《第八章 立体几何初步》单元复习与单元检测试卷（共三套）

《第八章立体几何初步》单元复习【知识体系构建】【规律方法收藏】1．对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好空间几何体的直观图．2．在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题．3．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可．4．判定线面垂直的方法，主要有三种：①利用定义；②利用判定定理；③与平行关系联合运用，即若a∥b，且a⊥α，则b⊥α.5．两平面相交成直二面角时，两平面垂直．作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础．同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一．对于本节内容及相关问题应引起足够重视．6．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两条边分别与二面角的棱垂直．准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键．作二面角的平面角通常有三种方法：①定义法．这里要注意角的顶点的恰当选取；②垂面法；③垂线法．当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出平面角．7．面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角；二是利用面面垂直的判定定理．8．转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．【学科思想培优】一、空间几何体的结构特征1．空间几何体的结构特征是立体几何图形认识的基础，理解时要从其几何体的本质去把握，多面体中常见的棱柱、棱锥和棱台既有必然的联系，也有本质的区别．2．旋转体是由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可以掌握旋转体中各元素之间的关系，也就掌握了它们各自的性质．[典例1]给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②棱柱的上下底面全等；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案B二、空间几何体的直观图空间几何体的直观图是空间几何体的表现形式，是学好空间几何的基础和关键，只有正确作出空间几何体的直观图，才能分析其中各元素及各组成部分之间的关系．[典例2]画出如图所示的四边形OABC的直观图(已知OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4，OC⊥OB，AD⊥OB)．解以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图1.作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图2.三、空间几何体的体积与表面积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．[典例3]已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？解如图所示，当点C位于垂直于平面OAB的直径顶端时，三棱锥O－ABC的体积最大．设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－OAB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(R3,6)＝36.∴R＝6.∴球O的表面积为S＝4πR2＝144π.四、空间中的位置关系1．空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交,平行,异面))2．空间中线与面的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(线在面内,线面平行,线面相交))3．两个平面的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交))[典例4]已知m，n是不同的直线α，β是两个不重合的平面．给出下列结论：①若m∥α，则m平行于平面α内任意一条直线；②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中正确的结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析若m∥α，则m平行于过m的平面与α相交的交线，并非所有的直线，故①错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n，也可能m，n异面，故②错误．③④正确．答案③④五、平行问题立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化是：[典例5]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM的体积．解(1)证明：由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为eq\f(1,2)PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距离为eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).六、垂直问题1．空间中垂直关系的相互转化2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.[典例6]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE证明(1)因为ABC－A1B1C1所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1⊂平面BCC1B1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C所以A1F⊥B1C因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1所以CC1⊥A1F又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C所以A1F⊥平面BCC1B1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE所以A1F∥平面ADE七、线线角、线面角和二面角问题1．两条异面直线所成的角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点，引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角．特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到．2．直线和平面所成的角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角．当线面角为0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为90°时，直线与平面垂直．3．如果求两个相交平面所成的二面角．除垂直外，均有两个答案，即θ或180°－θ.具体几何体中，由题意和图形确定．作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．一般常用：(1)定义法；(2)垂面法．4．求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．[典例7]如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD＝DC＝2，BC＝2eq\r(2).(1)求PB与平面ADC所成角的大小；(2)求异面直线PC，BD所成角的正弦值．解(1)因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD即为PB与平面ADC所成的角．因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥DC，所以BD＝2eq\r(3)，tan∠PBD＝eq\f(PD,BD)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠PBD＝30°，即PB与平面ADC所成角的大小为30°.(2)取PA的中点G，连接OG，DG，如图．显然OG∥PC，所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC，BD所成的角．因为OG＝eq\f(1,2)PC＝eq\r(2)，OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(3)，DG＝eq\f(1,2)PA＝eq\r(3)，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin∠DOG＝eq\f(\r(30),6)，所以异面直线PC，BD所成角的正弦值为eq\f(\r(30),6).[典例8]如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝eq\r(2)，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值.解(1)证明：如图，连接OC.∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，∴AC⊥PO.∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又OD∩PO＝O，∴AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC.(2)在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H.由(1)知，平面POD⊥平面PAC，且交线为PD，OH⊂平面POD，∴OH⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴PA⊥OH.在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，连接HG，则有PA⊥平面OGH，∴PA⊥HG.故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．∵C是的中点，AB是直径，∴OC⊥AB.在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝eq\f(\r(2),2).在Rt△POD中，OH＝eq\f(PO·OD,PD)＝eq\f(PO·OD,\r(PO2＋OD2))＝eq\f(\r(2)×\f(\r(2),2),\r(2＋\f(1,2)))＝eq\f(\r(10),5).在Rt△POA中，OG＝eq\f(PO·OA,PA)＝eq\f(PO·OA,\r(PO2＋OA2))＝eq\f(\r(2)×1,\r(2＋1))＝eq\f(\r(6),3).又GH⊂平面PAC，∴OH⊥GH.在Rt△OHG中，sin∠OGH＝eq\f(OH,OG)＝eq\f(\f(\r(10),5),\f(\r(6),3))＝eq\f(\r(15),5).∴cos∠OGH＝eq\r(1－sin2∠OGH)＝eq\r(1－\f(15,25))＝eq\f(\r(10),5).故二面角B－PA－C的余弦值为eq\f(\r(10),5).《第八章立体几何初步》单元检测试卷（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共8小题）1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是四面体 D．④不是棱柱2．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（）A． B． C．π D．3．已知△ABC中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，将△ABC绕BC所在直线旋转一周，形成几何体K，则几何体K的表面积为（）A． B． C． D．4．已知α、β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“α⊥β”是“l∥α”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，O为△ABC的外心，则异面直线AC1与OB所成角的大小为（）A．30° B．60° C．45° D．90°6．下列命题的符号语言中，不是公理的是（）A．a⊥α，b⊥α⇒a∥b B．P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l C．A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α D．a∥b，a∥c⇒b∥c7．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为（）A． B． C． D．8．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD﹣EFGH有外接球，且AB＝2，平面ABCD与平面EFGH间的距离为1，则该刍童外接球的体积为（）A．12π B．24π C．36π D．48π第Ⅱ卷（非选择题）二．多选题（共4小题）9．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A． B． C． D．10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF11．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥n，m∥α，则n∥α C．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线 D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1E B．B1C∥平面A1BD C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为 D．异面直线B1C与BD所成的角为45°三．填空题（共4小题）13．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为．14．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm3．15．已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为V1，V2，则的值为．16．在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，点P到底面ABC的距离为，若三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为6π，则AC的长为．四．解答题（共5小题）17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．18．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为AD的中点，如图1，将△ABE沿BE折起，使得点A到达点P的位置（如图2），且平面PBE⊥平面BCDE（1）证明：PB⊥平面PEC；（2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M﹣CDN的体积．19．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，PB⊥平面ABCD，PB＝1．（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中（底面△ABC为正三角形），A1A⊥平面ABC，AB＝AC＝2，，D是BC边的中点．（1）证明：平面ADB1⊥平面BB1C1C．（2）求点B到平面ADB1的距离．21．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AA1＝2，D为AB的中点．（1）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；（2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得平面C1AM∥平面B1CD．《第八章立体几何初步》单元检测试卷（一）答案解析一．选择题（共8小题）1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是四面体 D．④不是棱柱【解答】解：图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；图（2）上、下两个面不平行，所以（2）不是圆台；图（3）是四面体．图（4）前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱．故选：C．2．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（）A． B． C．π D．【解答】解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为，所以r＝1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为．故选：B．3．已知△ABC中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，将△ABC绕BC所在直线旋转一周，形成几何体K，则几何体K的表面积为（）A． B． C． D．【解答】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中若L＝2，R∴Sπ×22×2＝4π故选：B．4．已知α、β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“α⊥β”是“l∥α”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当“l∥α”时，必有“α⊥β”，反之，当“α⊥β”时，l可能在平面α内，即“l∥α”不一定成立，则“α⊥β”是“l∥α”的必要不充分条件；故选：B．5．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，O为△ABC的外心，则异面直线AC1与OB所成角的大小为（）A．30° B．60° C．45° D．90°【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，且O为△ABC的外心，∴O是△ABC的垂心，∴BO⊥AC，且AA1⊥平面ABC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥AA1，∴BO⊥平面AA1C1C，且AC1⊂平面AA1C1C，∴BO⊥AC1，∴异面直线AC1与OB所成角的大小为90°．故选：D．6．下列命题的符号语言中，不是公理的是（）A．a⊥α，b⊥α⇒a∥b B．P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l C．A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α D．a∥b，a∥c⇒b∥c【解答】解：A不是公理，在B中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B是公理．在C中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C是公理；在D中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D是公理；故选：A．7．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为（）A． B． C． D．【解答】解：连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则ANa，ACa．∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN∴PA∥MN∴PM：PC＝AN：AC即PMPC，t．故选：C．8．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD﹣EFGH有外接球，且AB＝2，平面ABCD与平面EFGH间的距离为1，则该刍童外接球的体积为（）A．12π B．24π C．36π D．48π【解答】解：如图，设上底面中心为O1，下底面中心为O2，刍童外接球的球心为O，则O，O1，O2共线，连接O1E，O2A，OE，OA，由已知可得，，O1O2＝1．设该刍童的外接球的半径为R，OO2＝h，则R2＝8+h2，R2＝5+（h+1）2，联立解得R2＝9．∴该刍童的外接球的表面积为S＝4πR2＝36π．故选：C．二．多选题（共4小题）9．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A． B． C． D．【解答】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；B若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；C过M作ME∥AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故C不成立；D连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立．故选：AD．10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF【解答】解：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF．∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直．∴B正确，A不正确．又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确．HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确．D不正确．故选：BC．11．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥n，m∥α，则n∥α C．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线 D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确．故选：AD．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1E B．B1C∥平面A1BD C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为 D．异面直线B1C与BD所成的角为45°【解答】解：如图，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误．故选：AB．三．填空题（共4小题）13．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为52π．【解答】解：如图所示设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，在△ABC中，由余弦定理可得：|AC|2，∵2r4，解得：r＝2．又由题知S△ABC2×2×sin120°，又三棱锥O﹣ABC的体积为S△ABC•|OO1|，所以棱锥O﹣ABC的高|OO1|＝3，∴球O的半径R，∴球O的表面积为4πR2＝52π．故答案为：52π．14．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是12cm3．【解答】解：六棱柱的体积为：，圆柱的体积为：π×（0.5）2×2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：（12）cm3，故答案为：12．15．已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为V1，V2，则的值为．【解答】解：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以rR，V2πr3π•（R）3πR3，V1πR2（R）πR3，所以球与圆锥的体积之比为．故答案为：．16．在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，点P到底面ABC的距离为，若三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为6π，则AC的长为．【解答】解取PA的中点哦，连接OB，OC，因为∠PBA＝∠PCA＝90°，所以OA＝OP＝OB＝OC，即O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由S＝4πR2＝6π，所以R2，过O做OO'⊥面ABC交于O'，连接O'A则O'A为△ABC，则O'A为△ABC外接圆的半径设为r，则r＝O'A，因为点P到底面ABC的距离为，所以OO'，在△AOO'中，R2＝OO'2+r2，所以r2（）2＝1，即r＝1，在△ABC中，2r，所以AC＝2r•sin60°＝2，故答案为：．四．解答题（共5小题）17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．【解答】证明：（1）取PC的中点G，∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且FGCD，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，∴BE∥CD，且BECD，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC；（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．18．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为AD的中点，如图1，将△ABE沿BE折起，使得点A到达点P的位置（如图2），且平面PBE⊥平面BCDE（1）证明：PB⊥平面PEC；（2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M﹣CDN的体积．【解答】解：（1）证明：由题意，易得，∴BE2+CE2＝BC2，即BE⊥CE，又∵平面PBE⊥平面BCDE，交线为BE，∴CE⊥平面PBE，∴CE⊥PB，又∵PB⊥PE，∴PB⊥平面PEC；（2）取BE中点O，连接PO，∵PB＝PE，∴PO⊥BE，，又∵平面PBE⊥平面BCDE，交线为BE，∴PO⊥平面BCDE，∵M为PB的中点，N为PC的中点，∴．19．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，PB⊥平面ABCD，PB＝1．（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【解答】解：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，易求，∵BC＝2，∴CD⊥PD，∵PB⊥平面ABCD，CD在平面ABCD内，∴PB⊥CD，又PB∩BD＝B，且都在平面PBD内，∴CD⊥平面PBD，又PD在平面PBD内，∴CD⊥PD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又∵DA∥BC，BC⊥AB，PB⊥平面ABCD，∴△PAD，△PBA，△PCD都为直角三角形，∴，∵，∴四棱锥P﹣ABCD的表面积为．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中（底面△ABC为正三角形），A1A⊥平面ABC，AB＝AC＝2，，D是BC边的中点．（1）证明：平面ADB1⊥平面BB1C1C．（2）求点B到平面ADB1的距离．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．又BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD．又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BB1C1C．又AD⊂平面ADB1，∴平面ADB1⊥平面BB1C1C．（2）解：由（1）知，AD⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，∴AD⊥B1D．，∵，B1D＝2，∴，．设点B到平面ADB1的距离为d，由，得，即，∴d，即点B到平面ADB1的距离为．21．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AA1＝2，D为AB的中点．（1）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；（2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得平面C1AM∥平面B1CD．【解答】解：（1）以C为原点，CB、CA、CC1分别为x、z、y轴建立空间直角坐标系．因为AC＝BC，AA1＝2．所以C（0，0，0），A（），C1（0，2，0），．所以，那么；（2）在A1B1上中点M，连接MA．证明如下：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱．∴平面ABC∥平面A1B1C1，AB∥A1B1，AB＝A1B1．∵D、M分别是AB、A1B1的中点．∴C1M∥CD．∵CD⊂平面CDB1，C1M⊄平面CDB1，∴C1M∥平面CDB1．∴，．∴MB1＝AD，MB1∥AD．∴四边形ADB1M是平行四边形．∴AM∥DB1．∵DB1⊂平面DCB1，AM⊄平面DBC1．∴AM∥平面DCB1．∵C1M∩AM＝M．∴平面C1AM∥平面B1CD．《第八章立体几何初步》单元检测试卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共8小题）1．直角三角形的三边满足a＜b＜c，分别以a，b，c三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为Va，Vb，Vc，则（）A．Vc＜Vb＜Va B．Va＜Vb＜Vc C．Vc＜Va＜Vb D．Vb＜Va＜Vc2．已知三棱锥P﹣ABC，面PAB⊥面ABC，PA＝PB＝4，，∠ACB＝90°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积（）A．20π B．32π C．64π D．80π3．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（）A．6 B． C． D．124．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝2，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（）A．1 B．2 C．1 D．26．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，在A，B，C，D，C1，D1这六个顶点中，选择两个点与A1，B1构成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与A1，B1构成正三棱锥Q，M表示P与Q的公共部分，则M的体积为（）A． B． C． D．17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1﹣CDE外接球的体积为π，则a＝（）A．2 B． C．2 D．48．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二．多选题（共4小题）9．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（）A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA10．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（）A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1＝AB＝2．下列说法正确的是（）A．四棱锥B﹣A1ACC1为“阳马” B．四面体A1C1CB为“鳖膈” C．四棱锥B﹣A1ACC1体积最大为 D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EFa，以下结论正确的有（）A．AC⊥BE B．点A到△BEF的距离为定值 C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的 D．异面直线AE，BF所成的角为定值三．填空题（共4小题）13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝3，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为．14．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，△PAB是以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．15．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有个面，其体积为．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为等边三角形，若四棱锥P﹣ABCD的体积与四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积大小之比为，则正方形ABCD的边长为．四．解答题（共5小题）17．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P﹣ABC的体积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，AB＝3．点M，N分别是AB，PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅲ）在棱CD上是否存在一点T，使得直线BT⊥PC？请给出你的判断，并说明理由．19．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，平面外一点P在平面ABCD内的射影为O，PB与平面ABCD所成角为30°．（1）求证：BD⊥PA；（2）点N在线段PB上，且，求的值．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．（Ⅰ）求证：BC1⊥平面A1B1C；（Ⅱ）求异面直线B1C与A1B所成角的大小；（Ⅲ）点M在线段B1C上，且，点N在线段A1B上，若MN∥平面A1ACC1，求的值．21．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BDC；（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求点C到平面DEF的距离．《第八章立体几何初步》单元检测试卷（二）答案解析一．选择题（共8小题）1．直角三角形的三边满足a＜b＜c，分别以a，b，c三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为Va，Vb，Vc，则（）A．Vc＜Vb＜Va B．Va＜Vb＜Vc C．Vc＜Va＜Vb D．Vb＜Va＜Vc【解答】解：∵直角三角形的三边满足a＜b＜c，分别以a，b，c三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为Va，Vb，Vc，∴Vab，Vba，Vc，∵0，0，∴，∴Vc＜Vb＜Va，故选：A．2．已知三棱锥P﹣ABC，面PAB⊥面ABC，PA＝PB＝4，，∠ACB＝90°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积（）A．20π B．32π C．64π D．80π【解答】解：如图，在三角形PAB中，由PA＝PB＝4，AB＝4，得cos∠APB，∴∠APB＝120°，又∠ACB＝90°，不妨取AC＝BC，取AB中点D，则△ABC的外心为D且DC＝DA＝DB，∵面PAB⊥面ABC，再设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，则P，O，D三点共线；PD2；连接OC，则OC＝OP＝R；OC2＝OD2+DC2⇒R2＝（2﹣R）2+（2）2⇒R＝4；∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4π×42＝64π．故选：C．3．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（）A．6 B． C． D．12【解答】解：如图，作FN∥AE，FM∥ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍甍的体积为：．故选：B．4．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【解答】解：设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∴∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，在△PDE中，PE＝PO，DE＝r，∴cos∠PDE．故选：B．5．已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝2，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（）A．1 B．2 C．1 D．2【解答】解：依题意，，取BC的中点E，则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，F是△SAD的外心，作OE⊥平面ABCD，OF⊥平面SAB，则O是人锥S﹣ABCD的外接球的球心，且OF＝DE＝3，AF＝2，设四棱锥S﹣ABCD的外接球半径为R，则R2＝SF2+OF2＝13，则OE＝DF＝1，∴当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，．故选：A．6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，在A，B，C，D，C1，D1这六个顶点中，选择两个点与A1，B1构成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与A1，B1构成正三棱锥Q，M表示P与Q的公共部分，则M的体积为（）A． B． C． D．1【解答】解：如图，由题意，P和Q分别为三棱锥B1﹣A1BC1和三棱锥A1﹣AB1D1，设平面A1BC1与平面AB1D1的交线为EF，则M为四面体A1B1EF．取A1B1的中点O，连接ED，可得EO⊥平面A1B1F，又．则M的体积V．故选：A．7．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1﹣CDE外接球的体积为π，则a＝（）A．2 B． C．2 D．4【解答】解：在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，所以：△A1DE为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：A′KDEa；要想三棱锥A1﹣CDE的体积最大；需高最大，则当△A1DE⊥面BCDE时体积最大，此时三棱锥A1﹣CDE的高等于：DEa；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥A1﹣CDE的外接球球心在OH上；∵三棱锥A1﹣CDE外接球的体积为π；所以球半径R；如图OH2＝OC2﹣CH2；①A′O2＝A′G2+GO2；②即：R2﹣a2＝OH2；③R2＝（a﹣OH）2+（a）2；④联立③④可得a；故选：B．8．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为（）A． B． C． D．【解答】解：∵二十四等边体的外接球的表面积为16π，设其半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2，设O为球心，依题意得四边形A，B，C，D分别为正方体侧棱的中点，∴四边形ABCD是正方形，AB2，∴二十四等边体的棱长为2，∴二十四等边体的表面积为：S24+8．故选：C．二．多选题（共4小题）9．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（）A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA【解答】解：对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；对于D，由于M∈平面PAB，故错误．故选：ABC．10．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（）A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β【解答】解：由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：在A中，若m⊥α，m∥n，n⊂β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故A正确；在B中，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质得m∥n，故B正确；在C中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，m⊂α，a∩β＝n，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得m⊥β，故D正确．故选：ABD．11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1＝AB＝2．下列说法正确的是（）A．四棱锥B﹣A1ACC1为“阳马” B．四面体A1C1CB为“鳖膈” C．四棱锥B﹣A1ACC1体积最大为 D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B【解答】解：A．四边形A1ACC1为矩形，BC⊥平面A1ACC1∴四棱锥B﹣A1ACC1为“阳马”，故A正确；B．四面体A1C1CB中，△A1C1C、△A1BC、△A1BC1、△BCC1都是直角三角形，∴四面体A1C1CB为“鳖膈”，故B正确；C．当AC＝BC时，四棱锥B﹣A1ACC1体积为：，故C错误；D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，∵BC⊥AC，BC⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1C1C，又AF⊂平面AA1C1C，∴BC⊥AF，∵A1C∩BC＝C，∴AF⊥平面A1BC，∴AF⊥A1B，∵AE∩AF＝A，∴A1B⊥平面AEF，∵EF⊂平面AEF，∴EF⊥A1B，故D正确．故选：ABD．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EFa，以下结论正确的有（）A．AC⊥BE B．点A到△BEF的距离为定值 C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的 D．异面直线AE，BF所成的角为定值【解答】解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF•EF•AB•BB1•sin45°a×aaa3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：ABC．三．填空题（共4小题）13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝3，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为．【解答】解：以ABCD为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V1＝π×22×3＝12π，以ABB1A1为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V29π，以ADD1A1为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V39π，∴在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，此圆柱与原长方体的体积比为：．故答案为：．14．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，△PAB是以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．【解答】解：如图，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设△ABC的中心为O，由AB＝2，得COCF．∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P﹣ABC的外接球球心，则外接球半径R＝OC．∴该三棱锥外接球的表面积为4π．故答案为：．15．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有20个面，其体积为32．【解答】解：由对称性可知，该几何体共有20个面；该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V＝2×2×2×4＝32，交叉部分的体积为四棱锥S﹣ABCD的体积的2倍，在等腰△ABS中，SB＝2，SB边上的高为2，则SA，∴由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为的棱形，设AC的中点为H，连结BH，SH，由题意得SH为四棱锥S﹣ABCD的高，在Rt△ABH中，BH，又AC＝SB＝2，∴S四边形ABCD＝222＝4，∵BH＝SH，∴S四边形ABCD×242，∴这个几何体的体积为V＝3232．故答案为：20；32．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为等边三角形，若四棱锥P﹣ABCD的体积与四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积大小之比为，则正方形ABCD的边长为2．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O1，取AD的中点为N，连接PN，设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，等边三角形PAD外接圆的圆心为O2，则O2为△PAD的重心，则|PO2||PN|，正方形ABCD外接圆的圆心为O1．因为PN⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD，所以OO1∥PN，所以四边形OO1NO2为矩形，所以OO2＝NO1．设正方形ABCD的边长为2x，则|PN|x，所以|PO2|x，|OO2|＝x，所以四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为|PO|2＝|PO2|2+|OO2|2x2，所以四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为S球x2，四棱锥P﹣ABCD的体积为VP﹣ABCD4x2xx3，所以，即，解得x＝1，所以正方形ABCD的边长为2．故答案为：2．四．解答题（共5小题）17．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】解：（1）连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形，所以AB＝BC＝AC．O是圆锥底面的圆心，所以：OA＝OB＝OC，所以AP＝BP＝CP＝OA2+OP2＝OB2+OP2＝OC2+OP2，所以△APB≌△BPC