备战2024年高考数学一轮复习51、空间角

立体几何难点—空间角知识点归纳1．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角把所成的叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围。2．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。当直线垂直于平面，所成的角是。当直线平行于平面或在平面内，所成角为。所以直线和平面所成角范。（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。3．公式：平面的斜线与内一直线相交成角，且与相交成角，在上的射影与相交成角，则有4．二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做二面角的，每个半平面叫做二面角的。若棱为，两个面分别为的二面角记为；5．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条，则叫做二面角的平面角。（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角。二面角的平面角范围是。二面角的平面角为直角时，则称为。6．求二面角的射影公式：若是二面角的一个面内图形的面积，是图形在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小，则有，7．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线所成的角：；⑵直线与平面(法向量)所成的角：；⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量。题型讲解一、异面直线所成角例1、在正方体中，所成的角为；所成的角为；若的中点分别是，则所成的角为。例2、直三棱柱，，点分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．例3、在直三棱柱中，，点分别是棱的中点，则直线和所成的角为。二、直线和平面所成的角例4、在三棱锥中，，且，则与底面所成的角为。例5、在正四面体中，为的中点，求直线与平面成的角．例6已知棱长为的正方体中，分别是棱的中点（1）求证：是菱形（2）求与平面所成的角。三、二面角例7、如图，在长方体中，为的中点，求二面角的正切值。例8、在底面是直角梯形的四棱锥中，平面，，，求面与面所成的二面角的正切值。例9、在四棱锥，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．（1）证明：；SCDAB（2）求直线SCDAB1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是 （） 2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是（） 3．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是 （） 4．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（） 或5．在正三棱柱中，已知，在上，且，若与平面所成的角为，则（） 6．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是，则的范围是（） 7．已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为．8．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为．9．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是中点，作交于． （1）证明平面： （2）证明平面； （3）求二面角的大小．10．如图直四棱柱中，底面是直角梯形，设，,异面