鲁教版（五四制）八年级数学下册第九章图形的相似定向训练练习题

八年级数学下册第九章图形的相似定向训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（4,4）,以原点为位似

中心，在原点的异侧画使上DEF与ABC成位似图形，且相似比为1:2,则线段如的长度为

（）

A.72B.2C.272D.4

2、如图，在/回中，EF//BC,AE=2BE,贝！J/脐与梯形比7下的面积比为（)

月

BC

A.1：2B.2：3C.3：4D.4：5

3、若2=则比的值等于（）

a2a

4、如图，在平面直角坐标系中，以原点。为位似中心,若/点坐标为（1,2）,C点坐标为（2,

4）,AB=45,则线段切长为（）

A.2B.4C.75D.2亚

CF4

5、如图，在平行四边形4?切中，点月在回边上二二彳，则△应F与"的周长之比为（）

BE3

A.1：3B.3：7C.4：7D.3：4

6、如图，在心△4?。中，ZACB=90°,A（=3,ZBA（=30°,把/?[△/回沿4?翻折得至U过

点B作BEIBC,交助于点幺点方是线段座上一点，且.则下列结论：①4斤庞；

②△BED^ABC；③Blf=AD-DE；④/后后，其中正确的有（)

A.①④B.②③④C.①②③D.①②③④

Y3

7、若丁产"则下列等式成立的是（）

x+y_7x_3x+1_3

A.3x=4yB.C.D.

y-4y+l-57+1-4

8、如图，已知47与班相交于点。,点G是劭的中点，过点G作曲〃成交〃于点£,如

果4?=1,BC=4,那么场回等于（）

A.3：8B.1：4C.3：5D.2：3

9、如图，B,用是/A一边上的任意两点，作3CLAC于点G耳6工人弓于点孰.若

BC=3,AC=4,则等的值是（

)

CC,

3

D.

5

10、如图，若丛ABCs丛DEF,则NC的度数是（）

A.70°B.60°C.50D.40°

第II卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点石是ABC的重心，EFG和ABC是以点。为位似中心的位似图形，贝！JEFG与一ABC

的面积之比为.

2、如图，在%中，点〃、£分别是45、〃的中点，若一的E的面积为3cm2,则四边形应应C的

面积为.

3、如图，在A45C中，D为BC边上的一点，且耳0=3。。，连接AD,E为AD的中点，连接8E并

延长交AC于点尸，若ABDE与AAF尸的面积之和为9cm2,则AABC的面积为cm2.

E

4、如图，在△/比'中，点。，E分别在45,ACh,旦DE〃BC.若AD=2,AB=3,DE=4,贝U欧的长

为一

5、如图，在口加切中，AB=6,AD=8,入的平分线交和于点凡交46的延长线于点G,过点。作

CEVDG,垂足为£,诲2,则△毋'C的周长为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB=4,CD=&,F在BD上,BC、皿相交于点£,豆ABHCDHEF.

⑴若/£=3,求碘的长.

⑵求旗的长.

2、如图，中，CA=CB,ZACB=120

⑴如图1,点以N分别在。、CB上,若。=CB=8,。为力5的中点，NMDN=6Q°,求6Mg的

值.

⑵如图2,NABP=120°,点、E、尸在上，且/mF=60°,射线辟交方的延长线于点R求

证：PB+AF=PF.

⑶如图3,在的异侧作△力破其中46=3,BG=6,在线段加上取点。，使80=2.当2G绕

着点G运动时，求6的最大值.

3、如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1.

(1)求证：△ABCS^A?C'；

(2)ABC和VAEC，是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置。；如果不是，请说明理

由.

4、如图，点尸是正方形/四的对角线劭上一点.

⑴联结"并延长，交4〃于点后交阕的延长线于点£.求证：PC=PE'PF；

②若AF=B»DP,求证：NBPC=90°.

5、如图，在△/国中，点只〃分别在边比；AC1.,PAVAB,垂足为点4DP1BC,垂足为点R

APBP

PDCD

(1)求证：NAPD=4C；

⑵如果46=6,DC=\,求/P的长.

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出AC,再根据位似变换的性质计算，得到答案.

【详解】

解：'：A(2,2),B(4,2),C(4,4),

：.AB=2,BC=2,

由勾股定理得：AC=7AB2+BC2=2A/2,

•.•以原点为位似中心，在原点的异侧画△㈤使△颂与△/比成位似图形，相似比为1：2,

二线段如的长度为V2，

故选:A.

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相

似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

2、D

【解析】

【分析】

SAE4

证明△/斯利用相似三角形的性质得到—=（―）2=-,然后根据比例的性质得到△力防

Aby

与梯形比硬的面积比.

【详解】

解：•:AE=2BE,

.AE_2BE_2

*'AB-2BE+BE~§，

'：EF//BC,

：.AAEFsAABC,

S

.MEF=（毛）2=（2）2=4

•,S确cAB39'

.•.△2"与梯形式7毛的面积比为4：5.

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、

公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算.

3、B

【解析】

【分析】

b3

根据瞑=可设“=2左力=3k（k*0）,再代入计算即可得.

a2

【详解】

解：由题意，可设。=2%,6=3以上wO）,

a+b2左+3左5

则

a2k~2,

故选:B.

【点睛】

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键.

4、D

【解析】

【分析】

根据位似变换的性质得到△03△刃8且相似比为2：1,根据相似比等于位似比计算即可.

【详解】

解：•.•以原点。为位似中心，

...将△。口放大得到△如氏点力的坐标为（1,2）点。的坐标为（2,4）,

:.△OCD^XOAB,且相似比为2:1,

.AB

"~CD~2

,/AB=B

，CD=2^5,

故选：D.

【点睛】

本题考查位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比

为k,那么位似图形对应点的坐标比等于A或-A.

5、B

【解析】

【分析】

通过证明XBEFs4ADF,利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】

解：'：CE-.陷4：3,

J.BEtBO3：7,

•.•四边形/2O是平行四边形，

AD=BC,

BE：AD=3：7,

四边形ABCD是平行四边形，

：.BE//AD,

：.丛BEFs丛ADF,

二△戚与△/麻的周长之比为3：7,

故选:B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键.

6、D

【解析】

【分析】

由折叠的性质可求N物氏N的e30°,AD=A(=3,B1>B(=^3,NONADB=90°,可得

/BA厮NEBA=30°,可证陷力其故①正确，由外角的性质可得/应炉/4%7,可证△5£»2\力比；

故②正确；由相似三角形的性质，可得昨AD・DE,故③正确；过点尸作物L”于耳FGLBD千G,

由面积法求出阳掰的长，由勾股定理可求/后后，故④正确，即可求解.

【详解】

解：止90°,A(=3,ZBA(=30°,

AZABC=60°，小后A&-2BC=1s[3,

,：BELBC,

：.AEBA=3Q°,

•.•把RtAABC沿四翻折得到Rt丛ABD,

:"BA诙NBAO3Q°,AD-AOZ,BD=B(=43,NONADB=90°,

：.ZBA^ZEBA=30°,

：.BE=AE,故①正确，

■:NBEFNABE+NBA©60°,

，/BED=/ABC,

又，：NO/ADB,

:.△BED^AABC,故②正确；

.BDDE

"AC-BC；

'：BD^BC,AD=AC,

：.Blf=AD'DE,故③正确;

如图，过点尸作于〃，FGLBD千G,

■:/DBE=90°-/BED=30°,/BD&9G,

...除6旅5BE=2DE,

：.DE=1,BE=2,

VZADF=45°=NBDF,FHVAD,FGLBD,

:.FH=FG,

,：SABDE=-BDXDE=-XDEXHPr'XBDXGF,

222

:,陋上昱,

2

•.,/49后45°,/DH29Q°,

2

:.A宙AD~D宙土史,

2

,AF=-JAH2+HF2=&，故④正确,

综上，①②③④均正确，

故选：D.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的

面积公式，勾股定理等知识，求出/〃的长是解题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

根据比例的基本性质逐一判断即可.

【详解】

解：v-=f(xy*o),

y4

4产3y,

A、3毛4y,不符合题意；

B、"*=二,/.4x+4y=7y,即4A=3y,符合题意；

y4

x3

C、----=/.5^=3y+3,不符合题意；

37+15

x+13

D、---7=~,.'.4^+4=3y+3,即4x+l=3y,不符合题意；

y+14-

故选:B.

【点睛】

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

8、A

【解析】

【分析】

根据题意由/。〃a；GE//BC,可证得△/勿△。而口△皈；又由/庆1,BO4,点G是劭的

中点，设切=x,0B=4x,则除5x,可求得aM.5x,由必BOOG-.神即可得到答案.

【详解】

解:'：AD//BC,

：./\AOD^^COB,

'：AD=1,BO4,

：.0D-.OB=AD：BOI：4,

设OD=x,0氏4x,则初=5x,

•.•点G是侬的中点，

，吩：吩2.5x,

0G=0B-BG=4x-2.5A=1.5X,

・.・GE//BC,

:•△OGESXOBC,

:.GE：BOOG：OB^l.5x：4尸3：8.

故选：A.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质.解决此题的关键是设未知数将例、如表示出来.

9、B

【解析】

【分析】

先证明NBCA=N4GA=90。，再证明ABCAB£,最后利用相似三角形的性质得出结果.

【详解】

解：VBC1AC,BXC,±AQ,

NBC4=NBJGA=90。，

/.ABCAB。,

.B£BC

"^Q~AC，

\'BC=3,AC=4,

.4C]BC_3

'*AC-4'

故选B.

【点睛】

本题考查了垂直的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性

质.

10、C

【解析】

【分析】

根据三角形内角和即可求得NC的度数.

【详解】

解：在,ABC中，ZA=70°,ZB=60°

.-.ZC=5O°

故选C

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键.

二、填空题

1、1：9.

【解析】

【分析】

根据位似图形的概念得到EFGs一ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【详解】

解：..•点后是ABC的重心，

•••点£是的三等分点，

.DE-1

£FG和ASC是以点〃为位似中心的位似图形，

：.oEFGsABC,EF//AB,

.DEEF1

DA~AB~3'

.SEFG_(EF『_1

"SABJAB_9，

故答案为：1：9.

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键.

2、9cm2

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理可得=,DE//BC,从而得到△/庞再根据相似三角形的性

质，可得%^=12加2,即可求解.

【详解】

解：：点。、后分别是/氏/C的中点,

:.DE==BC,DE//BC,

2

丛ADEsAABC,

.S^EJDE^\

,,SAABCUCJ4'

VADE的面积为3cm②，

S"BC=12crrr,

，四边形〃应C的面积为5.-53=12-3=9cn?.

故答案为：9cm2

【点睛】

本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的

性质是解题的关键.

3、21

【解析】

【分析】

作DK//BF交AC于K.首先得到W=推出5.尸=。5树「再利用三角形的中线，可得必皿■+

Cr4/

SAAEF=SAABE+SAAEF=SAABF,即可解决问题.

【详解】

解：作DK〃3F交AC于K.

DK//BF,BD=3DC,E为AD的中点，

.CKCDAF_AE

一赤—茄—]'而一瓦―，MBE-2DE'

•AF_3

•/="

.$bABF_3

SABCF4'

3

-S^ABF='SAABC，

S用DE+S^EF=9cm，

•*,SbABE+S^AEF=9cm2,

即SAABF=9。〃2,

32

i~SAABC=9cm,

解得：5AA区=21。病.

故答案为：21.

【点睛】

本题考查三角形的面积、平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化

的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

4、6

【解析】

【分析】

由龙//%可得出//应4AED=4ACB,进而可得出△/庞"△/呢，再利用相似三角形的性

质可得出萼=斐，代入/32,AB=3,应'=4即可求出回的长.

DEAD

【详解】

解答：解：•••庞〃比；

ZADE=AABC,ZAED=ZACB,

：.AADEsAABC,

.BCABHnBC3

DEAD42

：.BC=Q.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

u/8及

5、4+—

3

【解析】

【分析】

首先利用已知条件可证明△物是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出上2班1,而

在心△侬中，由勾股定理可求得庞的值，即可求得小的长，从而求出△色?的周长；然后，证明

△山“丛BFG,然后根据周长比等于相似比即可得到答案.

【详解】

解：•。石是N49C的平分线

/.AADE=NCDE

四边形ABCD是平行四边形

:.AD//BC

..AADE=NCDF=NDFC

..CD=FC=AB=6

CE±DG

:.DF=2DE

在Rt^\CDE中

ADEC=90°,CD=6,CE=2

..DE=>JCD2-CE2=45/2

:.DF=2DE=8五

.­.CD尸的周长为12+8近

CF=6,BC=AD=8

..BF=BC-CF=8-6=2

/.CF:BF=6:2=3:1

AB//CD

.；CDFsBFG

.C—CDF_己3

,*c~1

JBFG1

AFG的周长为4+成

3

故答案为：4+延

3

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识是解

题的关键.

三、解答题

9

八⑴万

⑵£

【解析】

【分析】

ArAR

(1)证明AAEBSADEC,得到黑=奈，把已知数据代入计算即可；

DECD

(2)根据ABfFsABCD,得到芸=黑，同理得到笠=黑，两个比例式相加再代入计算，得到答

CDBDABBD

案.

【小题1】

解：AB//CD,

:.^AEB^\DEC,

.AEAB

-DF-CD'

QAB=4,CD=6,AE=3,

._3__4

,•~=一,

DE6

Q

解得：DE=3；

【小题2】

CD//EF,

:.\BEF^\BCD,

.EFBF

~CD~~BD'

EFDF

同理:益一茄

_E_F__।EF=BF।DF=],

CDABBDBD'

EFEF,

—+——=1,

64

12

解得：EF=-

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

2、(1)4

(2)见解析

⑶2+6

【解析】

【分析】

(1)连CD,取回中点£,连DE,根据ABCD为30°的直角三角形，得出ACDE为等边三角形，证

明出ADOW之ADEN,即可求解；

(2)把AACF绕点。逆时针旋转120°,由NEBC+NPBC=30o+150o=180。，得尸,民尸在同一直线上，

再证明出\CFP^\CF'P即可求解；

(3)以比为底边向上作底角为30°的等腰三角形ABGK,根据r=班=空，及NCBK=ZABG，证

AB3BG

明出ACSKsAAeG,连结及；，得肥=2,CQVCK+KQ=2+百即可得出结论.

⑴

解：连微取笈中点瓦连龙,

ABCD为30°的直角三角形，

」.ACD石为等边三角形，

ZMDN=6D°=ZCDE,

二/1=/2,

'/I=Z2

<CD=DE,

ZMCD=60°=ZDEC

:.\DCM匈*EN,

：.CM=EN,

:.CM+CN=CE=4,

(2)

解：把AACV绕点。逆时针旋转120。，得ACBF,

ZTBC+ZPBC=30°+150°=180°,

「•尸,民尸在同一直线上，

ZACF+ZECB=120°-60°=60°,

.•.ZPCF，=60。,

CF=CF

<ZFCP=60°=NPCP,

CP=CP

:.ACFP^ACF'P,

.\PF=PF,=BP+BF,=BP+AF,

(3)

解：以砌为底边向上作底角为30°的等腰三角形ABGK,

BC6_BK

AB~3-BG9

又/CBK=ZABG,

:.ACBKs^\BG,

.-CK=—,

AG3

CK=3x=y/3,

3

连结附，易得价2,

:.CQ<CK+KQ=2+y/3,

二的的最大值为2+6.

【点睛】

本题考查了含30。的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形相似

的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解.

3、(1)见解析

(2)ABC和VAEG是位似三角形，见解析

【解析】

【分析】

(1)运用勾股定理求出两个三角形各边的长，再根据相似三角形的判定方法进行判断即可；

(2)利用位似图形的性质进行判断即可.

(1)

证明：•.•每个最小正方形的边长均为1,

,,BC=A/12+12=5/2，AB=A/12+22=后，AC=4I2+2。=小

B'C'=>/22+22=2&，AB'=@+42=2A/5，A'C'=A/22+42=275

..BCV2_1ABV51AC^5..1

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