2024年高考数学二轮复习测试卷（新题型江苏专用）（解析版）

2024年高考数学二轮复习测试卷

（江苏专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.全集为R,集合A=<1>,8={x|f_6x+840},则（）

A.{x|x<0}B.{x\2<x<4}

C.{.0<x<2或无>4}D.1x|0<x<2^x>4}

【答案】C

【解析】由=故谷0,A={x|无NO},

又3={x|2VxV4},

故-8={小＜2或x＞4},4门02={404尤＜2或彳＞4}.

故选：C

2.若复数学是纯虚数，则实数。=()

2+1

A.--B.-C.--D.-

2233

【答案】A

【解析】(a+3i)(2-i)=2a+3+(6-a)i,则2。+3=(),有％=—3.

2+i552

故选：A

3.在，ASC中，AB=3,AC=2,ZBAC=120,S.BD=2DC，则48必。=()

2

AB.C.1D.2

-13

【答案】C

【解析】因为8O=2OC,则AO-A2=2（AC-AO）,可得A。=；（AB+2AC）,

在，ABC中，AB=3,AC=2,ABAC=120,

由平面向量数量积的定义可得AB-AC=kB，Aqcosl20=3x2x一3,

（）2

因此,AB-AD=^AB-AB+2AC=^AB+2AB-AC^=^x（9-2x3）=l.

4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，

G

指数衰减的学习率模型为乙=/。石，其中上表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表

示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为

0.5,衰减速度为22,且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45,则学习率衰减到0.05以下（不含

0.05）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：Ig2。0.3010,lg3=0.4771）

A.11B.22C.227D.481

【答案】D

GG

【解析】由于乙=”G。，所以乙=0.5XD正，

22g

依题意0.45=0.5xD无nO=2,贝UL=05X12¥2,

ioUoJ

由Z=0.5x]1j29

<0.05得

10

G

r9>,1G.9,

—<1g—,---1g—<-1

UOj102210

22

G（lg9-lgl0）<-22,G（lglO-lg9）>22,G>-------------

lgl0-lg9

22=上

会480.35,

l-21g31-2x0.47710.0458

所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.

故选：D

2222

5.已知a>6>0,设椭圆G：=+2=1与双曲线C”［一I=1的离心率分别为G，g.若

abab

4=3%,则双曲线G的渐近线方程为()

A.y=±^^-xB.y=±—x

55

C.y=+^-xD.y=±^-x

25

【答案】A

\cr-b2\a2+b2

【解析】由题意可知q=

a2-b2a2+b2b24b2#)

又02=3弓，所以9--i-=>F—=>一=---

a25a5

易知双曲线G的渐近线方程为y=±-x,所以其渐近线方程为y=+^HX.

a5

故选：A

6.在dABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,J若。=2A,a,b,。成等差数列，则8sC=

【答案】A

【解析】因为。=2A,所以6=兀—3A.

又因为〃，h,。成等差数列，则2b=〃+c.

根据正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC,即2sin(3A)=sinA+sinC,

展开得：2sin2AcosA+2cos2AsinA=sinA+sinC,

进一步得：sin2A(2cosA-1)=sinA(1-2cos2A),

因为sinA。0,可得8cos2A-2cosA-3=0,

又易知A为锐角，所以cosA=g,贝!JcosC=2x］』］—1=—,故A正确.

4⑷8

故选:A.

7.若平面内分别到定点耳(-5,0),6(5,0)的距离之差为6的点的轨迹是曲线。，过点尸2且斜率为四的直

线与曲线C交于A,8两点（点A在X轴上方）.设。4月居，8月鸟的内切圆半径分别为小心则二=（）

r2

32

A.2B.3C.-D.-

23

【答案】B

【解析】根据双曲线的定义得，曲线C是以耳,月分别为左、右焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程

22

为］±=l（x>0）.设小耳心的内切圆与X轴切于点厂（号,0）.

根据双曲线的定义及圆的切线长定理，知|明|-|鹏|=|筋|-|钻|=24=6,

即［号-（-5）］—（5—号）=24=6,解得*=3,所以八4耳耳的内切圆与无轴切于点尸（3,0）.

同理，△明鸟的内切圆与x轴也切于点/（3,0）,所以|R|=5-3=2.

设△4£区的内切圆圆心为a,AB的斜率为括，则倾斜角为?，即/Agx=；,

27r7r

则ZAF2F1=干，根据圆的性质可得ZHF2F=1,

所以］=tang=A^,解得a=26.

同理，得2=tan'=立，解得=2叵所以2=3

r2

2022I

8.已知〃=«一赤，人=山2024—ln2023,c=sin^,贝ij(

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【角军析】令/（尤）=e*—x-l,x<0,

则f'（x）=e*-1<0在0）上恒成立，故〃x）在（一双0）上单调递减,

2022

^/(x)>/(O)=l-O-l=O,故小篇e-20232022］

2023J-l>0,

—也2Q22］1

即e2023=即〃〉

202320232023

令gG)=j;—sinx,贝ljg<x)=l-cos%>。，故g(x)在定义域内单调递增,

故/」一］=」---sin」一>g(0)=0-0=0,即〃>c；

(2023)20232023v7

令/z(x)=sinx-ln(x+l),0<x<l,

则=cosx-----1---=l1-2csi.n2-%--------1-->l1-2cx

x+121+x

1x(2+x)(l—x)

>0在(0,1)上恒成立,

1+x2(l+x)

故/z(x)在(0,1)上单调递增，

X/z(0)=sin0-lnl=0,故七］>〃(0)=0,

故sin」—>In1理当，即c>b,

2023L2023J

故有a>c>b.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知①>0,函数/(x)=sin^xcos(yx+\/3cos2cox-^-的最小正周期为2兀,则下列结论正确的是

A.0)=1

■JT允

B.函数/(尤)在区间-五，五上单调递增

C.将函数“X)的图象向左平移器个单位长度可得函数g(%)=cosx的图象

D.函数八%)的图象关于直线％T对称

【答案】BC

［解析］/(x)=sinCDXCOScox+y/3cos2cox-；sinlox+(1+cos2cox)-

=—sin2cox-\-----cos2a）x=sin2cox+—,

22I

兀

所以T=^2=27tno=1；,故A错误；

2a>2

即/（x）=sin^x+-1-^,

TT7TTTjr57r

当xeTT时，x+gep—,所以函数单调递增，故B正确；

1.乙INJI_L4

将函数〃X）的图象向左平移£个单位长度得了（x+/=sin]x+,+T=sin（x+3=cosx,故C正确;

/哈）=sinR+1=siH»±l,所以函数/（x）的图象不关于直线对称.

故选：BC.

10.在正方体ABCD-A耳£口中，P,。分别为线段82，AQ上的动点，则（）

A.存在P,Q两点，使得PQ〃A8

B.A-DG

c.AP与2a所成的最大角为;

4

D.8。与平面ADG所成的最大角的正弦值为逑

3

【答案】ABD

【解析】在正方体ABCD-A耳GR中，建立如图所示的空间直角坐标系，令4?=2,

则A(2,0,0),A(2,0,2),8(2,2,0),A(0,0,2),Q(0,2,2),RB=(2,2,-2),DA,=(2,0,2),

由尸在线段B2上，彳寻RP=tRB=(2t,2t,-2t),则P(2t,2人2-2。，0<r<1,

由。在线段4。上，得==(2",0,2"),则Q(2",0,2")，OWi/Wl,

对于A,当a=f=；时，2P=(O,1,O)=1(O,2,O)=1AB,即QP//A3,而。0AB,则尸Q//AB,A正

确；

对于B,DC；=(0,2,2),4户=(2-22,-2。，DQ-=4t-4t=0,则B正确;

uuum

对于C,AP=(2t-2,2t,2.-2t),AG=(0,2,0),当t=0时，APDXCX=0,

此时AP与2G所成的角为90,c错误；

〃.DAi—2x+2z——0

对于D,Dq=(0,2,2),设平面HOC1的法向量〃=(%,y,z),贝叫，

[n-DCi=2y+2z=0

令z=—l,得〃=（1』,-1）,B0=Qu-2,-2,2u）,设8。与平面所成的角为巴

Ijlilsin3=|cos〈九,BQ)\="〔_______44/0

\n\\BQ\s/3xJg”—-8〃+876X7(2M-1)2+3-3

当且仅当a=g时取等号，D正确.

故选：ABD

11.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随

机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为:，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中

奖品，则这次抽中的概率为若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为，.记玩家第〃次抽盲盒，抽中

z3

奖品的概率为乙，则下列结论中正确的是（）

A.£=1B.数列卜J为等比数列

C.D.当“22时，〃越大，口越小

【答案】BC

【解析】对于A,E=：x!+Wx［=工，A错误；

434224

对于B，〃=，+如％）=-/6，.•・/=-上「养

又6-1=-三，；•数列［2-。］是以-3为首项，为公比的等比数列，B正确;

728I/J286

对于C,由B得：p1=

n728I

当"为奇数时,毁卜力=0〔力

n—1

351,35111

当”为偶数时,=--1----x

728I6)7286—7286—24

113.•.《《£，正确;

一>—c

247

351“35111

对于D,鸟=——I-------X—，PA=---1----X-----:P?=—x<0,

7286472821642282166

即巴<鸟，D错误.

故选：BC.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知圆/+,2=4,直线/:工元+"圆上恰好有两个点到直线/的距离等于1.则符合条件的实数b可

以为.（只需写出一个满足条件的实数即可）

【答案】2（答案不唯一，符合（-3立-夜）（夜,3夜）即可）

【解析】圆心为（0,0）,圆的半径为2,设圆心到直线/的距离为d,

因为圆上恰好有两个点到直线/的距离等于1,

〜网

所以lvdv3,即1<<3,

解得-30<b<-及，后<6<3后，

所以6的取值范围为卜3也-五）（0,3夜）.

故答案为：2（答案不唯一，符合（-3夜,-夜）（夜,3夜）即可）.

13.招待客人时，人们常使用一次性纸杯，将其视为圆台，设其杯底直径为2尺，杯口直径为3R,高为

h,将该纸杯装满水（水面与杯口齐平）后，再将一直径为2R的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入

水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的4白，则2h=_____

19A

【答案】4

1（9R2/QD2）IQJT/?2/?

【解析】由题可得纸杯的体积为兀—+J--N2+R2

A

小铁球的体积为］兀*，

,日百r-曰419iiR2h471H3h

由题可得一x---------=--------,即:=4.

19123R

故答案为：4

14.函数/（尤…口+^的图象与直线/：y=r+等的交点个数为.

【答案】1

【解析】令》+1=/,贝|》=.一］，

函数公尤+三在区间（-8,+向上单调递增，

所以，曲线y=/（x）与直线/的交点个数等于曲线g（t）=sinr与直线/:y=T+兀的交点个数,

作图易知，曲线g（r）=sinf和直线/:y=T+兀都过点P（兀,0）,且都关于点尸对称，

所以，曲线y=g«）与直线/：y=T+兀的交点个数或者为1或者为3.

下面考察关于，的方程sinr=T+7t在区间上的解的个数，

令/2«）=sin.+.-兀,其中曰<♦<兀，

贝IJ〃«）=（：05/+1>0对\//€1］,兀）恒成立，

所以，函数2）在区间修兀］上单调递增，则幽<〃（兀）=0,

所以，关于f的方程sinr=T+兀在区间。，"上的解的个数为。，

因此函数〃x）=sin（x+T的图象与直线/：y=-x+/的交点个数为1.

故答案为：1.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm,明,2耳为圆台的两条不同的母线.

⑴求证：44//AB;

(2)截面42月4与下底面所成的夹角大小为60。，且截面截得圆台上底面圆的劣弧4线的长度为g，

求截面AZ珥A的面积.

【解析】(1)因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是

生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

可知母线AA与母线B片的延长线必交于一点，即A,。尻用四点共面，

又因为圆面。1〃圆面0,且平面A551Al圆面。1=44，平面1圆面O=AB,

所以4月〃A5.

(2)解法一：因为劣弧44的长度为(则兀

2

由...A。151sAOB,可得ZA03=".

如图，建立空间直角坐标系。-孙z,设|oq|=《f>o),

则A(6,0,0),网一3,3石,0),4(4,00,

可得的=(-2,0,?),AB=(-9,3^,0),

n-AA^=—2x+/z=0

设平面的一个法向量为4=(x,y,z),贝!!<

n•AB=-9x+36y=0

令x=l,则y="z=j,可得4=11,6：

由题意可知：底面的一个法向量&=（0,0,。,

因为截面与下底面所成的夹角大小为60,

解得公君，即|。。卜百，可得BB1=5,

在等腰梯形AB4A中，44=4&AB=6后，

可得等腰梯形与A的高〃=2,

所以S梯诩期a=14代+6⑹・2=10疯

解法二：如图，分别取的中点为C，G，连结OC，C£,OC,

由题意可得：OC，A8,CG，A8,

所以NOCG为截面ABB^与底面所成夹角，即ZOCC,=60,

B

过点C1作CQLOC于点。，由。£=2,OC=3,得8=1,

则|CCj=2（即梯形的高）,

所以S梯形A网A=3,6+66>2=1。氐n?.

16.（15分）

我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生，得到这些学生5

天内每天坚持自主学习时长y（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5小时.

时长y[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)

学生数3024401610

(1)估计这120个学生学习时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)以表中y的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈.若抽

取的时长ye[0,l),则赠送家长慰问金100元；抽取的时长ye[l,2),则赠送家长慰问金200元；抽取的时

长ye[2,5],则赠送家长慰问金300元.设抽取的2名学生家长慰问金额之和为X,求X的分布列及数学

期望.

【解析】(1)这120个学生学习时长的平均数

^=-^(0.5x30+1.5x24+2,5x40+3.5x16+4.5x10)=2.1.

(2)依题意可得＞£。1)的概率为言30;=)1,

1204

「1C'gJrrr*U24140+16+1011

y£[1,2)的概率为石0=1，[2,5]的概率为---------=—.

X的所有可能取值为200,300,400,500,600,

P(X=200)=-xl=—,P(X=300)=2x-x-=—t

44164510

P(X=400)=2xlx—+-xl63

42055200

1111121

P(X=500)=2x-x—,P(X=600)=——x——

520502020-400

则X的分布列为

X200300400500600

116311121

P

161020050400

^E(X)=200x—+300x—+400x—+500x—+600x—=460.

v7161020050400

17.(15分)

已知正项数列｛4｝中，4=1,an+1=an+2y[a^+l.

⑴求数列｛4｝的通项公式;

(2)记数列bn=2直+1的前n项和S,,求满足S,＜黑的正整数n的集合.

%~100

【解析】(1)由。“+1=%+2«+1，有%“=(疯+1『

即向7=（向+小

因为数列｛4｝是正项数列，

所以ylan+l=\[^ii+1，即\lan+l—\[^ii=1，

可得数列｛阮｝是首项为1，公差为1的等差数列,

所以y=五+〃-1=〃，

故数列｛%｝的通项公式为%=n2；

22

⑵由⑴可得“二(«+l)-n11

n2(n+l)2/一("+1)2

所以S"L+[„)+…+1

15+1)2

5+1)2

99199

故不等式月〈急可化为1-而砺，解得0<〃<9,

所以满足S0*的正整数n的集合为卜eN*|l<n<8｝.

18.（17分）

4

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2pxO>0）和点R（4,5）点尸在C上，且OP=《OR.

⑴求C的方程；

⑵若过点R作两条直线4与4，4与C相交于A,B两点，'与C相交于E,。两点，线段A8和即

中点的连线的斜率为左，直线AB,ED,AD,BE的斜率分别为6，白，％,凝，证明:

1111111

勺k2k3kJk3k4星

4

【解析】（1）设点尸（工,%）,则。尸=（%,%）,因为OP=《OR,07?=（4,5）,

所以毛=gx4=g,%=gx5=4,所以点

代入方程V=2px中，得p=g,所以C的方程为V=5x.

(2)设点A(ay),B(x2,y2),E(w，%)，。(%％)，

则直线钻的斜率2号二：’

同理得直线ED的斜率%=三&=—

W%+%

直线AD的斜率占;"2、5

%—%1

5

直线BE的斜率%="一%

七一元2为+为'

11X+%।%+>4=!(%+丫2+%+M)

所以耳+广

55

11M+乂I%+为=；(%+为+%+%)

-------1-------=

&女455

1111

从而得耳+耳=婷]

y-5=k,(x-4),

由消去无得心2_5,+5(5一的)=0,

y2=5x,

55(5-4^)

所以％+为=7，%%=——;----

由△=25_20%"5_4《)>0,得/>1^或勺<1^.

设43和即的中点分别为M,N,

1/、5

则%=7(％+%)=h,

乙ZK]

19.(17分)

已知常数％为非零整数，若函数y=〃x),xe[O,l]满足：对任意%,9e[0,1],

|/(%1)-/(%2)|＜卜]+1)，-(尤2+(斗,则称函数y=/(x)为“一函数.

⑴函数y=2x,是否为〃2)函数？请说明理由；

(2)若y=/(x)为”1)函数，图像在xe[o,l]是一条连续的曲线，"0)=0,/(1)=|,且“可在区间

（0,1）上仅存在一个极值点，分别记“"2、为函数y=〃x）的最大、小值，求“X）皿-"xL

的取值范围；

（3）若〃>0,/（x）=0.05x2+0.1x+aln（x+l）,且y=/（x）为L（-l）函数，g（x）=/'（x）,对任意

x,ye[0,1],恒有|g（x）-g（y）归M,记/的最小值为加⑷，求。的取值范围及加⑷关于。的表达式.

【解析】（1）y=2x是"2）函数，理由如下,

对任意4。』，|2石一2%2H（西+1『一（々+1）]，

+^2)|^—x2|<0,故|2石_2司(卜+1)—(x24-1)|

（2）（i）若%为〃x）在区间（0,1）上仅存的一个极大值点，则“X）在（0,%）严格递增，在伉」）严

格递减,

x-x</(x)<x

|/(o)-/(o)|<M0001、3

由<得-彳，

]〃x。)-/⑴|小0-『

22

3

x,0<x<—

11Q，