2023-2024学年天津七中高一数学第二学期期末考试试题含解析

2023-2024学年天津七中高一数学第二学期期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳2．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．在的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A，B两点，那么这两个切点在球面上的最短距离为（）A． B． C． D．4．将函数y=2sinx+π3sinA．π6 B．π12 C．π5．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝16．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（）A． B．10 C． D．87．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．在△ABC中，AC，BC＝1，∠B＝45°，则∠A＝（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°9．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（）A． B． C． D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列满足，，，则数列的通项公式______.12．已知函数，若，且，则__________．13．已知数列是等差数列，若，，则________．14．已知直线平面，，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有________条.15．数列{}的前项和为，若，则{}的前2019项和____.16．已知满足约束条件，则的最大值为__三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.（1）①证明：；②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.18．如图所示，平面平面，四边形为矩形，，点为的中点.(1)若，求三棱锥的体积；(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.19．设等差数列的前项和为，且（是常数，），.（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.20．如图，在四棱锥中，，且，，，点在上，且．（1）求证：平面⊥平面；（2）求证：直线∥平面．21．如图，平行四边形中，是的中点，交于点.设，.(1)分别用，表示向量，；(2)若，，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据折线图中11个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断BCD.【详解】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.2、D【解析】

结合题意，结合直线与平面垂直的判定和性质，得到两个直角三角形，取斜边的一半，即为外接球的半径，结合球表面积计算公式，计算，即可．【详解】过P点作，结合平面ABC平面PAC可知，，故，结合可知，，所以，结合所以,所以，故该外接球的半径等于，所以球的表面积为，故选D．【点睛】考查了平面与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定和性质，难度偏难．3、A【解析】

根据题意，作出截面图，计算弧长即可.【详解】根据题意，作出该球过球心且经过A、B的截面图如下所示：由题可知：则，故满足题意的最短距离为弧长BA，在该弧所在的扇形中，弧长.故选：A.【点睛】本题考查弧长的计算公式，二面角的定义，属综合基础题.4、B【解析】

由诱导公式将函数化简成y=sin(2x+2π3)【详解】∵(x+π∴sin∴y=2sinx+πy=sin∵平移后的函数恰为偶函数，∴x=0为其对称轴，∴x=0时，y=±1，∴-2φ+2π3=kπ+∵φ>0,∴k=0时，φmin【点睛】通过恒等变换把函数变成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式，再研究三角函数的性质是三角函数题常见解题思路；三角函数若为偶函数，则该条件可转化为直线x=0为其中一条对称轴，从而在5、B【解析】分析：由题意知，由此可知，所以一定有．详解

，．

故选B．点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6、D【解析】

在上的投影（正射影的数量）为可知，可求出，求的最小值即可得出结果.【详解】因为在上的投影（正射影的数量）为，所以，即，而，所以，因为所以，即，故选D.【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.7、A【解析】

连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.8、A【解析】

直接利用正弦定理求出sinA的大小，根据大边对大角可求A为锐角，即可得解A的值．【详解】因为：△ABC中，BC＝1，AC，∠B＝45°，所以：，sinA．因为：BC＜AC，可得：A为锐角，所以：A＝30°．故选：A．【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．9、A【解析】

将不等式化为，可知满足不等式，不满足不等式，由此可确定个整数解为；当和时，解不等式可知不满足题意；当时，解出不等式的解集，要保证整数解为，则需，解不等式组求得结果.【详解】由得：当时，成立必为不等式的一个整数解当时，不成立不是不等式的整数解个整数解分别为：当时，，不满足题意当时，解不等式得：或不等式不可能只有个整数解，不满足题意当时，，解得：，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围问题，关键是能够利用特殊值确定整数解的具体取值，从而解不等式，根据整数解的取值来确定解集的上下限，构造不等式组求得结果.10、C【解析】

由三视图可知：底面，，底面是一个直角梯形，，，均为直角三角形，判断最长的棱，通过几何体求解即可.【详解】由三视图可知：该几何体如图所示，则底面，，底面是一个直角梯形，其中，，，，可得，，均为直角三角形，最长的棱是，.故选：C.【点睛】本题考查了三视图，线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题意得出，利用累加法可求出.【详解】数列满足，，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.12、2【解析】不妨设a＞1，

则令f（x）=|loga|x-1||=b＞0，

则loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b；

故x1=-ab+1，x2=-a-b+1，x3=a-b+1，x4=ab+1，

故故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.13、【解析】

求出公差，利用通项公式即可求解.【详解】设公差为，则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.14、1【解析】

利用线面平行的性质定理来进行解答.【详解】过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，故答案为：1.【点睛】本题考查线面平行的性质定理，是基础题.15、1009【解析】

根据周期性，对2019项进行分类计算，可得结果。【详解】解：根据题意，的值以为循环周期，=1009故答案为：1009.【点睛】本题考查了周期性在数列中的应用，属于中档题。16、【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，所以有最大值为．故答案为1．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）①见解析；②见解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．【详解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，点为四边形外接圆的圆心，，，，，四边形外接圆的圆心为的中点，点的坐标为；（2）由两点间的距离公式可得，，，，过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，，设的坐标为，则，，，，点的坐标为．【点睛】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18、(1)；(2)存在，为中点，证明见解析.【解析】

（1）先根据面积垂直的性质得到平面；再由题中数据，结合棱锥体积公式，即可求出结果；（2）先由线面垂直的性质得到为中点时，有.再给出证明：取中点，连接，，，由线面垂直的判定定理，以及面面垂直的性质定理，证明平面，再由线面垂直的性质定理，即可得出结果.【详解】(1)因为四边形为矩形，所以，又平面平面，所以平面；又，所以，因此三棱锥的体积为：；(2)当为中点时，有.证明如下:取中点，连接，，.∵为的中点，为的中点，∴，又∵，∴，∴四点共面.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，为的中点，∴，又，∴平面，又平面，∴，即.【点睛】本题主要考查求棱锥的体积，以及补全线线垂直的条件，熟记棱锥体积公式，以及线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.19、(1)；(2)【解析】

（1）先令得出，再令，利用作差法得出，于此得出，可由和的值求出等差数列的公差，于此可求出等差数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前项和.【详解】（1）因为，所以当时，，解得.当时，，即.解得，所以，解得，则.数列的公差.所以；（2）因为，所以，①，②由①－②可得，所以.【点睛】本题考查等差数列通项的求解，考查错位相减法求和，解题时要注意错位相减求和法所适用数列通项的结构类型，要熟练错位相减法求和的基本步骤，难点在于计算量较大，属于中等题．20、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）通过边长关系可知，所以，又，所以平面，所以平面平面．（2）连接交与点，连接，易得∽，所以，所以直线平面．，【详解】（1）因为，，所以，所以又，且，平面，平面所以平