2024年高考数学一轮复习（新高考版）圆锥曲线中范围与最值问题

§8.11圆锥曲线中范围与最值问题

题型一范围问题

例1（2023・淄博模拟）已知F他,0）是椭圆C：，+5=1（a＞。＞0）的一个焦点，点M（y/3,，在

椭圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若直线I与椭圆C相交于A,B两点，且kOA+kOB=-^O为坐标原点），求直线I的斜率

的取值范围.

?2

解⑴由题意知，椭圆7+方=1（〃泌＞0）的左焦点为（一小，0）,

根据椭圆的定义，可得点〃到两焦点的距离之和为小份二晶电二0＞+3=4,

即2〃=4,所以〃=2,

又因为c=小,可得—=1,

所以椭圆C的方程为?+y2=i.

⑵当直线/的斜率不存在或斜率为。时，结合椭圆的对称性可知，kOA+kOB=0,不符合题意.

故设直线》的方程为丁=丘+机（人/0）,A（X1,%）,B（X2,竺），

y=kx+m,

联立方程组＜；+2=1

可得(43+1)炉+8切a+4(加2—1)=0,

.18km4(源一］)

N尤1+愈=47+1，X1X2=47+］，

yi.V2(Axi+ni)X2+(te+m)xi〜一m(xi+x2)—Sknf_—2k

所以koA~\~koB十=---------------------------=2k-txix-=2Z：+4(m2-l)

X\X2X\X22m2—1

2

由koA+kOB=-I，可得m=4k+1,

所以后一"，

又由/＞0,可得16（4产一■+1）＞0,所以4右一4Q0,解得K0或左＞1,

综上可得，直线/的斜率的取值范围是

思维升华圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值

范围.

跟踪训练1(2022・济宁模拟)已知抛物线E：尸=20加>0)上一点C(l,州)到其焦点F的距离

为2.

(1)求实数p的值；

(2)若过焦点P的动直线/与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作抛物线的切线A,h,且

h，，2的交点为。，/i,与y轴的交点分别为M,N.求面积的取值范围.

解(1)因为点C(l,州)到其焦点厂的距离为2,

由抛物线的定义知1+介2,

解得p=2.

(2)由(1)可知，抛物线E：>2=4%,

设V),3仔，>2)(yiW0,"WO),

、[J2=4X,

设/：x=ty-\-l,联立彳得y2—49一4=0,

[x=ty+1,

判别式/=165+16>0,故龙R,

%+丁2=4九%丁2=-4,

消去x,整理得ky2—4y+4yi—kyi=0,

所以J=16—4^(4yi—1)

=4(4一秋yi+玲彳)=0,

2

所以k=—9

即产亲+.，

令x=0,得“（0,手，

同理L：y=轰+坂，乂0，/

卜=亲+共

联立l\

1=m+当,

得交点。的横坐标为/=于=—1,

SAQMN^MN\-\XQ\^~~2*]=1VGi+y2）2_4yiy2=、d+121,

...△QW面积的取值范围是[1,+8）.

题型二最值问题

例2（2022•苏州模拟）已知双曲线C：，一方=1（。>0,6>0）过点（2吸，1）,渐近线方程为y=

±&,直线/是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A,8两点.

（1）求双曲线C的方程；

⑵设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.

「811

解（1）由题设可知161

b=2'

a=2,

解得-

6=1,

则C：~^—y2=l.

（2）设点M的横坐标为xM>0,

当直线/的斜率不存在时，则直线/：x=2,

易知点M到y轴的距离为XM=2；

当直线/的斜率存在时，

设Z：y—kx-\-m,A(xi,yi),B(X2,yi),

件-尸1,,

联立《4整理得(4F—1)，+8的优+4m2+4=0,

y=kx+m,

/=646》―16(4^—1)(苏+1)=0,

整理得4产=疗+1,

y—y2=0,

联立<整理得(就2—1)/+8初a+4疗=0,

y=kx+m,

LA.8km8km8kxi+x24k八

则-—，贝

xi+x2=747%2~一~17——mT=——mIXM~~~o2~~=-—m>0,

即km<0,

则扁=警=4+力4,

即xM>1,

此时点M到y轴的距离大于2.

综上所述，点M到y轴的最小距离为2.

思维升华圆锥曲线中最值的求法

⑴几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个

函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法

等.

跟踪训练2(2023・临沂模拟)已知椭圆C：5+^=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Q,F2,

离心率为坐，直线x=也被C截得的线段长为芈.

(1)求C的方程；

⑵若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且工益=力丽，求四边形面积的最大值.

b2=a2—c1=/一］〃2=/,

・,・椭圆的标准方程为f+3y2=〃2,

fx2+3y2=a2,/a2-2

由匕位

由题可知2、。2=半,解得。2=3,

⑵由祸=/前，

得A3〃BF1,如图,

延长AB交椭圆于C,。两点，根据椭圆的对称性可知,四边形ABC。为平行四边形,

且四边形尸2的面积为四边形A5CD的面积的一半.

由题知，5/1的斜率不为零，

故设BF\的方程为x=my—y[2,

^x=my—y[2,

得（机2+3»2—2吸机p一1=0,

设3（为，”），。（%2,丁2）,

VJ>0,

.2yf2m-1

■-yi+y2~m2+3'

故|因=行点心”|=宰了,

O到BFi的距离d=qi+/〃2'

S四边形啊％=250ii*ABCD=2X4S^obc

^2X^X\BC\-d^\BC\-d

245（〃11）小

m2+3m2+1

=2⑥7序+1

=2\16-

m2+1+2

=2乖•iJ202祸*^75=^3，

y]iir+i+I7q

vy/m2+l

当且仅当、加2+1=、；+],即加=±1时取等号,

.•.当机=±1时，四边形ABFiB的面积最大，最大值为小.

课时精练

立基础保分练

1.已知双曲线C：a―%=1(。>°，b>0)的左焦点为尸，右顶点为41,0)，离心率为2,

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知2(0,小)，直线/：y=履+加(k"W0)与双曲线C相交于不同的两点Af,N,若

\BN\,求实数，”的取值范围.

解5=2,

•*.c=2,Z>2=3,

双曲线C的标准方程为%2—-y=l.

(2)设M(x\,y1),N(尤2,yi),

线段MN的中点。(xo,y0),

y=kx+m,

联立，£得(3—F)X2—2切优一根2—3=0,

=

x--T11

3-lc^0,

依题意

/=(一2h〃)2—4(3—F)(一加—3)>0,

3一标*0,

即3+m2—^>0,°

，1cm

由根与系数的关系可得制+无2=兽,

_苏+3

__3_F'

_X1+X2km

则xo-2

3—P

3m

yo=kxoH-/yi—

3-F'

V\BM\^\BN\,：.BQ±MN,

3mr-

尸73_]

,•依。—XO—km~k9

3—决

；・3-庐=4^1/1,②

又严=3—华〃2>0,③

由①②③得加<一生乎或0<m<^p-.

2.（2023•吕梁模拟）已知。为坐标原点，椭圆C：务/=1（。>6>0）的离心率为坐且经过点

P（乖,1）.

（1）求椭圆C的方程；

2=

（2）直线I与椭圆C交于A,B两点,直线OA的斜率为ki，直线OB的斜率为k2,且左水

-1,求殖•历的取值范围.

cy[6

a3

解（1）由题意可得，

又〃2=庐+。2,解得〃=3,小.

22

所以椭圆C的方程为方■十5=1.

(2)设A(%1,yi),8a2,丁2),

当直线/的斜率存在时，设/：y=kx+t,

y~~kx~\~t,

联立

消去y得(l+SA^V+Ghx+Sz2—9=0,/=12(3+9^—产)>0,

产X2=I+3」，

故》1>2=一$1X2且为尤2片0,即3p—9W0,则PW3,又yi=Axi+r,yi—kx2+t,

所以丫1丫2_(-1+。(依2+。_/卜公(Xl+X2)+产卜1+3产(

m，尤1X2XlX2尤1X23产—9

1+3S

产一9._]

3/一9=一3'

3

整理得则P汽且/>o恒成立.

_1_223产-9产一3(

OA'OB=x\X2~\-y\y2=x\X2_§为愈一于1&一］•讦而一3•一於一一3(1

又且产W3,故30—36一3,0)U(0,3).

当直线/的斜率不存在时，%2=X1,、2=—M，则左的=一看=一g,又5■+/=L解得才=3,

_2

则0AoB=x?—'y?=qx?=3.

综上，51而的取值范围为［―3,0)U(0,3］.

S合提升练

3.(2023・济宁模拟)已知抛物线E：尸=2内3>0)的焦点为凡点M(4,%)在抛物线E上，且

AOMF的面积为52(o为坐标原点).

(1)求抛物线E的方程；

(2)过焦点尸的直线/与抛物线E交于A,2两点，过A,B分别作垂直于/的直线AC,BD,

分别交抛物线于C,。两点，求|AC|+|B£)|的最小值.

n^—Sp,

解(1)由题意可得,121,

/引刑=呼，,

解得p=2.

故抛物线E的方程为y2=4x.

(2)由题意知直线/的斜率一定存在且不为0,F(l,0),设直线/的方程为x="+l,fWO,

设A(xi,%),8(x2,yi),C(尤3,g)，

易知Xl="l+l>0,》2=。2+1>。，

x=(y+l,

联立

y=4x,

消去x得j2—4(y—4=0.

所以yi+y2=4f,y\yi=-4.

由AC垂直于l,得直线AC的方程为y—yx=-t{x—x\),

联立,消去x得。2+4y—4txi—4yi=0.

[y—4x,

济24—4/xi—4yi

所以％+丫3——7,yi》一■

所以|AC|=yj(xi—%3)2+(ri—J3)2

2

i+z)[Cyi+y3)-4yiy3]

16+16^X1+16(yi

所以当x£(0,2)时，f(x)<0,7(x)单调递减；当x£(2,+8)时，/(%)>(),式x)单调递增.

所以当尤=2时，犬x)取得最小值，即当/=小时，|Aq+|8。的最小值为126.

或拓展冲刺练

4.已知椭圆的两个焦点是尸1(0,-2),尸2(0,2),点尸(啦，2)在椭圆上.

(1)求此椭圆的方程；

(2)过后作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,B,C,。四点，求四边形面积的

取值范围.

解(1)由题意知，c=2,

因为焦点在y轴，

27

设椭圆方程为，+庐=1(。泌>0),

将点P的坐标代入上式得点4+东2=1,

、〃2=4+",

解得“2=8,〃=4,

22

所以椭圆方程为总+5=1.

o4

(2)如图，当过尸2的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线的