2024年高考数学模拟题含解析 (四)

1.复数zi，Z2在复平面内对应的点分别为（1,2）,（0,-1）,贝。Z1Z2=（）

A.1+iB.2-iC.-2iD.-2-i

【答案】B

【分析】首先根据复数的几何意义求复数，再根据复数的乘法公式求解.

【详解】由复数的几何意义可知，Z]=l+2i,Z2=-i,

则z,z2=(l+2i)(-i)=-i-2f=2-i

故选：B

2.若集合A={x|xWl},且Au5=A，则集合B可以是（）

A.{x|x>l}B.C.{0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

由=A得BgA,由此可得答案.

【详解】解：=

又A={x|x<l},

・•・只有D选项符合，

故选：D.

3.双曲线E经过点（4,0）,其渐近线方程为y=±gx,则E的方程为（

)

【答案】D

122

由渐近线方程为y=±-x,可设所求的双曲线方程为匕-土=2（4/0）,由双曲线经过点（4,应）代入可得

214

2,从而可得所求的双曲线方程

【详解】解：已知双曲线渐近线方程为y=土;x,

22

故可设所求的双曲线方程为乙-土=彳（彳*0），

14

双曲线经过点（4,0）,代入可得;1=—2,

22

故所求的双曲线方程为土-匕=1.

82

故选：D.

【点睛】本题主要考查了双曲线的方程的求解，解题的关键是需要由题意设出双曲线的方程，在双曲线的

2222

方程求解中，若已知双曲线方程、-斗•=：!,可得渐近线方程为二-工=0；但若渐近线方程为程程为

a1b1a2b2

2222

二一3=0可设双曲线方程为二一2?=4（2/0）.

abab

4.若a>0,b>o,贝『七+/?<2"的一个充要条件是（）

A.—F—<1B.y[a<y/2—b

ab

C.a2+b2<2D.ab<l

【答案】B

【分析】根据命题的定义，可利用赋值对A、C、D三个选项进行验证；利用不等式的性质可得B成立.

【详解】。>0,b>0,

对于A,当〃+b<2时，取〃=—,b——,则—I——2+2>1,

22ab

所以工+,<1不成立，必要性不成立，故A错误；

ab

对于B,当〃+时，0<QV2—b,

由不等式的性质可知G<，必要性成立；

当G<J’2-6时,两边平方，得a<2-b,即a+/?<2,充分性也成立，故B正确；

31,,91

对于C,当a+/?<2时，取。=—,b=—,则矿+Z?=—I>2,

24416

所以/+^<2不成立，必要性不成立，故C错误；

19

对于D,当时，取。=2,b=—,则a+b=—〉2,所以a+/?<2不成立，充分性不成立，故D

44

错误.

故选：B.

5.已知圆。：必+丁2=4,直线/过加（0,7句，若/被圆C所截得的弦长最小值为2,则机=（）

A.±72B.±73C.±2D.±75

【答案】B

【分析】首先分析题意，利用圆基本定义与直线关系，又可知，M必在圆。的内部，故可知。到直线/的

最大距离.

【详解】易知，直线/与y轴交点的坐标为（0，m）,圆C的圆心坐标为（0,0）,半径为2.记

加（0,加）,0（0,0）.由题意可知点M必在圆。的内部，且直线/被圆C所截得的弦长的最小值为2时，。

到直线I的最大距离为|。河|,则机=土JU=+73.

故选：B

6.已知函数/（x）=2cosx,xe[0,7i）的图象与函数g（x）=3tanx的图象交于A,B两点，贝U.Q4B（O

为坐标原点）的面积为（）

A.-B.匝C,-D.匝

4422

【答案】D

【分析】根据已知条件作出图象，利用平关关系及特殊值对应特殊角，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】画出函数〃x）=2cos无与8（%）=31311》的图象如图所示，

由2cosx=3tanx,可得2cos?x=3sin_r，2sin2x+3sinx-2=0>得sinx=—或sinx=-2（舍

2

去），又％€[0,兀],所以》=巳或》=葛.所以根据函数图象的对称性可

得A3的中点所以

SAOAB=SMAC+SzX0CB=3℃|力|+3℃|力|=3℃|力一%|=gx]x26='

故选：D.

7.已知正实数。，b,c满足a+log2。=入+2"=2°+log2C=4,则以下结论正确的是（）

A.b>aB.a>2cC.c>bD.b>2c

【答案】c

【分析】利用指数、对数函数的性质与函数图像进行判断即可.

【详解】令0(x)=x+log2],可知9(x)在(0,+8)单调递增，

由a+log2a=b+2"=ln2〃+2J

得夕(a)=°(2)所以a=2"，

C

由题log2a=4—a,2〃=4—b，2=4-log2c,

令t=log2ceR,则c=2'，所以有4'=4—f，

在平面直角坐标系中分别作出〃x)=log2%,g(x)=2x,h[x)=2V,q(%)=4"

由图像可得log2C=f<6<。，则A错误；

对于B,c=2'则2°+log2c=4=>21+log2c=4,即4'+log2c=4,

由图像可知a=2"<4'，所以a+log2c<4=>a<4—log2c=2°,B错误；

对于C,20+log2c=4,即2°+/=4=>20=4—f，因为，</?,b+2b=4

所以2c>4-3=2"，则c>。，故C正确；

对于D,因为6+2"=2°+k>g2c=40人=4—2〃,2「=4—log2。，

即人=4—a,2'=4—t且a=2〃>/，所以b<2°，D错误；

故选：C

8.已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面半径为「，点A,5,C,D在底面圆周上，当四棱锥P-ABCD

体积最大时，r=

A,及B.mC.巫D*

3327

【答案】C

【分析】设圆锥的高为〃，AC,5。相交于点"，ZAMB=6,求得5AA-CD的最大值，以及根据锥体的体

积公式，求得%wo=-|(/Z3-4/Z),令/㈤=/?—4/I,令导数求解函数的单调性与最值，进而可求

解答案.

22

【详解】设圆锥的高为//，AC,5。相交于点/,ZAMB=O,则/ze(O,2),r+/i=4.

1119

SMBCD=-ACBD.sm0<-ACBD<-(2r)=2尸,

JT

当且仅当8=耳，AC=B£>=2厂时，5AAgo取得最大值，

则％ABeJs.a仁泰2/=g(4—2力=-|(/Z3-4A)

令/(/?)=/—4/2,贝U/1/Z)=3/Z2—4,令/'伍)=0,解得/^=平

所以/(/i)在卜，平j上单调递减，在］半,21上单调递增

所以丸min="［半］=-则四棱锥P—A6CD的体积的最大值为考3,

所以当四棱锥P—ABCD体积最大时，—4—112二巫.

3

【点睛】本题主要考查了组合体的性质，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，其中解答中根据

结合体的结构特征，求得几何体的体积，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答本题的关键，试题有

一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分

9.下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是()

A.el=(1,1),e2=(1,2)B.ex=(-1,1),e2=(-2,2)

C.G=(1，-2),02=(3,6)D.ex=(1,2),e2=(—3,—4)

【答案】ACD

【分析】利用平面向量的共线定理及基底的概念一一判定选项即可.

【详解】易知能作为基底的两个平面向量不能共线,

「“Il1-212

因为一#一,一丰—,—丰—,

1236-3-4

则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中e2=(-2,2)=2弓，则B错误.

故选：ACD

10.如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线MV//平面ABC的是

【答案】BC

【分析】利用空间向量、正方体的特征及线面平行的判定定理、面面平行的性质定理一一判定选项即可.

【详解】对于A项，如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则4(2,0,1),5(1,2,0),C(0,2」),M(2,2,2),N(0,1,2),

所以AB=(—1,2,—1),AC=(—2,2,0),7W=(2,1,0),

,、n-AB=-a+2b-c=0

设平面ABC的一个法向量为〃=(a,),c),则＜

n-AC=-2a+2b=0

令a=l=Z?=l,c=l,即”=(1,1,1),

显然MW・77=2+1+0=3/0，即M0•与〃不垂直，故直线A/N与平面ABC不平行，故A错误;

对于B项，如图所示取侧棱中点D连接A。，BD,由正方体特征可知A。//5cMN/ABD,

所以平面ABC即平面ABC。，平面ABC。，BDu平面ABCD，

所以直线陌V//平面ABC,故B正确；

对于C项，由正方体的特征易知平面ABC//侧面MN,MNu侧面肱V,

所以直线陌V//平面ABC,故C正确；

对于D项，如图所示取正方体一棱中点G,连接CG、MG、BN,

由正方体的特征可知：AC//MN.AB//GM.BNHCG,

易知A、C、G、M、N、5六点共面，故D错误.

故选：BC

11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐

光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每

分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒尸到水面的距离为d（单位：

米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为单位：秒），已知

cos48°,贝I()

3

Ad=2-3cosf—r+|,其中cosS=2,且8e0,—

<30)3I2)

B.d=3sin［看f+6>1+2,其中sin8=—g,且，］,o］

C.大约经过38秒，盛水筒尸再次进入水中

D.大约经过22秒，盛水筒尸到达最高点

【答案】ABD

【分析】若。为筒车的轴心的位置，AC为水面，P为筒车经过/秒后的位置，由题设知筒车的角速度

a)=—,令NAOS=e,易得NPOB=U+e,而cosNPO3=gg、d=2-OB,即可求d的解析

3030OP

式判断A、B的正误，峰38、r22代入函数解析式求d,即可判断C、D的正误.

【详解】由题意知，如图，若。为筒车的轴心的位置，AC为水面，P为筒车经过/秒后的位置，

/\

27rjr2JI

筒车的角速度啰=——二一，令cos/AQB=cose=—且。G0>2'

60303\乙J

...cosZPOB=cos嗡+。)=器，故。3=。尸•cos(3+3),

而d=2-OB,

Ad=2-3cosf—Z+,其中COS6=2,且8e0,—,

【30)3I2)

/JI\兀JI

又d=2-3cos—t0—2—3cos—tcos6+3sin—tsin0

(30)3030

cc兀•兀

=2-2cos—t+75sin—t,

3030

若Ow]-且sin6=-g,所以cos6=q^，

ITT\TTTT

止匕时d=3sin—1+0+2=3sin——/cos6+3cos—/sin6+2

^30)3030

房•兀c兀c

=A/5sin—^-2cos—1+2,

3030

故d=3sin[或/+e]+2,其中sine=—g,且/,0),故A、B正确；

当/六38时，泡=180°+48°,且sin48«—，cos3=-,

3033

d=2+3cos(48°+0)=2+3(cos48°cos0-sin48°sinff)=三,

故盛水筒P没有进入水中，C错误；

当/笈22时，名2=90?42?,且sin42=cos48

303

d=2-2cos(90°+42°)+逐sin(90°+42°)=2+2sin42°+6cos42°=5,

故盛水筒尸到达最高点，D正确.

故选：ABD

12.己知曲线G:d+y3—6孙=0(x〉0,y〉0),则()

A.曲线G关于直线丁=》轴对称

B.曲线G与直线x+y—6=0有唯一公共点

C.曲线G与直线X—y+l=o没有公共点

D.曲线G上任意一点到原点的距离的最大值为3行

【答案】ABD

【分析】A只需判断对于任意(。/)、(仇。)是否都有6ab=。成立即可；B联立直线与曲线求交点

即可判断；C联立直线与曲线得2d—3必一3%+1=0,构造/。）=2丁_3——3x+l,利用导数研究其在

7T

(0,+8)上零点个数即可；D令曲线G上任意一点(rcos，,rsin，)且。€[0,万],且到原点距离为人代入

6cos8sin。

曲线方程得厂=,应用换元法、三角恒等变换求最大值.

(cos0+sin9)(1-cos0sin8)

【详解】对A,将(。/)、(仇。)代入有^+^一646=0都成立，即曲线G关于直线V=x轴对称，A

对；

对B,将y=6-x代入曲线三+(6—x)3—6x(6—x)=0,整理得犬—6x+9=(x—3/=0,

所以x=y=3,即曲线G与直线％+y—6=0有唯一公共点(3,3),B对；

对C,将y=x+l代入曲线三+5+1)3—6x(x+l)=0,整理得2d—3/—3%+1=0，

令人》=2犬-3f-3x+l,贝了(x)=3(2f—2x-1),且x>0,

所以在(l±YE,+oo)上八九)>0,“力递增，(0,1±且)上八*)<0,/(x)递减,

22

又/(0)=1>。，/(1)=6>0,而—¥一1<0，

所以/(X)在(0,+co)上有两个零点，C错;

7T

对D,令曲线G上任意一点(rcosarsin。)且。£。一),且到原点距离为小

2

6cos3sin36cossin

所以/(cos30+sin3。)=6r2cos6sin6,贝U丫

cos30+sin30(cos0+sin8)(1—cos0sin6)

若♦=cos0+sin6—y/2sin(6+—)e[1,A/2],则cos0sin0—---

42

所以

f(3—厂)t3t—t

令y=3r—/且则y=3(i—J)<o,即,6[1,四]上,单调递减,

612i—612cA7

所以厂=一一+----r在/6口,行]上单调递增，故々ax=--7^+~F一尸=312,D对.

t3t-t723V2-A/2

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：C转化为研究函数在(0,+8)上的零点个数问题；D设任意点的极坐标

(rcos6>,rsin,应用换元法、三角恒等变换、导数研究厂的最值.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(x+y)(x—的展开式中的系数是.(用数字作答)

【答案】-5

【分析】首先分析出存在Yy4有两项，然后分别求出这两项系数，相加即可.

【详解】根据题意,X3/的项在(X+y)(x-y)6的展开式中有两项，

分别为:X-C：x2(_y)4和y.c"3(_y)3,即15%3y4和—20尤3y4,

则dy4的系数为：15—20=—5.

故答案为：-5.

14.已知甲、乙两人三分球投篮命中率分别为0.4和0.5,则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的

概率为.

37

【答案】0.37##——

100

【分析】采取正难则反的原则，求出其对立事件，即二人两球都没有投中的概率，再根据对立事件的概率

公式求解即可.

【详解】设甲两个三分球都投中的事件为A,乙两个三分球都投中的事件为B,至少有一人两球都投中的

事件为C,

则P(A)=0.16,P(A)=0.84,P(B)=0.25,P(B)=0.75,P(C)=1-P(AB)

由题可知事件A与事件8互相独立，

所以P(C)=1-P(荏)

=1-0.84x0.75

=0.37,

所以至少有一人两球都投中的概率为0.37,

故答案为：0.37

15.如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形.每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分

成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变.若第一个三角形的面积为1,第九个图中白

色部分的面积记为4,则%=.

【答案】4=1—(aeN*)

【分析】先计算黑色三角形面积再计算白色部分即可.

【详解】观察可知每个图形中黑色三角形的面积一致,

3

假设第九个图中黑色三角形的面积为2，则”=小«>2,neN*)，4=1,

显然｛〃｝是等比数列，公比为q，即2=（；］

16.椭圆E：=+3=1（。〉6〉0）的左右焦点分别为耳、F2,E上存在两点A、2满足万4=2凡5,

ab

\AF2\=^a,则E的离心率为.

【答案】逝

3

【分析】作点B关于原点的对称点C,连接3月、C片、CF］、BC,推导出A、耳、C三点共线，利用椭

圆的定义可求得|M|、|9|、|AC|、|K|,推导出NC48=90。，利用勾股定理可得出关于a、c的齐次

等式，即可求得该椭圆的离心率.

【详解】作点B关于原点的对称点C，连接。耳、。耳、BC,

则。为2C、片耳的中点，故四边形跳;为平行四边形，故C耳〃台工且|燃|=忸闾，则

CF｛=F2B,所以，冗A=2C耳,故A、片、C三点共线,

r\

由椭圆定义，耳|+|和|=2a,有所以|。周=1,贝||AC|=a,

再由椭圆定义|国+理|=2a,有|%=事，

因为CEfmAcF+iAgf,所以NC4鸟=90。，

在4A月月中，闺鸟『=恒团2+|但「即4c2=,储，所以e=4.

故答案为：吏L

3

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

c—b

17.在①—；②acos3=csinC-6cosA；③片+。2cos2A=2Z?ccosA，这三个条件中任

22c

选一个，补充在下面问题中，并解答下面问题.问题：在cABC中，内角A,3,C的对边分别是。，b,

(1)判断.ABC的形状；

(2)点。为ABC所在平面内一点，且点。与点A位于直线的异侧，AB=2,ABrBD,

BD=6，CD=«AC，求四边形ABDC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】17.直角三角形；

185石

4

【分析】(1)若选择①、②，利用三角恒等变换及正弦定理计算即可；若选择③，利用正余弦定理计算即可;

(2)根据条件及正余弦定理建立凡6的方程组计算即可.

【小问1详解】

什33Z-X,.2C~b12AFc—bb

右选择①，由sin——----=>1—2sin——1------

22c2cc

inB

由正弦定理及二倍角公式可知cosA=——=^>cosAsinC=sinB,

sinC

在，ABC中，A+B+C=TI(A、B、CG(O,TT))

nsin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,

则sinAcosC=0,而sinAwO(A£(O,兀))，故cosC=0nC=',

所以一ABC是直角三角形;

若选择②，根据正弦定理tzcosB=csinC-Z?cosAnsinAcosB=sinCsinC-sinBcosA

=>sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinCsinC

在.ABC中，4+3+。=兀（4、B、Ce（0,7r））,

所以sin（A+3）=sinC=sinCsinCnsinC（sinC_1）=0,

而51!1000（06（0,兀）），故sinC=l=>C=],

所以ABC是直角三角形；

2222

若选择③，由余弦定理可知Z?2+c2cos2A=2bccosA=Z/+。2-a=>csinA=a，

由正弦定理可知c2sin2A=a2=>sin2Csin2A=sin2A，

在_ABC中，4+3+。=兀（4B、Ce（0,7r））,

而sinA#0（Ae（0,7r））,故sinC=l=>C=],

所以是直角三角形；

【小问2详解】

222

由余弦定理可知：2BD-BCcosA^BD+BC-CD=>26a•cosA=3+6—3片=#1ab，

又/+/=4=>a=J"/=>7_4/=小3（4_吁

n19"-68b2+49=（1财—49）,2—i）=0,

由/<4="=1，

解方程得a=y/3,b=1,

所以四边形AB0C的面积S=gxlxG+¥x（6『=乎.

18.如图，四边形ACDE为矩形，平面ACDE，平面ABC,产是AC中点，M是所中点，点N在线

段BD上，且DN=3NB.

(1)求证：MN//平面ABE；

兀

(2)若/BAC=—,AB=AE=1,求MN与平面所成角。的正弦值.

3

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取AE的中点G,在BE上取点、H使EH=3HB,证明四边形HNMG是平行四边形，

MN//GH,从而MV//平面ABE；

(2)由四边形ACDE为矩形，平面ACDE，平面ABC,得平面ABC,设AC=a,建立空间直

角坐标系，利用肱V//GH,将与平面应历所成角转化为GH与平面应历所成角，即可求解.

【小问1详解】

取AE的中点G,在BE上取点H使EH=3HB,连接MG、GH、NH,

产是AC中点，/是E尸中点,

GM//AC且GM

4

HN//GMB.HN=GM,

四边形MWG是平行四边形，，儿W//GH,

平面ABE，GH1平面他E,

陌V//平面ABE；

【小问2详解】

四边形ACDE为矩形，；.EA±AC,

平面ACDE_L平面ABC,平面ACDE'平面ABC=AC-EAu平面ACDE,

平面ABC,

以A为原点，分别以A3、AE为x轴、z轴，平面ABC内过点A垂直于A3的直线为V轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

7T

^BAC=—,AB—AE=1,设AC=a,

3

A(0,0,0),5(1,。,。)，£(0,0,1),G(0,0,-),c(3叵,0),0(3,回」)

22222

EB=(l,0,-l),ED=?*0)，

31

由(1)知MN/IGH且MN=GH,.•.MN=GH=(],a,—[,

设向量用=(x,y,z)为平面的一个法向量,

m-EB=x—z=0,

则《

a取]=退，则y=T，z=&，得m=,

m-ED=-x-\------y=0,

22

3百」3

44A/2W

sin0=cos(m,MN

35

—+—xV3+l+3

1616

MN与平面BOE所成角。的正弦值为且3

35

19.已知函数/(%)=(〃％-l)e",awR.

(1)讨论了(幻的单调性；

(2)若a=l,求证：当%>—1时，/(x)>exln(x+1)-x-1.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【分析】⑴依题意，〃尤)的定义域为(f,+8),r(x)=(ax+a-l)e\分类讨论可求/(x)的单调

性；

(2)当a=l时,要证明/(x)»e'ln(x+l)—x—1,即证(x—l)e'»e"ln(x+l)—x—1,

只需证明(％+1)尸—ln(x+l)+x—120.设g(x)=(x+l)eT—ln(x+l)+x—1,利用导数研究其性

质，即可证明了(x)2e"ln(x+l)-x-4

【小问1详解】

依题意，/(X)的定义域为,/'(x)=(<xr+aT)e*,

①当a=0时，/'("=—e，<0,/(x)在(f,”)单调递减；

1—771—77

②当〃>o时，当％<——时，r(x)<o；当冗〉_^时，制勾>0；

aa

所以/(X)在［-8,单调递减，在,+s］单调递增;

③当Q<0时，当％<——时，/^X)>0；当时，/(x)<0；

aa

所以/(%)在1-8,宁］单调递增，在,+Q单调递减；

综上，当。=0时，/(力在(-»,+<»)单调递减；

当a>0时，/(%)在［-8,单调递减，在单调递增；

当a<0时，/(x)［-8,蜉］单调递增，在(y,+<»］单调递减.

【小问2详解】

当a=l时，要证明了(x)2e*ln(x+l)—x—l,

即证明(x—l)e*2e，ln(x+l)—x—1,

因为e*>0,所以只需证明(x—l)21n(x+l)—(x+l)eT,

只需证明(x+l)e，一ln(x+l)+x—120.

设g(x)=(%+l)ef'_ln(x+l)+x—l,

贝1Jg，(x)=-xe~x---+1=-xfe-t1

x+1

i^/z(x)=e'-x-1,贝ij"(x)=e*-1,

所以当一1<%<0时，〃(x)<0；当x>0时，〃(x)>0；

所以在(TO)单调递减，在(o,+“)单调递增；

所以网力之网0)=0,

所以当一1<九<0时，g'(%)<0；当尤>0时，g'(x)>0；

所以g(x)在(-1,0)单调递减，在(0,+e)单调递增；

所以g(尤)》g(o)=。,

所以当x〉一l时，/(x)>e'ln(x+l)-%-l.

【点睛】本小题考查导数与函数的单调性、不等式等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查

函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等.

20.已知数列｛4｝的前〃项和为5“，q=2,加什1=5.+2,〃eN*.

(1)是否存在实数X,使得数列｛4｝为等比数列？若存在，求出4的值；若不存在，说明理由；

(2)记数列1不工z|的前几项和为北，当彳=1时，求证：Tn<2.

【答案】(1)1,0)1一(0,”)时，数列｛&｝为等比数列;

（2）证明过程见解析

S1,几=1/、

【分析】⑴根据%°c得到阳,+1=（1+九）%,当彳=0和2=-1时，不合要求，故求出

2e,（-1,0）1（0收）时,数列｛%｝为等比数列;

,、Innn123n

（2）得到｛a“｝为首项为2,公比为2的等比数列，求出不总一才不^亍；，设〃“=5+矿+^7+―+—，

利用错位相减法得到Tn<Mn<2.

【小问1详解】

%4+I=S"+2①，当2时，％a〃=S,i+2②,

两式相减得力。“+1-4%=an,即2an+1=(l+2)a„,

当彳=0时，4=0,不能使得数列｛%｝为等比数列，舍去，

1+2

当4。°时，an+1=--—an,

A

当2=-1时，4+]=0.%=0,不能使得数列｛4｝为等比数列，舍去,

当4—1）_（―1,0）-（0,y）时，数列｛an｝为等比数列；

【小问2详解】

当4=1时，an+i=2an,

故｛〃〃｝为首项为2,公比为2的等比数歹U,

2〃2nnn

则-----——71-------=------<-

S〃+42-i-2+42"+12"

.T123n

故(<万+^+无++吩'

令此」+W+N++—>

〃22223T

1.,123n

则nil5ML级+域+吩++尹，

1__1_

I””11111n7?n+1nrn+2

两式相减待=5+于■+至+夕+.+夕一声一=(声=1一不丁，

乙乙乙乙乙乙乙1,/乙

-2

故监=2-父，T<M<2.

2"nn

21.在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信

号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输

的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值石,天的随机变量，分别记作X和

y.条件概率p(y=%/X=xj工)=1,2,,〃，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了

信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为：H(X)=3P(X=X,.)log2p(x=xj.当九=2

i=l

22

时，信道疑义度定义为x)=-Wp(x=Xj,y=xJiog2P="x=%,.)

/=1J=1

=_[P(X=%,y=%1)log2p(Y=%JX=%)+P(X=x，F=x2)log2p(Y=xjX=%)

+P(X=X2,Y=x,)log2p(Y=xjX=羽)+P(X=X2,Y=x2)log2p(Y=x2\X=尤2)]

(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出

现的点数X的平均信息量(log2?«1.59,log25x2.32,log27工2.81)；

(2)设某信道的输入变量X与输出变量F均取值0,1.满足：

p(X=0)=ey,/?(y=l|X=0)=/?(y=0|X=l)=/?(0<®<l,0<P<1).试回答以下问题：

①求p(y=o)的值；

②求该信道的信道疑义度H(Kx)的最大值.

【答案】(1)2.40

(2)0p(y=0)=0>(1-/?)+(1-a>)/?；②1

【分析】(1)充分理解题意，利用随机变量X的平均信息量定义解决本小题；

(2)由全概率和条件概率公式解决本小题.

【小问1详解】

设X表示扔一非均匀股子点数，则

X123456

123456

P

212121212121

扔一次平均得到的信息量为

6

"(X)=-£p(X=xJlog2P(X=%)

Z=1

"21

z=l/1I

16

=log221---£zlog2z

21Z=1

।“4,°5,=16

=log27+-log23--log25--

y2.40.

【小问2详解】

①由全概率公式，得

^(y=o)=^(x=o)p(r=olx=o)+jp(x=i)p(y=olx=i)

=o>(l-/?)+(1-0>)p

②由题意，2(F=0|X=0)=夕(F=l|X=l)=l—2.

所以，H(Y\X)=-[P(X=\,Y=x,)log2p(Y=xjX=玉)

+P(X=%,,7=x2)log2p(Y=x2\X=不)+P(X=X2,Y=X1)log2P(Y=xx\X=x2)

+P(X=X2,Y=x2)log2p(Y=x2\X=/)]=—[P(X=%)2(丫=%」X=x,)log2p[Y=%JX=%)

+p(X=x^p(Y=x2|X=X|)log2^(y=x2|X=xj

+p(X=%2)p(Y=为|X=x2yiog2p(Y=xjX=x2)

+p(X=x2)p(Y=x,\X=x2)log2/?(y=x2|X=x2)

=—[。。―7?)log2(l-/7)+a)p\og2p+(l~®)piog2p+(1-(1-7?)log2(1-7?)]

=一Plog2P一(1-0log2(l-/?);

其中X]=Q,X2=1.

令〃p)=-pkg2P_(1一同log2(1-p)

「[「_[

尸3=-]1幅。+。必〉卜。+

]--p

=Tog2P+log2(l-7?)=log2----.

P

/'(。)=0,0=3，%€[0,：]时/(0)〉0,》€指』]时，r(p)<o,

/(P)max=U=L

22.已知点4(0,1),动圆C1过点A且与x轴相切，”是圆C1的直径，动点尸的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)直线AP与。交于另一点。，以线段A。为直径作圆C?,已知直线/是异于x轴且与圆G、圆G均

相切的一条直线，/与。交于S,T两点，若直线y=-1上一点。满足交x轴于点M,MN〃DA交

线段P。于N,且1PM=|Q4|+g,求|ST|.

【答案】(1)x2=4y