6的值.

【详解】因为关于x的不等式⑪之+g+»x+2〉0的解集为(―3,1),则°<0,

且—3、1是关于尤的方程。必+(。+5)x+2=0的两根，

a+h224

由韦达定理可得-3+1=-----，-3x1=—,解得。=——,所以，a+b=2a=——.

aa33

4

故答案为：一

3

14.已知数列｛4｝的前"项和，S"=2"-l,Wijlog2a10=.

【答案】9

【解析】

【分析】根据《。=-59求出《。,再根据对数的运算性质计算可得.

【详解】因为数列｛4｝的前〃项和S“=2"-l,

所以q°=$一S9=/一1一(29-1)=29,

9

所以log2al0=log22=9.

故答案为：9

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\2X-I,x<l

15.已知函数〃x)=1'，关于x的方程尸(力-。"(xb。有六个不等的实根，则实数a

(x-2)',x>1

的取值范围是.

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】方程变形为/(x)=0或/(x)=a,其中/。)=0可解得两个根，因此/(x)=。应有4个根，作出函

数y=Ax)的图象与直线y="，由图象得它们有4个交点时的参数范围.

【详解】f2(x)-(tf(x)=0,则A解=。或穴v)=a,

|2x-l|=0=>x=0,(x—2)2=0nx=2,即/(x)=0有两个根，

因此f(x)=a应有4个根，

作出函数丫=/(x)的图象与直线y=a,

由图象可知，当。<。<1时满足题意，

故答案为：(0,1).

16.如图，已知函数〃x)=4sin(s：+e)(其中A>0,o>0,附<、)的图象与x轴交于点A,B,

与y轴交于点C,BC=2BD，/。山=巴，|。川=2,恒必=2包.则函数〃力在［1,6］上的值域为

33

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816

【答案】3'T

【解析】

【分析】由题意可得：V3|Asin^|=2+-,sin(20+0)=O,可得A,B,C,。的坐标，根据

|40=手，可得方程(1—£)2+A"；—=g,进而解出①，(P,A,即可求出再由三角

函数的性质求解.

【详解】由题意可得：|08|=百|0。|,...6|Asind=2+X,sin(2(y+°)=0,

A(2,0),B\2+-,0,CQAsine),:.D\1+—,sin^,

\CD)\2co2)

,"耍艺Y，

把|Asind=—^(2H)代入上式可得：(女)？-2x'—24=0,。>0.

V3G)CDG)

解得二=6,色，

兀71

sin(—+o)=0,|°区不，解得cp

V3Asin=2+6,A>0,解得A=—

所以函数/(x)=£sin(2x—=),

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兀2兀

xe[l,6]时,

65T

/(x)=ysin(^-x-|-)e816

3'T

816

故答案为:

3'T

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知S,为数列｛&｝的前〃项和，且4=1,nSn+i二(〃+l)S〃+〃2+〃，neN*•

(1)证明：数列1工4为等差数列，并求｛s“｝的通项公式；

,1，,

(2)若b“=@&，设数列也｝的前几项和为(，求却

2

【答案】(1)证明见解析，Sn=n

n

⑵T,=

2n+l

【解析】

【分析】(1)利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列

的通项公式，进而可得出数列｛Sj的通项公式;

n

(2)利用S“与4的关系可求出数列｛%｝的通项公式，再利用裂项相消法可求得7；.

【小问1详解】

解：对任意的〃cN*，〃S“+i=("+l)S”+〃2+〃，

固£±L_"S“+「(”+i)s〃_

则7—7a——77\-1，

n+1n矶〃+矶〃+1)

所以，数列为等差数列，且其首项为｝=1,公差为1,

所以，^L=i+n-l=n,故S“=R

n

【小问2详解】

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解：当时，=S〃—S“_|=〃2-5一1）2=2〃—1,

1=1也满足/=2〃-1,故对任意的“eN*，an=2n-l.

,1

所以，b=--------1-ifi___L_]

n（2n-l）（2n+l）2（2〃-12n+l）

。屋4+1

1n

2n+l2〃+l

18.在DABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、J且bcosA+ocosB=-2ccosA.

(1)求角A的值；

(2)已知点。为3C的中点，且AD=2,求。的最大值.

2兀

【答案】(1)A=y

(2)4G

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的

值;

(2)利用平面向量的线性运算可得出2而=而+恁，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定

理、基本不等式可得出关于a的不等式，由此可解得。的最大值.

【小问1详解】

解：因为A、Ce(0,7T),则sinC>0,

由正弦定理可得-2cosAsinC=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC,

12兀

所以，cosA=——,故人=谷.

23

【小问2详解】

,（1•---------*'---------►1---------►1/11■'*---------►\1/---------►'1"\

解：因为D为的中点，则AD=A8+8D=A8+5BC=AB+1（AC-AB）=5（AB+ACj,

所以，2瓶=丽+北，

所以，4AD2=AC2+AB2+2AC-AB=b2+c2+2bccos—=b2+c2-be=16,

3

22兀

由余弦定理可得〃2=/+c_2Z?CCOS——=/?2+。2+bc,

3

第14页/共21页

所以，/+.2=a+16,2Z?c=a2—16>

2

由基本不等式可得〃+C2N2A，即《土32。2—16,解得0<aW4百，

2

b=c

当且仅当「22,”时，即当6=c=4时，等号成立，

b-+c-be=16

故。的最大值为4百.

19.若二次函数"X)满足f(x+l)+/(X)=-X2-5X-1

(1)求/(X)的解析式；

⑵若函数g(x)=xlnx+/(x),解关于尤的不等式：g(x2+x)>g(2),

【答案】(1)/(X)=-1X2-2X

(2)[-2,-l)o(0,l]

【解析】

【分析】⑴f(x)=ax2+bx+c(a^0),根据〃x+l)+=-V—5x—g可得出关于a、b、c的

方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数/(x)的解析式；

(2)求出函数g(x)的定义域，利用导数分析函数g(x)的单调性，由8(必+%”且(2)可得出关于实数

元的不等式组，由此可解得实数x的取值范围.

【小问1详解】

解：/(x)=ax2+Z?x+c(6i0),

则/(x+l)+/(x)=a(x+l)2+b(^x+l)+c+ax2+bx+c

—2Q%2+(2〃+2b)%+〃+/?+2c-—%?-5x--,

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1

a=——

2a=—12]

所以，＜2〃+2b=—5解得b=~2,故y(x)=__X2-2x.

c=02

a+b+2c=——

I2

【小问2详解】

解：函数g(x)=xlnx+=xlnx—〈J?—2%的定义域为(0,+oo),

且g'(x)=lnx+l—%—2=Inx—x—l,

令人(x)=lnx-x-l,其中x>0,贝g，(x)=——1=-----,

xx

由〃(尤)>0可得0<x<l,由"(x)<0可得x>l,

所以，函数可力的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8),

故对任意的x>0,g,(x)=/z(x)</i(l)=0,

所以，函数g(x)在(0,+8)上为减函数，

由8卜2+力28(2)可得0</+》42,解得—2Wx<—1或0<xWl,

因此，不等式g(x2+x)>g(2)的解集为[—2,-1)u(O,l].

20.如图(1)所示，在口中，ZABC=60°，过点A作ADIBC,垂足D在线段上，且

AD=25CD=45,沿AD将口CD4折起(如图(2)),点E、/分别为棱AC、的中点.

图(1)图(2)

(1)证明：ADLEF；

(2)若二面角C-D4-3所成角的正切值为2,求二面角C-DE-E所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

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13

（2）

19

【解析】

【分析】(1)证明出平面BCD,可得出AOIBC,利用中位线的性质可得出跖〃BC,即证得结

论成立；

(2)分析可知，二面角C-D4-3的平面角为NBDC,以点D为坐标原点，DB、所在直线分别

为无、V轴，平面内过点。且垂直于5。的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得

二面角C—DE—E所成角的余弦值.

【小问1详解】

证明：翻折前，AD1BC,则ADJ,CD,AD±BD,

翻折后，则有A。LCD,AD1BD,

因为Br>ccr>=r>,BD、CZ)U平面BCD,所以，A。，平面BCD,

因为BCu平面BCD,所以，ADIBC,

在四棱锥A—BCD中，因为点E、歹分别为棱AC、AB的中点，则EF//BC,

因此，AD1EF.

【小问2详解】

解：因为ADLCD,ADJ.BD,则二面角C—D4—3的平面角为NBDC,即tanZBDC=2,

因为ADJ_平面BCD,以点D为坐标原点，DB、ZM所在直线分别为了、》轴，

平面BCD内过点。且垂直于BD的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为NABD=60°>ADBD,AD=2^/3，则BD=--------=--j=^=2,

tan60°V3

又因为CD=6，则A（0,2G,0）、8（2,0,0）、C（l,0,2）,。（0,0,0）、

设平面。尸的法向量为五=(4％,zj,DC=(1,0,2),DF=(l,V3,0),

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m-DC=x.+2z.=0「—/i~\

则《一,二，取为=26，可得加=2j3,—2,—J3

m-DF=x1+y/3yl=0

定=;,。,-1,

设平面DER的法向量为〃=（%2，%/2），

n-DF=々+6%=0

则—►1，取/=2A/3，可得〃=（22,\/3）

7

n•EF=—x2-z2=0'

所以，cos/m,nm-n12+4-313

ml-Ini『19'

13

由图可知，二面角C-DR-E的平面角为锐角，故二面角C-DR-E的余弦值为一.

19

21.已知数列｛4｝是公比大于。的等比数列，4=4,%=64.数列也“｝满足:bn=a2n+—

an

〃eN*）.

（1）求数列｛勿｝的通项公式;

（2）证明：归—。2"｝是等比数歹U；

k二l（2左一1）（2左+1）

（3）证明：z<2V2（^eN*）.

nb；—b2k

°1

【答案】（1）%=4"+不

（2）见解析（3）见解析

【解析】

【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得｛凡｝的通项公式，进而求出数列也,｝的通项公式;

（2）运算可得1-与“=2・4”,结合等比数列的定义即可得证;

（2〃一1）（2〃+1）4n29（2左一1）（2左+1）1k=l卜

（3）放缩得〈可，进而可得§<7252IZf，结合错位相减法即

b：忧—b2k

可得证.

【小问1详解】

设等比数列｛凡｝的公比为4,则%=4•/=4d=64,

则q=4,所以=4",

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2

又2=a2n+—=4"+—

乂""an4",

【小问2详解】

2

所以瓦—==2",

所以片一%/O,且次狂=胃，=4,

与-瓦"2-4

所以