2024届安徽省亳州地区中考数学最后一模试卷含解析

2024届安徽省亳州地区重点达标名校中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C,AB=8,则形成的圆环的面积是（）

2.如图，已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接

判定四边形ABDC是菱形的依据是（）

A.四条边相等的四边形是菱形B.一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

3.如图，直角边长为&的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左

向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t,两图形重合部分的面积为S,则S关于t的图象大致为（）

4.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点•若

点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（）

C.10D.12

C都在。O上,若NAOC=140。，则NB的度数是()

A.70°B.80°C.110°D.140°

6.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）,D是OB的中点,E是OC上的一点，当AADE的周长最小时,

点E的坐标是（）

10

C.(0,2)D.(0,T）

7.如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm,AB=20cm,其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面

面积为一兀cmz,则扇形圆心角的度数为（）

A.12J0°B.140°C.150°D.160°

8.如图，ZACB=90°,D为AB的中点，连接DC并延长到E,{JCE=-CD,过点B作BF〃DE,与AE的延长线

3

交于点F,若AB=6,则BF的长为（）

D.10

9.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设NCAB=a,那么拉

线BC的长度为（）

10.如图，AB是。。的直径，点C、D是圆上两点，且NAOC=126。，则NCDB=（

A.54°B.64°C.27°D.37°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如果正比例函数y=（左-3）x的图像经过第一、三象限，那么上的取值范围是

12.一个两位数，个位数字比十位数字大4,且个位数字与十位数字的和为10,则这个两位数为.

13.如果将“概率”的英文单词probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任

取一张，那么取到字母b的概率是.

14.已知梯形ABCD,AD/7BC,BC=2AD,如果-_那么-二=（用二、-表示）.

LXXJLv

15.已知△ABC中，AB=6,AC=BC=5,将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E.F分别

在边AB、AC±）.当以B.E.D为顶点的三角形与△DEF相似时，BE的长为.

3

16.BMlAABC^ADEF,若△ABC与△DEF的相似比为一，则△ABC与△DEF对应中线的比为.

17.如图，矩形ABCD面积为40,点P在边CD上，PE±AC,PF±BD,足分别为E,F.若AC=10,贝!JPE+PF

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部

分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙

品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分

别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

19.（5分）如图，二次函数y=-/+3x+根的图象与x轴的一个交点为3（4,0）,另一个交点为A,且与y轴相交

（1）求机的值及C点坐标；

（2）在直线5c上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与5,C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M

点坐标；若不存在，请简要说明理由

（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q

①当四边形尸为菱形时，求点尸的坐标；

②点P的横坐标为40</<4）,当，为何值时，四边形P8QC的面积最大，请说明理由.

20.（8分）如图，在梯形ABCD中，40//5。,筋=。。=5,/10=1,3。=9,点尸为边上一动点，作工DC,

垂足H在边。C上，以点P为圆心，7W为半径画圆，交射线Pfi于点E.

（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；

（2）分别联结和胡，当AABEsACEH时,以点3为圆心，r为半径的圆8与圆P相交，试求圆5的半径r的

取值范围；

（3）将劣弧即沿直线翻折交于点P，试通过计算说明线段和所的比值为定值，并求出次定值.

21.（10分）如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的4、C两点间来回摆动，A点与地面距离AN=14cm,

小球在最低点3时，与地面距离8M=5cm,ZAOB=66°,求细线QB的长度.（参考数据：sin66-0.91,cos66%0.40,

22.（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG〃DB交CB

的延长线于G.求证：AADE^ACBF；若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的

结论.

D

23.（12分）一辆汽车，新车购买价30万元，第一年使用后折旧20%,以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、

三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为17.34万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.

24.（14分）小强想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向

的湖边小道I上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30。，亭B在点M的北偏东60°,当小明由

点M沿小道I向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30

米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小强计算湖中两个

小亭A、B之间的距离.

4*

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

试题分析：设AB于小圆切于点C,连接OC,OB.

VAB于小圆切于点C,

/.OC±AB,

11

:.BC=AC=-AB=-x8=4cm.

22

•圆环（阴影）的面积2moe2=兀（OB2-OC2）

又•直角△OBC中，OB2=OC2+BC2

圆环（阴影）的面积=7fOB2-7r・OC2=7t（OB2-OC2）=rt»BC2=167t.

故选D.

考点：L垂径定理的应用；2.切线的性质.

2、A

【解析】

根据翻折得出43=30,AC=CD,推出A5=BZ>=CZ>=AC,根据菱形的判定推出即可.

【详解】

•••将△ABC延底边BC翻折得到ADBC,

：.AB=BD,AC=CD,

"JAB^AC,

：.AB=BD=CD=AC,

四边形A3OC是菱形；

故选A.

【点睛】

本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的

平行四边形是菱形.

3、B

【解析】

先根据等腰直角三角形斜边为2,而等边三角形的边长为3,可得等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角

形时，出现等腰直角三角形完全处于等边三角形内部的情况，进而得到S关于t的图象的中间部分为水平的线段，再

根据当t=0时，S=0,即可得到正确图象

【详解】

根据题意可得，等腰直角三角形斜边为2,斜边上的高为1,而等边三角形的边长为3,高

为:看，故等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等腰直角三角形

完全处于等边三角形内部的情况，故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S

关于f的图象的中间部分为水平的线段，故A,。选项错误；

当f=0时，S=0,故C选项错误，3选项正确；

故选：B

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图像，根据重复部分面积的变化是解题的关键

4、C

【解析】

连接AD,由于AABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADLBC,再根据三角形的面积公式求出AD的长，

再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值，

由此即可得出结论.

【详解】

连接AD,

「△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

AAD1BC,

：•SAABC=-BC»AD=-x4xAD=16,解得AD=8,

22

VEF是线段AC的垂直平分线，

:,点、C关于直线EF的对称点为点A,

AAD的长为CM+MD的最小值，

.♦.△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+-BC=8+-x4=8+2=l.

-22

故选C.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

5,C

【解析】

分析：作AC对的圆周角NAPC,如图，利用圆内接四边形的性质得到NP=40。，然后根据圆周角定理求NAOC的度

数.

详解：作AC对的圆周角NAPC,如图，

11

VZP=-ZAOC=-X140°=70°

22

VZP+ZB=180°,

/.ZB=180°-70°=110°,

故选：C.

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6、B

【解析】

解:作A关于y轴的对称点Ar,连接A'D交j轴于E,则此时,△ADE的周长最小.：四边形ABOC是矩形，OB,

AC=OB.'：A的坐标为(-4,5),：.A'(4,5),B(-4,0).

是03的中点，：.D(-2,0).

,5

k——

5=4k+b...直线04的解析式为y当x=0时，y=9,

设直线的解析式为y=kx+b,<

Q=-2k+b'75633

D--

3

【解析】

根据扇形的面积公式列方程即可得到结论.

【详解】

VOB=10cm,AB=20cm,

:.OA=OB+AB=30cm,

设扇形圆心角的度数为a,

•.•纸面面积为粤

71cm2,

3

.6Z-TTX302tz-^-xlO21000

…-----------------360--------------二------------71,

3603

/.a=150°,

故选：c.

【点睛】

本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积=把9

360

8、C

【解析】

VZACB=90°,D为AB的中点，AB=6,

1

.\CD=-AB=1.

2

r1

又CE=—CD,

3

.\CE=1,

,•.ED=CE+CD=2.

又；BF〃DE,点D是AB的中点，

AED是小AFB的中位线，

/.BF=2ED=3.

故选C.

9、B

【解析】

根据垂直的定义和同角的余角相等，可由NCAD+NACD=90。，ZACD+ZBCD=90°,可求得NCAD=NBCD,然后在

上CD―占CDh

RtABCD中cosZBCD=——，可得BC=---------------=---------.

BCcosZBCDcosa

故选B.

点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.

10、C

【解析】

由NAOC=126。，可求得NBOC的度数，然后由圆周角定理，求得NCDB的度数.

【详解】

解：•/ZAOC=126°,

.\ZBOC=180°-ZAOC=54°,

1

,:ZCDB=-ZBOC=27°

2

故选：C.

【点睛】

此题考查了圆周角定理.注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、k>l

【解析】

根据正比例函数丫=(k-1)x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可.

【详解】

因为正比例函数丫=(k-1)X的图象经过第一、三象限，

所以k-l>0,

解得：k>l,

故答案为：k>l.

【点睛】

此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数丫=(k-1)x的图象经过第一、三象限解答.

12、37

【解析】

根据题意列出一元一次方程即可求解.

【详解】

解：设十位上的数字为a,则个位上的数为(a+4)，依题意得：

a+a+4=10,

解得：a=3,

...这个两位数为：37

【点睛】

本题考查了一元一次方程的实际应用，属于简单题，找到等量关系是解题关键.

2

13->—

11

【解析】

分析：让英文单词probability中字母b的个数除以字母的总个数即为所求的概率.

2

详解：•••英文单词proM瓦成X中，一共有11个字母，其中字母匕有2个，.•.任取一张，那么取到字母匕的概率为

2

故答案为

点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

14、

7-3―

【解析】

根据向量的三角形法则表示出「，再根据BC、AD的关系解答.

【详解】

如图，

；AD〃BC,BC=2AD,

故答案为一-一

J1

【点睛】

本题考查了平面向量，梯形，向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键.

15、3或14+16百

【解析】

以B.E.D为顶点的三角形与ADEF相似分两种情形画图分别求解即可.

【详解】

取：

M\~N

如图作CM±AB

当NFED=NEDB时，VZB=ZEAF=ZEDF

:.△EDF~ADBE

；.EF〃CB,设EF交AD于点O

：AO=OD,OE〃BD

,\AE=EB=3

当NFED=NDEB时贝!|

ZFED=ZFEA=ZDEB=60°

此时AFED-ADEB,设AE=ED=x，作

DN_LAB于N,

贝！IEN=-x,DN=—x,

22

；DN〃CM,

.DNBN

"CM~BM

1一"

6f

13

.•.BE=6-X=14+16A^

13

故答案为3或I4+16君

13

【点睛】

本题考察学生对相似三角形性质定理的掌握和应用，熟练掌握相似三角形性质定理是解答本题的关键，本题计算量比

较大，计算能力也很关键.

16、3:4

【解析】

由于相似三角形的相似比等于对应中线的比，

.•.△ABC与ADEF对应中线的比为3：4

故答案为3：4.

17、4

【解析】

由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO,由SADCO=SADPO+SAPC()，可得PE+PF的值.

【详解】

解：如图，设AC与BD的交点为O,连接PO,

EL________P_____C

•••四边形ABCD是矩形

/.AO=CO=5=BO=DO,

.1

•"SADCO=—S矩形ABCD=10,

4

SADCO=SADPO+SAPCO,

11

•\10=—xDOxPF+—xOCxPE

22

/.20=5PF+5PE

；.PE+PF=4

故答案为4

【点睛】

本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元.（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元.

【解析】

分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子

需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解

之即可得出结论；

（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数.

详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根据题意得：

6x+3y=600

50x0.8x+40x0.75y=5200'

x=40

解得：

b=120

答:打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.

（2）80x40+100x120-80x0.8x40-100x0.75x120=3640（元）.

答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元.

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据

数量关系，列式计算.

19、（l）m=4,C（0,4）；（2）存在，（3）①尸（1+6,1+6）或P0—括,1—6）；②当/=2时，

S四边形PB2c最大=16。

【解析】

(1)用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)先判断出面积最大时，平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点，从而求出点M坐标；

(3)①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；

②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值.

【详解】

解：(1)将B(4,0)代入y=-犬+3%+根，解得，m=4,

.,.二次函数解析式为y=-x2+3x+4,令x=0,得y=4,

AC(0,4)；

(2)存在,理由：VB(4,0),C(0,4),

二直线BC解析式为y=-x+4,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，AMBC面积最大，

.y--x+4+b

,,{2c“，

y=-A-+3x+4

/.-4(Z-2)2+16,

.*.△=1-4b=0,.'.b=4,

x=2

〈，AM(2,6)；

7=6

(3)①如图，\•点P在抛物线上，

...设P(m,—7%2+3加+4),当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，；B(4,0),C(0,4),

二线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,

/.m=-m2+3m+4>

m=l+y/5>

••.P(1+75，1+逐)或P(l—1-5；

X

②如图，设点P(t,—/+3r+4),过点P作y轴的平行线L过点C作1的垂线,

•.•点D在直线BC上，AD(t,-t+4),

•.•PD=_「+3/+4-(-t+4)=_/+4.,BE+CF=4,

2

四边形PBQC=2SAPDC=2(SAPCD+SABD)=2(-PDxCF+-PDxBE)=4PD=-4Z+16—4«—2>+16

22

V0<t<4,

•♦当t=2时,S四边彩PBQC最大=1.

最值问题；分类讨论；压轴题.

20、(1)x=l(2)-<r<—(1)空=独^

28EF3

【解析】

3

(1)作AMJ_BC、连接AP,由等腰梯形性质知BM=4、AM=1,据此知tanB=tanC=-,从而可设PH=lk,贝UCH=4k、

4

PC=5k,再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；

⑵由PH=PE=lk、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9—8k,由△ABEsACEH得一=—,据此求得k的值，从而

BECH

得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQJ_EG、HN_LBC,先证△EPQ^APHN得EQ=PN,由PH=lk>

3416129

HC=4k、PC=5k知sinC=m、cosC=y,据此得出NC=匚k、HN=ykPN=PC-NC=-k,继而表示出EF、EH

的长，从而出答案.

【详解】

⑴作AM1.BC于点M,连接AP,如图1,

图1

\•梯形ABCD中，AD//BC,且AB=DC=5、AD=1>BC=9,

.\BM=4、AM=1,

3

..tanB=tanC=—,

4

VPH±DC,

.•.设PH=lk,贝!JCH=4k、PC=5k,

VBC=9,

:.PM=BC-BM-PC=5-5k,

AP2=AM2+PM2=9+(5-5k)2,

；PA=PH,

/.9+(5-5k)2=9k2,

17

解得：k=l^k=—,

o

17Q5

当k=—时，CP=5k=—>9,舍去；

88

则圆P的半径为L

(2)如图2,

图2

由⑴知，PH=PE=lk>CH=4k、PC=5k,

VBC=9,

:.BE=BC-PE-PC=9-8k,

VAABE^ACEH,

・ABCE口口58k

••二,艮口二9

BECH9-8左4k

解得：k=13?,

lo

3939

则PH=一,即圆P的半径为一,

1616

•・•圆B与圆P相交，MBE=9-8k=-，

2

559

—<r<——

28

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQLEG于G,HNLBC于N,

则EG=EF、N1=N1、EQ=QG、EF=EG=2EQ,

/.ZGEP=2Z1,

；PE=PH,

.*.Z1=Z2,

.*.Z4=Z1+Z2=2Z1,

.\ZGEP=Z4,

/.△EPQ^APHN,

；.EQ=PN,

由⑴知PH=lk、HC=4k、PC=5k,

4

••sinC一、cosC=—,

55

1612

/.NC=­k、HN=­k,

55

9

/.PN=PC-NC=-k

5

.*.EF=EG=2EQ=2PN=]k,EH=,HN：+EN。=k

.EH_2近

"EF~3，

故线段EH和EF的比值为定值.

【点睛】

此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线.

21、15cm

【解析】

试题分析:设细线OB的长度为xcm,作AD,OB于D,证出四边形ANMD是矩形,得出AN=DM=14cm,求出OD=x-9,

在R3AOD中，由三角函数得出方程，解方程即可.

试题解析：设细线OB的长度为xcm,作ADLOB于D,如图所示：

:.ZADM=90°,

■:ZANM=ZDMN=90°,

J四边形ANMD是矩形，

:.AN=DM=14cm,

/.DB=14-5=9cm,

AOD=x-9,

*»,OD

在RtAAOD中，cosZAOD=-----,

AO

x—9

:.cos66°=------=0.40,

x

解得：x=15,

OB=15cm.

22、(1)证明见解析(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明见解析；

【解析】

(1)在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然