广东揭阳市普宁市2023-2024学年高二年级上册期末数学试题含答案

广东揭阳市普宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试

题+答案

2023-2024学年度第一学期期终高中二年级教学质量测试

数学科试题

本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟

说明：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答

题卡上，并在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合要求.

92

----1----I1

1.已知椭圆164,则它的短轴长为（）

A.2B.4C.6D.8

2.已知直线加经过A（—2,1）,8（0,—3）两点，则直线，"的斜率为（）

11

A.-2B.——C.；D.2

22

3.已知空间向量7=（0』,4）,B=1,0）,则B+（）

A.719B.19C.17D.V17

4.在等差数列｛4｝中，已知名+%=12,则数列｛%｝的前6项之和为（）

A.12B.32C.36D.37

5.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信

息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，

通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站

的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信

息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为

（）

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

6.已知圆M:尤？+;/=1和N:+（y-2后）=m'(〃2>0)存在公共点，贝IJ，〃的值不可能为

（）

A.3B.3近C.5D.472

7.如图，在四面体。ABC中，G是6c的中点,设方=1,OB=b，OC=c»贝（）

1---

C.—a+。+cD.-a-b-c

22

8.对于数列｛4｝,若存在正数M,使得对一切正整数〃，都有则称数列｛4｝是有界的.若这

样的正数M不存在，则称数列｛4｝是无界的•记数列｛4｝的前〃项和为5“，下列结论正确的是()

A.若4,=,，则数列｛q｝是无界的B.若％=〃sin〃，则数列｛4｝是有界的

n

C.若为=(—1)”,则数列｛S“｝是有界的D.若a“=2+-V，则数列｛'｝是有界的

n

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知向量3=(1,1,0),则与Z同向共线的单位向量工=()

A.~~y--------B.（0,1,0）

D.

%+1,〃为奇数

10.己知数列｛%｝满足4=2,«„+|记2=4,1，则(）

4+3,〃为偶数

A.4=3B.b2-6

C-%一d=4D.%=4〃+2

11.已知直线/：(a+l)x+ay+a=0(aeR)与圆。：/+/一4%—5=(),则下列结论正确的是()

A.存在。，使得/的倾斜角为90°

B.存在“，使得/的倾斜角为135°

C.存在使直线/与圆C相离

D.对任意的直线/与圆。相交，且a=1时相交弦最短

22

12.已知双曲线2r=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为6、F2,左、右顶点分别为4、4,

尸为双曲线右支上的一点，且直线P4与P4的斜率之积等于3,则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为y=

B.若尸£_L尸鸟，且用明外=6,则a=l

C.分别以线段「耳、为直径的两个圆内切

D./尸84=2/尸48

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线2x-y+l=0与直线x+ay+3=0平行，则a=.

2

14.已知双曲线二—y2=i（a＞o）的一条渐近线方程为x+2y=0,则。=.

a

15.已知数列｛4｝为|,g,…，则该数列的一个通项公式可以是.

16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为

直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-A4G，中，M是4G的中点，A8=2AA=2AC,

丽=:瓯，MG=3GN'若元=x^+y而+Z元，则x+y+z=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线4:ar+2y+6=0和直线4:x+y-l=0.

（1）若4时，求a的值;

（2）当/1〃4平行，求两直线4，4的距离.

18.已知直线/：2x-y+4=o与X轴的交点为A,圆O：/+尸=，什>0）经过点人

（1）求，•的值；

（2）若点8为圆。上一点，且直线垂直于直线/,求弦长

19.如图，在四棱锥P-A8CO中，B4_L平面ABCQ,AD//BC,AD1CD,且AO=C£>=1,BC=2,B4=

1.

（1）求证：AB1PC；

（2）点M在线段尸。上，二面角M-AC-。的余弦值为求三棱锥M-ACP体积.

3

20.已知数列｛4｝的前〃项和为5“.S”=24一2(〃eN*).

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①仇=4,"=8；②4是々和打的等

比中项，4=72.若公差不为。的等差数列也“｝的前〃项和为7；,且,求数列｛。的前〃项和

A,.

21.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线C:y2=2px上.

（1）求P的值；

（2）若直线，与抛物线C交于P（x「x）,。（々，％）两点，X%<0,且丽•丽=3,求瓦|+2昆|的

最小值.

22.已知圆耳：1+26『+丁=64,定点入（230）,A是圆耳上的一动点，线段8A的垂直平分线

交半径耳A于尸点.

（1）求P点的轨迹C的方程；

（2）设直线/过点（4,—2）且与曲线C相交于M,N两点，/不经过点。（0,2）.证明：直线M。的斜率与

直线NQ的斜率之和为定值.

2023-2024学年度第一学期期终高中二年级教学质量测试

数学科试题

本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟

说明：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答

题卡上，并在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合要求.

92

-------1--------I1

1.已知椭圆164,则它的短轴长为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.

【详解】由椭圆的标准方程可知：b=2,所以该椭圆的短轴长为2x2=4，

故选：B

2.已知直线机经过A（—2,1）,8（0,-3）两点，则直线，〃的斜率为（）

1

A.-2B.——C.；1D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据斜率公式求得正确答案.

【详解】直线机的斜率为：2.

-2-0

故选：A

3.已知空间向量z=(o,i,4),^=(i,-i,o),则归+q=()

A.晒B.19C.17D.V17

【答案】D

【解析】

【分析】先求出Z+B的坐标，再求出其模

【详解】因为Z=(o,1,4),B=

所以Z+B=(I,O,4),故根+,=如，

故选：D.

4.在等差数列｛““｝中，已知4+4=12,则数列｛4｝的前6项之和为()

A.12B.32C.36D.37

【答案】C

【解析】

【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.

【详解】数列｛4“｝的前6项之和为q+/+/+%+%+4=3(/+%)=36.

故选：C.

5.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信

息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，

通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站

的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信

息，可知震中到8站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为

()

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

【答案】A

【解析】

【分析】设震中为P,根据双曲线的定义以及IPAI+IPB闺AB|=10可求出结果.

【详解】设震中为尸，依题意有|P8|一|/%=6<|43|=10,所以点P的轨迹是以A3为焦点的双曲线

靠近A的一支,

因为1PAi+|P6闫A6|=10,当且仅当A,P,8三点共线时，取等号,

所以|P例-6+IPBR10,所以IP3IN8,

所以震中到地震台8站的距离至少为8km.

故选：A

6.已知圆M:Y+>2=i和N：(X—2、历了+(y-2j5『=m2(〃?>0)存在公共点，则机的值不可能为

()

A.3B.38C.5D.472

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.

【详解】因为圆加：％2+;/=1和％：卜一2&『+｝一2、/2)2=相2(加〉0)存在公共点,

所以两圆相交或者相内切或者相外切，

即."一"4\MN\<m+1=>\m-1|J8+8<+1=>|/«-1|<4</«+1,

解得3K/〃W5,选项ABC满足，，”的值不能为D.

故选：D

7.如图，在四面体0ABe中，G是6c的中点,设而=%，0B=b>'0C=C'贝iJ/=（）

B.1---

-a+^-b+-cC.——a+b+cD.-a-b-c

2222

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形法则先求得向量而、AC，进而求得而.

【详解】解：AC=OC-OA=c-a>

AB=OB-OA^h-a<

.•花=；国+码=+2l+B++一吟吟.

故选：B.

8.对于数列｛%｝,若存在正数M,使得对一切正整数〃，都有则称数列｛4｝是有界的.若这

样的正数M不存在，则称数列｛4｝是无界的•记数列｛4｝的前〃项和为5“，下列结论正确的是（）

A.若凡=L则数列｛%｝是无界的B.若a“=〃sin〃，则数列｛0“｝是有界的

n

C.若4=（一1）",则数列电｝是有界的D.若4=2+，，则数列｛3｝是有界的

【答案】C

【解析】

【分析】根据可知A错误；由|4|=加皿〃|可知|。』不存在最大值，即数列｛4｝无界；分别在〃为

偶数和n为奇数的情况下得到S“，由此可确定博,区1,知C正确;采用放缩法可求得Sn<2（〃-Al+2

由〃-上Gg,+8）可知D错误.

2/1+1

【详解】对于A,•••[4/=9=：41恒成立，；.存在正数"=1,使得,“归加恒成立,

，数列｛%｝是有界的，A错误；

对于B,|a„|=|/?sin/i|=/i|sin/?|,

v|sin/7|<l,：.\a,\<n,即随着〃的增大，不存在正数M,使得|。“归M恒成立，

二数列｛4｝是无界的，B错误；

对于C,当〃为偶数时，S“=0；当〃为奇数时，5„=-1;

••.存在正数〃=1,使得恒成立，

..•数列｛3｝是有界的，C正确；

1_44_C11)

2

对于D'n4/一(2〃一1)(2〃+1)[2〃一12〃+1)

°c.111/.11111

S=2n+l+—+—+-<2n+41--+----+…+------------

"2232n2<3352/1-12〃+1

c/iic8〃j2a

=2/7+41------=2n-\-------=2n--------1-2；

I2/z+1J2/t+lI2〃+lJ

22

vy=x--——-在(0,+8)上单调递增，：.n-e

2+]3，+C0'

••・不存在正数M,使得恒成立，，数列｛S,｝是无界的，D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最

值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知向量Z=(i,i,o),则与Z同向共线的单位向量工=()

V2V2

~--nB.(0,1,0)

2'2

V2也

D.(―1,—1,0)

22

【答案】C

【解析】

【分析】先求得£的模，再根据与£同向共线的单位向量求解.

【详解】因为向量。=(1,1,0),

所以同=Jr+『+()2=母,

故选：C.

A.4=3B,b2=6

C.%-2=4D.勿=4〃+2

【答案】BC

【解析】

【分析】代入前几项即可判断出A,B,然后分奇偶可点数列｛"｝的通项公式，从而判断出C,D.

【详解】由题意可得。2=4+1=3,/=%+3=6,&=。3+1=7，

所以4=4=2/2=%=6,所以A错误，B正确；

又a2k=+=生人+3(女eN*),

故生皿=。21+4，即2+「2=4'

所以｛2｝为等差数列，故a=2+(〃—l)x4=4〃-2,所以C正确，D错误，

故选：BC.

11.已知直线/：(a+l)x+ay+a=O(aeR)与圆C:尤2+y2—4%一5=0,则下列结论正确的是()

A.存在。，使得/的倾斜角为90。

B.存在“，使得/的倾斜角为135°

C.存在。，使直线/与圆。相离

D.对任意的。，直线/与圆。相交，且a=l时相交弦最短

【答案】AD

【解析】

【分析】由a=0时，得到直线/:%=(),可判定A正确；求得直线/的斜率女=-四，结合得到方程

a

--=-1,可判定B错误；化简直线a(x+y+l)+x=0,得到直线过点P(0,-D,结合点与圆的位置

a

关系，可判定C错误；由a=l时，得到即c=—；，结合圆的弦的性质，可判定D正确.

【详解】对于A中，当a=0时，直线/:》=(),此时直线/的倾斜角为90°，所以A正确；

对于B中，当awO时，可得直线/的斜率为％=-四，

a

若直线/的倾斜角为135°，可得-空•=-1，即a+l=a,此时方程无解，所以B错误；

a

对于C中，由直线/:(a+l)x+ay+a=O,可化为a(x+y+l)+x=O,

fx=0

令《,,、，解得x=O,y=-l,即直线/恒经过点P(O,-D,

[x+y+1=0

又由圆C:Y+y2—4x—5=o的圆心坐标为C(2,0),半径为厂=3,

因为|PC|=^2?+(—=瓜则归1＜小所以点尸在圆C内部,

所以无论。为何值，直线/与圆。总相交，所以c错误；

对于D中，当”=1时，直线/:2x+y+l=0,此时直线的斜率为勺=—2,

又由Mc=—；，此时勺apcnT，即PC_U，

根据圆的弦的性质，此时弦长最短，所以D正确.

故选：AD.

22

12.已知双曲线C：二一分=1（。>（）,/,>0）的左、右焦点分别为耳、F2,左、右顶点分别为4、4，

P为双曲线右支上的一点，且直线与P4的斜率之积等于3,则下列说法正确的是（）

A.双曲线。的渐近线方程为y=±瓜

B.若尸耳_L尸耳，且5"桃=6,则。=1

C.分别以线段。片、44为直径的两个圆内切

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】通过上小小”=3求得二，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A选项的正确性；结合三角

a

形尸月外的面积以及双曲线的定义求得。，由此判断B选项的正确性；通过圆心距和两个圆半径间的关系判

断C选项的正确性；结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.

/2\

【详解】对于A选项，设点P（x,y）,则产=从±._i,

\a7

因为4（一。,0）、4（。,0）,所以即八=」.....~?="■，

12x+ax-ax-a"a~

由百_=3,得2=G故双曲线C的渐近线方程为y=±氐，A对;

aa

对于B选项，因为£=1+匕=2,所以c=2a,

a6T

根据双曲线的定义可得|P耳|—|P段=2。，

又因为所以入5£=g|P耳卜归周=6,整理得|P4Hp段=12.

由归耳「+|尸用2=（2C）2,可得（|P用—|Pg『+2归用廿周=4C-2,

BP4a2+24=16a2.解得a=亚,B错；

对于C,设P6的中点为a，o为原点.因为。、。1分别为大招、P6的中点,

则可知以线段尸耳、A4为直径的两个圆内切，C对；

对于D,当点尸在第一象限时，设点尸（匹，人），则玉）>a,y0>0.

因为渐近线方程为y=±JIr,

所以NPA,6NP鸟

7T

当NP居4=1时，即当P玛，X轴时，则飞=c,

22

所以，二一4=1,可得为=同=3%所以，|Pg|=3a=|A6|,

ab

TT

此时，△PAK为等腰直角三角形，则/PA6=i,满足NP84=2NP4K；

当々46/0，.”：国时，1211"64=-一^-=一一tanNPAKM-^-

xQ-cxQ-2axQ+a

2%

%+a_2%(%+0)2yo(%+。)

所以tan2NPA6=一

(、2(x+a)2-^2、

0(x+a)2-b2乌一］

1-%0

7

2%(%+。)2yo(x0+a)%

-tanZP/sA

x0-2a

因为2NP4ge所以NP6A=2NPA6;

当点P在第四象限H寸，同理可得NP8A=2/。48，

综上可知，D对.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线2x-y+l=0与直线x+ay+3=0平行，则。=.

【答案】一,##一().5

2

【解析】

【分析】两直线Ax+gy+6=o与4犬+&〉+孰=0平行，满足4鸟—4用=0且-4。尸0或

BG—B2c产0

【详解】由题意得：2。+1=0,解得：a=--,经检验符合要求.

2

故答案为：

2

2

14.已知双曲线工—y2=](a>0)的一条渐近线方程为x+2>=0,则。=

a~

【答案】2

【解析】

【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得。的值.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为无+2y=0,

22v2

所以双曲线的方程可设为Lr—y2=2（2*0）,即T工—2L=],

4'''4/1Z

2

因为一—y~=l（4z>0）»

q-

42=a~

所以《,，解得。=2（负值舍去），

2=1

所以a=2.

故答案为：2.

，、34

15.已知数列｛4｝为5，-则该数列的一个通项公式可以是一

【答案】4=乙〃+三2（答案不唯一）

n+i

【解析】

【分析】分析数列｛6J前4项的特征，求出前4项都满足的一个通项公式作答.

31+242+253+264+2

【详解】依题意,

I-T+T'?-2+l，4-I+T，54+1

〃+2

所以前4项都满足的一个通项公式为q,=——

n+\

〃+2

故答案为：cin~-----

〃+1

16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为

直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-4耳G，中，M是AG的中点，AB=2AAt=2AC,

丽=!瓯，MG=3GN>若同=/X+y荏+Z公，则x+y+z=.

【答案】y

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.

【详解】设AB=2,如下图所示，建立空间直角坐标系，A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,0,l),A(0,1,0)

“I。，；｝NO,；,。)，则MN=(2,；,0)-(0,l,g)=(2,

/1\3rx/311

丽/

1—

+-d1十-=n---

v—42,228

7VIV

2-

___.31I

又因为AG=xAA]+yA8+zAC=（2y,x,z）n2y=—,x=—,z=-

228

…13111

所以x+y+z=—+—+—=—

2488

故答案为：—

8

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线4:or+2y+6=0和直线4：x+y-l=0.

(1)若42时，求a的值；

(2)当《〃/2平行，求两直线4，4的距离.

【答案】(1)“=一2

⑵2五

【解析】

【分析】U)由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数。的方程.

(2)由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数”的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距

离公式即可求出直线Z,与4之间的距离.

【小问1详解】

V/(:ax+2y+6-0,12:x+y-1=0JL/,±Z2,

，axl+2xl=0,

解得4=-2.

【小问2详解】

；4:ox+2y+6=0,l2:x+y-l=0,且/J//2,

Jax1=2x1且-aw2,解得。=2,

4:2x+2y+6=0/2：工+了-1二°，B|JZj:x+y+3=0,/2:x+y-1=0

3+1

直线4,l2间的距离为d=|l=2V2.

Vi2+i2

18.已知直线/：2x-y+4=0与x轴的交点为A,圆O：/+产=/代〉。)经过点人.

(1)求r的值；

(2)若点B为圆。上一点，且直线A8垂直于直线/,求弦长|AB|.

【答案】（1）2；（2）吧

5

【解析】

【分析】（1）求出4（-2,0）,代入圆。的方程即可求解；

（2）根据直线A5垂直于直线/,可求直线A3的斜率，根据点斜式可求直线A3的方程，再利用垂径定理

即可求解.

【小问1详解】

在2x—y+4=0中，令y=0,得x=—2,故A（—2,0）.

因为圆O：/+,2=/任>0）经过点4,所以（_2）2+（）2=/（r>0）,解得/'=2.

【小问2详解】

直线/的斜率为2,因为直线A3垂直于直线/,所以直线A3的斜率为

2

所以直线A5的方程为y-0=—g（x+2）,即x+2y+2=0.

22

圆心。到直线AB的距离为方干^=f，

4+2275

所以|AB|=2875

I-

19.如图，在四棱锥P-A8C。中，R1J_平面ABC。，AD//BC,ADLCD,且4O=CD=1,BC=2,PA=

\l

(1)求证：AB±PC；

(2)点M在线段P。上，二面角M-AC-。的余弦值为百求三棱锥M-ACP体积.

V

【答案】(1)证明见解析

1

(2)

12

【解析】

【分析】(1)将问题转化为证明48_1平面布C,然后结合已知可证；

(2)建立空间直角坐标系，用向量法结合已知先确定点M位置，然后转化法求体积可得.

【小问1详解】

由题意得四边形ADCB是直角梯形，AD=CD=\,故/AC£>=45。，ZACB=45°,AC=J，.又BC=2,所以

—=—=所以ACD4s△CW,所以AB,AC.又用，平面ABC。，ABu平面A8CD,所以

ACBC2

布J_A8.而以u平面以C,ACu平面用C,P/4DAC=A,所以ABL平面朋C.又PCu平面以C,所以

ABYPC

【小问2详解】

过点4作AEJ_8c于E,易知E为8c中点，以A为原点，AE,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立

空间直角坐标系，则C(1』,O),A(0,0,0),。(0,1,0),P(0,0,l).

则IC=(1,1,O),AP=(0,0,l),PD=(0,l,-l)

设词=而+/1而=(0,0,l)+/l(0,l,-=—0<4<1.显然，而是平面48的一个法向

量,

设平面MAC的一个法向量为n=(x,y,z).则有

力,AC=x+y=0一2

解得〃二(-1,1,「)

无初=4y+(l_；l)z=0A—1

由二面角M-AC-D的余弦值为22,解得2=4,所以M为PD

32

中占

I八八•

^\AD\\CD\\AP\=^

20.已知数列｛%｝的前〃项和为S“.S„=2an-2（neN"）.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①勿=4,d=8；②&是&和功的等

比中项，4=72.若公差不为0的等差数列｛2｝的前〃项和为7；,且______,求数列的前〃项和

A.

【答案】(1)%=2"；(2)选择①：3-—n4-^3；选择②：3-〃—+^3.

【解析】

【分析】

(1)由数列勺与S,,的关系转化条件为4=24T(〃22),结合等比数列的性质即可得解；

(2)设数列也｝的公差为d,

若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得2=d=2,进而可得7；=〃2+〃，再结合错位相减法即可

得解；

若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前”项和公式可得乙=d=2,再结合错位相减

法即可得解.

【详解】(1)当〃=1时，4=4=2%-2,可得％=2；

当“22时，S._]=24_]-2,所以《,=5“一=2an-2an_t,即an=2^(/1>2),

因为q=2k0,所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以为=2-2"T=2"；

(2)设数列也｝的公差为d,

若选择①，由题意­。，解得乙=。=2；

4+3d=8

所以T=72x2+巴?——x2=/+几，

〃2

,,“Tiv+n〃+1z[、1

由⑴得，4=2"，所以背n=一

na„n・2Z2

c1c11/l)x*

所以2x—+3x—4-««-+nx——r+鹿+

2122V

4=2」+3>4+…

222232"''2"+,

两式相减得停=1+(5■+/+?■+…+?)一(〃+l)x击

W…3

〃+3

1(〃+3广=2___,

所以4=3-展；

若选择②，有6；=4也，即伍+4)-=4+3d),即。Q=屋,

因为d/0,所以仇=d,

8x7

所以n=72=84+;一d=36d,解得a=d=2,

n(n-l)9

所以7；=〃x2+-----x2=〃~+〃，

2

2〃+1/1、1

由⑴侍,，一‘所ll以二Tn厂H方+n二^^+如牙’

c1c1+...+〃/+(〃+l)J

所以42x--4-3x——

21222"一112〃

4=2」+3>4+…+」+(〃+])4

222232"、'2"+,

两式相减,得年=1+(*+[+*+…+£)—(〃+O'击

13.…3

〃+3

1(〃+i)『=2____>

所以4=3-展•

【点睛】关键点点睛:

(1)当条件中同时出现为与s“，要注意可与5“关系的应用；

(2)要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算.

21.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线。：丁=2〃%上.

(1