《2.3 直线的交点坐标与距离公式》课件

第一课时两直线的交点坐标

第二章

直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。情境导学1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组2.探究新知两条直线的交点点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.1.直线

x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(

)A.(1,2)

B.(4,1)

C.(3,2)

D.(2,1)答案:B小试牛刀典例解析归纳总结跟踪训练了例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.典例解析思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.跟踪训练2已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,

则a的取值范围是

.

例3(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.典例解析解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.

∵点P(1,0)在直线上,

∴1-2+λ(3+2)=0.

利用直线系方程求直线的方程

经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.归纳总结跟踪训练3已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.答案:B跟踪训练例4光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程典例解析点关于直线的对称点的求法

归纳总结跟踪训练4

直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别

为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A'(a,b),则跟踪训练金题典例

过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰

好为线段AB的中点,求此直线的方程.解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.金题典例∴k=8.∴所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).∵点A,B分别在已知两直线上,分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.点睛:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.解法三:∵P(3,0)为线段AB的中点,∴可设A(3+a,b),B(3-a,-b).∵点A,B分别在已知直线上,1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(

)A.(-9,-10) B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10)答案:B当堂检测2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(

)A.-24 B.24

C.6 D.±6答案:A3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为

.

解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,答案:(3,3)4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).课堂小结第二课时两点间的距离公式第二章

直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式1.掌握平面上两点间的距离公式2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题学习目标

在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小?情境导学问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离

求出任意两点间距离？新知探究问题1.在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？

提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解．提示：|AB|＝|xA－xB|.答案：如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，探究.当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由．你还能用其它方法证明这个公式吗？

1.两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．两点间距离公式1.已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|=

.

小试牛刀例1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.典例解析思路分析:可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.

两点间距离公式的应用

两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.归纳总结跟踪训练1已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.跟踪训练例2如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,

求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.典例解析证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.

坐标法及其应用1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;(2)用坐标表示有关的量;(3)将几何关系转化为坐标运算;(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.归纳总结跟踪训练2已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.跟踪训练1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A',则|AA'|为(

)答案:A当堂检测2.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(

)解析:依题意设A(a,0),B(0,b),∵P(2,-1)为线段AB的中点,∴a=4,b=-2.∴A(4,0),B(0,-2).答案:A5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________．[答案]

(－5,0)或(11,0)6.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_____.解析

BC的中点坐标为(0,1)，7.点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标.解由题意得A点的纵坐标为－3，设A(x，－3)，又点A在第四象限，∴x＝－4(舍)，∴A(4，－3).课堂小结第三课时点到直线的距离公式第二章

直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式1.会用向量工具推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力学习目标

在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?情境导学

反思：这种解法的优缺点是什么？思考：最容易想到的方法是什么？思路①.定义法,其步骤为：求l的垂线l

PQ的方程解方程组，得交点Q的坐标求|PQ|的长新知探究思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？问题探究1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:点睛：

(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.公式解析2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(

)小试牛刀答案:×答案:C典例解析归纳总结跟踪训练1已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,

求直线l的方程.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.跟踪训练(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.延伸探究

若将本题改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为

.

解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5=0易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错案例

求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.金题典例错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.点睛:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.1.点(1,-1)到直线y=1的距离是(

)答案:D当堂检测2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(

)答案:C3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是

.

答案:(5,-3)解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+