青海2024届高三年级下册第一次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

2023-2024学年第二学期高三年级数学(理)第一次模拟考试试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知复数z=(aT)-2a1("©,且忖=5,若z在复平面内对应的点位于第二象限，贝抬=()

“c1212

A.—2B.----C.2D.—

55

【答案】A

解析：由题意忖=—+(_2才=5，得5a2-2a—24=0,得。=一2或a=£,

。一1<0

因Z在复平面内对应的点位于第二象限，所以〈，故4<0,故a=-2,

—2a>0

故选：A

2.已知集合4=卜|丁=坨(一/+2%+3)｝,B=1%|%2-4<0｝,则()

A.(-1,3)B.(-1,2)c.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】c

解析：由一无2+2无+3>0得：X2-2X-3=(X+1)(X-3)<0,.-,-1<X<3,.,.A=(-l,3)；

由》2一4<0得：(x+2)(无一2)<0,2<x<2,...8=(—2,2),...AUB=(—2,3).

故选：c.

3.已知等差数列｛4｝的前八项和为S"，若%=7,%=16,则几=()

A.325B.355C.365D.375

【答案】D

解析：因为数列｛g｝为等差数列，4=7,a5=16,

公差d=~~~=3,4=出一d=4,

5-2

,15x(15-1)

所以SB=4x15+——----^x3=375,

152

故选：D.

4.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人.现按分层抽样

抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为()

A9B.12C.15D.18

【答案】C

解析：高三年级被抽至ij的男生人数为36x120°—300—40°=36-9=15.

120012

故选：C.

5.已知双曲线C：0—5=1（。〉0,6〉0）的一条渐近线的方程为2x—3y=。，若C的焦距为2JIi,

则。+〃=（）

A.4B.5C.6D.10

【答案】B

f

解析：由于双曲线。—多的渐近线是y=—b九和丁=—b—%,故渐近线的斜率的绝对值为一b,

abciaa

22

而直线2x—3y=0即直线y=—x的斜率为女，故h一=一2.

33a3

又由于该双曲线的焦距为2JW，故,=加，从而，片+不=c=JB.

故选：B.

6.现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为

)

11

B.C.一D.

456

【答案】A

解析：记A3分别表示“甲被选中”和“乙被选中

42

由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故尸（4）=历=1.

而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中

任意选择2名，

Q2289

故选取方式有C；种，从而P（AB）=不=不引=工.

<-»4J.U_LJ

2

故P（.A）=彳果吟。A正确,

5

故选：A.

7.如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是一个圆柱的轴截面和一个圆

TT

锥的侧面展开图，且矩形的长为2,宽为3,扇形的圆心角为一，半径等于矩形的宽，若圆柱高为3,则圆

3

柱和圆锥的体积之比为（）

A.72:37B.72:35C.72:历D.72:底

【答案】D

解析：因为矩形的长为2,宽为3,所以圆柱的底面半径为1,高为3,

所以圆柱的体积为jir2h=71x12x3=371，

TT

因为扇形的圆心角为一，半径等于矩形的宽，所以半径为3,

3

71

根据弧长公式可以得到扇形的弧长为3oo，

▲一x2兀x3=7i

2兀

兀1

又扇形的弧长等于底面圆的周长，所以圆锥底面圆的半径为一=—,

2兀2

所以根据圆锥的体积公式得到圆锥的高为，二:=半

所以圆锥的体积为工兀/丸='*兀><0.52*痘=返兀，

33224

3K_72

所以圆柱和圆锥的体积之比为7嬴=而，

24

故选：D.

8.执行如图所示的程序框图，若输出的S=10,则判断框中应填（)

A.〃V10B.Z2<10c.n>10D.〃三10

【答案】C

解析：第一次循环S=0+l,〃=2,第二次循环S=l+1,〃=3

第九次循环s=9,〃=io,第十次循环s=io,〃=n,此时结束循环，所以〃>io.

故选：C

9.在梯形ABC。中，AD//BC,AD=6,BC=8,AB=4,CD=5,E,F分别为/W,BC的中点，则£F=

）

C.J19

过点E作EG//AB,交3c于G,EHIICD,交BC于H,

又因为AD//BC,EG//AB,EH//CD,

所以四边形ABGE和四边形CDEH为平行四边形，

所以AE=BG,DE=CH,AB=EG,DC=EH

因为AD=6,BC=8,AB=4,CD=5,

所以GH=BC—（BG+CH）=BC—AD=2,

因为E,F分别为A。，BC的中点,

所以AE=DE,BF=CF,

所以GF=FH,

EG~+GH~-EH242+22-525

所以在一EGH中，cosNEGH=

2EGGH2x4x216

所以在EG歹中，EF2=EG2+GF--2EG-GF-cosZEGH=—,

2

所以匹=也?，

2

故选：A.

10.已知函数/（x）=Asin（°x+0）［A〉0,0〉0,阁＜'J图象的一个最高点的坐标为,距离

C点最近的一个零点为彳，设B点在y轴左侧且为了（尤）图象上距离y轴最近的一个对称中心，。为坐标

原点，则3OC的面积为（）

兀兀兀

A.兀B.—C.—D.一

236

【答案】C

解析：因为函数/（X）图象的一个最高点的坐标为,

故A=2，

又距离c点最近的一个零点为0,

3

所以4=4一即7=兀，

43124

所以。二2,

将21代入/（%）=2sin（2x+0）,得2*得+夕=］+2E,左eZ,

,，71

解得夕=—§+2左兀/£Z,

因为|。|＜］，所以9=-1，

所以/（X）=2sinj^2x-,

-^2x--=kn,keZ,则》=&+如,左eZ,

362

因为B点在y轴左侧且为了（X）图象上距离y轴最近的一个对称中心，

叫一则，

所以SB0C=gx/x2=g.

故选：C

11.我们把函数图象上任一点的横坐标与纵坐标之积称为该点的''积值〃.设函数

,z、一九2—6x+5,九(0

图象上存在不同的三点4B,C,其横坐标从左到右依次为耳，巧，£，且

er-1,x>0

其纵坐标均相等，则48,C三点〃积值〃之和的最大值为()

A.51n6—30B.51n6—60C.61n5—30D.61n5—60

【答案】A

解析：依题意，A,B,c三点"积值"之和为(％+/=/(%)=/(X2)=/(%3)，

—2%—6x<0

因为了'(%)={x；—，可得“X)在(—8,—3)和(0,+8)上单调递增，在(—3,0)上单调递减，

e,x>u

当Xf—co时，-,"—3)=14,y(-6)=/(O)=5；

当xf+co时，/(X)f+8,可画出大概图象:

且有玉<%<%3，使得/(石)=/(%2)=/(七)，那么必有七G[-6,-3),X2e(-3,0],x3e[in6,In15),

且占,%关于％=-3对称，即西+々=一6,y=/(^)=/(x2)=/(x3),JG[5,14),

石=-3_\14-。,9=-3+J14-y,演=ln(l+y),

则AB,C三点“积值”之和(%+%2+&)丁=丁皿1+丁)一6y，

(1+y)ln(l+y)5y—6

令0(y)=yg(i+y)—6y,°'(y)=<0,o(y)单调递减,

i+y

当y=5时取最大值,0（5）=51n6—30,

故选：A.

12.已知过抛物线C：V=8x焦点F的直线/与C交于4,B两点，以线段48为直径的圆与y轴交于D,E

\DE\

两点，则口的取值范围为（）

(04仕叵

A.(0,1]B.C.1D.

r\2'V」

【答案】B

抛物线C/=8%,所以焦点/（2,0）,

所以当直线/的斜率存在时，

设直线/的方程为y=左（％—2）（左wO）,8（%2，%），

，二：2），得上2%2—（4左2+8）x+4%2=0,

由＜

必由于圆心”为的中点则川

2+8A8AB，2+p■，%

所以X1+Z=4+F

根据抛物线的定义可知\AB\=Xl+x2+p=8+—,

所以圆H的半径r=g|A3|=4+W，

过H作HGLOE,垂足为G,则|"G|=2+W，根据垂径定理,

得|DE|=2|DG|=2/2THG1=2,12+1|,所以

则西二「\"12+，=彳=%

k24（k2）t

又知/在（26,+。）上单调递增，

所以“（，）〉丸（2逝）=卓，所以押

III

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2,

此时|AB|=石+%+P=8,0同=2\DG\=2d42-*=46，

幽=如

所以画一三

片\D的E取值范围为

综上,H：

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知向量a=（3,2）,匕=（一2,1）,则向量a+b在匕方向上的投影为

【答案】

55

解析：因为向量a=（3,2）,&=（-2,1）,所以a+b=（l,3）,

/.（a+b\b1J5

则（a+b）z=-2+3=1,所以向量a+匕在沙方向上投影为：,―,---=—t==——

',问V55

故答案为：旦

5

14.已知函数/（x）=e*—ef+%,则不等式〃2nz-2）+/（m+l）＞0的解集为

【答案】11,+00

解析：/（£）的定义域为R,/（-%）=e-x-ev-x=-/（%）,

\/（x）为定义在R上的奇函数；

-y=e*与y=x均为R上的增函数，y=e-，为R上的减函数，

\/'（x）为定义在R上的增函数；

由/（2加一2）+/（机+1）>0得：f（2m-2）>-f（m+1）=/（-m-1）,

,解得：机〉；，；./（2加一2）+/（m+l）>0的解集为，,+（»].

故答案为：+°°^.

15.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且％=1,an-an_^T~\n>2）,若对任意的正整数n,不等式

2

（2+2）（l+S„）log2a2n>n恒成立，则％的取值范围为.

【答案】]一|，+81

解析：因为3=1,=2"-2（n>2）,

所以由累加法可得

an=a\+（为一6）+（%一。2）++（4一。〃-1）

=1+2°+21++2"号

2

=2+-

=2+2x（2"-2—1）

=2”T

当”=1时，4=1符合上式，所以4,=2"一，

所以SJ'。--J"—1，々”222,

“1-2

（2+X）（l+S.）log2a2"

,,2n-1

=（2+2）（l+2-l）log22

=（2+2）x2"x（2n-l）

因为不等式（2+4）（l+S"）k）g2%＞“2恒成立，即（2+丸）义2"＞＜（2〃一1）＞“2恒成立,

rT

即2+彳＞折mE亘成立，

又2〃-121,所以

n2n22"1

2

当〃＞4时,n<2",贝！J~~~7~------<~~~二<~~~二=—，

2"X（2H-1）2"X72"X77

n2_9_9

当〃二3时,

2,lx（2n-l）―8^5~40，

n2_4_1

当〃=2时,2nx（2n-l）―4^3"3'

n2_1_1

当〃=1时，

2nx（272-l）

所以当〃=1时，不等式右边取得最大值

13

所以2+2〉不解得兄＞一:，

22

故答案为：[~^2，+°°],

16.我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵.其意思是：一个长方体沿对角面一分为

二，得到两个一模一样的堑堵.如图，在长方体ABC。—A4Goi中，AB=3,BC=4,M=5,将

长方体ABC。-沿平面ABGR一分为二，得到堑堵3CG-AD2,下列结论正确的序号为

①点C到平面ABC.D.的距离等于生叵；

41

②GS与平面A5CD所成角的正弦值为生包;

41

③堑堵BCQ-AD"外接球的表面积为100兀；

④堑堵BCQ-没有内切球.

【答案】①④

解析：如图所示：

由于A5垂直于平面3CG4，在平面BCC4内，所以GBLAB.

而AB=DC=D£,所以有平行四边形从而四边形是矩形.

对于①，由于四面体A5CG的体积V=1Q|AB|-|BC|^-|AA1|=jxQx3x4^|x5=10,

同时=|3C「+|CG「=16+25=41,

所以忸Cj=屈，这表明矩形A3CQ的面积为|4斗忸0|=3屈，

从而三角形ABC,的面积5=2叵.

2

设点C到平面ABC.D,的距离为h,则有V=；S/z,

20A/41

h,—_3_V—__3-1—0_______

从而-S-3al-41，①正确；

2

对于②，由于CBLAB,A5在平面A5CD内，

所以QB与平面ABCD所成角的正弦值为sinZC.BC=怛4=-^==*生，②错误；

对于③，记长方体ABC。—4与G2的中心为。，

则。到长方体ABC。-44GR的每个顶点的距离都是体对角线长的一半，即49+16+25="二

22

故以。为球心，半径为述的球同时经过堑堵的每个顶点，

2

故是堑堵5CG—ADD］的外接球，

从而堑堵3CG—ADD1的外接球表面积S=47i1孚j=5071,③错误；

对于④，假设堑堵ADD有内切球，设该内切球的球心为/,半径为厂，

则I在堑堵BCC「内部，且到堑堵BCC「AD"的每个面的距离都是厂.

所以堑堵5CG—ADA的体积等于四棱锥/—A5c。、四棱锥/—ABGA、三棱锥/-BCG和三棱锥

I-ADDX,四棱锥/—CDDG的体积之和，

记矩形A5CD、矩形、三角形3CG和三角形AD2、矩形CDOg的面积分别为H，52,83,84,55,

则H=3X4=12,S2=3XA/41=3A/41,S3=1X4X5=10,S4=1X4X5=10,S5=3X5=15.

同时，堑堵BCC「A£>2是对长方体ABCD-4与e，一分为二得到的，

故堑堵5CCi-的体积是长方体ABC。—的一半，

从而堑堵BCCX-ADDX的体积％=gx3义4义5=30,这就说明：

r

7(^i+S2+S3+邑+S5)-rSl+-rS2+-rS3+-rS4+-rS5

y___________________JJJJJ__

―_i_i

3(\+S2+S3+S4+S5)+s2+s3+s4+s5)

=X_________=3%=90

1(51+52+53+54+55)H+S2+S3+S4+S547+3741-

但是/到平面BCCX和平面的距离相等，且平面BCC］和平面ADD,是长方体ABCD-A4GR的

一组对面，

故它们平行，且距离为|A同=3.

所以/到平面BCC｝和平面的距离都等于平面Beg和平面ADD,距离的一半,

』3

从而r=—.

2

这就导致了矛盾，所以堑堵BCG-ADD］不存内切球，④正确.

故答案为：①④.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2qin/AwinR

17.已知,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且------+——=6cosC.

sinBsinA

（1）证明：a2+2Z?2=3c2；

（2）若c=当C取最大值时，求JRC的面积.

【答案】（1）证明见解析

⑵加

10

（1）

2sinAsin5,「

因为------+-----=6cosC,

sinBsinA

〜…2。b,「

所以--1——6cosC,

ba

匚2ab

所以一+—=6x---------------,

balab

化简得〃2+2/=3C2.

(2)

用出「\(2ab\1°\2ab亚

因为cosC=———+—>—x2J-------=——，

61ba)6\ba3

r\1

当且仅当/=—,即匕=缶时等号成立，即c取最大值，

ba

即cosC==a”———，又b=-Jia，c=近，sinC=-cos2C=—,

3lab3

即。二巫|

55

1^05A/210@7714

所以s=—X-----x------X----=------

ABC255310

18.某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产的产品质量得到改进与提升，经过一年来的市场检验，信

誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量明显上升，如下表是2023年6月份到12

月份的订单量数据.

月份6789101112

月份代码t1234567

订单量y（万件）4.75.35.65.96.16.46.6

⑴试根据相关系数r的值判断订单量y与t的线性相关性强弱（0.75<|r|<1,则认为y与t的线性相关

性较强；卜|<0.75,则认为y与t的线性相关性较弱）；

（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量；

（3）为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员（人数很多）中随机

抽取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%,“质量良好”、“质量还需改进”

的分别各占30%,20%,然后在所有参会人员中随机抽取5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价“产

品质量很好”的人数为随机变量X,求X的分布列与期望.

参考数据：t（％-汀=2.6,-丁）=8.4,底立标4.27.

1=14=1

【答案】（1）订单量y与t的线性相关性较强；

（2）y=0.3x+4.6,7.6万件；

（3）分布列见解析，期望为之.

2

（1）

,,,._-1+2+3+4+5+6+7—4.7+5.3+5.6+5.9+6.1+6.4+6.6_

由表格可知t=--------------------=4,y=----------------------------------=5.o8,

-于=28,

i=l

84。色〉075,

所以“

718.2x44.27

-nJE（x-y）2

即订单量y与t的线性相关性较强;

(2)

Z&-亍）（%-了）

结合数据及（1）可知：3=上一------------="=0.3,

_\228

1=1

则》=3—=5.8—0.3x4=4.6，

所以y关于t的线性回归方程为：y=0.3九+4.6,

显然/=10ny=7.6,即预测该公司2024年3月份接到的订单数量为7.6万件;

（3）

易知X=0,1,23,4,5,

P(x=0)=c*[W，P(X=I)"U用喙

p—加端L啜p(x=*qm嘤

P(X=4)=C&*-；J噎P(X=5)=O一步!

分别列表如下：

X012345

155551

P（x）

323216163232

则E（X）=（1+4）V+（2+3）X[+K=M*

52lo32522

19.如图，圆柱。。的轴截面A8C。是边长为4的正方形，点F在底面圆。上，5尸=2,点G在线段BF

上运动.

（1）当O1G//平面OAF时，求线段O]G的长度;

当@G与平面OAF所成角的正弦值为亚1时，求4的值.

(2)设=

86

【答案】（1）M

(2)一或一

33

(1)

取A尸,5尸的中点P,Q,连接尸。,尸。,。。1，

因为四边形ABCD为边长是4的正方形，所以PQ//AB,PQ=2,

所以AB//CD,所以。O"/PQ,DO]=PQ,四边形PQDQ为平行四边形,

所以PD//O©,

因为PDu面。LF,「。//。1。且。|。不在平面04户内,

所以QQ//面ZM产，

所以当G,Q两点重合时，&G//面ZM产，

因为，面A&F,

可以以AB,。。1为羽z轴，建立一个空间直角坐标系，

所以5(2,0,0),5尸=2,帅=4,

则可1,一行,0)0，,—4,0]0(0,0,4),

(22J

『£1+闫+42=匹

(2)

设G(尤,y,0),

FB=(l,V3,0),FG-(x-l,y+73,0),

因为EG=/IFB(OW/IW1),则G(l+2,四—也,0)，aG=(l+4,岳—逝,—4),

由直径对应的圆周角为直角，易得斯，面ZM产，所以面ZM产的法向量EB=(1,6,0),

设OQ与平面DAF所成角为。，则

II11+A+3A—3|,43

sin6:cosOXG.FB\二——11.二-—

222

2X^(1+A)+(732-V3)+486，

21

化简可得9万—92+2=0,解得彳=§或

20.在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M过点(1,0),且与直线x=—1相切.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

⑵过点A(l，2)作斜率分别为匕，后的直线AB,AD,与C分别交于点8,D,当直线8D恒过定点(-1,0)

时，证明：匕+&=2.

【答案】(1)V=4%

(2)证明见解析

(1)

设M(x,y),由题意可知J(x_l)2+y='+小

两边平方后化简可得/=4x,

所以动圆圆心M的轨迹C的方程为/=4%.

(2)

证明：由题意可知直线5。的斜率存在且不为零，设为3

则直线的方程为y=%(x+1),同时设8(%,yJ,。(9，%)，

<，2一,『十"，消去V可得kV+(2左2—4)X+K=0,A=(2左2—4)2

联立—4左4=—16左2+16>0,

2r—4j%—2%—2

X1+X2=------,中2=1，又％

%—2y2—2［左（无［+1）—2］（々—1）+［后（尤2+1）—2］（X］—1）2辰逮2—2（无1+尤,）—2%+4

所以勺+左2=

玉一1x2-l再%一（再+无2）+1占尤2-（玉+%）+1

（2k2-4

c,C242一4C,,2x+2

2k+2x----------2k+4nr

左27

代入韦达定理后化简可得二2，

2左2—42左2—4

1++i+2

nrnr

所以4+左2=2.

0

21.已知函数/(x)=x-------Inx+<7.

(1)若〃x)V0,求。的取值范围；

(2)若/(九)有两个零点巧，证明：%1-x2<1.

【答案】⑴,e-1］

(2)证明见解析

⑴

xex-ex1_(%-l)(x-ex)

由题意可知〃力的定义域为（o,+“），且/（%）=1—

22

XXX

对于y=x-e*,有y'=l-e*＜0（0,+。）上恒成立，即丁二犬一6”递减,

所以x—e%＜0—e°=—1，即％—e"vO在（0,+。）上恒成立,

当xe(O,l)时，>0,当xe(l,+co)时，/,(x)<0,

所以〃龙）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）时单调递减,

所以当x=l时，函数/（X）有最大值，/（l）=l-e+a,所以1—e+aWO,

即aWe—1,所以a的取值范围为（f,e—1]

(2)

/

1±1、

不妨设再＜%2，由（1）知。＜玉＜1＜犬2，即1>i,令/a)=〃xi)-7一,

1x1-

构造p(x)=x_^lnx--+-^j-e

+ln—=x-----2In%----卜xe*,且％w(0,l),

—XXXXX

X

1

所以尸'(x)=l—二

32+4+1+4

Xx%,、九2

1_

x2-eX(x-l)-2x+l+x2ex-xexX-1)+xex(x-1)

x2X2

x-11、

x-l-ex+xex,

X2

\7

1l-ev+e"|1--I

令g(x)=x-l-ex+xex'则S(x)=1-e"+e“+xeX

X

当xe(O,l)时，g'(%)<0,g(x)递减，故g(x)>g(l)=O,

所以xe（O,l）时尸'（力＜0,*尤）单调递减,故八

(1、

即在（0,1）上“对一/>歹(1)=0,所以/'(玉)—/->0,

X\7

/、/

11、

又/(石)=/(%)=0，所以/(%)—/—>0,即/(%2)>/—，

x

\77

由（1）知/（%）在（1,+°。）上单调递减，所以％2<一，故再，入2<1得证•