2024年北京市石景山区高考数学一模试卷（附答案解析）

2024年北京市石景山区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.(4分)已知集合4=｛尤k2-2x-3<0｝,B=｛Ax>\｝,贝ijAC8=()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(1,3)

2.(4分)下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是()

A.f(x)=sinrB.f(x)=cosx

C.f(x)=ln(x+1)D.f(x)=2~x

3.(4分)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取

1个球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件则尸(B|A)=

()

4234

A.—B.-C.-D.-

15555

4.(4分)已知a,0,丫是三个不同的平面，且式门丫=机，6门丫=〃，则是"a〃B"

的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(4分)等差数列｛丽｝的首项为1,公差不为0.若。2,磴，。6成等比数列，则｛斯｝的前5

项的和为()

A.-15B.-5C.5D.25

6.(4分)直线y=fcc+l与圆/+(y+1)2=16相交于A,8两点，则线段A8的长度可能为

()

A.5B.7C.9D.14

7.(4分)已知函数/(x)=2sin(3x+(p)(w>0,|<p|<J)的部分图象如图所示，则/(-

TT)的值是()

A.V3B.1C.-1D.-V3

7T

8.（4分）设a=203,b=sin—,c—lnl,则（）

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

9.（4分）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用这五个音,

排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同

音列有（）

A.18种B.24种C.36种D.72种

10.（4分）对于曲线C：/2+y.2=i,给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线|尤|+|y|=3有四个交点.

其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,则§=.

Z

12.（5分）斜率为1的直线/经过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点，

则HB|=.

T—T—T71TT

13.（5分）已知向量a,b满足|b|=2,a与6的夹角为二，则当实数人变化时，—4al的最

6

小值为.

14.（5分）设函数/⑴=+午"”4L

x>l.

①若/(x)有两个零点，则实数a的一个取值可以是；

②若是R上的增函数，则实数。的取值范围是.

15.(5分)黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：xHO,1］时，R(x)=

(―/x=—(Pfq£N*,E为既约真分数)n-1

qqq<若数列册=R(N)，几CN*,给出下列四个

(o,%=o,\和⑼»内的无理数

结论：

®an=.

@an+2<an+i;

aiai+l

④玄匕ai2伍九;I

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c.已知26sinA—g4=0.

(I)求角B的大小；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.

17.(14分)如图，在四棱锥尸-A8CD中，B4_L平面ABC。，PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2®

(I)求证：CO_L平面PAD；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求平面P2C与平面E4D所

成锐二面角的大小.

条件①：AB=V5；

条件②：8c〃平面E4D

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

BC

18.（13分）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某

高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，

得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得

数据如表1,表2所示：

表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称植物类型株数

酸枣灌木28

荆条灌木41

孩儿拳头灌木22

河朔荒花灌木4

臭椿乔木幼苗1

黑枣乔木幼苗1

构树乔木幼苗2

元宝械乔木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称植物类型株数

黄护乔木幼苗6

朴树乔木幼苗7

栾树乔木幼苗4

鹅耳杨乔木幼苗7

甚叶蛇葡萄木质藤本8

毛樱桃灌木9

三裂绣线菊灌木11

胡枝子灌木10

大花浸疏灌木10

丁香灌木8

（I）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型

都是乔木幼苗的概率；

(II)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物

中随机抽取3株(假设每次抽取的结果互不影响)，记这3株植物的植物类型是灌木的株

数为X,求X的分布列和数学期望；

(III)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记

此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为Pi；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所

有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计

值为尸2.请直接写出P1与尸2大小关系.(结论不要求证明)

19.(15分)已知函数/(x)=xeax(a>0).

(I)求曲线无)在点(0,f(0))处的切线方程；

(II)求/(%)在区间［-1,1］上的最大值与最小值；

(III)当a=l时，求证：f(x)^lnx+x+1.

工2y2

20.(15分)已知椭圆C：—+—=1(〃>b>0)的离心率为—，短轴长为2夜.

a2b22

(I)求椭圆。的方程；

(II)设O为坐标原点，过点尸(-1,-|)分别作直线71,12,直线/1与椭圆相切于第

三象限内的点G,直线/2交椭圆C于N两点.若|PG|2=|PM|・|PN，判断直线/2与直

线。G的位置关系，并说明理由.

21.(15分)己知集合％={3乂=(xi,无2,…，物)，尤正{0,1},z=l,2,n］(〃22),

对于A=(ai,a2,•••,an),B—(Z?i,历，…，bn)eSn,定义A与2之间的距离为d

(A,B)=£心1|七_仇|.

(I)已知A=(b1,1,0)eS4,写出所有的BeS4,使得d(A,B)=1；

(II)已知/=(1,1,…，1)ESn,若A,BESn,并且d(/,A)=d(I,B)=pWw,

求d(A,B)的最大值；

(III)设集合PUS”，尸中有机(机22)个元素，若尸中任意两个元素间的距离的最小值

为3求证：

2024年北京市石景山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.(4分)已知集合4={4?-2x-3<0},8={x|x>l},贝UAC8=()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(1,3)

【答案】D

【分析】解不等式求出集合4根据交集的定义求解即可.

【解答】解：集合A={x*-2尤-3<0}={尤I-l<x<3},2={x|尤>1},

则{尤|1<尤<3}=(1,3).

故选：D.

【点评】本题考查了解不等式与集合运算问题，是基础题.

2.(4分)下列函数中，在区间(-I,1)上为减函数的是()

A.f(无)=sintB.f(x)=cosx

C.f(x)=ln(x+1)D.f(x)=2X

【答案】D

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,/(x)=sin%,是正弦函数，在区间(-1,1)上为增函数，不符合题意；

对于8,/(x)=cosx,是余弦函数，在区间(-1,0)上为增函数，在区间(0,1)上

为减函数，不符合题意；

对于C,/(x)=ln(x+1),由对数函数的性质，/(x)在区间(-1,1)上为增函数，

不符合题意；

1

对于。，/(%)=2卜=(^)x,是指数函数，在区间(-1,1)上为减函数，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题.

3.(4分)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取

1个球，记“第一次取到红球”为事件4,“第二次取到红球”为事件2,则尸(B|A)=

)

【答案】c

【分析】根据题意，第一次取到红球后，袋中有3个红球和2个白球，由条件概率的定

义和古典概型公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，第一次取到红球后，袋中有3个红球和2个白球，

止匕时，第二次取到红球的概率P=|,即尸（B|A）=|.

故选：C.

【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题.

4.（4分）已知a,0,丫是三个不同的平面，S.aCiy=m,0d丫=〃,则“相〃""是"a〃0"

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】若加〃"，则a〃廿或aC0=/；若a〃0,则小〃由此能求出结果.

【解答】解：：a,0,丫是三个不同的平面，且aCy=加，pAy=«>

:0"a〃0或an0=/"，

"a〃B"=>am//n",

.•.“相〃””是“a〃B”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面

面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题.

5.（4分）等差数列｛斯｝的首项为1,公差不为0.若①，a3,质成等比数列，则｛.｝的前5

项的和为（）

A.-15B.-5C.5D.25

【答案】A

【分析】根据题意可得说=4246,即（1+24）2=（1+d）（l+5d）,从而可求出｛斯｝的公差

d,进一步利用等差数列前n项和公式即可求出S5.

【解答】解：设等差数列｛板｝的公差为d(dWO),

02,03,CZ6成等比数列，<71=1,

...退=。2。6,即(l+2d)2=(1+6?)(1+54),

整理得屋+2d=0,解得d=-2或1=0(舍去)，

所以S5=5ai+10d=5-20=-15.

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生归纳推理与数学运算

的能力，属于基础题.

6.(4分)直线>=履+1与圆x?+(>1)2=16相交于4,8两点，则线段AB的长度可能为

()

A.5B.7C.9D.14

【答案】B

【分析】根据题意，直线>=依+1经过定点M(0,1),计算出过M的最短弦长，进而

得到线段长度的取值范围，可得答案.

【解答】解：直线y=fcv+l经过定点M(0,1),且点M在圆7+(y+1)2=16的内部,

求得圆的半径，=4,设圆心为C(0,-1),可得|CM]=2,

过M点的直线与圆C相交，当直线与CM垂直时，截得的弦长最小，最小值为

2〃2一=4V3,

因此，若直线y=fcv+l与圆/+(y+1)2=16相交于A,8两点，则|48|日4g，8].

对照各选项，可知2项正确，其它各项均不符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题.

7.(4分)已知函数/(x)=2sin(3x+<p)(w>0,|<p|<J)的部分图象如图所示，则/(-

IT)的值是()

A.V3B.1C.-1D.-V3

【答案】A

【分析】根据函数图象求出函数解析式，从而可得函数值.

【解答】解：由图象_可_得T一=T—C—（一<招77）=今TT

212122

所以T=n,所以3=亍=2,

由五点作图法可得2x$+隼=*所以隼=不

77"

所以/（%）=2sin（2%+可），

所以/（-n）=2sin（-2TT+^）=2sig=y/s.

故选：A.

【点评】本题主要考查由y=Asin（u）x+（p）的部分图象确定其解析式，考查运算求解能

力，属于基础题.

7T

8.（4分）设〃=2吗b=sin—,c=ln2,则（）

12

A.c<b<aB.b〈c〈aC.a<b<cD.b〈a〈c

【答案】B

【分析】根据函数的单调性可比较得结果.

771.1

【解答】解：a=203>20=1/b=sin-r-^=sml5°<sm30°=5,而，^V2<e,贝丘

12Z2

1

<ln2<l,即一VcVl,

2

所以b<c<a.

故选：B.

【点评】本题主要考查利用单调性比较两个数的大小，属于中档题.

9.(4分)中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用这五个音，

排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同

音列有()

A.18种B.24种C.36种D.72种

【答案】C

【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.

【解答】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有g=3种，

再将商、角插入4个空中，共有3掰=36种.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题.

10.(4分)对于曲线C:工「2+旷2=1,给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线|尤|+仅|=3有四个交点.

其中正确的命题个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】将X换为7,y换为-y,方程/2+y-2=1不变，可判断①；方程变为？+y2=

X2/,由基本不等式可判断②；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在

定理和函数的单调性，可判断③.

【解答】解：将X换为-X,y换为-y,方程x"+y-2=i不变，则曲线C关于原点对称，

故①正确；

%2+y2_________

由无一2+了2=1,可得％2+y2=/y2w(---')2,解得即有，产十22,故②

正确；

由曲线C和曲线|x|+|y|=3都关于原点对称，都关于尤，y轴对称，可考虑第一象限的交点

个数.

3

由y=3-%和y=1+-J—(l<x<3),BTM/-6X+7?+6X-9=0,

\xz—1

设/(x)=/-6X3+7X2+6X-9,由/(I)=-ivo,/(1.5)=0.5625>0,f(2)=-1

<0,

可得/（x）在（1,1.5）和（1.5,2）各有一个零点，又y=3-彳和丫=

J+达在⑷

3）递减,

则第一象限的交点个数为2,

可得曲线C与曲线|x|+|y|=3有8个交点，故③错误.

故选：C.

【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运

算能力、推理能力，属于中档题.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,贝金=-1-2z.

Z

【答案】-I-2i.

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,

则z=-1+2/,

555（—1—2i）

故三==Eg,-而=T-2i.

故答案为：-1-2z.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

12.（5分）斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,

则381=8.

【答案】8.

【分析】求出直线/的方程，设A（xi,yi）,BGo,”），直线方程代入抛物线方程应用

韦达定理得X1+X2,然后由焦点弦长公式可得结论.

【解答】解：抛物线/=4x的焦点坐标为尸（1,0）,直线/方程为y=x-l,

设ACxi,yi）,B（%2,y2）,则由抛物线焦点弦长公式得：\AB\=xi+x2+p=xi+x2+2,

又4B是抛物线与直线的交点，由=得尤2-6彳+1=0,

则xi+x2=6,\AB\=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

13.（5分）己知向量a,b满足|b|=2,a与6的夹角为二，则当实数人变化时，|b—4al的最

6

小值为—1

【答案】1.

TTTT—T

【分析】据题意，设。4=a,。8=b,作利用数量积的几何意义可得g—Aa|

的最小值为|BE|，即可求解.

—>_—>—>

【解答】解：如图，设。4=a,OB=b,

—TTTT

当(b—Aa)1a时，|b—取得最小值，

TT

过B作8E_L0A,即|b—而|的最小值为|BE|,

)—>九

因为a与b的夹角为一，所以N5O4=z，

66

-T7-1-》—>

又|02|=2,所以腿|=2xsiW=2x*=l,即4a|的最小值为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义，属中档题.

14.(5分)设函数/(x)=+3a无，"*1'

13%+a2,x>l.

①若于(x)有两个零点，则实数a的一个取值可以是-1(答案不唯一)；

②若/(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是[0,1]U-2,+8).

【答案】-1(答案不唯一)；[0,1]U[2,+8).

【分析】由题意可得#x)=/+3依(尤W1)必有两个零点，利用导求解即可第一空答案；

利用导数判断出函数在(-8,1]和(1,+8)上均单调递增，再由l+3a<3+/求解即

可得第二空答案.

【解答】解：①因为当x>l时，/(x)=3X+/23,此时函数没有零点，

要使函数有两个零点，则/(x)=/+3a无(尤W1)必有两个零点，

又因为/(x)=3/+3a,

所以当a=-I时，则(x)=3x2-3,

令，(x)=0,则x=l或-1,

故/(x)在(-8,-1)单调递增，在(-1,1)单调递减，

/(-2)=-8+6=-2<0；/(-1)=-1+3=2>0,

故了(尤)在(-2,-1)内有一个零点，在(-1,1)内也有一个零点，故有2个零点，

则a=-1满足条件；

②根据题意可得，当xWl时，f'(x)=3尤2+3a\0,

所以a》-x2,

又因为xWl,所以-/WO,

故心0；

当x>l时，f'(x)=3>0,

即x>\时，f(无)单调递增恒成立，

要使/(x)在R上为增函数，

故在尤=1时，/(1)=l+3aW3+a2,解得a22或aWl,

故。的取值范围为[0,1]U[2,+8).

故答案为：-1(答案不唯一)；[0,1]U[2,+8).

【点评】本题考查了函数的零点、导数的综合运用，属于中档题.

15.(5分)黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：尤曰0,1]时，R(x)=

-VX=>qGN*,%为既约真分黝,若数例小=R*,i*,给出下列四个

、0,x=0/1秋0,X)内的无理数’

结论：

®an=.

@an+2<an+l；

1

③^匕aiai+l<2；

ai2伍生产•

其中所有正确结论的序号是②③④.

【答案】②③④.

【分析】由黎曼函数的定义和数列的裂项相消求和、函数g(x)=/-X-1的性质，可

得结论.

【解答】解：对于①，让N+,・"=1时，的=/?（0）=0。:，故①错误;

11

对*于②，〃"+1=九+1'&1+2=几+2'故②正确；

111111

对于③，Xr-i〃以计1=〃1。2+〃2。3+〃3。4+—+。〃。〃+1=XX-r------

1-12334nn+1

111111iii

=2.g+g—4+…+五一甫1=2—申〈2'故③正确；

对于④,£忆1应=〃1+〃2+〃3+…+〃7=2+可+…+而(〃22),

构造函数g(x)-x-I(x>0),

则/(x)=，-1>0,g(x)单调递增，，g(x)>g(0)=0,

1i1i1i

即当%>0时，>x+l,可得+1,…，gn>-+1,

l34

1,1,71+1

+>-X-n+1n+1111

则e2+$+n23X...X-----+—+...4—〉/九(一),

n23n2

当”=1时，2kl%=41=0,£之1at>,故④正确.

故选：②③④.

【点评】本题考查函数与数列的综合，以及数列的裂项相消求和、累乘法，考查转化思

想和运算能力，属于中档题.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（13分）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.己知2加inA-巡。=0.

（I）求角B的大小；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【分析】（I）根据正弦定理可得sin8=字，结合角的范围，即可求出，

（II）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出.

【解答】解：（I）V2&sinA=V3A,

2sinBsinA=V3sinA,

VsinA^O,

sinB=孚,

・・・△ABC为锐角三角形，

(II)'.•△ABC为锐角三角形,B=

；.C=等-A,

2TI71173.1

cosA+cosB+cosC=cosA+cos(——A)+cos-=cosA—77cosA+丁sinA+石=

33222

1.A/3..1.z.7Tx1

TTCOSA4+-5-S111A+Q=sin(A4+7)+3,

LLLOL

△ABC为锐角三角形，0<4V宗0<C<J,

解得看<4<J,

TCTT2TT

•••?y+尸工

TT

VsinG4+G)Wl,

1-TT13

+—V^in(A+工)+5W5,

2622

,,V3+13

.,.cosA+cosB+cosC的取值范围为(-----，-]

22

【点评】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能

力和转化与化归能力，属于中档题.

17.(14分)如图，在四棱锥P-ABC。中，E4_L平面ABC。，B4=AO=C£>=2,BC=3,

PC=2V3.

(I)求证：CO_L平面PAD-,

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面P2C与平面E4D所

成锐二面角的大小.

条件①：AB=V5；

条件②：8c〃平面

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

BC

n

【答案】（I）证明过程见解答；（II）

4

【分析】（I）连接AC,由题目条件可推得△AOC为等腰直角三角形，且

ZADC=J,即CD_LA。，再必_LCD,由线面垂直的判定定理即可证明；

（II）选条件①或选条件②均可证明8CLC。，建立以A为原点的空间直角坐标系，求

出平面PBC与平面PAD的法向量，由二面角求解即可.

【解答】解：（I）如图，连接AC,因出J_平面ABC。，AC,CDu平面A8CD,则PA

±AC,PALCD.x

又PC=2V3,B4=2,则AC=2V2,

因为AO=OC=2,所以△ADC为等腰直角三角形，其中/4CD=?ZADC=J,所以

CD±AD,

又因为B4_LCDAD,B4u平面ADCiPA^A,所以C£）_L平面E4。；

（ID若选条件①，由余弦定理可得：cos/ACB=吟戈-2="）5=§

Z/1C-/5C2x272x3乙

结合/AC8为三角形内角，得4CB=%

又/ACD=1则=J,即BCLCD.

若选条件②，因BC〃平面E4D,BCu平面ABCD,平面ABC。。平面%£）=A。，则BC

//AD,

又4DC=5,则4CD=*,BPBCLCD.

故建立以A为坐标原点，如图所示空间直角坐标系(x轴所在直线与。C平行)，

又B4=AO=C£>=2,BC=3,AB=V5,

则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

—>—>—>

所以BC=(0,3,0),CP=(-2,-2,2),DC=(2,0,0),

由题知，平面法向量为局=(2,0,0),

设平面P2C法向量为蔡=(x,y,z),

则［+£=3y=0,

、n•CP=-2x—2y+2z=0

令X=1,则y=0,z=l,所以7=(1,0,1),

设面PBC与平面PAD所成锐二面角为0,

7TTr-

所以cos。=|cos(n,DC)\-\|=|\=所以

\n\-\DC\V2-2z'

【点评】本题考查线面平行证明和二面角的求法，还考查空间想象能力和运算求解能力，

属于中档题.

18.(13分)为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某

高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，

得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得

数据如表1,表2所示：

表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称植物类型株数

酸枣灌木28

荆条灌木41

孩儿拳头灌木22

河朔莞花灌木4

臭椿乔木幼苗1

黑枣乔木幼苗1

构树乔木幼苗2

元宝械乔木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称植物类型株数

黄柏乔木幼苗6

朴树乔木幼苗7

栾树乔木幼苗4

鹅耳物乔木幼苗7

建叶蛇葡萄木质藤本8

毛樱桃灌木9

三裂绣线菊灌木11

胡枝子灌木10

大花渡疏灌木10

丁香灌木8

（I）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型

都是乔木幼苗的概率；

（II）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物

中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株

数为X,求X的分布列和数学期望；

（IID从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记

此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为P；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所

有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计

值为尸2.请直接写出P1与尸2大小关系.（结论不要求证明）

1

【答案】（I）—；

495

9

（II）分布列见解析，期望J

（III）P1<P2.

【分析】（I）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解；

（II）根据二项分布概率公式，即可求解；

（III）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.

【解答】解：（I）表1中的灌木有28+41+22+4=95株，

乔木幼苗有1+1+2+1=5株，共有100株,

所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为焉.

(II)表2中的灌木有9+11+10+10+8=48株,

乔木幼苗有6+7+4+7=24株，木质藤本有8株,

483

抽取1株是灌木的概率为一,

48+24+85

由题意可知，X=o,1,2,3,X〜B(3,|),

P(X=。)=(I)3=接，P(X=1)=程x=患,

P(X=2)=量x(|)2(|)=嘉，P(X=3)=(|)3=品

分布列如下，

X0123

P8365427

125125125125

39

E(X)=n=3x|=|.

(Ill)表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多,

所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以Pi<P2.

【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题.

19.(15分)已知函数/(x)=xeax(a>0).

(I)求曲线>=/(无)在点(0,7(0))处的切线方程；

(II)求/(%)在区间［-1,1］上的最大值与最小值；

(IID当a=l时，求证：f(x)^lnx+x+1.

【答案】(I)尸尤；

(II)当0<aWl时，函数/(%)的最小值为/(-I)=-ea,最大值为/(I)=e。，

当。>1时，函数/⑴的最小值为/(一)=一白，最大值为了⑴=ea；

LXUCC-

(III)证明见解析.

【分析】(I)根据导数的几何意义，求切线方程；

(II)首先求函数的导数，再讨论0<aWl和a>l两种情况求函数的单调性，求函数的

最值；

(III)首先根据不等式构造函数g(无)=xex-lnx-x-l,再利用导数求函数的最小值,

即可证明.

【解答】解：(I)/(X)=(1+")e",f(0)=1,f(0)=0,

所以曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为、=尤

(II)f(x)=(1+ox)e°x,a>0

当0<a〈l时，/(x)20在区间［-1,1］上恒成立，/(x)在区间［-1,1］上单调递增,

所以函数/G)的最小值为/(-I)=--%最大值为/(I)=e。，

当a>l时，/(x)=0,得工=一：6(-1,0),

f(x)在区间［―1,—》小于0，函数/(尤)单调递减，

f(无)在区间［―：,1］大于0,函数/G)单调递增，

所以函数/⑴的最小值为f(一》=-总

f(-1)=-e~a,/(1)=ea,显然/(1)>f(-1),所以函数f(x)的最大值为/(1)

=ea,

综上可知，当OVQWI时，函数f(x)的最小值为f(-l)=-/。，最大值为了(I)二

巴

当0>1时，函数/(无)的最小值为f(—3=—%,最大值为/(I)=e。；

证明：(III)当〃=1时，f(x)=xex,即证明不等式旄加x+x+1,

设g(%)=久婷一"％一第一L%>0，g'。)=(%+l)(e*-》，

设/(%)=?%—x>0/"(%)=e*+/>0,

所以/z(x)在(0,+8)单调递增，并且力(}=正—2V0,/i(l)=e-l>0,

所以函数/?(%)在(J,1)上存在唯一零点xo,使/(%())=〃。-3二°，

/xo

即g'(xo)=0,则在区间(0,xo),g'(x)<0,g(x)单调递减，

在区间(xo,+8),g'(无)>0,g(x)单调递增，

x

所以g(x)的最小值为g(x())=xoe°-lnx0-x0-l,

由/(％o)=---=0，得%()e%。=1,且刈=-伍xo,

%0

所以g(xo)=0,

所以g(x)