浙江省2023-2024学年高三年级下册3月高考模拟数学试卷（含解析）

浙江省91联盟2023-2024学年高三下学期3月高考模拟数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={1,2,3,4,5},屈(枫)={1,2},(0〃)「囚={4},%(”N)={3},贝|

McN=()

A.0B.{4}C.{5}D.{1,2}

_20

2.若复数z的实部大于0,且z(z+l)=j,贝ljz=()

A.l-2iB.-l-2iC.-l+2iD.l+2i

3.已知向量e>e2是平面上两个不共线的单位向量，且

AB=ei+2ei,BC=-3ei+2ei,DA=3e\-6e?,贝U()

A.A、B、C三点共线B.45、。三点共线

C.A、C、。三点共线D.B、C、。三点共线

4.已知数列{叫满足：/=佝=40,且数列卜伉。,}为等差数列，则卬。。=()

A.10B.40C.100D.103

5.如图，已知长方体A3CQ-4瓦。1乌的体积为匕石是棱£2的中点，平面A4E将长

方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为()

闻

7c

AB

7771

A.—VB.—VC.—VD.-V

2417152

22__________

1

6.已知椭圆£1:0■+当■=1(。>Z?>0),直线/:y=x—Ja_b?与E父于两点，且

ab

04+05=(2%—X)(；lw0).则椭圆石的离心率是()

A.|B.立C.逅D.也

7.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为

女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）

A.2025种B.4050种C.8100种D.16200种

8.设函数/（x）=siwc+A/3COSX+1.若实数。，七夕使得4（%）+妙（%-。）=1对任意xeR

恒成立，贝!J〃—bcoso=（）

A.-1B.0C.1D.±1

二、多选题

9.为了得到函数，=2cos2x的图象，只要把函数y=2sin（2”。图象上所有的点（）

A.向左平移;个单位长度B.向右平移三个单位长度

C.向左平移半个单位长度D.向右平移?个单位长度

10.高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3

个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得。分.小明对其中

的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是记X为小明随机选择1个选项的

得分，记y为小明随机选择2个选项的得分.则

A.P（X=0）＞P（y=0）B.P（X=2）＞P（y=2）

C.E（x）＞£（y）D.D（X）＞D（Y）

11.对于xe[0,l],满足〃力+〃1-同=1,〃月=2（\,且对于OVXiWXzVl,

恒有）4"%）.则（）

三、填空题

2345

12.已知（〃工一1）2（2%-Ip=a0+axx+a2x+a3x+«4x+a5x,若

旬+q+%+。3+%+%=0,贝（J43=.

13.应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的

试卷第2页，共4页

特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式

望远镜，其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中，一个反射镜尸。卫弧

所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知与心

是双曲线的两个焦点，其中F?同时又是抛物线的焦点，且，

/叫耳=45。/211/叫B=；,4峭鸟的面积为10,盘月|=8,则抛物线方程为.

14.函数〃x)="(x>0)的最小值是.

四、解答题

15.如图，已知正三棱柱ASC-分别为棱的中点.

⑴求证：A3,平面4G。；

(2)求二面角A-G。-E的正弦值.

16.今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈.节

目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢

出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮.节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直

接登上热搜榜.如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上(牌背向上)，

排成一列.

(1)将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开

的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；

(2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半

张数字相同的个数记为X,求X的分布列及数学期望.

2222

17.如图，由部分椭圆卞■+}=l(a>b>0,”0)和部分双曲线/方=l(y.O),组

成的曲线C称为“盆开线”.曲线C与x轴有4(2,0)、3(-2,0)两个交点，且椭圆与双曲

线的离心率之积为也.

4

⑴设过点(1,0)的直线/与C相切于点M,求点/的坐标及直线/的方程；

⑵过A的直线，"与C相交于点尸、4。三点，求证：ZPBA=ZQBA.

18.已知函数/(力=尤3+/+%x+c.

⑴如果1和-1是“X)的两个极值点，且“X)的极大值为3,求“X)的极小值；

(2)当6=0时,讨论“X)的单调性;

⑶当c=0时，且函数“X)在区间［-2,2］上最大值为2,最小值为-2.求"3)的值.

19.已知实数420,定义数列{4}如下：如果〃=%+2%+22%2++2&%,%e{0,l},

2

i=0,1,2,,k,贝ljan=尤()+xxq+x2q++尤应”.

⑴求的和日(用表示)；

⑵令b„=%”一，证明：£々；

i=l

(3)若l<q<2,证明：对于任意正整数”，存在正整数加，使得

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据Venn图，即可求解.

【详解】如图，画出Venn图，并将条件中的集合标在图中,

如图，集合McN={l,2,5}c{4,5}={5}.

故选：C

2.D

【分析】设2=。+历,a>0力eR,再根据复数的乘法和除法运算结合复数相等的定义求出

a,b即可得解.

【详角军】设2="+",。>04£区，

20

代入z(z+l)=3+.，得。2+82+〃—历=6—2i,

解得：a=l,b=2f

所以z=l+2i.

故选：D.

3.C

【分析】由平面向量共线定理求解即可.

【详解】对于A,因为AB=G+2e2，BC=—36+2弓，若A、B、。三点共线，

[1=—3A

设AB=4BC，则.「，无解，所以A、B、C三点不共线，故A错误；

对于B,若A、B、。三点共线，

设AB=〃D4,则]：二弓，无解，所以&&O三点不共线，故B错误；

[2=-6〃

2

对于C,因为AC=A,B+BC=(6+)+(―3华+=—2q+——AZ),

因为ACAD有公共点A,所以A、C.。三点共线，故C正确.

对*于D,因为DB=DA+AB=(36-6.)+(q+24)=4q-4与，

答案第1页，共15页

BC=-3^+2^2,设DB=kBC，

[4=-3k

则,”，无解，所以&C。三点不共线，故D错误；

[-4=2k

故选：C.

4.D

【分析】设数列｛、历4,｝的公差为d,借助等差数列的性质可计算出d,即可得10为。，即可

得解.

【详解】设数列｛而“的公差为d,则d=*%=?=10,

故10010G=q+99d=1030,所以

故选：D.

5.A

【分析】根据题意，先求平面4月£与。2交点尸的位置，再设长方体的长、宽、高分别为

a、b、c,最后利用三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】取。2的中点尸，连接所，易处EFIIDCJIAB',所以平面与。，交点为厂.

g_c

A\^:TrrTT~

港m

rc

¥

AB

设长方体的长、宽、高分别为。、b、c,则V=〃/?c.

平面4耳£尸将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为

VT71八1111f1K7/7T7

vFARA+VFADFri——b—ci'c—x—c—ci-\—a\-b=—ctbc——v.

FL-AB[A'"B皿323222J2424

故选：A.

6.B

【分析】由题意可知A3中点/是直线/与直线y=f的交点，所以求得陪

答案第2页，共15页

联立椭圆与直线/的方程可得解方程即可求出答案.

【详解】设&（占,%）,3（%,%），记c=4/_月,

设A3中点为M,所以OA+O8=2OM，

由题意可知，AB中点A/是直线/与直线y=的交点，

联立,解得

2,2__1

/一，得（6+加）％2—2〃2+々22一〃2）2=0

另一方面，联立a0；（?

学三=&C,解得〃=2廿,

易知A>0,由韦达定理得项+々=

a2+b23

所以/=2（,a2-c2）,故离心率e=£

故选：B.

7.B

［分析］首先考虑两对混双的组合，再考虑余下4名男选手和4名女选手组成两对男双组合,

两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】先考虑两对混双的组合有2C>C；种不同的方法，

余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，

故共有2C3C；x3x3=4050.

答案第3页，共15页

故选：B

8.C

【分析】利用辅助角公式化简函数/(x),再利用差角的正弦公式变形等式，借助恒成立建立

关系，并分析计算即得.

【详解】函数/(x)=2sin(x+1)+l,

TTTT

7

依题意，2asin(x+—)+2/?sin(x+1-9)+。+力=1对任意的＞¥6R恒成立,

兀兀_、、

因止匕2(Q+/?cos^)sin(x+—)-2/?sin^cos(x+])+〃+/?—1=0对xeR恒成立,

a+bcos(p=0

于是＜加苗。=0,显然bwO,否贝!J〃=0且〃=1,矛盾，

6Z+Z?-1=0

则sin°=O,显然COS0W1,否则a+b=o且=矛盾，

从而coso=-l,解得Q=Z?=；,C=(2Z+1)7I,

所以a-灰2s0=1.

故选：C

【点睛】关键点睛：把给定的等式利用差角的正弦公式按角％+三展开，借助恒等式建立方

程组是解决本问题的关键.

9.AD

【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论.

【详解】把函数y=2sin(2x-e］图象上所有的点向左平移;个单位长度，

可得函数y=25吊］2工+^-e)=2$苗(2工+■|］=28$2天的图象，A正确；

把函数＞=2$苗(2r-e］图象上所有的点向右平移;个单位长度，

可得函数丫=2$吊(2工-事-。=2$出(2犬-4-1=-2312工-|^的图象，B错误；

把函数y=2sin(2x-e］图象上所有的点向左平移g个单位长度，

可得函数＞=25山［2工+手-2］=2$山［2苫一巳+当］=一28$］2苫一2)的图象，C错误；

答案第4页，共15页

把函数y=2sin[2尤图象上所有的点向右平移与个单位长度，

可得函数y=2sin]2x-?-W=2sin(2x-g1=2cos2x的图象，D正确；

故选：AD.

10.BC

【分析】先求出x,y的分布列，可判断A,B；再由数学期望和方差公式求出E(x),E(y),

D(x),D(y)可判断c,D.

【详解】X为小明随机选择1个选项的得分，所以X=o,2,

p(X=0)=-x-+-x-=-,P(X=2)=-x-+-x-=-,

'722428'722428

则X的分布列为：

由此可得E(X)=2x|=；,£>(X)=(05

4

y为小明随机选择2个选项的得分，所以y=0,2,6,

51112

p(y=o)=—X—+—x—

62223

p(y=6)=—x—=—

v76212

则丫的分布列

Y026

2j_1

P

3412

由止匕可得石(y)=2x；+6x*=l,

21X1=2125

D(r)=(0-l)2x-+(2-l)2x-+(6-l)2++=3

123412

所以尸(x=o)(尸(y=o),尸(x=2)>尸(y=2),E(X)>E(Y),D(X)<D(Y).

故选：BC.

11.ABD

答案第5页，共15页

【分析】赋值法求得八0)=0，〃1)=1，0=巾=3,由〃x)+〃j)=l，求，［高

的值判断选项A,由/回=2/］］,求得

OV±V%VI恒有/&)＜/(无2)，对BCD中的函数值进行判断.

【详解】令x=0代入〃x)+/(l—x)=l及/(x)=2/1£|,得〃O)+/(l)=lJ(O)=2/(O),

所以“0)=0,"1)=1,

令x=p弋入〃X)+〃1—力=1,得出卜;；令x=l代入小)=2噌］由，得

对于OVXiVx2Vl.恒有/(&)</(无2)，

---<---<--D选项正确.

16216081

故选：ABD

【点睛】方法点睛：

抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式,经过运算与推理,

最后得出结论，常用的方法有：

⑴令工=「z-ioia,.等特殊值求抽象函数的函数值；

1

(2)令苫=工［)=%或＞=一，且再＜々，判断抽象函数的单调性；

x\

(3)令》=-%，判断抽象函数的奇偶性；

(4)换了为x+T,确定抽象函数的周期；

答案第6页，共15页

(5)用x=：+：,或上换为x等来解答抽象函数的其它一些问题.

22x

12.38

【分析】借助赋值法可得。，结合二项式定理计算即可得解.

【详解】令x=1,则有(a—1)~=4+a1+为+/+&+。5=。，即。=1,

即有(X-1)2(2X-1)3,则“3=C；2C；J+(-C)22.C；・(-L)+12=38.

故答案为：38.

13./=32(x+3)

【分析】设耳(-c,0),巴(c,0),N(%%X%>0,%>0),由

ZNF^=45°,tanZNF^=1=10,解出c得点坐标，结合四可=8得抛物线方程.

【详解】以居区的中点。为原点，片鸟为x轴，建立平面直角坐标系，

不妨设耳(-G。),月(G。),"(5,%)&)>0,%>0).

%1

1——=—32

由tan/M；&=a，/N耳片=45。，贝情尤。+。4,解得5=/,%=不，

［为=。-毛''

12

又S,NF心=万|耳闾％=铲2=10，解得C=5,

1a闾=8,则有。卜3,0),

故抛物线方程为丁=32(1+3).

故答案为：/=32(x+3)

14.3

【分析】求函数“X)的导函数/(X),再利用导数研究广(X)的零点及零点两侧函数值的正

负，由此确定函数/(X)的单调性，再求其最值可得.

3x4e3'+2x3e3'+31n%-2

【详解】f'(x)=

令g(%)=3x4e3r+2x3e3A+31nx-2,

则g'(x)=9x4e3v+18x3e3%+6x2e3v+-,

答案第7页，共15页

当x>0时，g'(x)>0,

所以g(x)在(。,+e)上单调递增，

g(x)=3%4e3A'+2x3e3x+31nx-2=3%e3x+31nv+2e3x+3te+31nx-2,

设/?(x)=31nx+3x,

因为/z(x)=31nx+3尤在(0,+(»)上单调递增，

因为/?(1)=3>0,/z(e^=-9+3e-3<0

存在尤oe(e-3,l),使31nx()+3%=0,

且g(%o)=3x0+2+31nx0-2=31nx()+3%=0,

故当尤e（O,x°）时，g（x）＜0,即尸（x）＜0,所以在区间（0,x0）单调递减,

当xe（xo，+oo）时，g（x）＞0,即/"）＞0,所以/（x）在区间小，•+＜o）单调增,

x3e3jb-31m„-1_e3^°+31n^-31ax-1

所以［〃x）Ln"（/）=0031n=3

故答案为：3.

【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数

学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意

义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知

单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形

结合思想的应用.

15.（1）证明见解析

⑵逅

3

【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正

弦值；

【详解】（1）取A3中点尸，由正三棱柱性质得，a耳,。G，E尸互相垂直，以。为原点，分

别以。综。厂所在直线为X轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

答案第8页，共15页

不妨设44,=2,贝l」A4=2行,

则4卜仓0,0）,«行,0,2）,B（"0,2），G（0,M0）,E[q，4,2.

证明：\B=（2V2,0,2）,r>A=（-V2,0,2）,DC,=（0,跖0）,r»E=[乎,乎,2

（22J

由42.示=（2&,0,2）•卜逝,0,2）=-4+0+4=0,得A8_LAO,

由=（2也0,2）.（0,遥,0）=0+0+0=0,得48_LOG，

因为A。,£>Gu平面ACQ,ADDCl=D,所以平面

由(1)可知AB=(2扭,0,2)为平面ACQ的一个法向量，设〃=(x,y,z)平面GQE的法向量,

\n-DE=0(尤，邛>』,T'2=0,(x+2y/2z=0

则J，故1kZZ7J,

际=°[(…>(0,倔o)=o.〔…

令z=1,得面CQE的一个法向量为n=(-2A/2,0,1),

设二面角A-CQ-E的值为凡

|AB-H|n[7

则|cosq=^~m=?，所以，二面角A-GD-E的正弦值为空.

H目同33

2

16.(1)-

(2)分布列见解析，数学期望为1

【分析】(1)利用古典概型概率公式求解;

(2)先确定随机变量X的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列,

答案第9页，共15页

再利用期望公式求其期望.

【详解】（1）设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设

为A,

由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张

的方法数为c；cj,

翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为C：C；C；,

2

则尸（A）=

3

7

所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为:.

（2）由已知随机变量X的可能取值有01,2,3,4,

尸（x=o）=注=」，尸（x=i）=华=，，

I'A：8，I'A：3，

…P（X=4）/=A

17.(1)M(4,3),x-y-l=0

(2)证明见解析

【分析】（1）根据离心率乘积以及4（2,0）,3（-2,0）,可求得。力，可得椭圆方程和双曲线方

程，设切点为加（无。,%）,可得切线方程，由过点。,0）,即可求解〃和直线方程；

（2）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合的BR8Q斜率之和

为零，即可求证.

【详解】（1）由题设可得YE亚*五王=立,0=2/=6,

aa4

答案第10页，共15页

2222

故椭圆方程为：X=l(y40),双曲线方程为=刈.

22

由图可知，切点M在双曲线亍-1=1(”0)上.

设则左=*，则切线/的方程为：芋-午=1,

因为直线/过点(1,0),所以，%=4,

22

将X。=4代入——=1();>0),得%=3,

所以，"(4,3),直线/的方程为：x-y-l=0.

(2)由题意可得PQ的斜率存在且不为零，故设方程为：y=k(x-2)f

y2

联立一号=1('"°)整理得：(3-4左2)/+16k2》一16〃-12=0,

y=k^x-2)

,=256父-4(3-4阴(-16公一12)>。6

1c，刊JK手'K,+■,

3-4左22022

解得：、=2或x=||二即。[皆，£]-

—+—=l(y<0)

联立43I1整理得:(3+4F)X2-ielcx+iek1-12=0,

y=k(x-2)

8F-6即「I，-屋

解得:芯=2或彳=

4必2+3

12k12k

万

所以^BP+^BQ=4+314r—3,0

8r+6°

4k2—3

所以原P=-kBQ,所以ZPBA=ZQBA.

18.(1)-1

⑵答案见解析

⑶18

【分析】⑴求出函数的导函数，依题意可得1和-1是方程3元2+2ax+6=0的两根，禾！J用韦

答案第11页，共15页

达定理求出。、b的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出。的值，

最后求出极小值；

(2)求出函数的导函数，再分。>0、。=0、。<0三种情况讨论，分别求出函数的单调区

间；

(3)依题意•⑵<2,-2<〃-2)42即可求出6的范围，再求出导函数，结合特

殊值可得了'(同=0有两个实数根%%,且-2<网即可得到占是的极大值

点，巧是〃尤)的极小值点，贝厅(为)42,结合韦达定理得到

--------再由-----------------------即可求出。、6的值，从而得解.

【详解】(1)=+ax2+bx+c,所以/'(x)=3x?+2ax+6,

因为1和-1是/(x)的两个极值点，所以1和-1是方程3元2+2办+匕=0的两根，

1]_2a

_1+1=一7[a=0.、3

故人，解得，“，即"x)=d-3x+c,

.,b[b=-3

-1x1=—i

[3

所以/'(x)=3F-3=3(x+l)(尤一1),

因为xe(yo,-l)(1,06)时,第x)>0,当xe(-1,1)时,/,(x)<0,

所以〃x)在区间(1,8)上单调增，在区间(-U)上单调减，

所以〃x)极大值=/(T)=T+3+C=3,解得c=l,

所以极小值=〃l)=l-3+l=T.

(2)当Z?=0时"力=*3+加+。定义域为R,

又无)=3尤2+2"，令/■'(x)=0,解得x=0或x=-g,

若a<0,则当xe(-oo,0)口卜竽,+8卜寸，/©)>0；当xe(。,-之时，f(x)<0.

故〃x)在区间(3,0)1-g,+[单调递增，在(0,-5]上单调递减；

若a=0,则尸(x)N0恒成立，所以“X)在区间(f,e)单调递增；

答案第12页，共15页

若a＞0,则当xe卜s,-亨卜（0,+00）时，盟x）＞0；当xe［等,。］时，f'（x）＜0.

故〃x）在区间g）（O,+⑹单调递增，在,上单调递减.

综上可得：当。＜0时“X）在区间（一巩0）,，g,+4单调递增，在上单调递减;

当a=0时〃x）在区间（―,+«））单调递增；

当a＞0时在区间,叱-g）（O,+⑹单调递增，在［-彳,0）上单调递减.

(3)当c=0时，f(x)=x3+ax1+bx,

由题意得：一2</(2)=8+4a+2h<2,即一5<2a+b4—3,①

—2</(—2)=—8+4a—2Z?<2,即3K2a—Z?W5,②

由①、②可知，-1vav],-5<b<-3.③

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因为―(》)=3/+2依+人，/,(-2)=12-4o+/?>12-1-5=6>0,

/(0)=6<0,/,(2)=12+4a+Z?>12-1-5=6>0,

所以/''（x）=0有两个实数根不，工，且-2＜%＜。＜工2＜2,

当无＜_2,孑）_（々,2）时，＞0,当尤武玉,尤2）时，/'（力＜0,

故4是〃x）的极大值点，巧是〃尤）的极小值点.

由题意得了(不)=4+竭+时<2,f{x2)=x^+axl+bx2>-2,

即—/(x2)=_(£+axf+bx^<2,

两式同向相加得：)[(须+%)2—西工2+〃(%1+%2)+b]«4,④

labJ4a'-12%

注意至！J\+x2——，x1x2=-,Xx

3

d4a2-12ba2b

代入④得<2,

393

11

由③可知-—<a<—,-5<b<-3,贝ij3644a2-126460,,1<—+

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所以叵三访(